Ej. 3.3.- EL MODELO DE GAS IDEAL Y LOS PROCESOS POLITRÓPICOS
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Los procesos reales de gases son muchas veces asimilables a procesos politrópicos con un determinado índice. Ese es el caso de una cierta masa de aire que se comprime en un ci- lindro-pistón de modo que pasa de una presión inicial de 0.9869 atm y 300 K a una pre- sión final de 10 bar, siguiendo para ello un proceso politrópico de índice n = 1.25. Calcú- lesea) El volumen del estado final, en l/kg.
b) El trabajo realizado en la compresión, en kJ/kg. c) El flujo de calor existente en el proceso, en kJ/kg, y
su signo.
d) Si el cilindro ocupa inicialmente un volumen de 0.5
m3 ¿cuánta es la masa contenida?
e) Representa el calor q y el trabajo, w, por kg en fun-
ción del índice de politropía haciendo variar éste desde 1 hasta 2.
RESOLUCIÓN
Sistema a estudio: El aire contenido en el cilindro. Modelo y sustancia: Gas ideal, Aire
Configuración: Diagrama P-v; Unidades SI2; Masa de Control
Condiciones: Debe considerarse un proceso politrópico para tres valores de n. Es aplica-
ble el modelo citado y las condiciones de proceso reversible, sin rozamientos. Además, para el gas ideal, la ecuación térmica de estado para un kg de masa es: P·v = R·T y para los procesos politrópicos, la expresión P·vn = cte, con n constante.
Análisis:
a) El volumen del estado final se puede calcular analíticamente a partir de la ecuación del proceso o, en TermoGraf, dibujándolo. Si se comparan ambos métodos puede existir una ligera discrepancia consecuencia de redondeos en uno u otro. De TermoGraf tomamos v1 = 861.17 litros/kg.
v2 = (P1·v1n/P2)(1/n) = {(1/10) · 861.171.25}(1/1.25) = 136.49 litros/kg
b) Las expresiones de los flujos de trabajo y de calor que pueden aplicarse, para una po- litrópica, son las siguientes, por kg de masa:
W = 1-2 P·dv = (P2·v2 – P1·v1) / (n – 1) ; o bien: W = R·( T2 – T1) / (1 – n) La expresión anterior es aplicable a una politrópica con n distinto de 1. Cuando n = 1 (proceso isotermo) la expresión a utilizar es:
W = R·T · ln(v2 / v1)
Para el aire, con base másica el kg, el valor de R es:
R = (8.314 kJ/kmol·K)·(1 kg/28.97 kmol) = 0.2783 kJ/kg·K Para Q, la expresión que permite calcularlo es
Q = 1-2 cproc(T)·dT c*proc (T2– T1) ;
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Este ejemplo y el anterior refuerzan los conceptos de W, Q y primer principio para Masa de Control que se han introducido en el tema anterior.
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Se considerará SI aunque tomemos para la presión: bar, kPa o MPa. Recordemos: 1 bar = 100 kPa = 0.1 MPa
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siendo c*proc el valor medio de cproc(T) en el intervalo de temperaturas. Como antes, esta aproximación es tanto más válida cuanto menor es el intervalo y cuanto más se aproxima la función cproc (T) a una función lineal. El valor medio de cproc lo obtenemos con la expresión
c*proc = (n·c*v – c*p)/(n – 1)
Fig. E3.3a.- Representación de las tres politrópicas
Los valores de c*v y c*p , valores medios de cv y cp en el intervalo de temperaturas consi- derado,los podemos calcular a partir de tablas o tomándolos de TermoGraf.
Para n = 1, proceso isotermo, la expresión no es aplicable, por lo que utilizaremos el pri- mer principio que, para este proceso, supone Q = W.
Con todo ello, para los procesos indicados, tenemos la siguiente tabla:
K K kJ/kg kJ/kg·K kJ/kg kJ/kg kJ/kg·K kJ/kg kJ/kg
n T inic T final W c* Q =c*·(T2 -T1) Q(Tgraf) cv* ΔU =cv*·(T2 -T1) ΔU(Tgraf)
1 300 300 -198.28 inf Q = W - 1.004 0 0
1.4 300 579.21 -200.37 0.0205 5.731 4.485 0.7382 206.10 204.86 2 300 948.68 -186.20 0.4933 319.99 315.2 0.7804 506.23 501.41 Por último, si hacemos variar el índice n en el intervalo 1-2, obtenemos las gráficas que se reflejan en la Fig. E3.3b, para los flujos de trabajo y calor. Se ha añadido también la variación que experimenta la energía interna, u, de acuerdo con el comentario nº 4.
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Fig. E3.3b.- Variación de W, Q y ΔU en función del índice n.
Consideraciones:
1. El volumen del estado final queda determinado por dos condiciones: el valor de la presión P2 y el proceso que recorre hasta alcanzar esa presión (y ese vo- lumen final).
2. Puede verse que si se aplican las expresiones de integrales medias con los va- lores medios de los calores específicos los resultados reflejan pequeñas des- viaciones, incluso para ΔT de 600 K. Podría utilizarse este procedimiento sin mayores problemas.
3. El flujo de calor en el proceso con n=1.4 es un valor muy pequeño comparado con el de W. Podríamos considerar este proceso como adiabático. Así, es fre- cuente identificar un proceso adiabático de aire como gas ideal con una po- litrópica de índice 1.4. Sin embargo, esto es solo aproximado pues el proceso adiabático de un gas ideal no es estrictamente una politrópica.
4. Una alternativa para calcular Q, que se trabajará en el tema siguiente, sería aplicar el primer principio: Q = Δu – W ; siendo Δu =
1-2 cv(T)·dT .Para un gas ideal, los valores inicial y final de u los podemos tomar de tablas o de TermoGraf. También se pueden calcular, de forma aproximada, mediante
Δu = c*
v ·(T2– T1)
siendo c*v el valor medio de cv(T) en el intervalo de temperaturas considera- do. Esta aproximación es tanto más válida cuanto menor es el intervalo y cuan- to más se aproxima la función cv (T) a una función lineal (moléculas mono-
atómicas y diatómicas).
5. De la observación de la Fig. E3.3b se deduce que, como es lógico, Δu es tanto
mayor cuanto mayor es la temperatura final del proceso de compresión ya que en un gas ideal u es función de T solamente. El flujo de calor, Q, cambia de signo, siendo cero para n que, como ya se ha apuntado, es el caso aproximadamente adiabático. El W varía muy poco, pasando por un máximo (un mínimo ya que W es negativo para un compresor) para un n algo inferior a 1.4.
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Problemas resueltos y en documento Tgraf:
Estos problemas están resueltos en detalle en los documentos correspondientes de TermoGraf y en la segunda parte del libro (pp. 120 y ss.). En esta parte junto al enunciado se plantea una ayuda para que desarrolles su resolución, único modo real de que llegues a plantearte dudas que podrás resolver viendo la solución. Empezar viendo la solución te servirá para muy poco y no te lo recomendamos. Trabajar con estos ejercicios presenta dos opciones:
a) A partir de la ayuda en cada enunciado intentar su resolución apoyándote en tablas para el cálculo de las propiedades que necesites. Cualquier duda que tengas en su resolución podrás aclararla en el ejercicio resuelto en la segunda parte.
b) Utilizar los documentos TermoGraf como se indica en el primer párrafo lo que te evitará el enojoso y escasamente rentable esfuerzo del manejo de tablas. Estos documentos se han preparado de modo que en cada pantalla te plantea los pasos sugeridos por la ayuda de esa pantalla. Una vez hechos podrás comprobar en la siguiente si los has ejecutado adecuadamente.
Pb. 3.1.- Entalpía de vaporización (cambio de fase)
Representa mediante una gráfica el valor de Δhvap frente a P (o a T) para el caso del agua (desde P = 5 kPa hasta la presión crítica) y del Refrigerante134a (desde T = -20 ºC hasta su temperatura crítica) y haz alguna consideración sobre los resultados en relación con la utilización de estas sustancias.
Ayuda: De la definición de Δhvap se deduce que es el cambio de entalpía asociado a un cambio de fase a P cte. Dibuja un proceso así, fija sus extremos a la curva de saturación (fija ambos títulos) y cambia el valor de P, trasladando el cambio de entalpía a la tabla para obtener la gráfica solicitada.
Pb. 3.2.-
La construcción de tablas
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Construye una tabla con los valores de P, v y T para los estados de cambio de fase para mezclas bifásicas líquido-vapor para el agua entre 20ºC y 340ºC, con intervalos de 40ºC.
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Una tabla se construye a partir de los valores calculados con ciertas expresiones en un determinado inter- valo de las propiedades consideradas. Los valores en un estado determinado se obtienen en relación con el valor asignado artificialmente en un estado tomado como referencia (puede verse Moran y Shapiro, Fun- damentos de Termodinámica Técnica, Ed. Reverté, Barcelona 2004, 2ªedición, pp. 102 y ss) utilizando las expresiones mencionadas que se obtienen previamente mediante ajustes de funciones, generalmente muy complejas, a un conjunto de datos experimentales, o por derivación de las mencionadas expresiones. Aquí vamos a seguir el proceso tomando como datos experimentales los de una tabla o los dados por Ter- moGraf.
Conviene tener en cuenta que los valores que provienen de tablas pueden diferir de los obtenidos mediante un programa de ordenador como TermoGraf. Si los valores de referencia de tablas y programas son los mismos (caso frecuente en los refrigerantes) los valores del programa pueden diferir ligeramente de los obtenidos con las tablas si el programa utiliza en sus cálculos expresiones, para el modelo de la sustancia, distintas a las empleadas en la construcción de dichas tablas. Cuando los valores de referencia sean distin- tos en uno y otro caso, el cálculo de propiedades puede ofrecer resultados muy dispares en el caso de las propiedades específicas. Puesto que los valores de referencia son asignaciones (por ejemplo, la propiedad X vale 0 cuando T es 300 K) en cualquier caso serán las variaciones de las propiedades específicas entre dos estados, tanto si se han calculado a partir de valores proporcionados por un programa como a partir de las tablas, las que presenten resultados concordantes.
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a) Representa la relación P-T con una escala logarítmica para la presión, en bar y
una escala lineal para la temperatura, en °C.
b) Representa la relación P-v para la parte de líquido saturado con una escala lo-
garítmica para el volumen, en m3/kg y una escala lineal para la presión, en bar.
c) Realiza un ajuste de tipo polinómico a los datos, en ambos casos, mediante algún
programa adecuado (una hoja de cálculo puede ser válida).
d) Representa una cualquiera de las ecuaciones en el intervalo del ajuste y comprue-
ba si es extrapolable con suficiente precisión para valores menores y mayores de las temperaturas propuestas. Interpreta.
Ayuda: Toma los valores pedidos en a) de una Tabla de la curva de saturación para el
agua o de TermoGraf (estados con título 0 y 1). Lleva los valores a una hoja de cálculo que permita hacer ajustes polinómicos a una serie de puntos y completa las cuestiones.