2.3 Una breve historia de los Modelos Predictivos de Control
2.3.2 Desarrollos te´ oricos de la tecnolog´ıa MPC no lineal
En principio, el m´etodo de MPC no lineal (tambi´en conocido como NMPC, acr´onimo extra´ıdo de la voz inglesa “Non-linear Model Predictive Control”) se limita a aquellos problemas para los cuales una soluci´on ´optima global, en el proceso de optimizaci´on din´amica, puede encontrase entre una ejecuci´on y la siguiente (valores continuos, y no discretos).
Si tratamos con un modelo lineal pero con un objetivo de segundo grado, el problema de optimizaci´on resultante tiene la forma de una estructura al- tamente convexa, para lo que se utilizar´a la programaci´on cuadr´atica para la b´usqueda de soluciones. Si se modifica el modelo lineal por uno no lineal, en el caso general, se obtiene una perdida de la convexidad, lo que significa que es mucho m´as dif´ıcil conseguir una soluci´on, y si se llego a encontrar una vez, no puede garantizarse que sea la soluci´on globalmente ´optima. Es por ello, que desde el mundo acad´emico se dirigen los esfuerzos para aprovechar la es- tructura pero mejorando la eficiencia y la fiabilidad de los m´etodos utilizados [Wri97].
De esta forma, a continuaci´on se pasa a detallar esos avances te´oricos que se han dado en el dominio de los MPC no lineales.
2.3.2.1 Estabilidad
La mayor contribuci´on a los sistemas no lineales es la manifestaci´on de Keerthi y Gilbert [KG88] que, para la variedad temporal limitada no lineal y sistemas de tiempo discreto a˜naden una restricci´on para la estabilidad x(k + N |k) = xs
al bucle OOP (para m´as informaci´on dir´ıjase a la secci´on 2.1.2) garantiza que, en condiciones suaves, es decir, no altamente variables, el controlador resultante se mantendr´a estabilizado. B´asicamente, este resultado es una ge- neralizaci´on significativa de los resultados lineales anteriores.
Los esfuerzos en la investigaci´on sobre el problema de la estabilidad de los NMPC con un modelo perfecto han presentado tres soluciones b´asicas (que se se˜nalan en [ABQ+99]). La primera soluci´on, propuesta por Keerthi
y Gilbert [KG88], consiste en a˜nadir una restricci´on de estado terminal al algoritmo NMPC de la forma: x(k + N |k) = xs. Con esta condici´on forzada, la
funci´on objetivo para el controlador se convierte en una funci´on de Lyapunov para el sistema de circuito cerrado, lo que lleva a la estabilidad nominal.
2.3 Una breve historia de los Modelos Predictivos de Control
Lamentablemente esta condici´on puede ser muy dif´ıcil de satisfacer en tiempo real; ya que requiere un n´umero infinito de iteraciones para un c´odigo de soluci´on num´erica.
Esto motiv´o a Michalska y Mayne [MM93] a buscar una condici´on de estabilidad menos estricta. Su idea principal es definir un entorno W alrededor del estado estacionario deseado xsdentro del cual el sistema puede ser dirigido
hacia xs. As´ı, les lleva a a˜nadir al algoritmo NMPC una restricci´on de la forma:
(x(k + N |k) − xs) ∈ W . Si el estado actual x(k) se encuentra fuera de esta
regi´on entonces el algoritmo NMPC se resuelve con la restricci´on anterior. Una vez dentro de la regi´on W se soluciona con el controlador definido. Michalska y Mayne llegan a describirlo como un controlador de modo dual.
Una tercera soluci´on al problema de la estabilidad nominal, descrito por Meadows et ´al. [MHER95], consiste en poner el horizonte de predicci´on y de control en el infinito. Para este caso la funci´on objetivo tambi´en sirve como una funci´on de Lyapunov adecuada, lo que lleva a la estabilidad nominal. Ellos demuestran que, si en el c´alculo inicial el NMPC tiene una soluci´on factible, entonces existe esa soluci´on para todos y cada uno de los estados temporales posteriores.
2.3.2.2 NMPC de horizonte infinito
En los MPC lineales, los horizontes infinitos (aproximados mediante horizontes extremadamente grandes) son, en muchos casos, una ruta pr´actica para lograr la estabilidad, ya que existen formas muy eficaces para resolver los enormes problemas de la programaci´on cuadr´atica. Por contra, para los problemas no lineales, la soluci´on de tales problemas de optimizaci´on no es extremadamente dif´ıcil, sino imposible de obtener. Por lo tanto, los horizontes finitos son indis- pensables en los NMPC. Y el trabajo con horizontes infinitos para los MPC no lineales s´olo se desarrolla como un m´etodo te´orico conceptual.
En principio, ser´ıa deseable disponer de un procedimiento de dise˜no del controlador que permita determinar la estabilizaci´on de la predicci´on y el control de horizontes para una configuraci´on NMPC basada en el modelo de la planta y el costo de la fase elegida. Este problema es, sin embargo, muy dif´ıcil y a´un no ha sido resuelto. Incluso no hay ning´un m´etodo de an´alisis disponible que permiten evaluar la estabilidad basada en el conocimiento extra´ıdo de la planta, el objetivo funcional y las longitudes del horizonte.
No obstante, existen posibilidades de lograr la estabilidad a pesar de que estas propiedades no se puedan analizar. La idea detr´as de estos enfoques es
2. Modelo Predictivo de Control y otras aproximaciones
modificar la configuraci´on del NMPC de tal manera que la estabilidad se pue- da garantizar independientemente de la elecci´on de la longitud del horizonte, de la elecci´on de los gastos y para cualquier etapa de la planta. Esto se consi- gue normalmente mediante la adici´on de la igualdad adecuada o restricciones de desigualdad en la instalaci´on del modelo. Estas restricciones adicionales no est´an motivadas por restricciones f´ısicas o los requisitos, pero tienen como ´
unica finalidad hacer cumplir la estabilidad del modelo. Por lo tanto, general- mente se denominan restricciones de estabilidad [May97, May00].
2.3.2.3 NMPC con la restricci´on de igualdad de estado terminal a cero
El esquema NMPC en el que m´as se trabaj´o para garantizar la estabilidad utiliza una restricci´on de la estabilidad en la forma de una restricci´on de igualdad de estado terminal a cero [KG88, Kle70, MM90]: x(k + N |k) = 0, obligando al estado a ser cero en el final del horizonte finito. Keerthi y Gil- bert [KG88] fueron los primeros en mostrar la viabilidad de esta formulaci´on implicando la estabilizaci´on de una clase de sistemas no lineales limitados. M´as tarde, este resultado fue ampliado en [MHER95, RMM94] ya que, inclu- so, encontraron la formulaci´on para versiones de tiempo continuo [MM90]. En otras palabras, gracias a todos estos trabajos, en condiciones razonables, la estabilidad asint´otica del sistema queda probada.
Garantizar la estabilidad mediante la imposici´on de una restricci´on de igualdad de estado terminal a cero es, de largo, una de las t´ecnicas m´as po- pulares. Por una parte, esto se debe sin duda al marco te´orico, pero tambi´en se debe al hecho de que no se necesita la computaci´on o el ajuste on-line. Por otra parte, una restricci´on de igualdad terminal es una carga artificial que puede requerir importantes gastos adicionales de c´omputo (ver [CA98] para una comparaci´on con otros enfoques), y m´as importante a´un, en muchos casos conduce a una grave regi´on de operaciones restringidas debido a problemas de viabilidad.
2.3.2.4 NMPC contractivo
En el NMPC contractivo, como se sugiere en [YP93, DO96], se a˜nade una restricci´on de la forma kx(k + N |k)k2 ≤ α2kx(k)k2para controlar el problema.
Esta restricci´on directamente fuerza a que la magnitud del vector de estado se contraiga a un factor pre-especificado cada vez que se realiza el c´alculo. Esta restricci´on se denomina restricci´on de contracci´on de la estabilidad.
2.3 Una breve historia de los Modelos Predictivos de Control
A diferencia del est´andar NMPC, la funci´on de entrada uNk sobre el inter- valo [k, k + N − 1] es aplicada al sistema no lineal. El siguiente problema de optimizaci´on s´olo se dar´a para la instancia k +N . En la formulaci´on propuesta por [DO96], se incluye una segunda restricci´on, como en el caso del modo dual, se utiliza la longitud de horizonte N ≤ nmax como un reductor adicional.
La viabilidad tiene que ser asumida por todas las instancias temporales durante las que se lleva a cabo una optimizaci´on. Por lo tanto, este enfoque no es muy atractivo para las aplicaciones, ya que la viabilidad del problema de optimizaci´on en las siguientes instancias no est´a garantizada.
2.3.2.5 NMPC de modo dual
Desde el punto de vista computacional, una satisfacci´on de la restricci´on de igualdad de estado terminal con valor cero es imposible. Si s´olo se aplica una aproximaci´on, es decir, s´olo requerimos que el estado terminal resida en una peque˜na regi´on en torno al origen, la estabilidad est´a garantizada pero con una gran p´erdida, por consiguiente, el sistema no es robusto. Con el fin de relajar la restricci´on de la estabilidad de la igualdad sin comprometer la estabilidad asint´otica, se introduce el llamado NMPC de modo dual [MM93].
El t´ermino de modo dual se refiere a dos controladores diferentes que se aplican en diferentes regiones del espacio seg´un el estado, o sea, si esta dentro o fuera de alguna regi´on terminal. Si el estado esta fuera de esta regi´on terminal, un controlador de NMPC con un horizonte variable ser´a aplicado. Si el estado actual se encuentra dentro de la regi´on terminal, se aplica una realimentaci´on lineal de la forma (k) = Kx(k).
Computacionalmente hablando, este enfoque es m´as atractivo que el que se establece en el modelo anterior. Incluso, con una restricci´on de desigualdad se pueden manejar el proceso con una mayor eficacia. Adem´as, con este modelo se esperan menos problemas de viabilidad y por lo tanto la regi´on de atrac- ci´on ser´a mayor. Tambi´en se demostr´o en [MM93] c´omo era la viabilidad del problema de optimizaci´on. Las desventajas de este enfoque son la conmuta- ci´on requerida entre las estrategias de control y el hecho de que la trayectoria predicha y la real, en general, ser´an diferentes.
2.3.2.6 NMPC de horizonte cuasi-infinito
En el esquema NMPC de horizonte cuasi-infinito [CA98] se utiliza una restric- ci´on de estabilidad de desigualdad con la forma x(k+N |k) ∈ Ω y una penaliza-
2. Modelo Predictivo de Control y otras aproximaciones
ci´on terminal cuadr´atica de la forma Φ(x(k+N |k)) = x(k+N |k)TP x(k+N |k). Estas restricciones se agregan a la configuraci´on est´andar. La idea b´asica detr´as de este esquema es que el t´ermino de penalizaci´on terminal no es una especificaci´on de rendimiento que se puede elegir libremente, sino que la ma- triz P se determina off-line de acuerdo con un procedimiento espec´ıfico, de tal manera que, la funci´on objetivo con Φ es elegida sobre un horizonte finito de coste funcional. As´ı, se puede lograr la estabilidad, mientras que por otra parte, s´olo un problema sobre un horizonte finito tiene que ser solucionado de forma num´erica.
En esta configuraci´on, el horizonte de predicci´on no lineal MPC puede ser pensado como la ampliaci´on hasta casi el infinito. Versiones similares pero de tiempo discreto en sistemas no lineales pueden encontrarse en [FR97]. Al igual que en el enfoque de modo dual, se hace uso de la restricci´on de desigualdad terminal ya que da ventajas computacionales. En este caso, la aplicaci´on es m´as simple que el enfoque de modo dual, ya que no hay que cambiar entre las estrategias de control.
2.3.2.7 NMPC robusto
Una serie de resultados han sido publicados para el control de cu´an robusto es un Modelo Predictivo de Control lineal (por ejemplo [GM82, Zaf90]). A pesar de ya estar disponibles algunos resultados preliminares, el an´alisis de las propiedades de robustez en los NMPC a´un debe ser considerado como un problema sin resolver.
Algunos de los sistemas anteriormente mencionados tienen algunas pro- piedades relacionadas con la robustez, o puede hacerse resistente a cambios simples. Sin embargo, sus resultados indican que s´olo un grado de incertidum- bre lo suficientemente “peque˜na” no va a afectar a la estabilidad del modelo. Pero no permiten derivar controladores que garanticen la estabilidad para una descripci´on de incertidumbre dada. Esto no es sorprendente ya que la defini- ci´on de las descripciones de lo que es una incertidumbre significativa para los sistemas no lineales es un problema abierto, no s´olo en el contexto NMPC, sino tambi´en en otras ´areas de control. Por una parte, los primeros enfoques NMPC hacen uso de modelos cuantitativos de incertidumbre como los que se describen en [GN95, SF98]. Por otra aparte, un an´alisis m´as detallado puede encontrarse en [May97, May00].
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