6.3
Operadores en espacios vectoriales reales con producto es-
calar
Las mismas cuestiones que se suscitaron en relaci´on con los espacios complejos dotados de un producto escalar ser´an estudiadas aqu´ı. Como veremos, las dificultades principales provienen del hecho que no todo operador en un espacio real posee autovalores (se entiende reales). La extensi´on del cuerpo base (noci´on que se puede definir rigurosamente) a los n´umeros complejos, permitir´ıa aligerar esta secci´on. Sin embargo nos mantendremos en el campo real en todo lo posible.
6.3.1
El operador transpuesto
En analog´ıa con el operador adjunto, definiremos aqu´ı el operador transpuesto. Es este un nombre ya usado en relaci´on con el espacio dual. De hecho, utilizando el teorema de Riesz-Fr´echet, ambos conceptos coinciden. Sin embargo, para evitar problemas de interpretaci´on el operador transpuesto se entender´a en la forma que sigue.
Definici´on 6.3.1 SeaV un espacio vectorial real con producto escalar, yAun operador enV. Se define el operador transpuesto deA,At como el ´unico operador que verifica:
(x, Ay) = (Atx, y)
Para demostrar la existencia y unicidad de este operador, basta aplicar el teorema de Riesz-Fr´echet, tal y como hicimos en el caso complejo para el operador adjunto.
Las propiedades del operador transpuesto son similares a las del adjunto: 1) (At)t=A
2) (A+B)t=At+Bt
3) (λA)t=λAt
4) (AB)t=BtAt
6.3.2
Representaci´on matricial del operador transpuesto
Queremos obtener la representaci´on matricial del operador transpuesto Atdada la del operadorA. Sea
V un espacio vectorial real de dimensi´on finita dotado de un producto escalar y B ={u1, . . . , un} una
base ortonormal deV. SeaAla matriz deAen la baseB, es decir, A= (aij):
Aui= n
X
i=1
ajiuj, i= 1, . . . , n
De lo estudiado para la expresi´on de los elementos de matriz del operadorAse tiene:
aij = (ui, Auj)
y siA0 es la matriz del operador transpuesto,
a0ij = (ui, Atuj) como (ui, Auj) = (Atui, uj) = (uj, Atui) se concluye: aij =a0ji es decir: A0=At
la matriz del operador transpuesto es la matriz transpuesta del operador de partida cuando la base es ortonormal. El s´ımbolotdenota tanto el operador transpuesto como la matriz transpuesta.
6.3.3
Operadores normales, sim´etricos y ortogonales
En el caso real, los operadores m´as interesantes ser´an los sim´etricos (an´alogos a los autoadjuntos) y ortogonales (an´alogos a los unitarios).
Definici´on 6.3.2 Se dice que el operador A es normal si conmuta con su transpuesto:
AAt=AtA.
Definici´on 6.3.3 Se dice que el operador A es sim´etrico si coincide con su transpuesto:
At=A.
Definici´on 6.3.4 Se dice que el operador A es ortogonal si:
AAt=AtA= 1V.
Los operadores sim´etricos verifican:
(x, Ay) = (Ax, y)
y en bases ortonormales vienen representados por matrices sim´etricas: At=A
Los operadores ortogonales verifican:
(Ax, Ay) = (x, y) En bases ortonormales, sus matrices son ortogonales, es decir:
AAt=AtA=In
Es inmediato comprobar que los operadores sim´etricos y ortogonales son normales. Sin embargo en el caso real no estudiaremos los operadores normales. La raz´on es que los operadores sim´etricos tienen todos sus autovalores reales y su estudio es muy similar al caso complejo. Pero los ortogonales no los tienen reales en general (con m´as precisi´on no tienen autovalores en general )y por lo tanto requerir´an un estudio especial.
6.3.4
Teorema espectral para operadores sim´etricos
El principal problema que surge en relaci´on con el caso complejo es probar que los autovalores de un operador sim´etrico son reales (aunque no sea muy precisa, utilizaremos esta terminolog´ıa para expresar el que las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico pueden no ser reales, en cuyo caso no son autovalores del operador).
Proposici´on 6.3.1 Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita con producto escalar. Sea Aun operador normal enV. Six∈V es un autovector deA con autovalorλ, entonces xes autovector deAt
con el mismo autovalor.
Demostraci´on.
||(At−λ1V)x||2= ((At−λ1V)x,(At−λ1V)x) = ((A−λ1V)(At−λ1V)x, x) = ((At−λ1V)(A−λ1V)x, x) = 0
y por tanto:
(At−λ1V)x= 0
QED Al igual que en el caso complejo, si un subespacio es invariante bajo un operadorA, su complemento ortogonal lo es bajo el operador transpuesto.
6.3. OPERADORES EN ESPACIOS VECTORIALES REALES CON PRODUCTO ESCALAR 125
Teorema 6.3.1 Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita con producto escalar. Sea A un operador sim´etrico enV. Entonces, existe una base ortonormal de V formada por autovectores deA.
Demostraci´on. Demostramos en primer lugar que las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico deA son todas reales. Para ello, consideremos el polinomio m´ınimo deA,m(λ). Los factores irreducibles de este polinomio que tiene los coeficientes reales, son de grado 1 o 2. Demostremos que no pueden ser de grado 2. Si tuviera un factor irreducible de este grado:
m(λ) = [(λ−a)2+b2]m1(λ)
dondeb6= 0. El polinomio m´ınimo anula al operador, es decir,m(A) = 0. Entonces∀x∈V se tiene:
m(A)x= 0⇒[(A−a1V)2+b21V]m1(A)x= 0
Seay=m1(A)x. Entonces:
[(A−a1V)2+b21V]y= 0
Calculemos el producto escalar:
([(A−a1V)2+b21V]y, y) = ((A−a1V)2y, y) + (b2y, y) = ((A−a1V)y,(A−a1V)y) +b2(y, y) =
= ||(A−a1V)y||2+b2||y||2= 0.
Comob6= 0,||y||= 0, es deciry= 0. En consecuencia, el operadorm1(A) es cero, y por tanto m(λ) no ser´ıa el polinomio m´ınimo. No hay factores de grado 2, y por consiguiente los autovalores son reales. El argumento es ahora igual que en el caso complejo. Se toma un autovector de A y se construye su subespacio ortogonal, que es invariante bajo At = A. En este espacio ortogonal se construye otro
autovector y se sigue el proceso hasta tener una base ortonormal deV formada por autovectores deA. QED
El resultado inverso es tambi´en cierto.
Teorema 6.3.2 Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita con un producto escalar. SeaA un operador enV, tal que existe una base ortonormal deV formada por autovectores de A. Entonces A es sim´etrico.
Demostraci´on. Sea{u1, . . . , un}la base ortonormal. Entonces:
Auk=λkuk Ahora bien, Atu k= n X i=1 (ui, Atuk)ui= n X i=1 (Aui, uk)ui= n X i=1 λi(ui, uk)ui= n X i=1 λiδikui=λkuk y por lo tanto, At=A QED Las matrices que intercambian las bases ortonormales son ortogonales (la demostraci´on es id´entica a la hecha en el caso complejo). Se tiene el resultado siguiente para matrices:
Teorema 6.3.3 Toda matriz sim´etrica (real) es diagonalizable por una transformaci´on ortogonal.
Demostraci´on. Una matriz sim´etrica se puede considerar como la matriz de un operador sim´etrico en una base ortonormal. Pasando a la base ortonormal de autovectores la matriz que representa al operador es ahora diagonal y la matriz de cambio de base es ortogonal:
PtAP
6.3.5
Descomposici´on espectral de operadores sim´etricos
Al igual que los operadores normales, los operadores sim´etricos admiten una descomposici´on espectral. SeaA un operador sim´etrico en un espacio vectorial real de dimensi´on finita dotado de un producto escalar.
Sea σ(A) = {λ1, . . . , λr} el espectro de A. Sean Vi = ker(A−λi1V) los subespacios invariantes.
Entonces:
V =V1⊕ · · · ⊕Vr
y los subespacios son ortogonales entre s´ı, al corresponder a autovalores distintos.
Existe entonces una familia de proyectores ortogonales (sim´etricos e idempotentes) que adem´as verif- ican:
1)PiPj = 0, i6=j
2)P1+· · ·+Pr= 1V
3)λ1P1+· · ·+λrPr=A
El c´alculo de proyectores ortogonales se hace igual que en el caso complejo, bien en una base dada, o empleando polinomios interpoladores.
La descomposici´on espectral permite identificar a los operadores sim´etricos:
Si dado un operador A en un espacio vectorial real de dimensi´on finita con un producto escalar, existe una familia de proyectores ortogonales (sim´etricos e idempotentes) que verifican las anteriores propiedades para una familia de escalares (reales) distintos, entonces Aes sim´etrico y esos escalares son sus autovalores. La multiplicidad del autovalor λies la dimensi´on del espacio PiV.