D. S. Macnah y
J. A. Cummine
La enseñanza de las
matemáticas de 11 a 16
Un e n f o q u e c e n t r a d o en la dificultadVisor
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Coíecan ut*¿*P>>'
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Pdblo dtl Rio üirtrciiu- ¡oii Luií ( « I IDi«*ov$m¿*<«°e*"1?" -• D . S. M«cn»b u>d I. A. Cummine, l**R6 * l>c la prewntc edición VISOR DISTIUMXJO.- S A . 1 9 9 ? . ••<•••« Brccón. 55 2V>*S Madnd. ISBN: 8* 7774Q8V2 DcpAuto M. >5.W> IW2 Compouoátr Vnur Fotofotitpouaóo.
Imputo tn Esparta - Punirti in i'pji-i. Grífkt* Póg-ir Fnpnlii'tJtlj • Mullid)
índice
Introducción , 9 1, Objetivos en la educación de las matemáticas en
secundaria \ , 13
2, Actitudes del alumno hacia las matemáticas 25
i. Algunos tenias de investigación 37
4. Dificultades de aprendizaje basadas en la
organiza-ción escolar, metodología y curriculum 65 5. Dificultades de aprendizaje inherentes a la
asigna-tura _ 77 6. Lenguaje y numeración en matemáticas 113
7. Matemáticas a través del curriculum 125
8. Evaluación 135 9. Prevención y remedio . 149
10, Diseño del curso y construcción del programa 171
1L Planificación de recursos 189 12- Construcción de unidades de trabajo 1V9
13. La calculadora como un recurso de aprendizaje ... 215
14. El microordenador 225
r
•
Referencia*
Se uliliian IH fliguientes abicvioiurty
Beli Cotìrtto y Kuchcmaroi: Bell, A. W, CoNto J V Kwtaoami, D. 1984:
R&tarch Uomini and Teachi*g Mathemm* NFER-Ncfeon.
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Fnode&thil: Fraitanl» H 1981: MIJOT probfcim ir matteuiiiic» educatoci.
EJtoAtional Swdks in Mathematica 12 (2). 13150
•
Introducción
Este libro trata de las rizones por las que el niño falla al aprender matemáticas. Creemos que sóEo entendiendo i as razones de este fallo puede mejorarse sustancialmente la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Sin tal entendimiento, cambios en el programa, en la metodología o en los recursos usados serán de poco valor. El punto de
partida para conseguir este entendimiento deben ser los alumnos mismos —sus opiniones y sus actitudes para las matemáticas, y sus temores y ansiedades hacia ellas. El Capitulo 2 se dedica a un examen de estas opiniones de los alumnos y es por ello este capítulo el motivo central de este
libro.
El fallo en aprender matemáticas no se reduce, natural-mente, a los menos capacitados. Muchos alumnos competentes, que son capaces de un alto rendimiento en otras áreas del curriculum, muestran pobres resultados en matemáticas. Entre aquellos que muestran una aparente competencia en la asig-natura existen algunos cuyo entendimiento es sólo superficial y que son capaces, en ocasiones, de los errores más elemen-tales- Otros son capaces de buenos resultados sólo en situaciones que les son familiares por la práctica repetida.
A la Iu2 de las razones por las que algunos niños Casi siempre, y casi todos los niños alguna vez, tienen dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, y de las implicaciones de estas razones para la enseñanza de la asignatura, hemos creído conveniente, tanto a efectos expositivos como de
referencia interna, disponer nuestro material en capítulos más o menos autónomos. Así, un lector interesado, por ejemplo, en las matemáticas a través deí curriculum o en la construcción de unidades de trabajo puede consultar estos capítulos sin leer primero los capítulos anteriores. Sin embar-go, se hace referencia a otros capítulos que amplían los puntos que son discutidos o que tienen una estrecha relación con ellos.
El orden de los capítulos sigue un cierto modelo. Los primeros siete capítulos se refieren principalmente a tas razones por las que se dan dificultades de aprendizaje y a materias relacionadas. En los capítulos 1 a 3 se exponen los fundamentos (Capítulo 1 ) ; opiniones de los alumnos sobre las matemáticas (Capítulo 2); algunos temas de investigación
(Capiculo 3). Se incluye el Capítulo 3 para indicar el campo de pensamiento e investigación en el aprendizaje y compren-sión de las matemáticas. Este capítulo está colocado temprana-mente en el libro como parte del fundamento general para las dificultades de aprendizaje, pero puede ser leído más tarde, cuando se pueda apreciar más claramente su importan-cia*
Los Capítulos 4 y 5 forman el núcleo de la primera parte del libro, ocupándose directamente de las dificultades de aprendizaje que provienen de la organización escolar, meto-dología, curriculum y, también, de las matemáticas mismas. El capítulo 6 se refiere al papel del lenguaje en el proceso de aprendizaje, y al desarrollo de la numeración. El capítulo final de la primera parte —Matemáticas a través del curricu-lum— es digno de una mención especial Como una causa de las dificultades inlantiles de aprendizaje en matemáticas podemos mencionar la gran distancia aparente entre la asig-natura y el mundo real. Resulta esencial acentuar las aplica-ciones de las matemáticas en otras asignaturas y en la vida diaria. Visto a esta luz, el Capítulo 7 adquiere mayor importancia y no está alejado de las discusiones sobre dificultades de aprendizaje.
I.a segunda pane del libro trata de las implicaciones de lo dicho en la primera parre sobre la enseñanza y organización del aula, empezando con capítulos sobre evaluación, y sobre prevención y remedio de las dificultades de aprendizaje. £n el Capítulo 10, diseño del curso y construcción del programa, algunas de las ideas de los dos capítulos anteriores se desarrollan en el contesto de la planificación de cursos y programas.
Los siguientes dos capítulos tratan de la planificación y u*o de recursos —producidos comercialmtnte en el Capítulo 11 y preparados en el instituto en e! Capítulo 12—. Los capítulos finales tratan de la calculadora y el microordenador. Esras herramientas son tratadas como ayudas en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas antes que como temas ce enseñanza en sí mismos.
' El libro está escrito como una contribución a una mejor enseñanza de las matemáticas y puede ser utilizado de varias maneras. Por una parte puede servir como un libro de referencia general para un director de departamento escolan por otra, puede ser usado como un texto en cursos de formación inicial de profesores de matemáticas. Puede también servir como ayuda para los profesores en sus clases individuales y como una fuente de ideas y discusiones para cursos de reciclaje. Los lectores generales —aquellos que sólo tienen un modesto conocimiento de las matemáticas— pueden encontrar
el libro de interés al proporcionarles ideas en tos problemas que implica b enseñanza y aprendí?aje Je las matemáticas.
A lo largo del libro hemos utilizado las formas masculinas, él y suyo, mejor que el incómodo él/ella y suyo/suya. No existe más razón que la comodidad para no usar ella/suya, especialmente cuando mudios de los profesores de matemática» mis capacitados son mujeres.
Sin pretender que la adopción de las ideas y consejos dados aquí vayan a revolucionar la habilidad matemática de los alumnos de dieciséis años, si este libro ayuda a me jo raí esta habilidad y, lo que es más importante» las actitudes de los alumnos hacia las matemáticas y la imagen que tienen de la asignatura, entonces habrá servido a su propósito.
D £ Macnah / A, Cummint
CAPÍTULO 1
Objetivos en la educación
de las matemáticas en Secundaria
*
Los objetivos en enseñanza de las matemáticas aparecen divididos a menudo en dos categorías:
1. los específicamente matemáticos;
2. los que implican aspectos más generales del desarrollo
personal, educativo y social de los alumnos.
Respecto de 1, un objetivo apropiado para muchos alumnos capacitados puede ser el desarrollo de la habilidad de usar ideas algebraicas en contextos geométricos, mientras que respecto de 2, se puede mencionar ei desarrollo de fa habilidad para trabajar cooperativamente en un grupo para un propósito común.
Tradicionalmente, los profesores de matemáticas se han referido a objetivos específicamente matemáticos, pero han de considerarse separadamente objetivos más generales que lleven a englobar tales objetivos en metas más amplias de la educación matemática. Tampoco es satisfactorio para alumnos y asignatura el que las matemáticas se consideren un área de estudio técnico y personal en general. Sin embargo, algunos profesores de matemáticas ven con suspicacia los objetivos educativos generales, sobre todo si se expresan de una forma difícil de poner en práctica y su consecución no es fácil de valorar.
La completa separación de los objetivos matemáticos de aquellos de naturaleza más general puede tener como resultado que se de a los últimos un papel insignificante o menor o sean ignorados por completo y a que no puedan relacionarse directamente con la enseñanza matemática. £s, por tanto, preferible tener una lista única de objetivos que incorpore todas las metas deseables de la enseñanza de las matemáticas y el programa de aprendizaje. De esta forma» los objetivos generales se volverán una parte integral del programa de aprendizaje antes que quedar en la periferia. Dentro de una lista unificada, se pueden elaborar unos objetivos más
Ai considerar objetivos, es importante no enfati?ar demasía- U INSESANZAUE do !a necesidad de tests objetivos de evaluación. Las mate- LAS MATEMÁTICAS maricas se transforman así en una valoración formal donde el
criterio de los tests puede establecerse precisa y objetivamente y> en consecuencia» se puede llegar a pensar que sólo los objetivos que se refieren directamente a la competencia matemática resultan apropiados para la asignatura.
Mientras que los objetivos de competencia son» natural-mente, de un mayor significado, existen otros tres tipos de
objetivos que también son importantes:
1. Objetivos de proceso. 2. Objetivos actitudinales.
3. Objetivos de experiencia.
¡. Objetivos de proceso
Mientras que los objetivos de competencia se relacionan con metas-finales del aprendizaje matemático —con el cono-cimiento y la técnica—, los objetivos de proceso se refieren a los medios por los que se liega a tales metas-finales. Un objetivo general de proceso podría ser el desarrollo de la comprensión matemática a través de un programa de activi-dades prácticas. Dentro de este objetivo, un objetivo de proceso específico consistiría en el estudio de las simetrías de varios cuadriláteros a través de una serie de actividades sobre plantillas, tarjetas recortadas, plegándolas y moviéndolas.
Un segundo ejemplo de un objetivo de proceso es el desarrollo de la iniciativa en la resolución de problemas. Aquí un objetivo específico podría ser el de desarrollar en los alumnos la habilidad para formar hipótesis sobre las posibles soluciones del problema» basadas en la observación del modelo.
2. Objetivos actittuíinales
Como su nombre indica* tales objetivos se refieren a las actitudes del alumno, Unto hacia las matemáticas como de
forma más general.
Un objetivo actitudinal de enorme importancia es el de animar a los alumnos a desarrollar un interés en, y una simpatía hacia, las matemáticas. (¡Suele resultar obvio si se ha conseguido tal objetivo!)
Otro objetivo actitudinal sería el de alentar a los alumnos a responsabilizarse de su propio trabajo matemático, valorando su corrección, por ejemplo.
J. Objetivos lie experiencia
Tales objetivos se encuentran a menudo asociados con actividades prácticas en las que el propósito esencial de la actividad es, simplemente, la experiencia a llevar a cabo. La construcción y coloreado de teselaciones interesantes o el trazado exacto de líneas envueltas por epicicloides tienen un fuerte contenido experiencia! —la producción de un dibujo exactamente, estéticamente agradable resulta ser un fin en sí mismo—. La inclusión de objetivos de experiencia puede conseguir incrementar el interés y hacer placenteras las matemáticas, contribuyendo así a crear unas actitudes positivas del alumno hacia la asignatura.
Los profesores en el aula tienen una escasa libertad para escoger objetivos amplios u otros mis detallados. Las restric-ciones surgen de varias maneras:
a) Un curso dirigido a una calificación externa tendrá unos objetivos matemáticos parcialmente especificados, al menos, por ia corporación que examine,
b) Los institutos de un área de autoridad educativa particular, o subgrupos de tales instituciones, pueden llevar i cabo un programa de matemáticas común con ciertos objetivos acordados, donde el consejero de matemáticas juegue un papel de coordinación.
c) El departamento de matemáticas de un instituto puede construir sus propios objetivos, tomando en cuenta, para los cursos de certificación, aquellos prescritos antes en a). Algunos cursos, especialmente para los menos capacitados, aun respondiendo a una calificación externa, contienen importantes elementos que se evalúan internamente y cuya naturaleza queda a discrección del instituto concreto.
Sin embargo, es importante que cada profesor de mate-máticas tenga alguna libertad respecto de los objetivos, y alguna flexibilidad en su elección e interpretación.
Esta es una razón para confeccionar una lista de los objetivos deseables para un curso y para construir, ensenar y evaluar un curso satisfactorio de acuerdo con estos objetivos. Los siguientes puntos pueden ayudar a conseguirlo.
a) Los objetivos de un curso deben manifestarse claramente y listarse por separado. Esto es normalmente preferible a párrafos de prosa que se ocupan de una variedad de aspectos generales del curso.
O&jJTOVÚSENIA
EDUCACIÓN DF I AS MATEMÁTICAS EN
b) La coincidencia enrre objetivos, hasta cierto punto 1.A ENSEÑA-NÍA OÍ. inevitable, debe redúcese al mínimo. Cada objetivo LAS MATEMÁTICAS debe identificar una meta separada, central del curso.
c) Al detallar los objetivos, debe pensarse en proporcionar el método para evaluarlos. Esto puede ser por una evaluación formal, por la producción de un trabajo práctico (por ejemplo, la construcción de un sólido geométrico), por la opinión subjetiva del profesor, o por otros medios (por ejemplo, un test de actitudes). d) Los objetivos deben estar relacionados con la edad y
habilidad de los grupos de alumnos. Algunos objetivos tienen una amplia aplicabilidad; por ejemplo, desarrollar el interés por la faceta estética de las matemáticas. Otros son más específicos para una edad y habilidad.
Un objetivo referente a las destrezas vitales básicas es de mayor importancia para el menos capacitado, pero tendrá menos significado para muchos alumnos capaces. Los objetivos referentes a la aritmética social tienen más relevancia para los de dieciséis que para los de doce años.
Considerando los objetivos en educación matemática, es necesario conocer el lugar de las matemáticas en el curriculum escolar y la imagen que la asignatura tiene en las mentes de muchos alumnos y adultos. Para la mayoría de la gente la importancia de las matemáticas surge de su utilidad práctica y esto puede algunas veces estimular un interés general hacia !a asiguatura. Así, un objetivo en toda la enseñanza de las matemáticas debe ser el de ilustrar aplicaciones de matemáticas de tantas formas como sea posible.
Además» como discutimos en detalle en el Capítulo 2, muchos alumnos y adultos tienen sentimientos de tensión y miedo hacia las matemáticas —Ver, por ejemplo* el libro Do
Yon Panic Abont MathtfK La naturaleza jerárquica y cargada
de conceptos de las matemáticas contribuye a esta tensión. Una gran minoría de alumnos cometen fallos desmoralizadores con demasiada facilidad rcsukándoles difícil alcanzar el éxito. Una lista insatisfactoria de objetivos para la educación mate-mática puede tomar en cuenta, explícitamente, esta tensión y este miedo al fallo.
Ahora consideraremos nueve objetivos generales para las matemáticas de la enseñanza secundaria. Estos objetivos responden a los principales argumentos de la primera parte de este capítulo y también adelantan algunos de los temas de los capítulos que siguen. Alrededor de todos ellos se encuentra
1 tWixcoo.
OsjmvostNLA el objetivo fundamental de la enseñanza de las matemáticas t.0UCACtóN DE LAS —interesar a los alumnos en la asignatura, capacitarles para
MATEMÁTICAS w desarrollar un gusto por ella y un sentido de su consecución, SECUNDARIA a través del logro de todas sus capacidades para las
matemá-ticas.
1. Mantenimiento de la continuidad
Cada etapa en el desarrollo matemático de los alumnos debe ser vista por el profesor y el alumno como un desarrollo coherente respecto a un trabajo previo. Durante mucho tiempo, este objetivo puede que no precise una atención específica. Un profesor que siga un esquema de trabajo bien construido según los niveles apropiados de dificultad de sus alumnos debe encontrar pocos problemas de continuidad sobre una base de trabajo semanal. Sin embargo, en ciertos puntos se presentan peligros evidentes. Esto ocurre, por ejemplo, en un cambio de curso y, en particular, con la transición desde la educación primaria a la secundaria. Para el alumno, este último cambio significa normalmente un cambio de centro y la aparición de profesores especialistas de mate-máticas que pueden tener un conocimiento inadecuado dei curriculum de matemáticas en la escuela primaria. Mientras que en recientes años los aspectos social y psicológico de la transición primaria/secundaria han recibido una gran atención, y se ha generado una valiosa conexión entre ellas, mucho de lo que se encuentra actualmente en los programas de primer año de la educación secundaria no implica todavía una continuación bien planeada y un desarrollo del trabajo de años previos. Surgen en particular dos problemas.
1. Un nuevo tema introducido significativamente con
gran entusiasmo por un profesor de matemáticas de secundaria puede, simplemente, ser una repetición de un trabajo ya realizado en la escuela primaria.
2. La introducción de un nuevo tema puede no haber
sido construida sobre un trabajo previo. Los alumnos encontrarían así dificultades innecesarias al empegar su curso de enseñanza secundaria que, implicando una desconfianza en sus realizaciones, pueden tardar en
remediarse-La adopcióo de un esquema integrado (por ejemplo el
Kent Mathematks Projeet1) que cubra tanto la primaria como
la secundaria puede ayudar considerablemente dentro de este contexto. Alternativamente, debe disponerse en la educación secundaria de registros detallados del trabajo realizado durante la primaria No existe, naturalmente, ningún sustituto a una coordinación a nivel personal: reuniones de profesores de primaria y secundaria en las que se discutan materias de interés mutuo que conciernan a la educación matemática de los alumnos. Sin embargo, esto requiere una organización
cuidadosa y paciencia en todos los implicados.
Un proyecto reciente (1984-1985) en las escuelas de la Highland Región, Escocia, bajo los auspicios del Curriculum 10-14 Study, patrocinado por el Departamento Educativo de Escocia, señala la necesidad de una buena organización. Las escuelas de este tipo resultan inusuales en Escoda ya que los alumnos de esta escuela primaria comparten los mismos edificios que los de los dos primeros años de secundaria, así que ei posible una comunicación y coordinación excelentes. Se han organizado grupos de trabajo conjuntos de profesores
de primaria y secundaria, y es solamente ahora, a pesar de la frecuente comunicación en el pasado entre materias generales de interés mutuo, cuando han comenzado discusiones deta-lladas sobre el curriculum en matemáticas.
También necesita prestarse una atención continua a la etapa posterior a Los dieciséis» particularmente para los alumnos que dejan el instituto para ingresar en la industria, el comercio o en alguna forma de educación superior. Tradictonalmentc, los que se integran en la universidad hap
sido bien formados en los cursos académicos que estudiaban en el instituto* pero no puede decirse siempre lo mismo de los que entran en la industria y el comercio y estudian al tiempo que trabajan para la empresa, o para aquellos que directamente se matriculan en un curso libre en una institución de enseñanza superior.
La introducción del Plan de Acción 16-18 en Escocia, con su enfoque modular y su* descriptores de módulo asociados, debe reducir la separación en la educación matemática entre los cursos escolares y los de la educación superior. Así como los profesores de primaria de las etapas superiores necesitan mirar hacia la educación secundaria, también los profesores de secundaria deben prestar atención a las demandas y requerimientos matemáticos de la industria, el comercio y la
educación continua.
2, Desarrollo de la numeración
Mientras que este objetivo es importante para todos los alumnos, es mas significativo para los menos capacitado*. El
\7A DE ATOS OBJ&TIVOS № LA 1DUC.ACIÓNDE LAS MATEMÁTICAS EN" SECUNDARA
informe del Comité Cockcroft, Mathernatics Counts^t no permite dudar de que la ignorancia numérica funcional es un
problema real a todo lo largo de la sociedad; la cantidad de cursos sobre la numeración para adultos lo confirma. Puede que no sea posible precisar la cantidad mínima de habilidades matemáticas que se requieren en la vida diaria, pero el caso es que, ciertamente, muchos adultos no pueden contar adecuadamente, aunque, como las personas iletradas que siempre dicen haber perdido sus gafas, se recurre a métodos que lo disfrazan —por ejemplo, pagando siempre con una moneda o un billete excesivamente grande. La investigación en esta área no es extensa pero una publicación como Haz¿
Bnk is Basic* deja claro que existe una lista identiíicable de
destrezas y conocimientos báúcot que pueden ser denominados de supervivencia matemática, principalmente relacionados con el dinero y e! tiempo. Los profesores deben estar seguros de que los alumnos más flojos encuentren la oportunidad de
adquirir estas destrezas y conocimientos.
Es también importante que las destrezas sean desarrolladas en un contexto. Mientras que no se puede olvidar la práctica en el cálculo rutinario, resulta esencial que los alumnos sean capaces de aplicar tal cálculo a situaciones prácticas. La habilidad para usar una calculadora o para estimar respuestas es parte de la numeración»
Las dificultades en el trabajo numérico y rutinario no se reducen a los menos capacitados. En nuestro propio colegio los estudiantes, para una calificación en educación primaria» deben realizar un corto test aritmético al comienzo del curso* Las cuestiones, referentes las cuatro operaciones sobre números naturales, fracciones y decimales, son presentadas a un nivel de doce anos. Los resultados de tales tests revelan una serie de deficiencias. Las respuestas a un cálculo como 0,3 X 0,2 indican que la estimación del tamaño aproximado de la respuesta toroia sólo una pequeña parte del pensamiento de, a! menos, algunos alumnos. I-a división de fracciones es Nevada a cabo en un mediano número de casos por inversión de la primera fracción o de ambas fracciones, Respuestas correctas para un cálculo como 1/2 + 1/10 son alcanzados ocasión al men te a través de errores obvios. Ya que nuestros estudiantes están dentro del 10% de rango de habilidad total, dificultades como la arriba indicada se reflejan luego en su curso de matemáticas escolares.
En el Capítulo 6 estudiamos distintos aspectos de la numeración.
' Cockcroft.
4 Scottish Curriculum Development Service ISSO H<w Basic is Basici
3, La reducción de dificultades específicas de aprendizaje La FNSESANZA DE LA$MAT£>lATIC¿5 Ya que este objetivo es el tema principal del libro, aquí
simplemente mencionaremos que conlleva una consideración detallada de:
a) las causas de la dificultad en el aprendizaje (Capítu-los 4 , 5 ) ,
b) el diagnóstico de evaluación (Capitulo 8), c) la prevención y el remedio (Capítulo 9), d) la utilización de recursos (Capítulos I I , 12).
4. La ejecución de actividades prácticas
El trabajo práctico en el nivel de secundaria es un aspecto importante de la enseñanza de las matemáticas que no siempre recibe la importancia que merece. Por el contrario, en las primeras etapas de la escuela primaria es una forma básica de adquisición de las ideas matemáticas. Existen varias razones para su menor importancia en la educación secundaria, como es la opinión de que las matemáticas son esencialmente una actividad descrita, la presión del tiempo sobre el programa» alguna resistencia de los alumnos mayores y un sentimiento de que la organización que se necesita es desproporcionada a
los fines a conseguir. Un propósito del trabajo práctico es ayudar al desarrollo de la competencia y comprensión mate-máticas. Los objetivos de proceso y experiencia de las actividades prácticas, como discutimos anteriormente en este capítulo, pueden dar a tal trabajo un grado de importancia en sí mismo que también es valorable. Consecuentemente» debe cuidarse la construcción de elementos prácticos en momentos apropiados de estos cursos disponiendo de los recursos necesarios —por ejemplo, instrumentos, aparatos y
papel o tarjetas.
5, Desarrollo de la habilidad en resolución de problemas c Investigación
Una simple competencia en destrezas mecánicas es un resultado muy limitado del aprendizaje de las matemáticas, la resolución de problemas y las investigaciones, posiblemente relacionadas con actividades prácticas, ayudan a aplicar esas destrezas- Las posibilidades van desde puzzles simples a -investigaciones a gran escala que requieran de los alumnos la
obtención de datos, su organización en una forma ordenada,
20 h consideración de estrategias apropiadas para efectuar cálculos
OejíTivostNU aritméticos o manipulaciones algebraicas, y comunicar sus
EDUCACIÓN DE LAS resultados con claridad.
MATEMÁTICAS EN Existen varias fuentes de ideas en cuanto a la resolución SECUNDARIA de problemas y las investigaciones, como por ejemplo:
Make is simpler: Meyer y Saüec*.
A new Twist: Pedersen y Armbruster*.
The Real World and Mathematics: Burkhardt7.
Aha! Insight; Gardner1*.
Investigations in Mathematics Mottershead*.
Solving Real Problems with Mathematics: Spodc G r o u p s SMILE Publications".
6- La comunicación rigurosa de las matemáticas
Se debe animar siempre a tos alumnos a usar con riguro-sidad el vocabulario y la notación matemáticas. Esto puede, naturalmente, ser exagerado; por ejemplo, las llamadas «Nuevas Matemáticas» de los años 1960 y 1970 producían una prolife-ración de símbolos que confundían a los alumnos. Sin embargo, estos conocen, por ejemplo, la diferencia entre una ecuación, una fórmula y una expresión algebraica; es muy
común en los exámenes del certificado, a los dieciséis años de edad, encontrar que un problema de cambio de disposición en una fórmula termina en algunos casos como simplificación de una expresión. De igual forma, en ei nivel más básico, es importante que los aluinos presenten su trabajo correctamente. Han de conocer que 7,60 libras es aceptable mientras que no lo es 7t6 libras. Esto se discute con más detalle en el
Capítulo 6. (Ver también el Capítulo 5, Sección 5).
El informe del Comité Cockcroft, Mathematics Counts:
exige que el aspecto comunicativo de las matemáticas sea una contribución clave para la utilidad de la asignatura. Por ejemplo, expone
Creemos que todas bs percepciones de la utilidad de las matemáticas surgen a partir del hecho de que las matemáticas * Meyer, C. y Salice, T- 1983: Make it Simpler - A Practical GWV
to Problem-Solving in Mathematics. Adduoa-Wesley.
^Pedersen, J. J. y Armbruiter, F- O., 1979: A New Twist *
Developing Arithmetic Skilh Through Problem-Solving Adoison-Wesley.
? Burkhardt, H. 1981: The Real l£Vtó and Mathematics. Bbttie. 4 Gardner, M. 1978: Ahal insight. W. H. Freeman. [En castellano:
*[№piración jajaJ* Labor, Barcelona, 1985.]
9 Mocrersbead* L. 1985: Investigations in Mathematics. Blackwell. 10 The Spode Group 1981; Solving Real Problemi With Mathematics.
Vols 1, 2. Granfwld Press.
proveen un medio de comunicación poderoso, conciso y no ambiguo.
Este valor comunicativo no se reduce al uso de la notación matemática formal de la aritmética y el álgebra. También incluye la comunicación por medio de tablas,
mapas, gráficos, diagramas, cuadros y dibujos.
Debe ser, por tanto, un objetivo de las matemáticos escolares que capacite a ios alumnos para interpretar y comunicar información en cualquiera de las forma* anteriores.
7. Utilización de (as matemática* en otras asignaturas
Otros departamentos escolares necesitan del conocimiento y habilidad matemáticos de los alumnos. Los profesores de matemáticas tienen que tener en cuenta estas demandas en sus programas de enseñanza. Esto se expone en detalle en el Capitulo 7,
8. Mejora de los niños más capaces
Las aptitudes de los niños mis capacitados requieren alguna atención especial tanto en contenido como en interés hacia las matemáticas —los ejercicios extra no son la única respuesta. Los profesores deben tener disponible un archivo de investigaciones y proyectos, donde se pueda escoger el nivel de dificultad según lo necesario. El valor de muchas investigaciones es que pueden ser abordadas desde una variedad de niveles. Donde un alumno menos capaz puede simplemente verificar un resultado en un número limitado de casos, un alumno hábil puede facilitar una demostración completa algebraica o geométrica.
9. Desarrollo de aspectos recreativo* y estéticos de las matemáticas
Las matemáticas pueden ser consideradas como una ocu-pación con sus propias razones y no simplemente como una herramienta vital en otras áreas de estudio. Esto debe reflejarse en los programas de trabajo de los alumnos. Los cursos de matemáticas deben incluir, explícitamente, elementos estéticos y recreativos, que no necesitan presentarse de forma - separada sino integrándoles en las secciones usuales de un programa. En tales actividades, como en el trabajo práctico en general, ios ob|etivos de proceso y experiencia son al
Ow-TivosiNU menos un importantes como los objetivos de competencia.
iWa¿X*itxix> Tcselaooncs coloreadas atractivamente puden ser un fin en sí
uATFiLíjiCASfN mismas y una forma de discutir y apreciar hechos geométricos. SECUNDARIA Mucho trabajo recreativo puede proporcionar una práctica
sustancial en el trabajo numérico —por ejemplo, la conjetura de Goldbach de que cada número excepto el 2 es Ja suma de dos primos, Existen muchos juegos publicados comerciaJmente, los mejores de los cuales combinan el interés, la diversión y el descubrimiento, con la práctica en las matemáticas.
Este conjunto de nueve objetivos no constituye una lisia completa y cxhuastiva. Sin embargo, proporciona un esquema básico en el que otros objetivos (alguno de los cuales se han indicado al comienzo del capítulo) pueden ser desarrollados. Los cursos que prestan atención al desarrollo de los objetivos que se han mencionado son probablemente cursos en los que
se da un aprendizaje efectivo y que parecen interesantes y
CAPÍTULO 2
Actitudes del alumno hacia
las Matemáticas
Como se mencionó en el Capiculo I, es obvio que a muchos estudiantes, incluyendo algunos de los más capacita-dos, no les gustan las matemáticas. Esta aversión, tanto en adultos como en estudiantes, esta a menudo relacionada con la ansiedad y eí miedo.
Tales actitudes negativas tienen diversos orígenes de los cuales los cinco siguientes son quizá los de mayor importancia:
% Percepciones generales y actitudes hacia las matemáticas que son transmitidas a los niños.
2* La presentación de las matemáticas en el aula.
3. Las actitudes de los profesores de matemáticas hacia sus alumnos.
4. La naturaleza del pensamiento matemático. 5. La forma escrita de las matemáticas.
A las últimas dos se les prestará atención en los Capítulos 5 y 6- Nosotros empezaremos considerando la primera, es decir, las Opiniones acerca de las matemáticas arraigadas en el público en general.
Laurie Buxton, en su libro Do You Panic About Mathsf** p. 115, cita las siguientes creencias acerca de h naturaleza de las matemáticas como típicas de la perspectiva general de la asignatura Ы como es transmitida de padres a
hijos-«Las matemáticas son:
L fijas, inmutables, externas, intratables, irreales;
2. abstractas y no relacionadas con la realidad;
3. un misterio accesible a pocos;
4. una colección de reglas y hechos que deben ser
recor-dados;
5. una ofensa al sentido común en algunas de bs cosas que asegura;
6. un área en la que se harán juicios, no sólo sobre el UFNSESANZADL
intelecto, sino sobre la valía personal; LAS MATEMÁTICAS 7. se refiere sobre todo al cálculo*.
Uno puede añadir a éstas que las matemáticas:
8. son una asignatura en la que las opiniones y puntos de vista personales no tienen importancia;
9. están llenas de xs e ys y fórmulas incomprensibles. Esta es una perspectiva externa a las matemáticas- Trata la asignatura como si fuera un territorio desconocido en el que uno se aventura sin un mapa y sólo con unas pocas herramientas rudimentarias. En tales circunstancias» no es sorprendente que surgan la ansiedad y el miedo. (El informe en 1982 de Hoyles, *Thc pupil's view of learning mathema-lics**, contiene evidencia adicional sobre tales actitudes).
Otra opinión o punto de vista generalizados a nivel nacional es que los profesores de matemáticas son «áridos como el polvo*, sarcásticos e impacientes. La televisión y las películas (particularmente las comedias) perpetúan tales este-reotipos: las pizarras están llenas de complicadas expresiones y fórmulas algebraicas, cálculos aritméticos o el teorema de Picágoras: el profesor es estirado, didáctico y desdeña a aquellos incapaces de hacer el trabajo. La imagen está lejos de ser halagüeña. Naturalmente, existe una presentación alternativa, normalmente en la televisión educativa: el niño trabaja en grupos felizmente; existen lotes de materiales brillantemente coloreados; las paredes están cubiertas con matemáticas visuales interesantes; tan joven vestido casualmente como un profesor se mueve entre los grupos hablando tranquila e interesadamente con los alumnos; todos trabajan resueltamente. Es una de las imágenes preferidas, aunque en
h práctica no es tan fácil de obtener.
Sin embargo, en los institutos de secundaria a menudo predomina el punto de vista nacional- Este no surge de cualquier manera; representa alguna realidad común percibida por una gran parte de la población. Es más, esta perspectiva tiende a confirmarse a si misma; aquellos elementos que lo conforman reciben un énfasis y una importancia excesivas mientras que otros elementos son suprimidos o ignorados. La gente tiende a recordar todas las xs e ys, los cálculos aritméticos, el teorema de Pitágoras y cualquier detecto temperamental de sus profesores y olvida otros aspectos de su experiencia matemática.
1 Hoyles C 1982: The pupiTs ww of líammg maibtínidcs. Edncational
Stuáies m MtdxmtikBt 13 (4), 349-372.
AcmuDPSDEL La presentación de las matemáticas en el aula tiene,
ALUMNO HACIA LAS obviamente, una gran importancia en las actitudes del alumno.
МАТШ/TICAS Los alumnos que esperan recordar y aplicar reglas separadas de su significado o experiencia olvidarán rápidamente las justificaciones de dichas reglas (o las regias mismas) y verán las matemáticas como si estuvieran dominadas por reglas. Tratarán a las matemáticas como incomprensibles estable* ciéndose un bloqueo psicológico.
Un alumno puede no intentar entender o llevar a cabo actividades que le conduzcan д Ja comprensión porque esté convencido de que, sea cualquiera la tarea que se le de, él no la entenderá. Cree entonces que está haciendo un esfuerzo vano y se detiene. Una vez que ha sucedido esto, en algunos casos en la escuela primaria, el material mas cuidadoso puede inicialmente ponerse a prueba sin éxito, y será necesaria una considerable atención por parte del profesor antes de hacer cualquier progreso.
El dominio de las reglas es e! principal ingrediente en el sentimiento de pánico que pueden provocar las matemáticas; si la regla apropiada no es conocida, entonces no se puede hacer nada- Las reglas mismas pueden ser vistas como una emanación de una autoridad remota más allá de su alcance. Además, las reglas pueden cambiar sin razón aparente cre-ciendo asi la incertidumbre. El estado mental de Joseph К en
la novela de Kafka The Triol* es el mejor reflejo de las emociones que experimenta mucha gente hacia las
matemáti-cas.
Tomemos un ejemplo específico. En una suma Ы como 3 1/2 + 2 1/4, un niño puede aceptar la regla «Sumar los números enteros y sumar las fracciones». El profesor desa-prueba la conversión a la forma de fracción impropia, 7/2 + 9/4, por las dificultades que surgirían con los cálculos de grandes números tales como 136 1/3 + 247 3/5. Más tarde se llega a ¡a multiplicación y entonces, inexplicablemente, todo cambia. Para multiplicar dos números mixtos se multiplican separadamente los números enteros y las fracciones, por ejemplo 3 1 / 2 X 2 1/4 == 6 1/8, lo que es equivocado, insisriéndose en la conversión a la forma de fracción pura, 7/2 X 9/4. Esta es precisamente la clase de situación que encuentra Joseph K.
Alguna gente no intenta emplear el sentido común en los problemas numéricos. La aparición de números es suficiente para provocar c! pánico. Para esta gente, una calculadora es de poca ayuda porque sus sentimientos de pánico le impiden usarla de una forma adecuada.
Por ejemplo» consideremos el siguiente problema: LA ENSEÑANZA t* h- i I X vende en dos tamaños —normal y económico. Í-ASuArauTXA* Fl tamaño normal pesa 630 gramos y cuesta 1,41 libras. El
tamaño económico pesa 1650 gramos y cuesta 3,04 libras. ¿Cuánto te ahorras en cada kilo si compras el tamaño económico en vez del normad*
ti niño o el adulto que se enfrenta a este problema ve dos sumas de dinero y tres pesos, requiriéndose la suma, resta, multiplicación y división. La persona dominada por las reglas, no conociendo ninguna para enfrentarse a este proble-ma, se siente falto de ayuda. Si intenta una solución no tiene ninguna idea de cuál debe ser una respuesta razonable, y eso que no es ninguna situación abstrusa, sino una situación cotidiana de un supermercado.
Otro aspecto del dominio de las reglas es que el simbo lismo, en particular el del álgebra, puede parecer que tiene vida propia. Muchos niños y adultos ven una expresión o ecuación algebraica como un ente misterioso divorciado de cualquier clase de realidad, y su manipulación resulta
igual-mente incomprensible. Ninguna persona razonable debe es-cribir
2(x + y) = 2x + y
y lin embargo es un error muy común* La amplia confusión
entre 2x y x2 es otro. Parece que los símbolos algebraicos
tienen una existencia inaccesible para una mente racional, de forma que su apariencia visual resulta ser el factor dominante en su uso. Por ejemplo, el error no tan común de escribir 3x — x = 3 puede ser el resultado de ver 3x y quitarle física-mente la x. Al final de! capítulo volveremos sobre este punto.
Una forma diferente en que niños y adultos, ven las ma-temática* como amenazantes es que el éxito o el fallo apare-cen claramente separados. En particular, el fallo es
manifies-tamente obvio. Los exámenes de matemáticas son únicos quizá para exámenes, los candidatos encuentran algo que escribir para obtener un 0% o un 100%. En muchos otros
una- cierta nota. La naturaleza de blanco*o-negro de las matemáticas puede causar mucha ansiedad. Por añadidura, hay poco lugar para las expresiones personales en matemáticas. Esta supresión del aspecto humano puede también provocar la sensación de esas tuerzas impersonales a las que nos referimos antes, sobre las cuales no se tiene control y que ignoran la creatividad y la individualidad de cada uno. Este último puoto es convenientemente enfatizado porque está detrás de mucho de lo que ya ha sido discutido. Las matemáticas se ven ausentes de cualquier clase de creatividad
ACTITUDES DCI o de iniciativa personal. Es simplemente así —fría, reservada, ALUUVÚ HACIA LAS independiente de lo humano. Los profesores de matemáticas i M T i w a i c i s contribuyen a esta perspectiva de tas matemáticas, que
resalta su independencia emocional, su impersonalidad y su permanencia.
En un intento de hacer las matemáticas más aceptables» mucha gente bien intencionada trata de simplificar la asigna-tura, sugiriendo que es realmente fácil si sólo se pone menos énfasis en las nociones de acierto y error, tanto en el uso riguroso de la notación simbólica como trabajando cu términos abstractos. Su consejo es el de dejar al niño trabajar sobre problemas que no tengan una única respuesta acertada, olvidar la notación matemática habitual y trabajar principal-mente con materiales concretos. El niño, sin embargo, ve esto fácilmente desde el principio. Pronto se siente lejos de ello. Es el equivalente de -Si estás inquieto porque no puedes m o n t a r en bicicleta, los triciclos son más fáciles y tú no puedes caerte», cuando lo que el niño realmente necesita es aprender a montar en bicicleta. Las dificultades están hechas para desaparecer aunque pretendamos que no existen. Es la salida más fácil.
Las matemáticas son abstractas, lo que requiere un pensa-miento claro y una notación formal; los problemas expuestos con precisión tienen respuestas precisas. En cualquier intento de negociar con las opiniones de los alumnos sobre sus acti-tudes hacia la asignatura, y con sus dificultades de aprendizaje, estas molestias deben ser abordadas con firmeza.
Una forma de mejorar bs opiniones sobre las matemática* en las mentes del alumnado es la de poner una atención positiva sobre (a) el aspecto creativo de la asignatura y (b) su desarrollo a través del esfuerzo humano.
El esfuerzo humano está conectado con la creatividad. Es un aspecto de discusión filosófica si las matemáticas son creadas o descubiertas, pero en cualquier caso el esfuerzo hu mano es necesario. Sin embargo, la relación entre el descubri-miento y la creación es digna de ser examinada con más de> talle.
Para tomar un ejemplo no matemático, se puede decir que la catedral de San Pablo fué creada por Sir Christopher Wren mientras que Colón descubrió las Indias del Oeste. Asimismo, se puede afirmar que Constable creó sus pinturas de East Anglia, pero que Herschel descubrió el planeta Urano. La diferencia en estos casos entre creación y descu-brimiento es que el explorador o astrónomo no toman parte en la existencia de lo que han descubierto, mientras que el arquitecto o el pintor están directamente implicados en la existencia del edificio o la obra de arxe. Ambas empresas —descubrimiento y creación— envuelven deseos y propósitos
humanos; son activos, no pasivos. Si nos fijamos en las UFSSFSANTAM matemáticas para colocarlas en una u otra categoría, su IAS MATEMÁTICAS característica esencial debe ser la actividad.
En matemáticas, de todas formas, la distinción entre descubrimiento y creación es imprecisa. Ya que los entes matemáticos y los teoremas son abstractos y no tienen existencia física, ¿en que sentido puede decirse que exista anees de que alguien lo invente, describa, desarrolle o lo pruebe? Una pintura tiene una existencia potencial; cada disposición del color es teóricamente posible pero se ha de ser un maestro para producir una pintura sobre el lienzo. De igual modo, se ha de ser un buen matemático para afirmar y probar un teorema importante. La creación implica el descu-brimiento; el descubrimiento requiere de una iniciativa creativa.
Si se tiene una firme creencia en que las matemáticas tienen una existencia independiente dei pensamiento humano, se ha de reconocer aún más que la conciencia de esta existencia requiere un impulso creativo. Así, la introducción y la importancia dada a la noción de creatividad en
matemá-ticas pone su atención en un componente esencial de todo desarrollo matemático. El libro Tbe Matematical Experience* de Davis y Hersch, se extiende sobre el tema y debe
interesar a todos los profesores de
matemáticas-A menudo se defiende que para los escolares, y en particular para los que aprenden lentamente, esta tarea de la creatividad es irrelevante; no todos los alumnos son capaces de actuar de esta forma, o si es así, ninguno ha sido descubierto desde hace mucho tiempo. Sin embargo, esto confunde el proceso o actividad con el resultado. Un resultado
descubierto/creado, o un problema resuelto, para uno que no lo conoce es como si lo hubiera descubierto/creado o resuelto él mismo aunque haya alguien que haya recorrido anees este camino. Es el sentimiento de haber realizado esta tarea, de haber conseguido algo por sí mismo, y es este sentido del logro lo que le aparta de una cadena que va desde el miedo y el pánico hasta el distanc i amiento. Es por ello algo que debe favorecerse y alentarse.
Ün uso eficiente, exacto de las regias y algoritmos puede también ayudar a desarrollar un sentido de logro y propor-cionar confianza. Muchos niños se satisfacen a partir de la repetición de ejercicios correctamente realizados al usar la misma regla o reglas. Esta, sin embargo, puede ser una confianza superficial y de corta duración, fácilmente destruida al encontrar problemas en fos que ta regla no sea
inmediata-2 Davis, R. y Hersch. R. 1981: The Mathemaúeal Exptncnce. Pcaguiíi.
AcimüFSOiL mente aplicable. De donde se puede deducir que algunos
AI i/HtJO HACIA LAS puntos de vista de las matemáticas causan inseguridad.
ALtrtjiATrcfts La práctica de reglas, como dijimos en el Capítulo I,
debe tener propósitos más allá de la simple eficacia en la realización. El entrenamiento en cricket o el ejercicio musical con los dedos nunca son un fin en sí mismos. Existen unos prerrequisitos para tomar parte en un partido de cricket o para tocar piezas de música. Los profesores de música que enseñan sólo ejercicios mecánicos probablemente no tengan muchos alumnos. Así, las aplicaciones de las matemáticas deben tener su importancia en el aula. Ha de ser un objetivo general de cada profesor de matemáticas establecer en el pensamiento de sus alumnos una relación entre los aspectos creativo, algorítmico y aplicado de las matemáticas de forma que cada uno soporte y complemente a los otros.
Esta relación puede ser ilustrada considerando el segundo aspecto del camino mencionado antes con el que mejorar las opiniones del alumno hacia las matemáticas —su desarrollo a través del esfuerzo humano. En esta conexión el trabajo del filósofo Lakatos es digno de estudio. En Proofs and
Refuta-tiom* defiende que ias matemáticas se desarrollan a través de
intentos de generalización a partir de un análisis lógico. Uno de los problemas usados por Lakatos para desarrollar su tesis trata de la fórmula de Euler para cierto poliedro, V — E + P = 2 (donde V es el número de vértices, E el numero de
ejes y F el número de caras). El problema consiste en explicar la distinción entre los poliedros para los que la fórmula se cumple y para los que no se cumple.
Un segundo ejemplo de la tesis de Lakatos es el desarrollo de geometrías no euclídeas. Esto surge como una consecuencia directa de los intentos de explicar el axioma de las paralelas de la geometría euclidiana sobre la base de los hechos más simples. Un interesante desarrollo de esto en el aula a un nivel elemental se encuentra en el folleto Alternatk>e Geome*
trie&~
En un nivel más avanzado, muchos conceptos habituales del álgebra moderna tienen su origen en los intentos de explicar por qué la ecuación xn + y* = & {donde x, y, z son
enteros y n es un número natural), tiene únicamente soluciones triviales cuando ni 3. (Una relación de este problema aún irresuelto ptiedc encontrarse en el libro Fermat*s Lase Theorem^
H. Edwards', en particular el Capítulo 4).
5 UkatO), I. 1976: Proofs and Refutations. CUP[En castelbno: *Prutbat
y refutaciooes*. Alunfca, Madrid, 1978].
* Leapfrog Mathematics 1981: Alternative Geomttrtt** Tarquin.
A través de este proceso de intentos sucesivos de explica- Ü ENSEÑANZA DE ción, surgen las definiciones significativas y quedan claros los LASIUIIUAÍK» conceptos estructurales importantes. Paralela mente se
des-arrollan las notaciones apropiadas, los algoritmos y los métodos técnicos.
Las matemática*, sin embargo, son normalmente presen-tadas para que se aprendan en una forma final, pulida, sin referencia a su desarrollo histórico» y consecuentemente pueden parecer sin motivos y arbitrarias. Decir esto no significa ser partidario de li enseñanza de las matemáticas escolares a través de sus orígenes históricos, sino que los profesores han de tomar conciencia de que tales orígenes dan la oportunidad de introducir aspectos históricos en puntos apropiados. Libros tales como Aten of Mathcmatiat de E. T.
Bell* o History of Maíhematks, de C Boyer* contienen muchos detalles inreresantes sobre el tiempo, la vida y el trabajo de los matemáticos mejor conocidos de b historia.
El desarrollo de la notación matemática es otro tema digno de que se le preste atención en el nivel escolar. La notación moderna es el producto de muchos años o siglos de refinamiento. Los alumnos deben saber que notaciones como ?* para 2 multiplicado por x, o 3/4 para la fracción tres cuartos, o ^ para la división, no ocurren repentinamente por inspiración divina, sino que son el resultado de una decisión humana. La forma de la notación es dictada por su utilidad y conveniencia, así como por analogta, y no, como muchos alumnos piensan, ¡por alguna prescripción inmutable en el diseño del universo!
Nuestro uso aceptado de la base diez en la representación de los números es fortuita y desafortunada —fortuita porque es difícil de creer que un proceso de evolución en humanos que tienen cinco dedos en cada mano hjya terminado con una representación mental de diez, y desafortunada porque diez tiene sólo como factores propios al dos y al cinco, de manera que reproducir uní simple fracción como un tercio no puede representarse de forma finita en el sistema decimal. A este respecto, el sistema en base doce o duodecimal seria preferible* En dicho sistema tendríamos 1/3 - 0,4, 1/4 = 0r3,
1/6 — 0,2. Sin embargo, los hechos básicos de la suma y la multiplicación serían mis numerosos y, por esta y otras razones, la causa duodecimal para la relorma de la represen-tación numérica se ve condenada*
Una simple cuestión como ¡a definición de un número primo puede ser utilizada con alumnos competentes para
* Bell, E T my Mtn o/ Afoftautin. Vots. I, II. Pmgwr
•Boyer, C 1968: Hiítory of Mxthrmatitu \Fiky [En castellano; «Historia de la Mztctnaika*. Alianza, Madrid, 1986].
ArmUDMou ilustrar la conveniencia de las definiciones. Se está general •lOUNOHACMiA* mente de acuerdo en que el I no es un número primo.
UATTMATICAS aunque cumpla el criterio de que no tenga mis divisores que el mismo y la unidad. ¿Por qué no es considerado el 1 como un númeio primo? Básicamente, porque ello causa inconve-nientes o dificultades en la exposición de muchos resultados concernientes a números primos. Por ejemplo, e] resultado «Si p es primo y es un factor del producto a.b de números naturales, entonces p es un factor de a o es un factor de b» queda sin sentido cuando se aplica al L Además el resultado -Cada número natural excepto el 1 puede ser factorizado de manera única (aparte del orden de los factores) como un producto de primos* es falso si se admite que el 1 sea primo. Así que es preferible excluir al 1 de la lisra de primos.
A través de ilustraciones como éstas, los alumnos pueden apreciar mejor el elemento humano en las matemáticas, y darse cuenta de la importante parte jugada por b iniciativa y ta decisión humanas.
Volvemos a otros aspectos de ta presentación de las matemáticas en el aula que pueden causar ansiedad y disgusto: la necesidad aparente de velocidad. En la práctica, muchos cálculos en la vida adulta pueden ser realizados lentamente o,
si la velocidad es esencial, a través del uso de la calculadora. A menudo trabajar en matemáticas lleva su tiempo, evaluar etapas cuidadosamente y hacer lentos progresos. Muchos alumnos lo ignoran. Los matemáticos, se piensa habitualmente. son pensadores rápidos, exactos, que hacen las cosas bien la primera vez. Es solamente un aspecto de su imagen. La historia de las matemáticas nos cuenta una historia diferente, con ejemplos de ideas erróneas, pistas falsas, trticos equivoca-dos, errores de planificación, e incapacidad para ver que» poi otro lado, las cosas se verían con facilidad, Los alumnos deben estar despiertos ante este otro lado y deben ser conducidos a interesarse en problemas y cálculos que puedan trabajar como si fueran pasatiempos*
En el aula de matemáticas un argumento favorable a la velocidad es el periodo de recreo. Un transcurso lento del trabajo significará que se repartirán pocos cálculos y proble-mas. Esto significará menos práctica y, consecuentemente» peores resultados. Sin embargo, los exámenes de matemáticas» en particular los exámenes a nivel nacional, requieren una componente de velocidad. Así, el ir más deprisa no es meramente un capricho de los profesores de matemáticas. Para lo^ alumnos lentos, que tienen en general un nivel bajo de realización, el círculo vicioso de descenso en la realización aludido antes puede presentarse fácilmente. Uo método de disminuir el problema de ia velocidad es el de colocar a los alumnos lentos en un grupo aparte, trabajando a un ritmo
mal lento, con un programa restringido a sus necesidades y UBBE£A5CZAW al tiempo disponible. Naturalmente, esta solución tiene el L\¿MATEMÁTICAS efecto de identificar a los alumnos lentos en virtud de su
pertenencia a dichos grupos, lo que puede constituir una ra/ón social indeseable. La separación puede también resultar en una declinación de los resultados ya que no existen alumnos capacitados en el grupo que les sirvan de referencia.
Sin embargo, la no separación puede fácilmente tener por rebultado que en una clase de matemáticas donde se mezclen las habilidades un profesor pueda (quizá inconscientemente) darse por vencido cansándose de los menos capacitados. Tan pronto como no constituyan una molestia, tan pronto como ellos hagan algo, siquiera poco, uno puede verse libre para concentrarse en los alumnos más capacitados en matemáticas. De esta forma las realizaciones de los alumnos y sus actitudes hacia las matemáticas pueden ser influenciadas por la organi-zación de la clase, una cuestión discutida más adelante en el Capítulo 4.
La necesidad de velocidad, sentida a lo largo de un aula de matemáticas (ver, por ejemplo. Do You Panic Abata
Miitlxmaucs o «The puptl's view of learning mathtmatics*),
puede tener una marcada influencia en las opiniones del alumnado sobre sus profesores de matemáticas — una cuestión abordada al comienzo de este capítulo. Muchos alumnos ven a los profesores de matemáticas como de poco humor,
impacientes ante las lentas respuestas a las preguntas, y esperando una atención total, un recuerdo instantáneo y relevante. La información es dada de forma compacta y sin paja; no se da el tiempo adecuado para que las ideas que flotan en una nube de generalización y ejemplifitatión se implanten en la mente de los alumnos. Muchos profesores de matemáticas dañarán, al alumno, si responden a esta descrip-ción. Debe recordarse, sin embargo, que la impresión que
uno piensa que está dando y la impresión real recibida por los otros puede ser muy diferente. Naturalmente, se puede defender que el enfoque anterior está en general de acuerdo con la naturaleza de las matemáticas, que es concisa, precisa y densa en pensamiento y lenguaie. Con todo, estas caracte-rísticas de los profesores de matemáticas cal como es percibida por los alumnos no da una imagen muy buena de las matemáticas.
La intolerancia hacia la lentitud, algunas veces aliada con el sarcasmo, no es la única prerrogativa de los profesores de matemáticas, pero de algún modo en la opinión pública estas cualidades se han venido asociando a los profesores de matemáticas y de ahí que se identifiquen con la misma asignatura. Nadie que desee dar valor a las matemáticas en el proceso educativo puede dejar de estar profundamente
pre-Acirri/DFSDfciL ocupado ante este estado de cosas. Parte de la dificultad es
ALUMNO HACIA LAS que otras asignaturas poseen mayor calidez emocional por sí MATEMÁTICA* mismas o tienen un impacto más inmediato en los intereses del alumno, lo que puede ayudar a superar la posible frialdad en la actitud de un profesor. F.n contraste, la enseñanza de las matemáticas requiere una relación emocional positiva entre el profesor y los alumnos difícil a veces de conseguir. Por ello la consecución de una atmósfera de amistad debe ser la primera prioridad.
Otra forma en que los profesores de matemáticas pueden despertar en sus alumnos el gusto por las matemáticas es la de demostrar un interés personal real hacia la asignatura.
Los profesores de inglés leen libros, asisten, producen y/o actúan en obras de teatro; los profesores de música acuden a obras musicales y/o actúan en coros y orquestas; los profesores de historia o geografía visitan lugares de interés hiitórico o geográfico. Si un profesor de matemáticas da a sus alumnos l,i impresión de no haber abierto nunca un libro de inateraá ticas (además de los textos escolares) desde que dejó la universidad, de no tener ningún libro personal de matemáticas y no tener demasiado interés en los resultados matemáticas, entonces no sorprenderá si los alumnos también fallan en interesarse por la asignatura. Para dicho profesor resulta fácil crear una atmósfera pobre de aprendizaje en su aula y animar actitudes negativas hacia las matemáticas.
A partir de la discusión anterior, surgen cuatro cualidades necesarias para los buenos profesores de matemáticas (Ver también el Capítulo 3, Sección 7). Pueden ser formuladas como sigue;
1. Cultivan con sus alumnos relaciones de ánimo y de calidez emocional. El ánimo es difícilmente sobrevalo-rado.
2. Insisten en interesar y comprometerse en las
matemá-ticas,
У, Buscan desarrollar las realizaciones propias en los alumnos a través de un modelo de actividades en que tales realizaciones sean posibles.
4. Discuten de matemáticas con sus alumnos antes que transmitirlas simplemente, de forma que estos pueden distinguir enere un hecho matemático y la conveniencia y práctica notacionalcs y. mis generalmente, consiguen uo mayor conocimiento de los procesos de desarrollo matemático.
Mientras los profesores con estas cualidades no sean
capaces de construir una actitud positiva hacia la asignatura, y conseguir desvanecer en gran medida la ansiedad y el
pinico de na alumnos hacia las matemáticas, no H puede 1.A ENSEÑANZA PE esperar que todos ellos sientan un interés real y duradero. Ú&iUttBlfiKM Para muchos alumnos, las matemáticas no serán más que una
asignatura útil, y para mucho* más jugará una pequeña parte en su vida adulta aparte de los cálculos rutinarios de la existencia normal. Sin embargo, esto no resta importancia al cultivo del entendimiento y de la realización propia de las matemáticas en el instituto. La educación matemática debe tener propósitos más amplios que la habilidad en las
mate-máticas mismas.
La historia de Linda contada por David Kent en «Linda's ítory*l c es digna de leerse- Linda, aunque no era una niña
poco inteligente, fallaba en el instituto, se apartaba de la educación en general y de las matemáticas en particular» que tanto ella como sus amigos encontraban aburridas en extremo. Kent intentó introducirla en aspectos más interesantes de las matemáticas compartiendo su propio entusiasmo hacia hs matemáticas con ella. Aunque no lo conseguía plenamente, Linda constataba que las matemáticas, sin llegar a ser nunca realmente interesantes para ella, era un área de actividad humana en la cual se podía desarrollar un entusiasmo real, si no pasión- Como consecuencia, observaba que algo en su propia vida podía cumplir el mismo papel, con el resultado de que llegó a convertirse en enfermera.
La moraleja que se dibuja a partir de esto es que cada profesor debe ocuparse en la educación general del niño tanto como en el desarrollo de habilidades específicas de su asignatura. En particular, la educación matemática, abordada con propiedad, puede ser un vehículo para el fomento de la iniciativa, independencia y confianza en si mismo para los alumnos de cualquier nivel de habilidad. El desarrollo de escás cualidades debe ser una meta general para todos los
profesores de matemáticas.
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1 C Kent, D. 1978: LINDA1* txwy. Mathemáüa 7*<¿tt% 8 ) , 111*935,CAPIYUVO 3
Algunos temas de investigación
En un libro que se refiere a las dificultades de aprendizaje resulta apropiado considerar la naturaleza de los procesos de aprendizaje y conocimiento tal como los revela ¡a investigación. Tradicionalmente, tales estudios e investigaciones no tienen un notable efecto sobre las aulas de matemáticas de la educación secundaría, en las que la norma es un enfoque pragmático y con los pies en la rierra. Existen diversas razones para esto.
1. La sociedad en general, y los negocios y la industria en particular, tanto como la educación universitaria, tien-den a subrayar el aspecto del conocimiento en mate-máticas. Su preocupación principal es aquello que c: alumno, a! dejar el instituto, conozca y pueda realizar.
Done este punto de vista, los fines son más importan-tes que los medios.
2. El trabajo de investigación se escribe y publica, a menudo, en términos que no son siempre comprensibles para los que no son especialistas en psicología educativa y en la teoría de la educación matemática. El estilo global de los libros y las revistas, así como el vocabu-lario técnico empleado pueden conducir a un sentid miento de lejanía respecto al aula típica de secundaria. A partir de ello, se concluye fácilmente en una sensación de irrelcvancia.
3. La investigación no aporta un cuadro cíaro de los procesos de aprendizaje y conocimiento- Produce fo-gonazos ocasionales con los que ilumina pequeñas áreas aquí y allá sin revelar las conexiones estructurales 4. Se tiende al partidismo en la investigación educativa,
de forma que en un momento determinado algunas líneas de investigación se ven más favorecidas que otras. Esto puede animar un cierto sentimiento de cinismo en ¡os profesores con consecuencias desafortu» nadas, en general, para los descubrimientos de la investigación.
