Lenguaje y numeración en matemáticas

El lenguaje es un vehículo necesario para la comunicación del pensamiento racional. En matemáticas, sin embargo, el simbolismo formal constituye otro canal de comunicación, principalmente en forma escrita. Es más, este lenguaje escrito de las matemáticas opera en dos niveles. El primero de ellos es el nivel semántico —los símbolos y la notación conllevan un significado- En este nivel existe un paralelismo exacto con un lenguaje natural como el castellano. El simbolismo mate- mático tiene también un nivel puramente sintáctico en el que se pueden aplicar reglas manipulativas sin referencia directa a su significado. Este nivel sintáctico es un elemento esencial en el desarrollo de la asignatura. (Ver el Capiculo 5, Sección

En matemáticas, el lenguaje ordinario (o natural) tiene que interpretar el lenguaje simbólico. Esto conduce a un conflicto de precisión. Til lenguaje ordinario puede comunicar su significado notablemente bien a pesar de los abusos sintácticos como la rotura de las reglas gramaticales o los errores ortográficos. El significado puede ser comunicado por alusión y por asociación* El lenguaje natural puede expresar emociones, dar opiniones, puede emplearse para discutir o valorar. En contraste, el lenguaje matemático es

preciso, obedece a reglas exactas, no tiene un significado salvo por la exacta interpretación de sus símbolos, y no puede expresar emociones, juicios o valores. Este es e! conflicto que implica el uso del lenguaje ordinario en contex- tos matemáticos.

Otro aspecto del lenguaje simbólico de las matemáticas» que le diferencia del lenguaje natural y que es una fuente de confusión en muchos niños, es que su sintaxis (es decir, las reglas formales con las que se opera) pueden algunas veces extenderse más allá del dominio original de su aplicación. Por ejemplo, las definiciones de a°, a1'2, a- 1 son determinadas

por el deseo de que la regla i"1 X a° — a™4* se cumpla para

todos los valores racionales de m y n. Una característica tal de la notación matemática requiere, como se ha visto, un

tratamiento cuidadoso ya que, normalmente, uno no desea LA que los alumnos extrapolen regias que vayan mis alli de su LAS dominio original de validez.

Un tercer problema de lenguaje en matemáticas se debe al vocabulario común. Algunas palabras tienen un significado en el uso normal del castellano y uno muy diferente en matemáticas (a menudo se remonta a los días en que el latir- era ia lengua de comunicación científica) — por ejemplo* raíz,

solución, producto, matriz, diferenciar, integrar, 1 unción, coordenada, primo, facior, multiplicar, potencia, índice. La utilización de tales palabras causa dificultades porque implican una confusión semántica. No existe una forma fácil de evitarlo —las palabras son parte del vocabulario matemático habitual. Sin embargo, el reconocimiento de la existencia de tal dificultad es una primera etapa hacia su solución.

Además de estas palabras con significados especiales en matemáticas, existe otro conjunto de palabras para las que existe confusión en cualquier pane y que forman parte del castellano ordinario- Estas incluyen palabras como evaluar, isósceles, conmutativa, polígono, rombo, paralelogramo. Tales palabras y las mencionadas antes, crean la impresión de que las matemáticas son más difíciles de lo que realmente son, ya que las palabras difíciles sugieren ideas del mismo tipo.

Como se ha dicho al comienzo de este capítulo, el lenguaje es claramente esencial en el proceso de aprendizaje tanto en su forma escrita como vcrbaL La comunicación, sin embargo, tiene un doble camino; el lenguaje del alumno es tan importante como el del profesor. Escuchando a los alumnos, un profesor puede calibrar su nivel de lenguaje y la calidad de su entendimiento. Un alumno que no puede hablar acerca de su trabajo en matemáticas incluso en su, comparativamente, simple lenguaje, es un alumno que no entiende completamente lo que está haciendo. Los alumnos deben ser animados a hablar sobre las matemáticas que van construyendo.

Se dice a menudo que no hay bastante tiempo en el aula para una extensa discusión profesor/alumno o para poner de relieve las ideas de los alumnos.

No debe infravalorarse, sin embargo, el valor de tal interacción verbal. Crea una atmósfera de ínteres en clase, muestra que el profesor se interesa por lo que piensan sus alumnos; anima una activa participación de los alumnos en contribuir al trabajo matemático que está siendo desarrollado; permite al profesor diagnosticar los falsos aprendizajes; da a los alumnos individuales la oportunidad de avanzar en su forma de aprendizaje y mejorar su comprensión. Los alumnos pueden aprender también de las preguntas que les hacen al

profesor otros companeros —preguntas que, posiblemente, no se le hayan ocurrido— y de las respuestas del profesor.

Es necesario un tiempo para que las ideas y las técnicas adquieran un significado real para los alumnos; se puede necesitar verlas desde diterentes perspectivas y ser iluminadas por analogías apropiadas. Este proceso de aumento del

significado puede ser considerablemente impulsado por el uso de un lenguaje que entiendan los alumnos. Una confianza excesiva del profesor en [a precisión del lenguaje matemático, mientras le permite concentrarse en las matemáticas mis esenciales, puede dejar a los alumnos con una comprensión menos clara que si utilizara un nivel de lenguaje informal, más cercano a los propios alumnos.

Existe, naturalmente, un equilibrio que debe conseguirse entre el silencio del aula donde únicamente se escucha la voz del profesor y la clase donde la discusión abierta entre alumnos y profesor o entre grupos de alumnos produce unos niveles de ruido que van en contra del propósito de terminar la discusión comenzada. Sin embargo, si la clase cree en la seriedad del propósito del profesor, si su trabajo le parece bien planeado y si existen oportunidades para algún elemento de frivolidad, entonces puede establecerse la atmósfera que produzca el tipo de discusiones que ayudan a promover la comprensión.

Volvamos ahora al problema de leer y escribir matemáticas, empezando con la escritura, que es la actividad del alumno que el profesor suele utilizar en la evaluación.

El contraste entre la flexibilidad semántica del lenguaje ordinario y la precisión del simbolismo matemático ya ha sido mencionado. Algunos profesores no consideran conve- niente el uso del castellano porque ello unplicaria la existencia de dificultades que no quieren admitir y prefieren utilizar símbolos matemáticos que identifican con las matemáticas escritas. Esto sólo sirve para incrementar la distancia entre las matemáticas y la realidad. La capacidad de los alumnos para explicar exactamente sobre el papel Jo que están haciendo debe propiciarse. Es una habilidad tristemente ausente en muchos de los que dejau el instituto, incluyendo alumnos capacitados.

Como un ejemplo del uso del lenguaje natural en las explicaciones matemáticas, consideremos el siguiente problema.

Problema: Un cierto artículo cuesca 65 peniques. Si se

compran más de 10, el precio baja a 60 p. cada uno. Un hombre tiene 6 libras para comprar estos artículos. Otro hombre tiene 7 libras. ¿Cuántos artículos más comprará el segundo hombre?

Solución; A 60 p. cada uno, con 6 libras se podrán

comprar 10 artículos, que no son bastantes para llegar al descuento en el precio. Por tanto, el primer hombre tiene que pagar 65 p. por Cada uno y, consecuentemente, puede comprar sólo 9 artículos por un coste de 5,85 libra*, A 60 p. cada uno, 7 libras comprarán 11 artículos. Una vez aplicado

el descuento en el precio, el segundo hombre puede comprar

11 de los artículos por un coste de 6,60 libras. Compra así 2 artículos más que el primer hombre.

Esta solución explica claramente las bases razonadas del cálculo y lo expresa razonablemente en castellano. Es probable que muy pocos alumnos de secundaria se expresen de esta

forma, aunque el proceso de producir una solución escrita razonable pueda ayudarles a desarrollar la capacidad de razonamiento.

Alentar un uso preciso del castellano en las explicaciones escritas debe empozar, naturalmente, en la escuela primaria

con problemas más simples que requieran sólo unas pocas líneas a través de un cálculo sencillo* Por ejemplo:

Problema; Las naranjas cuestan 16 p. cada una. Si compro

4 con una libra ¿cuánto cambio me devolverán?

Solución;

Coste de 1 naranja = 16 p.

Coste de 4 naranjas = 4 X 16 p, = 64 p. Cantidad de moneda que doy = 1 libra. Cambio = 1 1 . — 64 p. — 36 p.

Esta solución emplea tanto notación matemática como castellano y se debe ser cuidadoso en que la notación sea correctamente utilizada. La segunda linea de la solución puede ser expresada como «4 naranjas cuestan 4 X 16 p, = 64 p.*, pero esto no sólo requiere que el signo de igualdad sea interpretado como *lo que es igual a», sino que es probable que la disposición se contraiga a «4 naranjas - 1 X

16 p. — 64 p.», lo que es una mala utilización del símbolo de igualdad.

• Como ya se ha comentado, algunos profesores creen (y esta creencia es dirigida hacia sus alumnos) que, en su trabajo escrito, los alumnos deben reducir el castellano al mínimo porque, en caso contrario, se hace más lento el proceso de solución y, sobre todo, porque el idioma interfiere con dicho proceso. De acuerdo con este punto de vista, el centrarse en una clara expresión de la solución desvía la atención de los procesos matemáticos necesarios para llegar a ella. En otras palabras, mejor es una solución correcta sin explicaciones que una solución incorrecta escrita en detalle. Estas, sin

LKVGCAJF.Y embargo, no son alternativas excluyeme;. En cualquier caso MJttAOdNEN el profesor es, o debe ser, un profesor del propio idioma. El

MATEMÁTICAS proceso de expresar una solución a través de explicaciones puede servir para clarificar las etapas matemáticas seguidas y, en consecuencia, hacer el trabajo mis comprensible para el alumno (y también para ios que han de leerlo). Esto también permite localizar los errores de una respuesta equivocada más fácilmente, tanto para el profesor como para el alumno.

En matemáticas existe, desde luego, mucho trabajo formal o algorítmico que implica cálculos o simplificaciones algebraicas sin explicación escrita, pero incluso así se debe escribir bastante para dejar claro cómo se está resolviendo el problema.

Problema: Resolver las ecuaciones

3x + 2y = 14 2 x - y ~ 7

donde x, y son números reales.

Solución; 3x + 2y = 14 (1) 2x - y = 7 (2) Ecuación (2) X 2: 4x - 2y = 14 (3) Ecuación fl) + Ecuación (3): 7x = 28 ^ x = 4 Sustituyendo x « 4 en (2): 8 — y = 7 •+ y = i Comprobando en (1): (3 X 4) + (2 X 1) = 14 De donde la solución es x = 4, y = 1.

Animarles e insistirles en que expliquen las soluciones ayuda en particular a los alumnos lentos, aunque no será fácil para los que tengan severas dificultades con el lenguaje. Es difícil a veces persuadir a los alumnos para que den soluciones detalladas ya que ven claramente lo que están haciendo, pero es conveniente insistir porque de vez en cuando encontrarán tareas que les presentarán mayores dificultades. Insistir de- masiado sobre una explicación desanima a realizar atajos y estos, como sabe cualquier profesor, producen errores. Como regla general, la reducción en la cantidad de explicaciones que se requieren debe ser el resultado de un entendimiento más completo del alumno, no una ayuda supuesta que permita alcanzar la comprensión.

Hemos visto entonces las relaciones entre las soluciones explicadas y U reducción de las dificultades de aprendizaje. Las explicaciones han de ser consideradas como instrumentales; explicaciones de cómo se obtiene la solución. Son del tipo «Hice esto, entonces hice aquello». Las explicaciones de la comprensión relaciona! se refieren a la pregunta ¿Por qué? y

requieren una mayor profundización; las demostraciones ma- LAÍNSÍAANZADI temáticas caerían en esta categoría. La palabra demostración, L\s MATEMÁTICAS sin embargo, evoca las matemáticas formales y una atención

puntillosa a cuestiones tic detalle. La explicación es un termino amplio. Como ejemplo, consideremos los siguientes lirt hos:

1

4

1 + 3 + 5 + 7 = 1 6 - 4 2

En general, parece que

1 + 3 + 5 + ... + término n~ésimo — n'

¿Por qué es así? La explicación aquí no se reitere a cómo se suman los números impares sino a por qai cuando se añade uno a los anteriores la respuesta es un cuadrado exacto.

Una posible demostración debe empezar por el hecho de que tenemos una serie aritmética cuyo primer término es 1 y de razón 2, y que debemos usar la fórmula general para la suma de tales series. Pero tal demostración, aunque es lógicamente irreprochable, no explica realmente el resultado. Muchas demostraciones formales son de este tipo, irrefutables, pero carentes de explicación.

Una explicación más perspicaz consistiría en imaginar modelos cuadrados de puntos como el ilustrado.

• «

Una explicación escrita complementaria al diagrama, seña- lana que se comienza con un simple punto abajo a la derecha de forma que( moviéndose hacia la izquierda, cada forma

contiene eos puntos mas que la anterior de modo que se genera la suma de números impares y resulta un modelo cuadrado de puntos,

. Esta forma de explicación está relacionada con el tipo de / /0 resolución de problemas en el que se requiere explicar por

Lhjguaje v qué la solución es la que es y no simplemente cómo se