DLI PROCLAMA

ii) el método de proporcionalidad para el cálculo, iii) la forma algebraica subyacente y = kx,

iv) las aplicaciones de la proporcionalidad directa- Una secuencia tal sería como sigue:

a) Identificar las situaciones con razón fija y sin ella.

b) Introducir y desarrollar el método unitario.

c) Desarrollar el método de proporcionalidad como se indicó antes.

d) Desarrollar la fórmula de la forma y = kx asociada con los problemas de razón fija.

e) Relacionar (d) con la ecuación de una recta que pasa por el origen.

f) Aplicar las ideas de la proporcionalidad directa a la ampliación y contracción - escalas y mapas.

g) Desarrollar los aspectos de proporcionalidad en la semejanza geométrica.

h) Introducir la idea de interpolación lineal en la estima- ción.

i) Aplicar la proporcionalidad a la probabilidad.

Mientras a) - d) son secuenciales, e) - i) pueden introducirse en distinto orden, dependiendo de las decisiones que se comen en otras partes del programa y de las necesidades de otras asignaturas.

3. Area

El estudio del área no es sólo una parte esencial de la geometría elemental sino que proporciona un contexto para la aplicación de las fórmulas y la proporcionalidad. Se

pueden obtener hechos geométricos importantes e interesantes por medio del cálculo de áreas. As!, este tema juega un papel importante en el trabajo matemático del comienzo de la secundaria. Más tarde, los alumnos más capacitados se intro- ducirán en el cálculo integral, cuyos fundamentos geométricos residen en el contexto del área.

Para una comprensión adecuada del concepto de área, los alumnos deben darse cuenta de que todo su cálculo se basa en el conteo de cuadrados. Para asegurar esta comprensión, el tratamiento del área debe, al menos en las primeras etapas (final de primaria/comienzo de la secundaria), orientarse hacia los procesos —aunque conduzca a fórmulas standard. El conreo de cuadrados, naturalmente, lleva directamente al área del rectángulo; dividiendo el rectángulo en dos partes

En este punto es conveniente que los alumnos practiquen el LA t'WE&tór/A De cálculo de varias áreas poligonales dibujadas sobre un cuadrado LAS MATEMÁTICAS grande cuadriculado» coincidiendo los vértices con

intersecciones.

Consideremos, por ejemplo, el problema de encontrar el área exacta de un triángulo dibujado sobre un cuadriculado tal, de manera que ninguno de sus lados coincida con las líneas divisorias (ver diagrama).

\

(Este cálculo» que implica encerrar el triángulo en un rectán- gulo, revela las limitaciones de confiar en la fórmula 1/2 X base X altura.)

El teorema de Pitágoras puede desarrollarse ahora a partir del problema de calcular el área de un cuadrado dibujado oblicuamente sobre otro cuadrado. La técnica de encerrar el

cuadrado en otro más grande conduce al diagrama general;

184

A partir de este punto, se sigue que

c2 = (a + by — 4 X 1/2 ab - (a + b)1 — 2ab.

Los alumnos pueden llevar a cabo este proceso etapa por etapa para varios valores numéricos de a y b viendo adecua- damente por sí mismos que, en cada caso, c1 = a2 + b2.

A partir del triángulo rectángulo se puede obtener la fórmula general 1/2 X base X altura para el ¿rea de un triángulo cualquiera encerrando un triángulo arbitrario en un rectángulo y dibujando una altura, como en el diagrama siguiente:

Área de ABC = 1/2 X área del rectángulo = 1/2 ah

Las fórmulas como ésta para el área de un triángulo se pueden demostrar por proporcionalidad directa. Si. a o h permanecen constantes, entonces A está en proporción directa (o varía directamente con) la otra. Esto tiene algunas intere- santes consecuencias, que pueden ser desarrolladas por los alumnos más capacitados- Por ejemplo, en el diagrama se muestra que la razón de las áreas del triángulo ABD y A D C es BD/DC, ya que existe una altura común a partir de A, y también es AB/AC} ya que existen alturas iguales desde D

hasta AB y AC. De ahí que

BD = AB

í.íC ~,\c

A

Q D C

Una aplicación más elaborada de estas ideas de !a propor- cionalidad combinadas con las de semejanza, conveniente

para los alumnos más capacitados, lleva el teorema de Ceva como ilustra el siguiente diagrama:

BD = área AKB CE _ área BKC AF = área A K C LA kís^Ü I>£

DC área AKC EA área A.KB FB área BKC u s SATOtÍTiCtó

así que -

- JíSLfc

D C KA FB

Muchos resultados de concurrencia —por ejemplo, el de las medianas, bisectrices internas, alturas— son simples con- secuencias de este teorema-

La aproximación por rectángulos a las áreas de limites curvos, que es la base el cálculo integral, debe también formar parte de un tratamiento elemental del área. La estimación directa de las áreas de los círculos es un ejercicio revelador a pesar de su aparente trivialidad matemática, ya que aclara los problemas de la estimación de áreas no poligonales.

Una aproximación más sofisticada consiste en dividir el círculo en un gran número de sectores y reordenarlos de *cabo a rabo* en la forma que se muestra más abajo.

Las líneas rectas son todas radios del círculo y la longitud total de la curva es la circunferencia. Cuando el número de sectores aumenta, la figura muestra una aproximación mayor al rectángulo con un lado igual a la longitud del radio y el otro a la mitad de la circunferencia. De ahí que el área se aproxime más y más al radio X 1/2 circunferencia, dando la fórmula

-

A = tM 1/2 (2l~Ir) = n r2

Naturalmente, la fórmula 21"! r para la circunferencia ha de ser conocida anteriormente.

El tratamiento general del área es así bastante análogo al sugerido para las fórmulas. Este es un tema que puede ser utilizado para desarrollar y obtener una variedad de resultados geométricos, así como servir de vehículo para el uso de las fórmulas y la proporcionalidad.

DTTKJTO DR. CURSO