GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Y PROYECTIVA
3.9 INTERSECCIÓN DE CUERPOS
El problema de hallar la intersección de dos cuerpos es el de hallar la intersección de sus
superficies. Este problema se presenta con frecuencia cuando se deben representar piezas,
máquinas o instalaciones.
Para dar una idea general de como resolver el problema de intersección de superficies, analizaremos algunos casos de intersección (pirámides y prismas).
La intersección de dos poliedros está constituida por líneas poligonales, por lo general no planas. Los vértices de estos polígonos son los puntos comunes a las aristas de uno de ellos y a las caras del otro. Los lados de los mismos son la intersección de las caras de un poliedro con las caras del otro y están limitados por ellas.
Cuando dos superficies se cortan, puede ocurrir que una de ellas pase a través de la otra. En este caso se dice que hay penetración y existen dos lineas de intersección separadas: la de entrada y la de salida.
El otro caso posible cuando se cortan dos superficies, es que una de ellas penetre parcialmente en la otra, en el cual la línea de intersección es una sola. Cuando esto ocurre se dice que hay arranque o mordedura.
Para determinar la intersección de dos poliedros se puede proceder de dos formas:
a.- Determinando los vértices del polígono de intersección como la intersección de las aristas de
uno de ellos con las caras del otro.
b.- Determinando los lados del polígono de intersección como la intersección de las caras de
ambos poliedros.
Cuando se aplica este segundo procedimiento deber determinarse la parte útil de la arista que será la perteneciente a ambas caras.
3.9.1.- Intersección de dos prismas
Cuando un cierto número de aristas de un sólido cumplen con la condición de ser paralelas entre sí (prismas) o concurrentes en un mismo punto (pirámide), podemos utilizar planos auxiliares que
cumplan estas mismas condiciones (paralelos o concurrentes), para determinar la intersección con otro poliedro.
Consideremos los prismas cuyas bases ABC y DEF se encuentran sobre el plano horizontal de proyección (Fig. III-74). Utilizaremos planos auxiliares paralelos a las aristas de ambos prismas. La intersección de estos planos con las caras de los prismas serán rectas igualmente paralelas a sus aristas. El punto donde se corten dos de estas rectas, perteneciente cada una a la cara de un prisma, es un punto de la intersección de las superficies de ambos cuerpos.
Fig. III-74
Para determinar totalmente la intersección es necesario repetir el procedimiento con varios planos paralelos a las aristas de ambos prismas. Estos planos serán, por lo tanto, paralelos entre sí, por lo que será suficiente con determinar la dirección de sus trazas, sobre el plano horizontal de proyección, para definirlos fácilmente.
Para ello en una figura auxiliar, trazamos dos rectas, m y n (Fig. III-74), cada una paralela a las aristas de un prisma. El punto M es la intersección de ambas. Estas rectas determinan un plano pa- ralelo a los planos auxiliares que necesitamos. Determinando su traza horizontal th tendremos la dirección de las trazas horizontales de los mismos.
Para determinar puntos de la intersección de los prismas se trazan rectas paralelas a th; donde estas cortan a los lados de las bases de los prismas, se levantan rectas paralelas a sus aristas. La intersección de estas rectas son puntos de la intersección de los poliedros.
La zona de intersección quedar limitada por los planos auxiliares límites, que son los que pasan por una arista de uno de los prismas y cortan al otro. En la Fig. III-74 se han rayado, sobre la base de los prismas, las zonas en las cuales no hay intersección, ya que los planos auxiliares límite pasan por el vértice C en un prisma y por el F en el otro.
Luego de determinados los puntos de intersección de ambas superficies, es necesario unirlos en el orden correcto. Para ello se utiliza el procedimiento llamado de los móviles, el que consiste en considerar tres móviles, uno recorriendo la base de un prisma, el otro la otra y el tercero la línea de intersección. Estos tres móviles deben cumplir la condición de permanecer siempre sobre el mismo plano auxiliar.
Los móviles que recorren las bases nos indican las rectas de intersección del plano auxiliar con la superficie de cada sólido. Donde estas rectas se cortan se hallar el tercer móvil definiendo el punto de intersección.
Por ejemplo, en la Fig. III-74, si un móvil está en el punto 1 y el otro en el 3, el tercero se ubicar en el 1-3.
Cuando un móvil llega a un plano auxiliar límite, continúa su recorrido sobre la base del cuerpo al cual el plano auxiliar es tangente y retorna sobre la base del otro cuerpo, al cual el plano auxiliar es secante. Si un plano auxiliar fuera tangente a ambos cuerpos, los móviles que recorren las bases continuarán los dos su recorrido al llegar al mismo.
Si en la Fig. III-74 partimos del punto 1, los puntos ocupados por los móviles que recorren las bases serán 1 y 3; 4 y 6; 7 y 8; aquí se llega a un plano límite; 5 y 6; 2 y 3; otro plano límite; 7 y 9; otro plano límite; 1 y 3.
Hasta aquí se ha analizado la intersección de dos prismas en el espacio. En la Fig. III-75 se ha resuelto el mismo en la figura descriptiva.
Luego de representados los prismas, se determina la dirección de las trazas de los planos auxiliares (planos verticales). Para ello por un punto M dado por Mh y Mv se trazan rectas paralelas a las aristas de ambos prismas. Se determina la traza horizontal th del plano definido por estas rectas, la que tendrá la misma dirección que las trazas de los planos auxiliares.
Como ya hemos visto, por donde la traza de cada plano auxiliar corta a los lados de cada base, se trazan paralelas a las aristas correspondientes. los puntos donde éstas se cortan son puntos de la intersección. Luego de determinar estos en la proyección horizontal, se los ubica en la vertical, mediante lineas auxiliares perpendiculares a la línea de tierra, según se ha estudiado antes.
Fig. III-75
3.9.2.- Intersección de un prisma y una pirámide
El procedimiento para encontrar la intersección de un prisma y una pirámide es el mismo que el aplicado en el caso anterior, con la diferencia que los planos auxiliares deberán pasar ahora por el vértice de la pirámide y ser paralelos a las aristas del prisma.
En la Fig. III-76 se presenta el caso en el espacio y en la Fig. III-77 se resuelve en el plano.
Para conocer la dirección de la traza horizontal de los planos auxiliares, se traza por el vértice de la pirámide una recta paralela a la dirección común de las aristas del prisma y se halla la intersección de ella con el plano horizontal de proyección. En la Fig. III-77 esta recta está definida por mv y mh y Th su traza horizontal.
Tomemos, por ejemplo, el plano cuya traza corta a los lados de la base de la pirámide en los puntos 7 y 8 y pasa por el vértice 9 de la base del prisma. Unimos el punto 8 con el vértice de la
pirámide y donde esta recta corta a la arista del prisma que pasa por 9 tenemos un punto de la intersección (8-9). Luego unimos 7 con el vértice de la pirámide y donde esta recta corta a la arista del prisma que pasa por 9 tenemos otro punto de la intersección buscada (7-9).
Consideremos ahora el plano cuya traza corta a los lados de la base del prisma en los puntos 2 y 3 y pasa por el vértice 1 de la base de la pirámide. Por 2 y 3 trazamos paralelas a las aristas del prisma. Donde estas rectas cortan a la arista de la pirámide que pasa por 1 tenemos otros dos puntos de la intersección.