Forma, número, proporción.

La forma.

La forma es el modo en el que se disponen los elementos de una construcción para crear una imagen coherente. Indica la estructura o confi guración interna de una obra. En el Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia Española se defi ne forma como la confi guración externa de algo1_{. Pero también habla de}

que es el “principio activo que determina la materia para que sea algo concreto”. Por lo tanto forma es un resultado visible ajeno necesitado de un principio que haga que una materia se convierta en una forma concreta. Resul- tado y proceso.

El diccionario fi losófi co de Ferrater Mora2 _{establece una discusión entre materia y}

forma y entre forma y fi gura. En el segundo binomio, la forma es la fi gura inter- na frente a lo que vemos como externo (la imagen). Volvemos a la dualidad de lo visible y lo invisible. En este caso la forma es invisible. En el primer binomio, Ferrater Mora escribe “La forma es entendida a veces como la causa (v.) formal, a diferencia de la causa material; esta contraposición entre los dos tipos de causa es paralela a la más general que existe entre la causa y la materia (v.). La materia es aquello con lo cual se hace algo; la forma es aquello que determina la materia para ser algo, esto es, aquello por lo cual algo es lo que es”. Así surge la otra dualidad clásica entre la forma como la causa de la materia hecha3_.

El hombre consigue crear obras de arte y de arquitectura gracias a las formas inventadas mediante el aprendizaje y la utilización de la geometría y la pro- porción, con la inclusión, dependiendo de las épocas, de adornos y esquemas superpuestos que han dado lugar a los estilos y a los ornamentos. En la forma, también signifi camos el color, el tamaño o dimensiones, el movimiento propio o que genera alrededor de ella, el sonido,… La forma es también la encargada de hacer residir en ella la percepción y disfrute de la belleza.

Para Francis D. K. Ching4_{, la forma tiene cuatro características: el contorno,}

que es la confi guración de las superfi cies y aristas; el tamaño, que defi ne sus proporciones, la longitud, anchura y profundidad; el color, matiz, intensidad, tono, que posee la superfi cie que limita la forma; y la textura, que afecta a las cualidades táctiles y a las de refl exión de la luz en las superfi cies de la forma.

1 http://lema.rae.es/drae/?val=forma

2 Ferrater Mora, José.- “Diccionario de fi losofía”. Montecasino. Editorial sudamericana. Buenos Aires. 1964. 3 Dialéctica: la materia determina la buena forma.

Las medidas y los hombres. Witold, Kula. Poliedros Platónicos. En el Timeo se dice que “el fuego está formado por tetraedros; el aire de octaedros; el agua de icosaedros; la tierra de cubos y como aún es posible una quinta forma, Dios a utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”.

En arquitectura, Gestalt5 _{es una confi guración, modelo o campo unifi cado de pro-}

piedades concretas que no pueden resultar de la suma de las partes componen- tes. De acuerdo con esa fi losofía, la mente humana simplifi ca el entorno visual que le rodea con el fi n de comprenderlo mejor y reduce los motivos que observa en su campo de visión a una serie, más bien pequeña, de contornos elementales y regulares, como la circunferencia y los polígonos regulares que pueden ser ins- critos en ella. Entre estos, los más relevantes son el triángulo y el cuadrado. La circunferencia es una fi gura naturalmente centrada e introspectiva, la divinidad para la mística platónica; el triángulo signifi ca estabilidad cuando descansa sobre uno de sus lados; el cuadrado representa lo puro y lo racional y es una fi gura estática y neutra. Para los vitrubianos, sin embargo, sólo eran fi guras perfectas el círculo y el cuadrado.

De todas las formas posibles “la forma simétrica es evidentemente el se- llo característico de una inteligencia que concibe y crea la unidad y el orden”6_{. Decía Hutcheson}7 _{que “la forma que preferimos es la que, con más}

simetría contiene mayor número de lados, o la que con mayor número de lados presenta mayor simetría” , Así, en la forma de las partes que cons- truyen un edifi cio, se prefi ere el cuadrado al triángulo, el hexágono al cuadrado, el octógono al hexágono o el círculo al octógono. La fi gura simétrica manifi esta mayor inteligencia y mayor difi cultad vencida. Y trasladándonos al espacio y a las tres dimensiones, el cubo y el prisma ofrecen más simetría que la pirámide y el obelisco. Estos dos últimos elementos, fueron y siguen siendo, los prefe- ridos para su colocación en lugares sagrados o simbólicos, por ejemplo, en los sepulcros o en los monumentos conmemorativos. Se dice que es así porque, al apuntar al cielo desde una base sólida, refl ejan la aspiración del alma hacia la Divinidad.

Las unidades de medida.

En un principio todas las unidades de medida que se han empleado a lo largo de la historia han sido unidades que se relacionan de manera sencilla con partes del

5 Gestalt es un término alemán, sustantivo, que signifi ca una forma o confi guración de fuerte pregnancia y reconocibilidad y que se suele utilizarse sin traducción ya que no cuenta con un equivalente exacto en español. 6 Mellado, Enciclopedia Moderna, tomo 19. La cita no es del todo correcta, realmente no es orden lo que se crea sino el equilibrio.

7 Hutcheson, Francis (1694 –1746). Considerado el padre de la Ilustración Escocesa. Defendía que la fi losofía tiene un valor práctico, y no es un mero ejercicio teórico. Su obra de 1725, An Inquiry into the Original of Our Ideas of Beauty and Virtues ,dividida en dos tratados, uno sobre la belleza y el otro sobre la moral, intenta es- tablecer los fundamentos del conocimiento estético y ético. El primero comienza con una teoría sobre la percepción tomada de John Locke, según la cual todos los materiales del conocimiento racional provienen de la experiencia, entendida como algo puramente sensible. Hutcheson distingue en el saber estético su objeto, la belleza, consistente en la “apariencia” de las cosas que refl eja una “forma interior” o “poder formador”. La belleza de las cosas es una forma o fi gura en que hay uniformidad en medio de la variedad, la cual no puede ser percibida por los sentidos normales, sino por un sentido especial, el sentido de la belleza. Extiende así la experiencia más allá de los confi nes de los cinco sentidos ordinarios. El sentido de la belleza es uno de los “sentidos internos”, entre los que se incluye también el “buen oído” o el “sentido de la armonía”.

cuerpo humano; el pié, el codo, el palmo, el dedo... Hasta la invención del me- tro, el hombre, para hacerse idea del tamaño de un objeto, utilizaba relaciones que no precisaban defi nición: tiene la altura de un hombre, la longitud de cuatro codos o la anchura de tres pies. Y se hacía arquitectura desde la medida8_.

El metro es una invención de la Ilustración, fruto de la evolución de la cultura hacia lo científi co. Al inventarse se basó en la medición del meridiano terrestre por lo que, en una época protocientífi ca, se generaron multitud de inexactitudes. Además se complicó el paso de las medidas existentes hasta entonces al nuevo patrón, el metro, ya que no existía una correlación directa entre ambos. Mien- tras las primeras eran referencia a medidas del cuerpo humano, la unidad recién nacida tomaba como referencia una medida independiente que procedía de la naturaleza, de la dimensión geométrica de la Tierra.

El número como esencia de la forma.

Sin embargo, lo que generó literatura y densos estudios no fueron las medidas en sí, o el tipo de patrón escogido, sino el propio número. Esa entidad abstracta que cobra vida propia y lleva en sí leyes, signifi cados y mitologías profundas, en- raizadas en el hombre. Muchos autores han hablado, descrito e incluso fi losofado con y sobre el número. Ya Pitágoras había observado que todo hecho geométrico tenía como correspondiente una ley aritmética paralela y que toda armonía, co- menzando por la musical, dependía de una proporción, de una relación numéri- ca. Teniendo el orden y la belleza del Universo su origen o su explicación en los números, la fi losofía de su escuela se resumía en la Idea del Número como esen- cia de todas las cosas9_{. Kronecker}10_{, afi rma que “los números naturales los ha}

creado Dios; todo lo demás es obra del hombre”. Hermann Weyl, fi lósofo y matemático alemán nacido en 1885, añade que “en los números se plantea, en su más sencilla forma, el problema del conocimiento”. Y refi riéndose al conteo, al número como base para la relación con los objetos que nos rodean,

8 Sobre la base antropométrica de las medidas antiguas comentaremos brevemente algunas de las medi- das utilizadas por los babilonios, egipcios y hebreos.

El codo del que se habla en la Biblia es una medida controvertida, ya que no se entiende de la misma forma por to- dos los que la tomaron como base. Se cree que el usado por Noé, Moisés y Salomón, el denominado codo sagrado, equivalía a la distancia desde el codo al dedo corazón con la mano extendida. Sin embargo, el codo vulgar, algo más pequeño que el anterior, era la longitud de una cuerda que se enrollaba entre el dedo pulgar y el codo; la medición, en codos vulgares, era el resultado del número de vueltas que había tomado la cuerda multiplicado por dos. Se sabe también que los antiguos pueblos caldeo, egipcio y hebreo, empleaban dos categorías de medidas: las sagradas y las comunes. Las primeras estaban reservadas a los templos y a los palacios, y por lo tanto las utiliza- ban los sacerdotes y los expertos; las segundas eran las utilizadas por el pueblo para obras profanas o de utilidad pública. Parece comprobado que el codo sagrado fue usado en las mediciones del sarcófago de la Cámara del Rey en la Pirámide de Keops; también que lo empleó Moisés en su Tabernáculo y en el Arca de la Alianza. Y que más tarde en la época del rey Salomón y de su arquitecto Hiram, el codo sirvió de base para las trazas del Templo de Jerusalén. El codo sagrado medía 0,63 cm, y curiosamente equivale a la diezmillonésima parte del radio terrestre trazado desde el centro hacia el polo.

El codo profano era un poco menor, aproximadamente 45cm.

9 Matila C. Ghyca.- Matila C.- “Estética de las proporciones en la naturaleza y en las Artes”. Editorial Posei- dón. Barcelona. 1983. Pág. 254.

10 Kronecker es un matemático y lógico alemán. (1823-1891) Bell Eric Temple Bell, Eric.- “Men of Mathema- tics”. Nueva York. Simon and Schuster. 1986, p.477. Cit. En http://es.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker

el también alemán Arthur Schopenhauer, (1788-1860), argumentó que “Cada número supone el anterior, como su razón de ser; no puedo llegar al 10 sino pasando antes por todos los anteriores, y sólo por el conocimiento de su razón de ser sé que en el 10 están contenidos, el 8, el 6 y el 4”11_.

El número ha sido utilizado por el hombre desde los más remotos tiempos y civilizaciones, representándose gráfi camente de diversas formas. Los griegos idearon un tratado de la aritmética, arithmós, para establecer una teoría sobre los números, naciendo así la aritmética fi gurativa.

“La obra de arquitectura tiene también en el número su base esencial y eterna. El número es, por tanto, la esencia de la forma o la forma por excelencia.”12 _{La fi losofía pitagórica establece que todo es número y que con los}

números y ciertas relaciones entre ellos nace la creencia de que esas relaciones refl ejan la estructura armónica del universo.

El número ha tenido a lo largo de toda la historia de la arquitectura un doble sen- tido: número idea y número científi co. El primero es el número puro; el segundo contiene la idea de número descomponible o numerable. En el mismo sentido in- siste Ghyca cuando establece que las construcciones matemáticas de los griegos, obedecían a una cosmovisión de contenido lógico, que separaban el número en dos clases: el Número Divino o Número-Idea, y el Número Científi co. El primero es el modelo ideal del segundo. En el número científi co están contenidas todas las cosas materiales y las formas -dependiendo de la cantidad, la calidad, la estructura y sus disposiciones-, como consecuencia de un principio o Arquetipo Rector del universo: el Número Divino13_.

Los números mórfi cos y el número plástico.

Desde la Antigüedad se cree en la existencia de una proporción privilegiada en los elementos naturales, una serie numérica que consigue crear belleza, perfec- ción y armonía. Es un pensamiento común que los antiguos griegos, en su ar- quitectura, estaban sujetos a una proporción numérica específi ca, esencial para sus ideales de belleza y geometría. Esta proporción se conocía con numerosos nombres, entre ellos razón áurea o “divina proporción”.

Explicaremos, y describiremos matemáticamente más adelante, el término “pro-

11 Schopenhauer, Arthur.- “La cuádruple raíz del principio de razón sufi ciente”. Madrid. Librería general de Victoriano Suárez. 1911. http://www.schopenhauer-web.org/textos/Schopenhauer_CRPRS.pdf.

12 Chueca Goitia, Fernando.- “Arquitectura, número y geometría a propósito de la Catedral de Valladolid”. Madrid. Instituto Diego Velázquez. 1945.

13 Jans, Sebastian.- “El teorema de Pitágoras y los pitagóricos”. 2002. En http://eruizf.com/biblioteca/marti- nistas/varios/sebastian_jansel_teorema_de_pitagoras.pdf

porción” y algunas de las teorías que se han construido alrededor de el. Pero parece pertinente ahora adelantar una defi nición de “proporción” y de “divina proporción” que nos permita entender la aparición de los números mórfi cos y de las series asociadas. Matemáticamente, una proporción es un cociente entre dos medidas. La “proporción aurea” es el resultado de dividir un segmento cualquiera en dos partes, de modo que la razón entre la totalidad del segmento y una parte -la mayor- sea igual a la razón entre esta parte mayor y la menor. El valor numé- rico de este cociente, que se representa normalmente con la letra griega Fi, Φ o φ, es conocido como sección áurea.

Fibonacci14 _{describió en 1202 una sucesión que llevaría su nombre y a partir de}

la cual podemos obtener la sección áurea. Esta secuencia es de fácil construcción pues cada término es la suma de los dos términos de la sucesión que le preceden Obteniéndose los siguientes números, que corresponden a la denominada serie de Fibonacci :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

y tiene como función generadora la siguiente expresión:

El límite al que tiende el cociente entre un término y el inmediatamente anterior es el número áureo15_.

Se ha entendido este número como la relación perfecta entre naturaleza y belle- za. Todo lo existente en el universo; la formación de los huracanes, la forma en la que los árboles y en la que los pétalos de las fl ores crecen, incluso la forma en que los huesos del esqueleto se van distribuyendo a medida que crecemos, todo parece sigue el curso de la relación “aurea”. Incluso el ciclo de reproducción de

14 Fibonacci, educado en Bugia, norte de África (actual Argelia), infl uido y posiblemente instruido por mate- máticos árabes, describió una sucesión que ya había sido descubierta anteriormente por matemáticos hindúes como Gopala o Hemachandra, la serie de Fibonacci.

Si cogemos el “ratio” de dos números consecutivos de la serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,..) y dividimos cada uno de los números por el anterior, llegamos a esta serie de números:

El “ratio” (cociente) se va aproximando y disminuyendo cada vez más hasta llegar a un número que llamamos nú- mero Fi y que tiene un valor de aproximadamente 1.618034.

15 Si cogemos el “ratio” de dos números consecutivos de la serie de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,..) y dividimos cada uno de los números por el anterior, llegamos a esta serie de números:

El “ratio” (cociente) se va aproximando y disminuyendo cada vez más hasta llegar a un número que llamamos nú- mero Fi y que tiene un valor de aproximadamente 1.618034.

Planta de Stonehenge, Inglaterra

los ratones16_.

La serie de Fibonacci y el número áureo tienen otras curiosas propiedades geomé- tricas y aritméticas entre ellas, que cumplen las siguientes relaciones:

Esto llevó a plantearse a varios matemáticos y estudiosos de los números la posible existencia de otros números que cumplieran las mismas propiedades, surgiendo así los números mórfi cos. Defi námoslos: Un número real, p>1, se dice que es un número mórfi co siempre que existan números naturales k y s que cumplan:

Si en estas dos expresiones sustituimos los valores k y s por 2 y 1 respectiva- mente obtendremos la sección áurea.

Cabe preguntarse entonces si existen otros números mórfi cos además de la sec- ción áurea. La respuesta nos la dan Arts Fokkink y Kruijtzer, de la Universidad de Delft, en su publicación Morphic Number’s17, donde demuestran que sólo existen

dos números que cumplen tales propiedades: el citado número Fi y el número plástico, descubierto por el monje y arquitecto Dom Hans Van Der Laan18. Mate-

máticamente, el número plástico es la única solución real de la ecuación:

Cuyo valor real es:

Aproximadamente igual a 1,3247179572…19

El número plástico fue descubierto casi a la vez, según Padovan, por Dom Hans van der Laan y Gérard Cordonnier, un estudiante de arquitectura francés, que lo

16 Existe una construcción geométrica sencilla para el número de Fibonacci : si trazamos dos pequeños cuadrados de lado 1, uno al lado del otro. Si, en la parte superior de este cuadrado de tamaño 1 dibujamos otro de tamaño 2, y así sucesivamente, podemos entonces dibujar una espiral con los cuadrados, con un cuarto de giro en cada uno de ellos. No es una espiral matemáticamente correcta pero es una buena aproximación del tipo de espiral que aparece normalmente en la naturaleza.

17 Arts Fokkink y Kruijtzer.- “Morphic Numbers”. Delft. NAW 5/2 nr. 2 maart 2001.

18 Campos Araújo, Ana.- “La obra de Van der Laan y el número plástico”. Artículo .ETSAM. Véase http:// www2.caminos.upm.es/departamentos/matematicas/Fdistancia/MAIC/CONGRESOS/SEGUNDO/006%20La%20obra. pdf

19 O, lo que es lo mismo:

Además, de la igualdad anterior, se deducen otras, demostrables al efectuar el cambio de x3 por x + 1,

Es el límite de la sucesión de Padovan: 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16….. Esta sucesión se genera de forma similar a la de Fibonacci. Cada término se genera a partir de términos precedentes

Ampliación de Sint Benedictusberg Abbey. Dom Hans van del Laan. 1961. Imágenes de un detalle de la pared, la crpita y la abadía.

Construida tomando como punto de partida el número plástico.

Los acabdos sencillos, madera, pintura o revestimiento tosco, realzan las cualidades sensoriales creando un espacio extremádamente tangible.

bautizó como número radiante. Dom Hans van der Laan20_{, era un monje benedic-}

tino holandés que buscó la creación de un sistema general de normas y tamaños,