Ejemplo 2.6.1 El rango de la matriz:
A= 20 −11 −01 −2 3 −2
es igual a 2, pues es f´acil ver que solo hay dos vectores fila l.i. (la tercera fila es igual a dos veces la segunda menos la primera).
El rango por filas de una matriz es muy f´acil de calcular si est´a en la forma escal´on. En efecto, dada la forma que all´ı tienen los vectores fila, basta restar del n´umero total de filas, las filas formadas por ceros. N´otese que desde este punto de vista, lo que estamos haciendo al reducir una matriz a su forma reducida es establecer combinaciones lineales de vectores (que generan la misma envolvente lineal que los vectores originales, debido a las exigencias que se han hecho sobre las operaciones elementales), y por tanto, una vez llegados a la forma final, basta excluir los vectores que son cero.
No parece que las filas hayan de jugar un papel m´as importante que las columnas. Podr´ıamos haber definido el rango de una matriz como el rango del sistema de vectores formado por sus vectores columnas. Pero ocurre que ambos rangos son iguales.
Teorema 2.6.1 El rango del sistema de vectores fila de una matriz y el rango del sistema de sus vectores columna son iguales, y es el rango de la matriz por definici´on.
Demostraci´on. Sea Auna matrizn×msobre un cuerpo IK y supongamos querf yrc son sus rangos
por filas y columnas respectivamente. Por la definici´on de rango por filas, existenrf filas l.i. que podemos
suponer que son lasrf primeras. Las dem´as filas dependen linealmente de estas primeras:
Fk= rf
X
i=1
λkiFi, k=rf + 1, . . . , n
siendoFi los vectores fila de la matrizA. En componentes:
akj = rf
X
i=1
λkiaij, k=rf+ 1, . . . , n, j = 1, . . . m
Por lo tanto, las columnas j = 1, . . . , m se puedes poner como: akj arbitrarios cuando k = 1, . . . rf y
akj =Pri=1f λkiaij cuando k=rf + 1, . . . , n. Definiendo una colecci´on de vectores en IKm:
(1,0, . . . ,0, λrf+1,1, . . . , λn,1), (0, . . . ,0,1, λrf+1,r, . . . , λn,r)
vemos que la columna j es combinaci´on lineal de ellos (con coeficientes: a1j, . . . , arj). Por lo tanto
el n´umero de columnas l.i. es menor o igual que rf. Empezando de manera similar por las columnas
obtendr´ıamos: rc≤rf. As´ı, el rango por filas es igual al rango por columnas. Obtendremos este resultado
m´as tarde al estudiar la relaci´on entre determinantes y rangos. QED El rango de una matriz puede cambiar al multiplicarlo por otra. Se tiene el siguiente resultado.
Teorema 2.6.2 SeanA∈Mn×m(IK) y B∈Mm×k(IK) dos matrices. Se tienen las desigualdades:
r(AB)≤r(A), r(AB)≤r(B)
Demostraci´on. No es nada sorprendente que as´ı sea. Como ya hemos visto, multiplicar una matriz (comoA) por la derecha por otra matriz, no es m´as que construir otra matriz cuyos vectores columna son combinaciones lineales de los vectores columna de la inicial. Con estas operaciones uno no puede conseguir m´as vectores l.i. de los que hab´ıa. Como mucho tendr´a los mismos, luego el rango no puede aumentar. El mismo razonamiento se aplica a los vectores fila cuando multiplicamos por la izquierda. QED
Pero si una de las dos matrices tiene inverso (por supuesto es cuadrada), entonces el rango de la otra no var´ıa:
Teorema 2.6.3 SeaA∈Mn×m(IK) y un matriz regularB∈Mm×m(IK). Entonces:
r(AB) =r(A)
Si consideramos C∈Mn×n(IK)regular, se tiene tambi´en:
r(CA) =r(A)
Demostraci´on. La raz´on es evidente del teorema anterior. Al multiplicar por una matriz cuadrada lo que estamos haciendo, desde otro punto de vista, es un cambio de base. La dimensi´on de la envolvente lineal no var´ıa, es decir, el rango permanece constante. QED Los subespacios de un espacio vectorial (de dimensi´on finita), se pueden definir de varias maneras, como ya hemos adelantado en otro punto. La forma impl´ıcita consiste en escribir los vectores en una base (del espacio total), y someter a las coordenadas a unas ecuaciones lineales homog´eneas, es decir igualadas a cero.
Teorema 2.6.4 Consideremos el espacio vectorial de dimensi´onn,IKn. Los vectoresx= (x1, x2, . . . , xn)
de este espacio que satisfacen las mecuaciones:
a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = 0
a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn = 0
· · ·
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn = 0
forman un subespacio vectorial deIKn.
La demostraci´on es inmediata debido a la linealidad de las ecuaciones.
El sistema anterior se puede escribir como una ecuaci´on con matrices. Sean las matrices:
A= a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... am1 am2 · · · amn , X= x1 x2 .. . xn
La ecuaci´on se puede escribir como:
AX= 0
y de aqu´ı es inmediato probar que el conjunto de soluciones es un espacio vectorial, subespacio de IKn. La dimensi´on de este subespacio es f´acil de establecer. La matrizA se puede transformar en una matriz escal´on reducida por filas mediante operaciones elementales. Como ´estas son equivalentes a multiplicar la matriz por la izquierda por matrices regulares, el sistema de ecuaciones tiene las mismas soluciones:
P AX= 0⇔AX= 0
De esta forma, el n´umero de ecuaciones que nos queda es justamente el rango de la matrizA.
Teorema 2.6.5 La dimensi´on del subespacio definido por la ecuaci´on AX = 0 es igual a la dimensi´on del espacio (X ∈IKn) menos el rango de la matrizA∈Mm×n(IK).
Para un espacio vectorial arbitrario (no necesariamente IKn), la situaci´on es la misma. Basta elegir una base y emplear coordenadas para encontrarnos en una situaci´on igual a la descrita anteriormente. Volveremos a estudiar estos aspectos con m´as detalle cuando definamos las aplicaciones lineales.
La otra forma de definir un subespacio es como la envolvente de una familia de vectores. En este caso la dimensi´on es clara, es justamente el rango de esa familia de vectores, es decir el n´umero m´aximo de
2.6. ECUACIONES DE SUBESPACIOS 47
vectores l.i. que podemos encontrar en esa familia. Cualquier vector del subespacio viene dado como una combinaci´on lineal de los vectores de la familia que genera el subespacio:
x∈V ⇔x=
k
X
i=1
λivi
dondeS ={v1, . . . , vk} es la familia generadora de W. T´engase en cuenta que el vectorxno determina
un´ıvocamente los coeficientes λi. Pero de entre los vectores de S podemos seleccionar un conjunto
maximal de vectores l.i. Este conjunto, como ya hemos dicho muchas veces, generaW. Y no solo eso, es una base deW. De modo que en funci´on de estos vectores las coordenadas s´ı son ´unicas.
Una manera pr´actica de calcular esta base es la siguiente. Supongamos que tenemos una base en el espacio vectorialV de partida,B={u1, . . . , un}y que los vectores vi que generan el subespacio tienen
en esta base unas coordenadas:
v1 = b11u1+b21u2+· · ·+bn1un
v2 = b12u1+b22u2+· · ·+bn2un
.. .
vk = b1ku1+b2ku2+· · ·+bnkun
Cualquier vector del subespacio es:
x∈W ⇒x= k X i=1 λivi= n X j=1 Ã k X i=1 bjiλi ! uj es decir, six=Pni=1xiui, se tiene: xj = k X i=1 bjiλi
que es la expresi´on que deben tener las coordenadas de x para que este vector est´e enW y en la que
λi toman valores arbitrarios en IK. Estas expresiones son las ecuaciones param´etricas de W. En forma
matricial, la ecuaci´on es:
X=BΛ donde las matricesX, B,Λ son respectivamente:
X = x1 x2 .. . xn , B = b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n .. . ... ... bm1 bm2 · · · bmn , Λ = λ1 λ2 .. . λk
Estas ecuaciones tienen cierto parecido con las que dimos anteriormente en forma impl´ıcita (de hecho para IKn, pero v´alidas en cualquier espacio de dimensi´onnuna vez que definamos una base). ¿C´omo pasamos de unas a otras? El proceso se conoce como eliminaci´on de par´ametros yendo hacia la primera ecuaci´on (X =BΛ ⇒AX = 0) o resoluci´on del sistema yendo de la segunda la primera (AX = 0⇒X =BΛ). Ambos procesos son ya conocidos y no insistiremos en ellos. La segunda ecuaci´on tiene par´ametros redundantes en general, debido a que los vectores que generan el subespacio no tiene porqu´e ser l.i. Y la primera puede tener ecuaciones redundantes como hemos dicho ya. En ambos casos la dimensi´on del subespacio es:
1. DeAX= 0 se deduce dimW =n−r(A). 2. DeX =BΛ se deduce dimW =r(B)
Ya veremos en otra ocasi´on nuevas interpretaciones de estos resultados en relaci´on con las aplicaciones lineales.
Tema 3
Aplicaciones lineales
Aplicaciones lineales. N´ucleo e Imagen. Representaci´on matricial. Cambios de base. Espacios de aplicaciones lineales. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales. Determi- nantes.
A lo largo de este cap´ıtuloV, W, . . ., etc., denotar´an espacios vectoriales sobre el cuerpo IK (de carac- ter´ıstica diferente a 2, p.e., IR, C).
3.1
Generalidades sobre aplicaciones lineales
Las aplicaciones m´as notables entre espacios vectoriales son aquellas que preservan sus estructuras. Tales aplicaciones se denominan lineales y sirven a una gran variedad de prop´ositos. En este cap´ıtulo vamos a estudiar algunas de sus propiedades y aplicaciones.
3.1.1
Definiciones
Definici´on 3.1.1 Una aplicaci´onf:V →W entre dos espacios vectoriales se dir´a que es lineal si, i. f(x+y) =f(x) +f(y),∀x, y∈V,
ii. f(λx) =λf(x),∀λ∈IK.
En otras palabrasf es un homomorfismo de grupos abelianos (V,+), (W,+) y conmuta con el producto por escalares.
Sif es inyectiva diremos que es un monomorfismo de espacios vectoriales, si es suprayectiva, diremos que es un epimorfismo y si es biyectiva diremos quef es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Sif1, . . . , frson aplicaciones lineales deV enW yλ1, . . . , λrson escalares, definimos la combinaci´on
linealλ1f1+· · ·+λrfr como una aplicaci´on deV enW dada por
(λ1f1+· · ·+λrfr)(x) =λ1f1(x) +· · ·+λrfr(x),∀x∈V.
Proposici´on 3.1.1 La combinaci´on lineal de aplicaciones lineales es una aplicaci´on lineal. Lo mismo ocurre con la composici´on de aplicaciones lineales.
Demostraci´on. Efectivamente, sif,g son aplicaciones lineales deV enW yλ,µdos elementos del cuerpo IK, hemos definido (λf+µg)(x) =λf(x)+µg(x),∀x∈V. Entonces, (λf+µg)(x+y) =λf(x+y)+
µg(x+y) =λ(f(x)+f(y))+µ(g(x)+g(y)) =λf(x)+µg(x)+λf(y)+µg(y) = (λf+µg)(x)+(λf+µg)(y). An´alogamente, si f:V →W, g:W →U, son dos aplicaciones lineales, la composici´on g◦f:V →U
es lineal. g◦f(x+y) =g(f(x+y)) =g(f(x) +f(y)) =g(f(x)) +g(f(y)) =g◦f(x) +g◦f(y), y de la
misma forma con el producto por escalares. QED
Nota. En la claseVIKde todos los espacios vectoriales de dimensi´on finita sobre el cuerpo IK, se puede establecer una relaci´on de equivalencia como sigue: V ≈W si y s´olo si existe un isomorfismof:V →W de espacios vectoriales. Es un ejercicio sencillo comprobar que dicha relaci´on es de equivalencia.
Desde este punto de vista dos espacios vectoriales isomorfos se pueden considerar id´enticos y el problema de la clasificaci´on de espacios vectoriales consiste en describir el conjunto de clases de equivalenciaVIK/≈. Como veremos inmediatamente tal conjunto es IN∪0.
Dentro de la clase de equivalencia [V] de un espacio vectorial dadoV, se hallan todos aquellos isomorfos a ´el. Desde un punto de vista abstracto, las realizaciones concretas de un espacio vectorial son irrelevantes pero no as´ı desde un punto de vista pr´actico.
3.1.2
Algunos ejemplos
Ejemplo 3.1.1 SeaV = IK, yλ∈IK entoncesfλ(x) =λx, es una aplicaci´on lineal.
Ejercicio 3.1.1 Probar que toda aplicaci´on lineal de IK en s´ı mismo es de la forma descrita en el ejemplo anterior 3.1.1.
Ejemplo 3.1.2 SeaV = C. Si consideramos C como un espacio vectorial sobre el cuerpo de los n´umeros reales IR, la aplicaci´onf(z) = ¯zes lineal, pero no si consideramos C como un espacio vectorial sobre C.
Ejemplo 3.1.3 Sea V = IR2. f(x, y) = (xcosα−ysenα, xsenα+ycosα), α ∈ IR. f denota una rotaci´on de ´angulo α(f =eiα en notaci´on compleja).
Ejemplo 3.1.4 Consideremos ahora V = IK[x], f(P) = P0, ∀P ∈ IK[x]. Denotaremos la aplicaci´on lineal anterior (“tomar la derivada”) por el s´ımbolo D (o tambi´en ∂x), entonces D2, D3, . . ., etc. son
aplicaciones lineales debido a la proposici´on 3.1.1 as´ı como cualquier combinaci´on lineal de ellas, por tanto
L=Dn+λ1Dn−1+λ2Dn−2+· · ·+λn−1D+λn,
es una aplicaci´on lineal. Un tal objeto se denomina un operador diferencial lineal en IK[x].
Ejemplo 3.1.5 Consideremos de nuevo V = IK[x], y la aplicaci´on f: IK[x]→ IK[x], f(P) = R P(x)dx
donde el s´ımbolo R ·dx denota la primitiva con t´ermino constante 0. La aplicaci´on lineal R P(x)dx
tambi´en se denota por D−1, esto es, D−1P =R P(x)dx. Cualquier potencia de esta aplicaci´on lineal tambi´en es lineal D−2, D−3, etc. Una combinaci´on lineal de los operadoresDk, k ∈ZZ, se denominar´a
un operador pseudodiferencial en IK[x].
Ejemplo 3.1.6 Sea V = Mn(IK). En el espacio vectorial de las matrices cuadradas la aplicaci´on
f:Mn(IK)→Mn(IK),f(A) =Ates lineal. SiB∈Mn(IK),f(A) =BA es lineal.
La siguiente proposici´on proporciona un m´etodo sistem´atico y eficaz para la construcci´on de aplica- ciones lineales “a la carta”.
Proposici´on 3.1.2 Construcci´on de aplicaciones lineales. SeaV un espacio vectorial y B={e1, . . . , en}
una base de V. Sea W un espacio vectorial. Asociamos a cada elemento ei de B un vector arbitrario
ui ∈W. Definimos entonces f:V →W como sigue: Six=Pni=1xiei, f(v) =Pni=1xiui. Entonces la
aplicaci´onf es lineal.
Demostraci´on. Es inmediato comprobar que f es lineal. En efecto, si x=Pixie
i, y =Piyiei,
entoncesx+y=Pi(xi+yi)e
iy por tantof(x+y) =Pi(xi+yi)ui=Pixiui+Piyiui=f(x) +f(y).
3.1. GENERALIDADES SOBRE APLICACIONES LINEALES 51
3.1.3
Algunas propiedades de las aplicaciones lineales
Definici´on 3.1.2 Llamaremos n´ucleo de la aplicaci´on lineal f:V →W al subconjuntokerf ={v∈V |
f(v) = 0}=f−1(0). La imagen def se denotar´a porimf o bienf(V). Proposici´on 3.1.3 kerf eimf son subespacios vectoriales.
Ejercicio 3.1.2 Probar la proposici´on anterior 3.1.3.
Ejercicio 3.1.3 Probar quef2= 0 si y s´olo si imf ⊂kerf.
Proposici´on 3.1.4 Una aplicaci´on linealf:V →W es un monomorfismo si y s´olo sikerf = 0;f es un epimorfismo si y s´olo si f(V) =W
Ejercicio 3.1.4 Probar la proposici´on anterior 3.1.4.
Ejemplo 3.1.7 V = IK[x],D: IK[x]→IK[x]. imD= IK[x], y kerD= polinomios de grado cero.
Ejemplo 3.1.8 V = Mn(IK), f(A) = [A, B] = AB−BA. IK = C, n = 2, B = µ 1 0 1 −1 ¶ ; kerf = ½µ c+d 0 c d ¶ |c, d∈C ¾ , imf = ½µ a −2a b −a ¶ |a, b∈C ¾ .
Ejemplo 3.1.9 Sea V el espacio vectorial V = {0}. Hay una ´unica aplicaci´on f:{0} → W, y es
f(0) = 0W. Esta aplicaci´on se denotar´a habitualmente por 0→W. Hay tambi´en una ´unica aplicaci´on
f:W → {0}, es la aplicaci´on trivialf(u) = 0,∀u∈W. Tal aplicaci´on se denota habitualmente W →0. Proposici´on 3.1.5 1. Si W ⊂ V es un subespacio de V y f:V → U es lineal, entonces f(W) es un subespacio deU.
2. SiS es un subconjunto no vac´ıo deV,lin(f(S)) =f(linS).
Ejercicio 3.1.5 Probar la proposici´on anterior 3.1.5.
Proposici´on 3.1.6 1. Si f:V →U es un monomorfismo yS es un sistema linealmente independiente, entoncesf(S)es linealmente independiente.
2. SiS es un sistema generador de V y f es suprayectiva, entoncesf(S)es un sistema generador de
U.
Ejercicio 3.1.6 Probar la proposici´on anterior 3.1.6.
Proposici´on 3.1.7 Si f:U → V es un isomorfismo y B es una base de V, entonces f(B) es una base deU.
Demostraci´on. Sif es un isomorfismo, entonces es un monomorfismo. Si Bes una base cualquiera deV, entonces por la proposici´on 3.1.6f(B) es l.i. Por otro lado,f es tambi´en un epimorfismo, y por la proposici´on 3.1.6f(B) es un sistema generador. Por lo tanto f(B) es una base. QED
Podemos concluir esta cadena de razonamientos con el siguiente teorema.
Teorema 3.1.1 Una aplicaci´on linealf:V →U es un isomorfismo si y solo si para alguna baseB deV,
Demostraci´on. El “s´olo si” es el enunciado de la proposici´on 3.1.7. El “si” se prueba f´acilmente como sigue. Sea B={e1, . . . , en}una base deV tal que f(B) es una base deU.
Supongamos quex∈kerf. Entonces f(x) = 0, perox=Pxie
i, y por tantof(x) =Pxif(ei) = 0.
Como los elementos de f(B) son l.i., entoncesxi= 0, i= 1, . . . , ny por tantox= 0. Como kerf = 0, f
es un monomorfismo.
Seay∈U. Comof(B) es un sistema generador deU, existenyi,i= 1, . . . , ntales quey=Pyif(e i),
por lo tantoy =f(Pyie
i) y y∈imf, por tantof es suprayectiva y por tanto es un epimorfismo. QED
Del resultado anterior se desprende la siguiente caracterizaci´on de espacios vectoriales isomorfos.
Corolario 3.1.1 Dos espacios vectoriales de dimensi´on finitaU yV son isomorfos si y solo sidimV = dimU.