Sea IR2 dotado del producto escalar usual (es decir, la base can´onica es ortonormal) y el espacio af´ın
X = IR2.
8.5.1
Rectas en
IR
2Supongamos fijado un origen,P0, en el espacio af´ınX = IR2. Una recta es el conjunto de puntos de IR2,
P, que verifican la ecuaci´on:
−−→
P0P =−−−→P0P1+λ~v, λ∈IR
El vector~v da la direcci´on de la recta mientras que P1 es un punto dado de la recta. Supongamos que tenemos un sistema de referencia af´ın: {P0, ~u, ~w} (con ~u = −−−→P0P1 y w~ = −−−→P0P2). Si (x, y) son las coordenadas de un puntoQ(es decir,−−→P0Q=x~u+y ~w), las ecuaciones param´etricas de la recta se pueden escribir como:
x = x0+λv1
y = y0+λv2
El par´ametroλse puede eliminar de las ecuaciones y obtener la forma impl´ıcita:
x−x0
v1
=y−y0
v2
Dados dos puntos del plano, existe una ´unica recta que pasa por ellos. SeanQ1 y Q2 los puntos de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2). La recta que pasa por esos dos puntos es:
x−x1
x1−x2
= y−y1
y1−y2 Por un punto pasa un haz de rectas, de ecuaci´on:
x−x0
y−y0 =k, k∈IR adem´as de la rectay=y0.
8.5.2
Distancia de un punto a una recta
Sea la recta
r≡~v=~v0+λ~t
y el punto P, en un sistema de referencia af´ın ortonormal, con origen en P0. Queremos calcular la distancia del punto a la recta, entendida como la m´ınima distancia del punto P a los puntos de la recta. La distancia se define a partir de la norma derivada del producto escalar. La distancia entre dos puntos
P,Q, de coordenadas en el sistema de referencia af´ın ortonormal dadas por: (x1, y1), (x2, y2) es:
8.5. EL PLANO EUCLIDIANO 163
En lenguaje vectorial, sea w=−−→P0P yv =−−→P0Qlos vectores del puntoP y un punto cualquiera Qde la rectarrespectivamente. La distancia es entonces:
kw~−~vk=kw~−~v0−λ~tk
Seanun vector unitario perpendicular al vector que define la recta (solo hay dos, elijamos cualquiera). Los vectores~t/k~t|| y ~n forman una base ortonormal en el plano. Por tanto, el vector w~ −~v0 se puede escribir en esta base como:
~
w−~v0=~t·(w~ −~v0) 1
k~tk2~t+~n·(w~ −~v0)−→n =a~t+b~n Por tanto la distancia (al cuadrado) es:
d(P, Q)2=k(a−λ)~t+b~nk2=|a−λ|2+|b|2 y ser´a m´ınima cuando:
λ=a= 1
k~tk2~t·(w~−~v0) Para este valor deλla distancia es simplemente:
d(P, Q) =|b|=k~n·(w~−~v0)k
es decir, como ya sab´ıamos, la proyecci´on sobre el vector normal de un vector que une el puntoP con un punto cualquiera de la recta. Si las coordenadas de~ten la base en la que estamos trabajando son (t1, t2), el vector~nse puede tomar como:
~n=p 1
t2 1+t22
(−t2, t1) y por tanto, la distancia es:
d(P, Q) =p 1
t2 1+t22
k(−t2, t1)·(w~−~v0)k Si la recta se expresa como:
ax+by+c= 0
el vector direcci´on es: (b,−a) y un punto sobre ella tiene como coordenadas (0,−c/b) (si b 6= 0). Por tanto, la distancia es:
d(P, r) = |ax√1+by1+c|
a2+b2
N´otese que el vector normal (unitario) a una recta escrita en la forma anterior es~n = (a, b)/√a2+b2, con lo que la ecuaci´on de la recta se puede escribir como:
~n·~v=k
y el valor absoluto dekresulta ser la distancia al origen.
Una recta es un subespacio af´ın de dimensi´on 1. El equivalente en espacios vectoriales es el n´ucleo de una forma lineal no nula.
8.5.3
Isometr´ıas en el plano
De acuerdo con lo visto anteriormente, las isometr´ıas en IR2 se descomponen en el producto de una rotaci´on (propia si det = 1 o impropia si det =−1) y una traslaci´on. Por lo tanto la clasificaci´on de las isometr´ıas es la siguiente.
1. Traslaciones. Eligiendo adecuadamente el sistema de referencia (ortonormal), todas las trasla- ciones son del tipo: ½
x0 = x+a
y0 = y
dondea∈IR, correspondiendo a= 0 a la identidad.
2. Rotaciones propias. ½
x0 = xcosθ−ysenθ y0 = xsenθ+ycosθ
con 0 ≤θ <2π, que dejan invariante el origen de coordenadas. Tambi´en θ= 0 corresponde a la identidad.
3. Reflexiones respecto una recta. Como hemos visto, toda rotaci´on impropia pod´ıa ser llevada a la forma: µ 1 0 0 −1 ¶ . Por tanto: ½ x0 = x y0 = −y
4. Reflexiones respecto una recta y traslaci´on en la direcci´on de esa recta.
½
x0 = x+a
y0 = −y
cona6= 0.
Los tipos 1,2,3,4 no son equivalentes y cualquier isometr´ıa puede ser llevada a uno de ellos definiendo adecuadamente el sistema de referencia. Si son distintos de la identidad, el tipo 1 no tiene puntos fijos y es un movimiento (conserva la orientaci´on), el 2 tiene un un punto fijo (y es tambi´en un movimiento). Los tipos 3 y 4 no son movimientos. El 3 tiene una recta fija (punto a punto) y el 4 no tiene puntos fijos.
Demostraci´on. La matriz asociada a una isometr´ıa es:
mp nq ab 0 0 1 donde la matriz µ m n p q ¶
es ortogonal. Por tanto podemos elegir una base ortonormal en IR2, de forma que esta matriz se pueda poner como una de las dos formas siguientes:
µ cosθ −senθ senθ cosθ ¶ , µ 1 0 0 −1 ¶
dependiendo de su determinante (±1). En el primer caso (rotaci´on propia) se tiene:
sencosθθ −sencosθθ ab
0 0 1
Si θ= 0:
x0=x+a, y0=y+b
y pasando a otro sistema de referencia con:
8.5. EL PLANO EUCLIDIANO 165
conc=√a2+b2, tanα=−b/ase obtiene el tipo 1:
u0=u+c, v0=v
La matriz de la isometr´ıa es:
1 0 c 0 1 0 0 0 1
y no hay puntos fijos (c6= 0).
Sia=b= 0, no hay traslaci´on y se tiene una rotaci´on propia con punto fijo en el origen:
sencosθθ −sencosθθ 00
0 0 1
Supongamos ahora queθ6= 0 y (a, b)6= (0,0). En este caso podemos estudiar la existencia de puntos fijos:
xcosθ−ysenθ+a = x xsenθ+ycosθ+b = y
El determinante de la matriz de coeficientes de este sistema lineal es:
det µ cosθ−1 −senθ senθ cosθ−1 ¶ = 2(1−cosθ) es decir, siθ6= 0 existe un ´unico punto fijo, de coordenadas:
µ a 2− bsenθ 2(1−cosθ) ¶ , µ b 2 + asenθ 2(1−cosθ) ¶
que se puede tomar como centro de la rotaci´on, trasladando el origen de coordenadas. De esta forma la traslaci´on desaparece y tenemos nuevamente una isometr´ıa de tipo 2. Siθ = 0 se obtiene nuevamente una traslaci´on. No hay puntos fijos.
Cuando la rotaci´on es impropia, existe un sistema de referencia en el que la matriz es:
1 0 a 0 −1 b 0 0 1
Sia=b= 0 no hay traslaci´on y obtenemos una reflexi´on respecto a una recta que es invariante (tipo 3). Si (a, b)6= (0,0), podemos eliminarb mediante una traslaci´on:
u=x, v=y−2b y obtenemos una transformaci´on de tipo 4:
u0=u+a, v0 =−v
sia6= 0 (sia= 0 es de tipo 3). QED
8.5.4
Transformaciones de puntos y rectas bajo isometr´ıas
Las rotaciones propias giran los puntos del plano un ´angulo θ. SiP = (x, y) es uno de esos puntos, su punto transformadoP0= (x0, y0) viene dado por:
Por tanto, dado un vector~v=−−−→P1P2, (con P1= (x1, y2), P2= (x2, y2) el vector transformado~v0=−−−→P10P20 es:
~v0 = (x0
2−x01, y02−y10) = (x2−x1) cosθ−(y2−y1) senθ, x2−x1) senθ+ (y2−y1) cosθ) es decir, el vector~v se transforma con una rotaci´onR en el espacio vectorial:
~v0=R~v
Como consecuencia de estas transformaciones, una recta que pase por el puntoP = (x0, y0) = ~v0 y que tenga como vector~t, se transforma en otra recta:
~v=~v0+λ~t−→~v=R~v0+λR~t0 Si la recta se representa en la forma~n·~v=c, la ecuaci´on transformada es:
(R~n)·~v=c
es decir, el vector normal gira con la rotaci´on y la distancia al origen es la misma.
En una reflexi´on respecto a una recta r, la imagen de un punto se puede calcular as´ı. Sea P = (x0, y0) =~v0 un punto del plano, y la recta: ~n·~v=c. El puntoP0= (x00, y00) sim´etrico de P respecto de la rectar, verifica que el puntoA de coordenadas:
1 2(~v0+~v 0 0) = µ x0+x00 2 , y0+y00 2 ¶
est´a sobre la rectar, es decir:
~n·(~v0+~v00) = 2c y adem´as el vector~v0−~v00 es paralelo a~n:
~v0−~v00=µ~n De estas dos relaciones podemos despejar las coordenadas de P0:
~v00=~v0−µ~n, µ= 2
k~nk2(~n~v0−c) llegando a la expresi´on:
~v00 =~v0− 2
k~nk2(~n·~v0−c)~n Si la recta pasa por el origen, c= 0 y se tiene:
~v0
0=~v0− 2~n·~v0
k~nk2 ~n
Una traslaci´on consiste simplemente en la suma de un vector constante. Por tanto una recta se convierte en otra recta con el mismo vector de direcci´on y sus puntos trasladados por ese vector constante. Las isometr´ıas tambi´en se pueden interpretar como cambios en el sistema de referencia, (al igual que ocurre con las aplicaciones lineales y los cambios de base en los espacios vectoriales).