Supongamos que hacemos simult´aneamente los cambios de base:
ui= n X j=1 Pjiu0 j, u∗i = n X j=1 (P−1)i ju0∗j
lo que asegura que las nuevas bases tambi´en son duales una de la otra, como ya sabemos:
u0∗i(u0 j) = n X k=1 Pi ku∗k( n X l=1 (P−1)l jul) = n X k=1 Pi k n X l=1 (P−1)l ju∗k(ul) = n X k=1 n X l=1 Pik(P−1)ljδlk= n X k=1 Pik(P−1)kj=δij
Por tanto, las coordenadas contravariantes (asociadas a vectores del espacio inicial) se transforman con
P mientras que las covariantes (asociadas a vectores del espacio dual) se transforman con la transpuesta inversa deP.
¿C´omo podemos relacionar esta definici´on con la dada anteriormente para las bases rec´ıprocas? Supongamos que tenemos en V un producto escalar (necesario para poder definir la base rec´ıproca). Sea Br = {u1, . . . , un} la base rec´ıproca de B. Seg´un el teorema de Riesz-Fr´echet, si ω es una forma
lineal, existe un ´unico vectorxω deV tal que:
ω(y) = (xω, y), ∀y∈V
Dada una forma de la base dual,u∗i, veamos cual es su correspondiente vector enV:
u∗i(y) = (vi, y), ∀y∈V
Usandoy=uk:
u∗i(uk) = (vi, uk) =δik
que es justamente la definici´on de la base rec´ıproca, por lo que la correspondencia (el isomorfismo entre el espacio dual y el espacio de partida proporcionado por el teorema de Riesz-Fr´echet) es:
u∗i −→ui
Es decir, las coordenadas (covariantes) de una forma en el espacio dual, son las coordenadas covariantes del vector correspondiente (seg´un Riesz-Fr´echet) en el espacio de partida (en la base rec´ıproca). Si hay un producto escalar, ambos conceptos coinciden. En el caso de que no lo haya, se entender´an las coordenadas covariantes como las de las formas en la base dual. Como hemos dicho antes, este resultado se extiende al caso en el que tengamos una forma bilineal sim´etrica no degenerada (como en relatividad).
7.5
Producto tensorial
Introducimos en esta secci´on una definici´on formal de producto tensorial. Los conceptos que aqu´ı aparecen son de dificultad superior al resto de los temas, por lo que pueden suprimirse en una primera lectura.
7.5.1
Definici´on de producto tensorial
En esta secci´on discutiremos la relaci´on entre aplicaciones multilineales y tensores, bas´andonos en una definici´on m´as rigurosa del concepto de tensor.
SeanV1, . . . , Vnespacios vectoriales de dimensi´on finita sobre un cuerpo IK. Se consideran las aplica-
ciones multilineales:
ϕ:V1× · · · ×Vn→W
donde W es otro espacio vectorial sobre IK. Es decir, se tienen los pares (ϕ, W) formados por una aplicaci´on multilineal y el espacio de llegada.
Dadas dos parejas (ϕ, W) y (ϕ0, W0), se puede estudiar si tiene soluci´on el siguiente problema: encon- trar una aplicaci´on lineal f deW enW0 tal que: f◦ϕ=ϕ0:
V1× · · · ×Vn −→ϕ W
& ↓
W0
La respuesta es que no siempre es as´ı. Sin embargo, se puede demostrar que existe una pareja (ψ, T), que verifica: dada cualquier aplicaci´on multilineal, ϕ:V1× · · · ×Vn → W, existe una ´unica aplicaci´on
lineal,ϕ∗:T →W, tal que:
ϕ∗◦ψ =ϕ
A esta aplicaci´on multilineal, ψ (o al espacio T) se le llama producto tensorial de los espacios
V1, . . . , Vn. Aunque no entraremos en detalles, el espacio tensorial es ´unico (salvo isomorfismo).
La correspondencia entre las aplicaciones multilinealesϕy las aplicaciones linealesϕ∗ es ´unica. Por eso, el espacio producto tensorial sustituye en cierto sentido al espacio producto cartesiano y transforma las aplicaciones multilineales de V1× · · · ×Vn enW en aplicaciones lineales de T en W.
7.5.2
Construcci´on del producto tensorial
En esta secci´on construiremos expl´ıcitamente un modelo de producto tensorial. Para ello, se considera el espacio vectorial libre sobre el conjunto de generadoresV1×· · ·×Vn. Es decir, todos los elementos de este
conjunto se consideran linealmente independientes y, usando el cuerpo IK, se construyen sus combinaciones lineales para dar lugar a un espacio vectorial, que llamaremosM. Para aclarar la situaci´on, si (x1, . . . , xn)
e (y1, . . . , yn) son elementos deV1× · · · ×Vn, entonces, (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) y (x1+y1, . . . , xn+yn)
son elementos de M, sin que el ´ultimo sea la suma de los dos primeros, siendo por tanto diferente de (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn).
Dado que no utilizaremos esta notaci´on en el futuro, no insistiremos aqu´ı sobre ella. Baste decir que tendremos que indicar si trabajamos en el producto cartesiano o en M, para saber como son las propiedades de sus elementos, ya que los escribimos igual.
Consideremos enM el subespacio vectorial generado por todos los elementos deM de la forma:
(x1, . . . , xi+x0i, . . . , xn)−(x1, . . . , xi, . . . , xn)−(x1, . . . , x0i, . . . , xn)
(x1, . . . , λxi, . . . , xn)−λ(x1, . . . , xi, . . . , xn)
y el espacio vectorial cocienteM/N.
La inclusi´oni:V1×· · ·×Vn→M no es una aplicaci´on lineal, pero la composici´on deicon la proyecci´on:
π:M →M/N,ψ =π◦ies una aplicaci´on multilineal:
ψ (x1, . . . , xn) = [x1, . . . , xn]∈M/N
En efecto:
ψ (x1, . . . , xi+x0i, . . . , xn) = [x1, . . . , xi+x0i, . . . , xn] = [x1, . . . , xi, . . . , xn] + [x1, . . . , x0i, . . . , xn]
= ψ (x1, . . . , xi, . . . , xn) +ψ (x1, . . . , x0i, . . . , xn)
ψ (x1, . . . , λxi, . . . , xn) = [x1, . . . , λxi, . . . , xn] =λ[x1, . . . , xi, . . . , xn] =λψ (x1, . . . , xi, . . . , xn)
Ya tenemos un par (ψ, M/N ) de los que estamos estudiando. Consideremos otro par cualquiera (ϕ, W) y busquemos una aplicaci´on lineal ϕ∗:M/N →W, que compuesta conψ d´eϕ. La aplicaci´on multilineal
ϕasigna a cada elemento del espacio producto cartesianoV1× · · · ×Vn un elemento del espacio W. Por
tanto, como los elementos del producto cartesiano son un sistema de generadores del espacioM, podemos definir una aplicaci´onhdeV1× · · · ×Vn (como sistema de generadores deM) enW, con valores iguales
a los dados porϕ, y extenderla de forma lineal a todo M. Evidentemente:
7.5. PRODUCTO TENSORIAL 143
La aplicaci´onh, siendo lineal, vale cero sobre los elementos deN, y por consiguiente se puede factorizar a trav´es del espacio cocienteM/N, por una aplicaci´on, tambi´en lineal,ϕ∗:
h=ϕ∗◦π
de manera ´unica.
Comoψ =π◦i, se tiene:
ϕ=h◦i= (ϕ∗◦π)◦i=ϕ∗◦ψ
que es lo que quer´ıamos probar (la unicidad deϕ∗ proviene del hecho de que la imagen deψ genera todo el espacio cocienteM/N).
Se llama aM/N el espacio producto tensorial de los espacios vectoriales V1, . . . , Vn:
V1⊗ · · · ⊗Vn
y a los elementos de este espacio se les llama tensores y se escribe:
ψ (x1, . . . , xn) =x1⊗ · · · ⊗xn.
N´otese que no todos los elementos del espacio producto tensorial se escriben de esta forma. Lo que es cierto es que los tensores de este tipo generan (linealmente) todo el espacio producto tensorial, con lo que un tensor arbitrario es combinaci´on lineal de elementos de este tipo, por ejemplo expresiones como:
x⊗y+z⊗v
Las propiedades m´as elementales de este s´ımbolo (⊗) son:
x⊗(y+z) =x⊗y+x⊗z
(x+y)⊗z=x⊗z+y⊗z λ(x⊗y) = (λx)⊗y=x⊗(λy)
7.5.3
Propiedades del producto tensorial
Si V1, . . . , Vn son espacios vectoriales de dimensiones d1, . . . , dn, entonces el producto tensorial es un
espacio vectorial de dimensi´on:
d1× · · · ×dn
N´otese la diferencia con el producto cartesiano, donde la dimensi´on es la suma de las dimensiones. La demostraci´on se basa en un estudio del producto tensorial con el cuerpo IK. Sea V un espacio vectorial sobre IK y construyamos el producto tensorial: V ⊗IK. A cada elemento de V se le hace corresponder un elemento de IK:
x∈V −→x⊗1
Se trata de una aplicaci´on lineal que es adem´as un isomorfismo. Una base de V ⊗IK est´a formada por los tensoresui⊗1 donde los vectores deV,ui, forman una base de V. Por lo tanto la dimensi´on de
V ⊗IK es igual a la dimensi´on deV.
La generalizaci´on de este resultado es la f´ormula anterior para el c´alculo de la dimensi´on de un producto tensorial.
SiBk ={u(ik)}es una base deVk, entonces:
{u(1)i1 ⊗ · · · ⊗u(inn)}
es una base del producto tensorial. Por tanto, cualquier tensor puede ponerse como:
t= d1X,...,dn i1=1,...,in=1 ti1...inu(1) i1 ⊗ · · · ⊗u (n) in
Si se hace un cambio de base en cada uno de los espaciosVi dado por: u(ik)= dk X j=1 Pji(k)u0(jk)
el cambio en las coordenadas del tensor es:
t0i1...in=
d1X,...,dn
j1=1,...,jn=1
Pi(1)1j1. . . Pi(nnj)ntj1...jn
La propiedad que m´as nos interesa aqu´ı para relacionar los tensores con las aplicaciones multilineales es la siguiente. SeanV1, V2, V3tres espacios vectoriales sobre un cuerpo IK. Se tiene:
L(V1,L(V2, V3))≈ L2(V1, V2;V3)≈ L(V1⊗V2, V3)
donde L son las aplicaciones lineales entre los dos espacios que se muestran y L2 son las aplicaciones bilineales del producto cartesiano de los dos primeros espacios en el tercero. Demostremos esta propiedad.
La primera propiedad es muy sencilla. Sea:
ϕ:V1×V2→V3
una aplicaci´on bilineal. Si fijamos x∈V1, podemos construir una aplicaci´on lineal: ˜
ϕ:V1→ L(V2, V3), ϕ˜(x) =ϕx
mediante:
ϕx:V2→V3, ϕx(y) =ϕ(x, y)
Entonces, a cada aplicaci´on bilineal ϕ le hacemos corresponder la aplicaci´on lineal ˜ϕ. Y viceversa, consideremos una aplicaci´on lineal:
˜
φ:V1→ L(V2, V3) Definimos un aplicaci´on bilineal deV1×V2 enV3:
φ:V1×V2→V3, φ(x, y) = ˜φ(x)(y)
Esta es la correspondencia inversa de la anterior y por tanto, se da el isomorfismo del que se hablaba. En cuanto al otro isomorfismo, el que relaciona las aplicaciones bilineales con aplicaciones lineales del producto tensorial en un espacio vectorial, se trata simplemente de asociar a cada aplicaci´on bilineal de
V1×V2enV3 la aplicaci´on lineal dada por el car´acter universal del producto tensorial:
V1×V2 −→ V1⊗V2 & ↓
V3
Evidentemente los resultados se generalizan a un n´umero arbitrario de espacios y a aplicaciones multilineales.