Métodos de replicación dinámica e instrumentos sintéticos
3.1. El marco conceptual
3.2.2. Instrumentos sintéticos que usan B t y B(t, T 3 )
La adopción del bono líquido a un plazo más largo B(t, T3) no ayudará en la creación de un instrumen- to sintético estático tampoco. La figura 7-4 muestra que, indistintamente de lo que se haga en el momento
FIGURA 7-4.
Bono de dos periodos
Bono de tres periodos −B(t0, t2) 100 ¿Cómo manejar este flujo de efectivo? Comprar (1 + ft0δ) unidades del bono t3 Solicitar préstamo forward a la tasa ft0 t3 t2 t1 t0 −B(t0, t3) 100 t3 t2 t1 t0 100 (1 + ft0δ) −100 (1 + ft0δ) t3 t2 t1 t0 +100 t3 t2 t1 t0
Si existen los mercados de préstamos forward, es factible hacer lo siguiente...
−B(t0, t3) (1 + ft0δ)
2 Si hay inyecciones, no es viable usar el instrumento sintético para la valuación, ya que el costo de éste no es solamente lo que
se paga en el momento t0. En ocasiones se termina pagando una cantidad mayor o menor a esta cantidad. Esto significa que el costo
verdadero de la estrategia no es conocido en el momento t0.
3. Una revisión de la replicación estática 171
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t0, el bono de tres periodos tendrá un flujo de efectivo extra y no aleatorio de 100 dólares en la fecha de vencimiento T3. Debido a este flujo de efectivo extra, no se realiza una duplicación exacta de los flujos de efectivo generados por B(t, T2) en el momento t0.
Hasta este momento, no se ha mencionado el uso de los contratos forward de tasas de interés. Está claro que sería posible crear un instrumento sintético directo para B(t0, T2) si existiera un mercado para présta- mos forward o para acuerdos de tasas forward (FRA) junto con el bono “largo” B(t0, T3). En este caso en particular, sería conveniente un FRA de 2 × 3, como se muestra en la figura 7-4. El instrumento sintético consiste en la compra de (1 + ft0 δ) unidades del B(t0, T3) y, al mismo tiempo, en la toma de un préstamo forward de un periodo a la tasa forward ft0. De este modo, se volvería a crear con éxito el bono de dos perio- dos en un ambiente estático. Pero este enfoque supone que existen los mercados forward y que son líquidos. Si estos mercados no existieran, la replicación dinámica sería el único recurso.
4. Instrumentos sintéticos ad hoc
De este modo, ¿cómo se consigue replicar el bono de dos periodos? Existen varias respuestas a esta pre- gunta, según sea el nivel de exactitud que espere el ingeniero financiero del “instrumento sintético”. Un instrumento sintético exacto requiere de una replicación dinámica, la cual se expondrá más adelante en este capítulo.También existen soluciones menos exactas y ad hoc. Como ejemplo, considere una forma sencilla y sumamente popular de crear instrumentos sintéticos en el sector de renta fija, conocida como estrategia de inmunización.
En esta sección se hará una desviación temporal de la notación usada en la sección anterior y por simplicidad se hará que δ = 1. Así, la ti representa años. Se asume que existen tres instrumentos. Éstos dependen de los mismos factores de riesgo; sin embargo, tienen diferentes sensibilidades debido a fuertes faltas de linealidad en sus respectivas fórmulas de valuación. Se adopta un marco conceptual ligeramente más abstracto en comparación con el de la sección anterior y se hace que los tres activos {S1t, S2t, S3t} se definan por las fórmulas de valuación:
S1t = f(xt) (6)
S2t = g(xt) (7)
S3t = h(xt) (8)
donde las funciones h(.), f(.) y g(.) son no lineales. La xt es el factor de riesgo común a todos los precios. La S1t desempeñará el papel de instrumento fijado como meta, y las {S2t, S3t} se usarán para formar el instrumento sintético.
Nuevamente se comenzará con las estrategias estáticas. Está claro que ya que las sensibilidades son diferentes, no es posible implantar una metodología estática tal como la que se usó en los capítulos 3 a 6. A medida que pasa el tiempo, xt cambiará de manera aleatoria, y la respuesta de Sit, i = 1, 2, 3 a los cambios en xt será diferente. Sin embargo, una manera ad hoc de crear un instrumento sintético para S1t mediante el uso de S2t y de S3t es la siguiente:
En el momento t se forma una portafolio con un valor igual a S1t y con los pesos θ2, y θ3 de tal modo que las sensibilidades del portafolio
θ2S
2t+ θ3S3t (9)
con respecto al factor de riesgo xt estén tan cercanas como sea posible a las sensibilidades correspondientes de S1t.
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Con el empleo de las sensibilidades del primer orden, se obtienen dos ecuaciones en dos incógnitas, {θ2, θ3}. S1 = θ2S2+ θ3S3 (10) ∂S1 ∂x = θ2 ∂S2 ∂x + θ3 ∂S3 ∂x (11)
Una estrategia que use tal sistema presenta algunas desventajas de importancia. Ello requerirá en general de inyecciones o de retiros de efectivo a lo largo del tiempo, y esto viola uno de los requisitos de un instrumento sintético. Sin embargo, bajo algunas circunstancias, proporcionará una solución práctica a los problemas a los que tiene que enfrentarse el ingeniero financiero. La siguiente sección presenta un ejemplo.
4.1. Inmunización
Suponga que en el momento t0 un banco considera la compra del bono a descuento que madura en dos perio- dos a un precio deB(t0, T2), T2= t0+ 2. El banco puede financiar esta transacción ya sea mediante fondos flotantes a seis meses o con una venta en corto de un bono a descuento que vence en tres periodos B(t0, T3), T3= t0+ 3 o una combinación de ambas. ¿Cómo debe proceder el banco?
La situación es similar a la que se estudió anteriormente en este capítulo sobre cómo construir un instru- mento sintético para B(t0, T2). La mejor forma de hacer esto es, desde luego, determinar un instrumento sin- tético exacto que sea líquido y menos costoso (mediante los fondos a seis meses y el bono de tres periodos) y, posteriormente, si se desea una cobertura, vender el instrumento sintético. Esto también proporcionará los fondos necesarios para comprar B(t0, T2). El resultado será una posición totalmente cubierta en la que el banco realiza el diferencial de precios oferta-demanda. Más adelante en este capítulo se mostrará cómo implantar el enfoque “exacto” mediante estrategias dinámicas.
Una forma aproximada de proceder es el acoplamiento de las sensibilidades, como se describió an- teriormente. En particular, se trataría de acoplar las sensibilidades de primer orden del instrumento fijado como meta. La siguiente estrategia es un ejemplo para la inmunización de un portafolio de renta fija. A efecto de trabajar con un factor de riesgo simple, se asume que la curva de rendimiento únicamente muestra cambios paralelos. Este supuesto se mantiene rara vez, pero aún es usado con gran frecuencia por algunos participantes de mercado como una aproximación de primer orden. En este caso, se utilizará para simplificar la exposición.
EJEMPLO
Suponga que la curva de rendimiento cupón cero es plana en y = 8% y que los cambios son pa-
ralelos. De este modo, los valores de los bonos a dos años, tres años y seis meses en términos del rendimiento correspondiente y estarán dados por
B(t0,T2) = (1 + y)100 2 = 85.73 (12)
B(t0,T3) = (1 + y)100 3 = 79.38 (13)
B(t0,T.5) = (1 + y)1000.5 = 96.23 (14)
Usando el bono “largo” B(t0, T3) y el bono “corto” B(t0, T.5), se necesita formar un portafolio con un costo inicial de 85.73. Esto será igual al valor en el tiempo t0 del instrumento fijado como
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meta, B(t0, T2). También se desea que la sensibilidad de este portafolio con respecto a y sea igual a la sensibilidad del instrumento original. Por lo tanto, se necesita resolver las ecuaciones
θ1B(t 0,T3) + θ2B(t0,T.5) = 85.73 (15) θ1∂B(t0,T3) ∂y + θ2 ∂B(t0,T.5) ∂y = ∂B(t0,T2) ∂y (16)
Se pueden calcular los valores “actuales” de las parciales: ∂B(t0,T.5) ∂y = −50 (1 + y)1.5 = −44.55 (17) ∂B(t0,T2) ∂y = −158.77 (18) ∂B(t0,T3) ∂y = −220.51 (19)
Reemplazando éstos en (15)-(16) se obtiene
θ179.38 + θ296.23 = 85.73 (20)
θ1(220.51) + θ2(44.55) = 158.77 (21)
Y resolviendo se tiene:
θ1= 0.65, θ2= 0.36 (22)
De este modo, se necesita crear una posición corta de 0.65 unidades del bono a seis meses y una posición corta de 0.36 unidades del bono a tres años para crear un instrumento sintético aproxima- do que financiará al bono del vencimiento a dos años. Esto generará el efectivo necesario y tiene
las mismas sensibilidades de primer orden con respecto a los cambios en y en el momento t0. Éste
es un ejemplo sencillo de inmunización de un portafolio de renta fija.
De acuerdo con esto, el activo que se está manteniendo, B(t0, T2), se “financia” con un portafolio de otros activos, en un modo que hace que la respuesta de la posición total sea insensible a los cambios de primer orden en y. En este sentido, la posición se “inmuniza”.
El ejemplo anterior muestra una forma aproximada de obtener “instrumentos sintéticos” mediante métodos dinámicos. En el caso en cuestión, los pesos del portafolio se seleccionaron de tal forma que la respuesta a un pequeño cambio en el rendimiento, dy, fuera la misma. Pero note el siguiente punto de importancia. • La segunda sensibilidad y aquellas de orden más alto no fueron acopladas. De este modo, el portafolio
de financiamiento no fue en realidad un instrumento sintético exacto para el bono original B(t0, T2). De hecho, las segundas parciales* del “instrumento sintético” y el instrumento fijado como meta res- ponderían de una manera diferente a dy. Por lo tanto, los pesos del portafolio θi, i = 1, 2 necesitan recalcularse a medida que pasa el tiempo y se observan nuevos valores de y.
Es importante percatarse en qué sentido(s) el método es aproximado. Aun cuando es posible ajustar los precios θi a medida que pasa el tiempo, estos ajustes normalmente requerirían de inyecciones o de retiros de efectivo. Esto significa que el portafolio no es autofinanciado.
* Aquí el autor se está refiriendo a las segundas derivadas parciales, las cuales recogen los efectos de segundo orden tanto directos
como cruzados para obtener el cambio total en las variables de interés. (Nota del revisor técnico.)
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Además, los cambios en la curva de rendimiento son rara vez paralelos, y los rendimientos para los tres instrumentos llegan a cambiar en diferentes cantidades, lo que destruye también la equivalencia de las sensibilidades de primer orden.
5.
Principios de la replicación dinámica
Ahora se retomará el aspecto de crear un instrumento sintético satisfactorio para un bono “corto” B(t0, T2) con el empleo de la cuenta de ahorros Bt y un bono “largo” B(t0, T3). La mejor estrategia para construir un instrumento sintético para B(t0, T2) consiste en una posición “inteligente” tomada en Bt y B(t0, T3) de tal modo que, en el momento t1, el efectivo extra generado por el ajuste de Bt sea suficiente para ajustar el B(t0, T3).
En otras palabras, se ha abandonado la replicación estática y se ha decidido ajustar las posiciones del tiempo t0 en el tiempo t1, con la finalidad de acoplar el pago en efectivo que hace en T2 el bono con plazo de dos periodos. Sin embargo, se ajustan las posiciones de tal forma que no ocurra ninguna inyección o retiro de efectivo neto. Siempre que se necesite efectivo en el momento t1 para el ajuste de un instrumento, éste será proporcionado por el ajuste del otro instrumento. Si al mismo tiempo que se hace esto, se asegura que el valor en el tiempo t2 de este portafolio ajustado sea de 100 dólares, la replicación será completa. No será estática; requerirá de ajustes, pero, lo que es importante, se conocería en el momento t0 la cantidad de efectivo que se debería entregar con la finalidad de recibir 100 dólares en T2.
Tal estrategia funciona porque tanto Bt1 como B(t0, T3) dependen de la misma Lt1, la tasa de interés que es desconocida en el momento t0 y ambas tienen fórmulas de valuación conocidas. Si se toman há- bilmente posiciones compensatorias en los dos activos, tal vez sea posible eliminar los efectos de la Lt1 desconocida en el tiempo t0.
La estrategia combinará instrumentos imperfectos que se correlacionan entre sí para obtener un instru- mento sintético en el momento t0. Sin embargo, éste necesitará un rebalanceo constante debido a que los pesos del portafolio dependen de variables aleatorias desconocidas en el momento t0. Si estas variables estu- vieran correlacionadas de una cierta manera, sería factible utilizar estas correlaciones contra sí para eliminar la necesidad de inyecciones o retiros de efectivo. El costo de formar el portafolio en t0 sería entonces igual al valor libre de arbitraje del activo original.
¿Cuáles son los principios generales de la replicación dinámica de acuerdo con la discusión que se ha presentado hasta aquí?
1. Debe asegurarse el hecho de que durante la vida del valor no haya dividendos o algunos pagos en efec- tivo. El portafolio replicante debe ajustarse a los flujos finales de efectivo de una manera exacta. 2. Durante el proceso de replicación, no debe haber inyecciones o retiros de efectivo neto. El efectivo
depositado en el periodo inicial debe ser igual al costo verdadero de la estrategia.
3. Los riesgos de crédito del instrumento sintético propuesto y del instrumento fijado como meta deben ser los mismos.
Mientras se satisfagan estos principios, es viable emplear como un instrumento sintético del activo ori- ginal cualquier portafolio replicante cuyos pesos cambien durante [t, T]. En el resto del capítulo se aplican estos principios a un escenario en particular y se expone la mecánica de la replicación dinámica.