Dise˜ nos de las nanoantenas Seebeck para la medida pola rim´ etrica

Al caracterizar el estado de polarizaci´on de un haz de luz es com´un utilizar el valor de los par´ametros de Stokes. ´Estos forman un conjunto de 4 n´umeros que describe comple- tamente la polarizaci´on de un haz de luz, incluso para haces incoherentes o parcialmente polarizados. En esta secci´on vamos a utilizar la siguiente forma de los par´ametros de Stokes:

s0 = Ix+ Iy , (4.5)

s1 = Ix− Iy , (4.6)

s2 = I+45◦− I₋₄₅◦ , (4.7)

s3 = IRCP − ILCP . (4.8)

donde I representa a la irradiancia asociada a cada una de las componentes, que aparecen como sub´ındices: x, y, −45◦, RCP, LCP. Cuando se descompone la irradiancia transpor- tada por un haz de luz en componentes ortogonales, es posible seleccionar estos estados ortogonales para evaluar los par´ametros de Stokes. Los par´ametros de Stokes definidos en las ecuaciones (4.6) - (4.8), se pueden ver como la diferencia en la potencia para tres opciones de descomposici´on. S1 se relaciona con la descomposici´on en las dos polariza-

ciones lineales alineadas a lo largo de las direcciones X e Y . S2 est´a relacionada tambi´en

con dos polarizaciones lineales ahora alineadas a lo largo de las direcciones de +45◦ y −45◦_{. Por ´ultimo, S}

3, representa la diferencia de potencia al descomponerse la luz en la

polarizaci´on circular, RCP, dextro y LCP, levo. Estos par´ametros se modifican para ser representados usando la esfera de Poincar´e. Este cambio consiste en la normalizaci´on de ellos al par´ametro s0 que representa el valor de la irradiancia total de la luz incidente. En

nuestro caso estamos interesados en los siguientes par´ametros: S1 = s1/s0, S2 = s2/s0, y

S3 = s3/s0. Para la luz totalmente polarizada, la representaci´on del estado de polariza-

ci´on se encuentra sobre la superficie de la esfera de Poincar´e. En el resto de esta secci´on vamos a suponer que s0 = 1, luego, S1 = s1, S2 = s2, y S3 = s3. Alternativamente, es

posible evaluar la irradiancia total independientemente para normalizar adecuadamente los par´ametros de Stokes. El objetivo de los dise˜nos propuestos aqu´ı es detectar S1, S2, y

Para medir el valor de los par´ametros de Stokes debemos obtener una diferencia de potencia entre dos estados de polarizaci´on bien definidos y ortogonales entre si. Aqu´ı es donde las nanoantenas Seebeck muestran su utilidad. Afortunadamente, la selectividad en polarizaci´on est´a vinculado s´olo con la geometr´ıa de la antena. Adem´as, el voltaje Seebeck es proporcional a la diferencia de temperatura alcanzada en los lugares donde se establecen las uniones entre los dos materiales. Uno de estos lugares act´ua como punto caliente mientras otro hace las veces de uni´on fr´ıa. Las nanoantenas se utilizan para acoplar la radiaci´on electromagn´etica que tiene un estado espec´ıfico de polarizaci´on a la ubicaci´on de la uni´on que se pretende que sea la uni´on caliente. Debido a que a S1 y S2 est´an

relacionados con estados de polarizaci´on lineales el dise˜no de la antena utilizado para la medici´on de estos par´ametros debe ser selectivo para este tipo de polarizaci´on. El elemento m´as simple que puede realizar esta tarea es una antena dipolo. La figura 4.8.a muestra la configuraci´on compuesta por dos dipolos ortogonales. ´Estos est´an dise˜nados con dos metales diferentes, componiendo cada uno de ellos la mitad del dipolo y uni´endose en el feed point de ´este. Estos dos brazos son diferentes en longitud atendiendo a la diferencia en su respuesta a la radiaci´on electromagn´etica [29]. Estos dos dipolos ortogonales est´an conectados entre ellos mediante el circuito exterior usando una l´ınea de carga. Este dise˜no ha sido probado previamente para un dipolo simple y proporciona una buena respuesta t´ermica [45]. La luz que incide en cada uno de los dipolos ortogonales produce una corriente en el dipolo que se calienta a trav´es del efecto Joule.

Figura 4.8:Estructuras utilizadas en el dise˜no del pixel polarim´etrico. a) Matriz de dipolos, b) Matriz de espirales.

Este calentamiento localizado es proporcional a la potencia incidente en cada dipolo, siempre en la direcci´on de polarizaci´on lineal correspondiente. Sabemos que el efecto de Seebeck est´a linealmente relacionado a la diferencia de temperatura entre las uniones bimet´alicas calientes y fr´ıas (ver ecuaci´on (4.1)). Ya que la temperatura en cada uni´on es proporcional a la potencia acoplada a la nanoantena, el dispositivo propuesto se convierte en un candidato natural para medir S1. El mismo tipo de arreglo puede utilizarse para

evaluar S2 simplemente gir´andolo 45◦. Para medir S3 se propone el uso de dos espirales

de Arqu´ımedes que tienen sentidos de rotaci´on opuestos como muestra la figura 4.8.b. Los dos componentes dextro y levo se acoplan selectivamente a cada una de las espirales. De esta forma, la se˜nal Seebeck es proporcional a la diferencia de potencia que lleva cada uno de estos componentes.

El dise˜no detallado del termopar comienza con la elecci´on de los dos metales. ´Estos deben tener la mayor diferencia aposible en los valores de sus coeficientes Seebeck, adem´as

de una baja conductividad t´ermica para conseguir un mayor incremento de temperatura. En este an´alisis hemos escogido el n´ıquel y titanio, que muestran un coeficiente Seebeck, SN i = −19.5mV/K y ST i = 7.19mV/K [130]. Las antenas se colocan sobre un sustrato

de Si semi-infinito que tiene una capa de recubrimiento de SiO2 de 200nm de espesor

que funciona como un aislante t´ermico. Las estructuras resonantes est´an optimizadas pa- ra una longitud de onda λ0 = 10.6µm incidiendo desde el vac´ıo. La irradiancia entrante

tiene un valor constante para todos los casos tratados aqu´ı, 117W/cm2 _{. La evaluaci´on}

del comportamiento electromagn´etico y t´ermico de estos elementos se realiza con Com- sol MultiPhysics (v 4.3.b). La distribuci´on de calor calculada nos dar´a la diferencia de temperatura en la ubicaci´on de las uniones en las estructuras resonantes. Las constantes electromagn´eticas y t´ermicas son las de los materiales que participan en la simulaci´on [66].

Figura 4.9:Parte superior: Mapa t´ermico del arreglo de dipolos cuando se incide con un haz que presenta una polarizaci´on: horizontal, 45◦y vertical. Parte Inferior: Mapa t´ermico del arreglo de espirales cuando se incide con un haz que presenta una polarizaci´on: circular dextr´ogira, lineal y circular levogira.

La figura 4.9 muestra los mapas de temperatura para varios estados de polarization. Se aprecia c´omo la distribuci´on de temperatura cambia selectivamente a lo largo de la estruc- tura cuando se var´ıa el estado de polarizaci´on de la radiaci´on. En realidad, la distribuci´on de la temperatura sigue un perfil determinado por la geometr´ıa y por los materiales (ver figura 4.10). Para el caso de la configuraci´on dipolar este perfil se considera lo largo de la l´ınea de carga. Para la espiral, el camino elegido representado en la figura 4.10 muestra la distribuci´on a lo largo de la espiral y se mueve de un lado a otro de la estructura. En esta figura se han marcado la ubicaci´on de las uniones como l´ıneas verticales. Es importante se˜nalar aqu´ı que la se˜nal Seebeck no depende de la variaci´on a lo largo de las estructuras met´alicas. ´Esta est´a s´olo relacionada con la diferencia en la temperatura en la ubicaci´on

de las uniones entre los metales. El c´alculo se ha realizado para varios estados de polari- zaci´on que tienen diferentes valores de los par´ametros de Stokes. Los dipolos se iluminan con una luz de polarizaci´on lineal que se mueve a lo largo del ecuador de la esfera de Poincar´e, plano S3 = 0. La luz que incide sobre las espirales es una combinaci´on lineal

de polarizaci´on circular dextro y levo. En este caso, los estados de polarizaci´on se est´an moviendo a lo largo de un meridiano de la esfera de Poincar´e donde S2 = 0. Todos estos

estados de polarizaci´on tienen el mismo valor de irradiancia total.

Figura 4.10: Perfil de temperatura a lo largo del dispositivo para diferentes estados de polarizaci´on en funci´on de los parametros de Stokes.

La disposici´on de antenas propuesta en esta secci´on produce una se˜nal que es depen- diente del estado de polarizaci´on de la luz incidente. La figura 4.11 muestra los voltajes Seebeck obtenidos a partir de la configuraci´on dipolar y de las espirales cuando se var´ıa el valor de los par´ametros S1 y S3. Para las espirales tambi´en hemos comprobado su

respuesta ante la luz polarizada lineal. Igualmente, para los dipolos hemos evaluado la contribuci´on que se produce ante la polarizaci´on el´ıptica. Hemos observado que las espi- rales responden a la polarizaci´on lineal con una dependencia lineal con S2. Por otra parte,

Figura 4.11:Izquierda: Se˜nal obtenida a partir de la configuraci´on de dos dipolos como una funci´on de S1, al

iluminar con luz polarizada lineal en diferentes ´angulos y teniendo S3 = 0. Centro: Tensi´on Seebeck obtenida a

partir de las dos espirales de Arqu´ımedes para varias combinaciones de polarizaci´on circulares, como una funci´on del valor del par´ametro S3. En este caso nos movemos a lo largo de un meridiano de la esfera de Poincar´e, teniendo

S2= 0. Derecha: Se˜nal dada por la configuraci´on de espirales como una funci´on lineal de S2, cuando nos movemos

a lo largo del ecuador de la esfera de Poincar´e S3= 0.

basado en dipolos ortogonales. En la figura 4.11 hemos representado las barras de error que representan algunas incertidumbres en la realizaci´on pr´actica de los elementos. Para el caso de la disposici´on de dipolo se ha tenido en cuenta la distribuci´on de la temperatura en la superficie de la uni´on. Debido a las diferentes constantes t´ermicas de los materiales utilizados, as´ı como a la geometr´ıa de la antena, la temperatura var´ıa en la uni´on. En la figura 4.12 hemos representado el mapa de temperatura sobre la superficie de la uni´on. El n´umero dentro de cada gr´afica es la media y la desviaci´on est´andar de la distribuci´on de temperatura en la superficie. Esta desviaci´on est´andar se toma como el error en cada una de las uniones. Las barras de error trazadas en la figura correspondiente a la detecci´on de S3 se obtienen cuando se mueve la ubicaci´on de las uniones una distancia relacionada

con la incertidumbre en la fabricaci´on, que se fija en 50nm. En este caso la temperatura cambia en 9mK.

Por lo tanto, despu´es de evaluar el comportamiento de los dipolos y espirales, podemos escribir la dependencia de la se˜nal obtenida para cada arreglo como sigue:

V0−90 = α11S1+ δ1 , (4.9)

V±45 = α22S2+ δ2 , (4.10)

VD−L = α32S2+ α33S3+ δ3 , (4.11)

donde V0−90 es la se˜nal recibida por la disposici´on de los dos dipolos orientados a lo

largo de las direcciones vertical y horizontal, V±45 corresponde con la se˜nal obtenida de

la disposici´on dipolar orientados oblicuamente a 45◦, y VD−L es la se˜nal obtenida por las

espirales. Los coeficientes α y δ tienen dimensiones de tensi´on y se pueden obtener del ajuste lineal de los resultados que se muestran en la figura 4.11. Para el caso tratado aqu´ı, encontramos que α11 = α22 = 4.51 ± 0.03µV, α32 = 1.0536 ± 0.0009µV, α33 =

Figura 4.12: Mapa de temperatura en la superficie de las uniones para la disposici´on de las antenas dipolo. El mapa de la parte superior se corresponde con una polarizaci´on lineal alineada a lo largo de uno de los dipolos, uni´on caliente. La uni´on fr´ıa, est´a representada en el mapa central para la misma polarizaci´on lineal. El mapa de la parte inferior es para una polarizaci´on lineal a 45◦con respecto a los dipolos. En este ´ultimo caso, los mapas de las superficies de las dos uniones son iguales.

Tabla 4.3: Valores de los par´ametros de Stokes del haz de iluminaci´on, (in), y valores obtenidos a partir de las se˜nales emitidas por los dispositivos basados en antenas (out), para varios casos de polarizaci´on etiquetados de la A a la E. La ´ultima columna corresponde a la distancia eucl´ıdea entre los dos puntos representados por los par´ametros de Stokes para cada caso.

Caso S1(in/out) S2(in/out) S3(in/out) Distancia euclidea

A 0.5774/0.6150 0.5774/0.5639 0.5774/0.5799 0.0401 B 0.3333/0.3526 0.6667/0.6794 0.6667/0.6629 0.0233 C 0.8165/0.8731 0.4082/0.3909 0.4082/0.4120 0.0593 D 0.4082/0.4329 0.4082/0.3904 0.8165/0.8201 0.0307 E 0.6667/0.7132 0.6667/0.6567 0.3333/0.3350 0.0476