Teorema fundamental de la teor´ıa de Galois

Con los resultados de la secci´on anterior podemos ya demostrar el teorema funda- mental de la teor´ıa de Galois.

Teorema 4.2.1. Sea K   es una extensi´ on finita, normal y separable de un cuerpo

F . Sea 

 _S 

:=

 _{

S 

_|

S 

 _≤

G(K, F )

_}

  la colecci´ on de subgrupos de G(K, F )  y sea 

 _C

:=

{

L

_|

F 

 _⊆

 L

 _⊆

 K 

_}

  la colecci´ on de cuerpos intermedios entre F  y K . Entonces existe  una correspondencia biyectiva entre 

 _S 

y 

 _C

 dada por 

Γ :

_{S → C}

, S 

 _→

C (K, S ), la cual satisface las siguientes propiedades:

(i) G(K, C (K, S )) = S .

(ii) C (K, G(K, L)) =  L.

(iii)

_|

G(K, L)

_|

= [K  : L].

(iv) [L : F ] =

|_|

G_G(₍K,F _K,L))

_||

.

(v) Si L es una extensi´ on normal de F , entonces G(K, L)G(K, F ).

(vi) Si S _{G(K, F )}, entonces C (K, S ) es una extensi´ on normal de F .

(vii) Si L es una extensi´ on normal de F , entonces G(L, F )

∼

= G(K, F )/G(K, L). Demostraci´ on. En primer lugar observemos que seg´un la parte (iii) de la proposici´on 4.1.2, Γ(S ) efectivamente es un elemento de

_C

. Adem´as de la funci´on Γ, consideremos la funci´on Λ :

 _{C → S} 

  dada por Λ(L) := G(K, L), con L  un cuerpo intermedio, F 

_⊆

L

 _⊆

K . Seg´un la parte (ii) de la proposici´on  4.1.1, G(K, L)

 _{∈ S} 

. Notemos entonces que ΛΓ(S ) = G(K, C (K, S )) y ΓΛ(L) = C (K, G(K, L)). Si probamos (i) y (ii) entonces obtenemos la correspondencia biyectiva anunciada.

(i) Como K  es una extensi´on finita, normal y separable de F , podemos usar la parte (vi) de la proposici´on 4.1.1 (y su prueba) y asegurar entonces que G(K, F ) es finito y que K  es una extensi´on simple de F , K  = F (α), α

_∈

K . Sea

S  =

_{

ϕ1 := iK , ϕ2, . . . , ϕm

}

, con m

≤

n :=

|

G(K, F )

|

= [K  : F ] = gr( p(x)),

donde p(x) es el polinomio m´ınimo de α sobre F . Seg´un la parte (iv) de la proposici´on 4.1.2, S 

 _⊆

G(K, C (K, S )), por lo tanto basta demostrar que

 _|

G(K, C (K, S ))

_{| ≤}

m. Examinemos el polinomio

h(x) :=



m_i=1(x

₋

ϕi(α)).

Notemos que los coeficientes de h(x) son polinomios sim´etricos elementales en las ra´ıces de h(x), es decir, en ϕ1(α), . . . , ϕm(α) (v´ease la secci´on 1.7), por lo tan-

to, cada coeficiente queda invariable bajo cada ϕ

 _∈

S , es decir, cada coeficiente est´a en C (K, S ). En efecto, seg´un la parte (iii) de la proposici´on   4.1.1   se tiene que

_{

ϕϕ1(α), . . . , ϕ ϕm(α)

}

=

{

ϕ1(α), . . . , ϕm(α)

}

. Resulta entonces que h(x)

∈

C (K, S )[x]; pero h(α) = 0 (recordemos que ϕ1(α) = α), entonces el polinomio

m´ınimo q (x) de α sobre C (K, S ) divide a h(x), y en consecuencia gr(q (x))

 _≤

m. As´ı pues, [C (K, S )(α) : C (K, S )] = gr(q (x))

 _≤

m, pero C (K, S )(α) = K  ya que K  = F (α)

 _⊆

C (K, S )(α). Por lo tanto, [K  : C (K, S )]

 _≤

m. Ahora observemos que K  es una extensi´on finita, normal y separable de C (K, S ) (lo de finita es claro, la normalidad es por la parte (iii) de la proposici´on   4.1.2, y la separabilidad es por la parte (iv) del teorema  3.4.2). Podemos entonces aplicar la parte (vi) de la proposici´on 4.1.1 y concluir que

 _|

G(K, C (K, S ))

_|

= [K  : C (K, S )]

_≤

m.

(ii)-(iii) Seg´un la parte (v) de la proposici´on 4.1.2, L

 _⊆

C (K, G(K, L)), luego tenemos que F 

_⊆

L

_⊆

C (K, G(K, L))

_⊆

K . Como K   es una extensi´on finita, normal y separable de F , entonces K   es una extensi´on finita, normal y separable de C (K, G(K, L)) y tambi´en de L (con lo cual tenemos probado (iii), aplicando la parte (vi) de la proposici´on 4.1.1). Podemos ahora usar la parte (i) ya demostrada para completar la prueba de (ii):

[K  : L] = [K  : C (K, G(K, L))][C (K, G(K, L)) : L], [C (K, G(K, L)) :  L] = _[K :C ([_K,GK :L₍]_K,L))],

[C (K, G(K, L)) :  L] =

_|

_G(K,C ([K _K,G:L]_(K,L)))

_|

=

_|

_G[K _(K,L:L]₎

_|

= [_[K _K :_:L_L]_] = 1, C (K, G(K, L)) =  L.

(iv) [K  : F ] = [K  : L][L : F ], luego [L : F ] = [_[K _K :_:F _L]] =

|_|

G_G(₍K,F _K,L)₎

_||

.

(v) En primer lugar notemos que si ϕ

_∈

G(K, F ) y α

_∈

K  entonces α y ϕ(α) son conjugados respecto de F : en efecto, la restricci´on de ϕ a F (α) define un isomorfismo F (α)

 _→

F (ϕ(α)) que deja fijos los elementos de F  y env´ıa α en ϕ(α), esto quiere decir que α y ϕ(α) son conjugados (v´ease la definici´on 2.1.14).

Sean pues ϕ

 _∈

G(K, F ) y α

 _∈

L, entonces α y ϕ(α) son conjugados respecto de F  , luego son ra´ıces del mismo polinomio m´ınimo sobre F  (v´ease la proposici´on 2.1.15), pero como L es una extensi´on normal de F , entonces L contiene todas las ra´ıces de este polinomio, en particular, ϕ(α)

 _∈

L. Podemos entonces restrigir el automorfismo ϕ al cuerpo L y lo denotaremos por ϕL. As´ı pues, ϕL

 ∈

G(L, F ); esto

nos permite definir la funci´on

∆ : G(K, F )

_→

G(L, F ), ϕ

_→

ϕL.

Notemos que ∆ es un homomorfismo de grupos con n´ucleo G(K, L). Por lo tanto, G(K, L)_{G(K, F ).}

(vi) Sea S  un subgrupo normal de G(K, F ), puesto que F 

_⊆

C (K, S )

 _⊆

K  y K   es una extensi´on algebraica de F , entonces C (K, S ) es tambi´en una extensi´on algebraica de F . Sea p(x)

 _∈

F [x] irreducible con al menos una ra´ız α

 _∈

C (K, S ). Debemos probar que todas las ra´ıces de p(x) est´an en C (K, S ).

Paso 1. Podemos asumir que p(x) es m´onico, es decir, p(x) es el polinomio m´ınimo de α  sobre F . Sabemos que G(K, F ) es finito, G(K, F ) =

 _{

ϕ1 = iK , ϕ2, . . . , ϕn

}

;

consideremos el polinomio

g(x) :=



n_i=1(x

₋

ϕi(α)).

Notemos que los coeficientes de g(x) son polinomios sim´etricos elementales en las ra´ıces de g(x), es decir, en  ϕ1(α), . . . , ϕn(α), por lo tanto, seg´un la parte (iii) de la

proposici´on 4.1.1, cada coeficiente queda invariable bajo cada ϕ

_∈

G(K, F ), es decir, cada coeficiente est´a en C (K, G(K, F )) = F , luego, g(x)

_∈

F [x]. p(x) y g(x) tienen como ra´ız com´un a α, luego g(x) es m´ultiplo de p(x) y de esta manera el conjunto de ra´ıces de p(x) es un subconjunto de

 _{

ϕ1(α), . . . , ϕn(α)

}

.

Paso 2 . Para cada ϕ

_∈

G(K, F ) y cada φ

_∈

S  se tiene que ϕ

−

1_φϕ

∈

S , de donde ϕ

−

1_{φϕ(α) = α, es decir, φϕ(α) = ϕ(α), luego, ϕ(α) permanece fijo para cada φ}

∈

S , esto es, ϕ(α)

 _∈

C (K, S ). Se tiene entonces que

 _{

ϕ1(α), . . . , ϕn(α)

} ⊂

C (K, S ), y

seg´un el paso 1, todas las ra´ıces de p(x) est´an en C (K, S ). Esto demuestra que C (K, S ) es una extensi´on normal de F .

(vii) Im(∆) = G(K, F )/G(K, L), luego

∼

 _|

Im(∆)

_|

= [_[K _K :_:F _L]] = [L : F ] =

_|

G(L, F )

_|

. La ´ultima igualdad se tiene ya que L es una extensi´on finita, normal y separable de F  (v´ease la parte (iv) del teorema  3.4.2).

4.3. Ejemplos

Ejemplo 4.3.1.  Grupo de Galois de un polinomio. Sea F   un cuerpo y sea  p(x)

_∈

F [x] un polinomio de grado

 _≥

1; sea K  el cuerpo de descomposici´on de p(x) respecto de F ; el grupo Galois G(K, F ) se conoce como el  grupo de Galois de

 p(x)  respecto de F . Notemos que si F  es perfecto (por ejemplo, de caracter´ıstica cero, o algebraicamente cerrado o finito), entonces K  es una extensi´on finita, normal y separable de F , y podemos por lo tanto ilustrar la correspondencia de Galois estudiada en el teorema  4.2.1. Consideremos el siguiente ejemplo, p(x) = x3

−

2

 _∈

Q

[x].

Paso 1. C´alculo del cuerpo de descomposici´on K : Esto lo hicimos en el ejemplo 2.4.16: K  =

Q

(α, θ), con α :=

−

1+₂

√ 

3i y θ  :=

√ 

3

2,  p(x) = (x

₋

θ)(x2 _{+ θx + θ}2_{) = (x}

−

θ)(x

₋

θα)(x

₋

θα2_).

Paso 2 . C´alculo del tama˜no del grupo de Galois,

 _|

G(K, F )

_|

, con F  =

 Q

: Seg´un la parte (vi) de la proposici´on 4.1.1 y el ejemplo 2.4.16,

 _|

G(K, F )

_|

= [K  : F ] = 6.

Paso 3 . C´alculo del grupo de Galois G(K, F ): El polinomio m´ınimo de θ sobre

Q

es x3

−

2 y las ra´ıces de este polinomio, como ya sabemos, son θ,θα y θα2_{. De}

otra parte, el polinomio m´ınimo de α sobre

Q

es f 3(x) := x2 + x + 1 (polinomio

ciclot´omico) y las ra´ıces son α  y α =

−

1

₋√ 

3i

2 = α2.

Seg´un la parte (iii) de la proposici´on 4.1.1, si ϕ

 _∈

G(K, F ), entonces ϕ  env´ıa ra´ıces de  p(x) en ra´ıces de p(x) y ra´ıces de f 3(x) en ra´ıces de f 3(x). Es decir, θ  debe

ser enviado en  θ,θα,θα2 _{y α en α, α}2_{. Con esta informaci´on podemos construir la}

siguiente tabla para los elementos de G(K, F ):

ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6

θ enviado en   θ θα θα2 _{θ θα θα}2

α enviado en α α α α2 α2 α2 Notemos que ϕ1 = iK ; denotemos ϕ := ϕ2 y observemos que

ϕ2(θ) = ϕ(ϕ(θ)) = ϕ(θα) = ϕ(θ)ϕ(α) = θαα = θα2_;

luego ϕ2 = ϕ3. Adem´as, ϕ3(θ) = ϕ(θα2) = ϕ(θ)ϕ(α)2 = θαα2 = θα3 = θ y ϕ3(α) =

α, es decir, ϕ3 = iK . Denotemos φ :=  ϕ4, entonces φ2(θ) = θ y φ2(α) = α4 = α, es

decir, φ2 _{= i}

K . Finalmente notemos que ϕφ = ϕ5, ϕ2φ = ϕ6 y φϕφ = ϕ2 = ϕ

−

1.

Hemos demostrado que

G(K, F ) =

_{

iK , ϕ , ϕ2,φ,ϕφ,ϕ2φ

}

,

G(K, F ) =

_

ϕ, φ

_|

ϕ3 _= i

K , φ2 = ik,φϕφ = ϕ

−

1

 ∼

= S 3 (grupo sim´etrico de grado 3).

Este mismo resultado se obtiene si en lugar de trabajar con  K  =

Q

(α)(θ) aplicamos el teorema del elemento primitivo para calcular  β  tal que K  =

Q

(β ); el grado de β  sobre

 Q

 por supuesto debe ser 6 (v´ease el ejercicio 1).

Paso 4. C´alculo de los subgrupos de G(K, F ): Los subgrupos de S 3 son de orden

1, 2, 3 y 6 (v´ease [9]):

S 1 =

{

iK 

}

, S 2 =



ϕ



=

{

iK , ϕ , ϕ2

}

, S 3 =



φ



=

{

iK , φ

}

, S 4 =



ϕφ



=

{

iK , ϕφ

}

,

S 5 =



ϕ2φ



=

{

iK , ϕ2φ

}

, S 6 = S 3.

Paso 5 . C´alculo de los subgrupos normales de G(K, F ): Los subgrupos normales de S 3 son S 1, S 2 y S 6 (v´ease [9]).

Paso 6 . C´alculo de una F -base de K : Esto lo hicimos en el ejemplo  2.4.16, una F -base de K  es

 _{

1, θ , θ2_{,α,αθ,αθ}2

}

.

Paso 7 . C´alculo de todos los subcuerpos intermedios (normales)  F 

 _⊆

L

_⊆

K : C (K, S 1) = C (K, iK ) = K ;

C (K, S 6) = C (K,S 3) = C (K, G(K, F )) = F .

Para C (K, S 2), sea z 

 ∈

C (K, S 2) expresado a trav´es de la base,

z  = c0 + c1θ + c2θ2+ c3α + c4αθ + c5αθ2, ci

 ∈

F , 0

≤

i

≤

5;

debe tenerse entonces que  ϕ(z ) = z  = ϕ2_{(z ); calculemos entonces ϕ(z ) y ϕ}2_(z ):

ϕ(z ) = c0 + c1αθ + c2α2θ2 + c3α + c4α2θ + c5θ2;

ϕ2(z ) = c0 + c1α2θ + c2αθ2+ c3α + c4θ + c5α2θ2;

pero recordemos que α2 ₌

−

1

₋

α, con lo cual

ϕ(z ) = c0 + c1αθ

−

c2θ2

−

c2αθ2+ c3α

−

c4θ

−

c4αθ + c5θ2;

ϕ2(z ) = c0

−

c1θ

−

c1αθ + c2αθ2 + c3α + c4θ

−

c5θ2

−

c5αθ2.

As´ı pues,

z 

 _∈

C (K, S 2) si, y s´olo si,

 −

c4 =

−

c1 + c4;

 −

c2 + c5 =

−

c5; c1

−

c4 =

−

c1;

−

c2 = c2

−

c5, si, y s´olo si, 2c4 = c1; 2c5 = c2; 2c1 = c4; 2c2 = c5, si, y s´olo si,

Hemos demostrado que C (K, S 2) = F (α). Siguiendo este mismo m´etodo encon-

tramos que C (K, S 3) = F (θ); C (K, S 4) = F (α2θ); C (K, S 5) = F (αθ). Podemos

entonces presentar los resultados en la siguiente forma: S 1

 →

F 

 ⊆

K 

 ⊆

K  (normal) S 2

 →

F 

 ⊆

F (α)

⊆

K  (normal) S 3

 →

F 

 ⊆

F (θ)

⊆

K  S 4

 →

F 

 ⊆

F (θα2)

⊆

K  S 5

 →

F 

 ⊆

F (θα)

⊆

K  S 6

 →

F 

 ⊆

F 

 ⊆

K  (normal)

Ejemplo 4.3.2.  Calculemos el grupo Galois de f (x) = x3 _{+ x + 1}

∈

Z

2[x].

Paso 1. C´alculo del cuerpo de descomposici´on de f (x): Seg´un el ejemplo 2.4.14, el cuerpo de descomposici´on K  de f (x) es K  =

 Z

2(α), con α :=  x

 ∈ Z

[z ]/



f (x)



y

adem´as [K  : F ] = 3, con F  :=

Z

2.

Paso 2 . C´alculo del tama˜no del grupo de Galois:

 _|

G(K, F )

_|

= [K  : F ] = 3.

Paso 3 . C´alculo del grupo de Galois: G(K, F )

∼

=

Z

3.

Paso 4. C´alculo de los subgrupos de G(K, F ): 0 y

 Z

3.

Paso 5 . C´alculo de los subgrupos normales de G(K, F ): 0 y

 Z

3.

Paso 6 . C´alculo de todos los subcuerpos intermedios (normales) F 

_⊆

L

 _⊆

K : L =

Z

2,

Z

2(α).

4.4. Ejercicios

1. Calcule el grupo Galois del ejemplo  4.3.1   usando el teorema del elemento primitivo (Sugerencia: β  = θ + α).

2. Demuestre que en el ejemplo 4.3.1 se tiene que

C (K, S 3) = F (θ); C (K, S 4) = F (α2θ); C (K, S 5) = F (αθ).

3. Calcule el grupo Galois del polinomio f (x) = x4

₋

8x2+ 15

_∈Q

[x]. 4. Calcule el grupo Galois del polinomio f (x) = x4 _{+ 1}

∈

Z

3[x].

Cap´ıtulo 5

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