GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Y PROYECTIVA
3.3 MÉTODO DE MONGE
3.3.1.- Representación de puntos
En el punto anterior hablamos de representar cuerpos proyectándolos sobre dos planos distintos. El problema que se nos presenta ahora es que solo disponemos de un plano sobre el que podemos proyectar, el plano de dibujo. Es necesario, por lo tanto, encontrar un método que nos permita representar, sobre el plano único de dibujo, las proyecciones de un cuerpo sobre dos planos distintos. El método que nos permite realizar esto se debe a MONGE y lleva su nombre.
Fig. III-6
El método de MONGE consiste en proyectar ortogonalmente, sobre dos planos perpendiculares entre si (Fig. III-6), el cuerpo a representar, y luego realizar con uno de ellos una operación convencional llamada abatimiento, que consiste en hacer girar uno de los planos alrededor de la línea de intersección de ambos, llamada línea de tierra, hasta llevarlo a coincidir con el otro.
Supongamos que hacemos girar el plano horizontal, moviéndolo de tal forma que la parte anterior de este coincida con la inferior del vertical y la parte posterior con la superior de aquel.
Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro regiones denominadas cuadrantes y ellos son: 1er cuadrante, 2do cuadrante, 3er cuadrante y 4to cuadrante (I, II, III y IV en la Fig. III-6).
En nuestro país, de acuerdo con lo establecido por las normas IRAM para dibujo técnico (Método
ISO (E)), se ubica siempre el cuerpo o pieza en el primer cuadrante. En otros países (EE.UU. por
ejemplo) se lo ubica en el tercer cuadrante (Método ISO (A)).
Luego de efectuado el rebatimiento del plano horizontal sobre el vertical, podemos hacer coincidir éste con el plano de dibujo (la hoja de papel), con lo cual se logra la representación o figura descriptiva del punto A (Fig. III-7).
En esta representación podemos ver que la distancia A0Av corresponde a la altura del punto A, sobre el plano horizontal. Esta distancia se denomina cota del punto A. De la misma forma, la distancia A0Ah es la distancia que media entre el plano vertical y el punto A del espacio, la que recibe el nombre de alejamiento de A.
Fig. III-7
3.3.2.- Representación de la recta
Luego de determinar la forma de representar puntos, estamos ya en condiciones de representar las rectas. Dos puntos definen una recta, por lo tanto las proyecciones de dos puntos definen la proyección de una recta.
La proyección vertical de una recta es la recta que pasa por la proyección vertical de dos de sus puntos y la proyección horizontal de una recta es la recta que pasa por la proyección horizontal de dos de sus puntos (Fig. III-8).
Fig. III-8
Una recta puede tener varias posiciones con respecto a los planos de proyección: puede ser oblicua con respecto a ambos; puede ser perpendicular a uno de ellos y, por consiguiente, paralela al otro; puede ser paralela a uno de los planos de proyección y oblicua respecto del otro. Según las
posiciones que ocupen, las rectas llevan nombres diferentes y sus proyecciones tienen características particulares.
Fig. III-9
Recta oblicua: es oblicua a ambos planos de proyección y sus dos proyecciones son oblicuas con
respecto a la línea de tierra (LT). En la Fig. III-8 se ha representado una recta oblicua en el espa-
cio y en la Fig. III-9 se ha hecho lo propio en el plano.
Recta vertical: es perpendicular al plano horizontal de proyección y su proyección vertical es
perpendicular a la línea de tierra. La proyección horizontal de esta recta es un punto (Figs. III-10 y
III-11).
Fig. II-11
Recta de punta: es perpendicular al plano vertical de proyección. Su proyección horizontal es
perpendicular a la línea de tierra y su proyección vertical es un punto (Figs. III-12 y III-13).
Recta horizontal: es paralela al plano horizontal de proyección y oblicua con respecto al vertical.
La proyección sobre este último plano es paralela a la línea de tierra, mientras que su proyección horizontal es oblicua respecto de la misma (Fig. III-14 y III-15).
Recta de frente: es paralela al plano vertical de proyección y oblicua respecto del horizontal. La
proyección horizontal es paralela a la línea de tierra y la vertical oblicua respecto de la misma (Figs. III-16 y III-17)
Fig. III-13
Recta paralela a la línea de tierra: es paralela a ambos planos de proyección y, por lo tanto, sus dos proyecciones serán paralelas a la línea de tierra (Fig. III-18).
Fig. III-14
Fig. III-16
Fig. III-17
Fig. III-19
Recta de perfil: está contenida en un plano perpendicular a los de proyección y, por consiguiente,
a la línea de tierra. Su proyección horizontal y vertical son perpendiculares a dicha línea, en el
mismo punto (Figs. III-19 y III-20).
Se han visto hasta aquí las distintas posiciones que pueden tener las rectas respecto de los planos de proyección. Veremos ahora algunas propiedades de las proyecciones de las rectas.
-Una recta se proyecta sobre un plano bajo la forma de una recta, con excepción de los casos en que esta sea perpendicular a un plano de proyección donde la proyección será un punto.
-Así como los puntos se proyectan mediante rectas proyectantes, las rectas se proyectan mediante planos proyectantes. Estos planos son perpendiculares al plano de proyección.
-Las dos proyecciones de una recta son suficientes para determinar la recta del espacio a la que
pertenecen, con excepción de las dos proyecciones de la recta de perfil. En este último caso la
recta del espacio solo quedará determinada si se indican las proyecciones de dos de sus puntos.
Fig. III-21
-La proyección de un punto de una recta se encontrará, en ambas proyecciones de esta, sobre una recta perpendicular a la línea de tierra (Fig. III-21).
-Si se divide un segmento en el espacio en dos partes, sus proyecciones resultarán divididas en las mismas proporciones que este. En particular, el punto medio de un segmento, al proyectarlo, di- vide a sus proyecciones en dos partes iguales.
-Dos rectas se cortan en el espacio cuando ambas proyecciones se cortan en puntos que están sobre la misma recta perpendicular a la línea de tierra (Fig. III-22).
Fig. III-22
-Dos rectas paralelas en el espacio tienen sus proyecciones verticales paralelas entre sí y sus proyecciones horizontales paralelas entre sí (Fig. III-23).
Fig. III-23
Trazas de una recta
Trazas de una recta son los puntos en los cuales esta intercepta (atraviesa) a los planos de proyección. De donde se deduce que una recta podrá tener traza vertical, el punto común a ella y al plano vertical y traza horizontal, el punto común a ella y al plano horizontal.
La traza vertical de una recta tiene alejamiento nulo, por tanto la proyección horizontal de este punto se encuentra sobre la línea de tierra. lo mismo ocurre con la traza horizontal, la que, por tener cota nula, tiene su proyección vertical sobre la línea de tierra.
De lo dicho se puede deducir un método para determinar las trazas de cualquier recta, excluyendo las rectas de perfil, las que, debido a su posición particular respecto de los planos de proyección, requieren de un método particular.
Fig. III-24
Si prolongamos la proyección vertical de una recta (Figs. III-24 y III-25) hasta que ella corte a la línea de tierra, tendremos la proyección vertical de un punto de cota nula, es decir de su traza horizontal. Trazando una línea de referencia, perpendicular a la línea de tierra, por este punto, donde ella corte a la proyección horizontal de la recta estar su traza horizontal. Haciendo lo propio con la proyección horizontal, donde esta corte a la línea de tierra tendremos un punto de alejamiento nulo. Donde la perpendicular a la línea de tierra, trazada por este punto, corte a la proyección vertical de la recta, tendremos su traza vertical.
Supondremos los planos de proyección opacos, por lo tanto las partes de las rectas que no están en el primer cuadrante no se verán y las representaremos con lineas de trazos. El límite entre la parte vista y la parte oculta de una recta son sus trazas.
La nomenclatura usada para las trazas de la recta es: Th y Thv para la traza horizontal y la proyección vertical de la traza horizontal y Tv y Tvh para traza vertical y proyección horizontal de la traza vertical.
Fig. III-25
Para determinar las trazas de una recta de perfil podemos emplear el método siguiente (Figs. III- 26 y III-27). Utilizamos un plano cualquiera que pase por la recta de perfil definida por los puntos A y B.
Para que una recta pertenezca a un plano es condición necesaria y suficiente que dos de sus puntos están en él. Para determinar el plano tomaremos un punto C, dado por sus proyecciones Ch y Cv. Uniendo luego C con A y B, obtenemos dos rectas de este plano a y b.
Sabemos que la Thv y la Tvh están sobre la línea de tierra y confundidas en un mismo punto. Trazamos por Tvh la proyección horizontal de una recta (dh) cualquiera del plano ABC. Por pertenecer a este plano, cortará a las rectas ah y bh del mismo en los puntos 1h y 2h respectivamente.
Fig. III-26
La proyección vertical de esta recta, dv, se obtendrá uniendo los puntos 1v y 2v, los que se encuentran levantando desde 1h y 2h perpendiculares a la línea de tierra hasta cortar a av y bv respectivamente. El punto común a dv y a la proyección vertical de la recta de perfil es la Tv de esta recta. Para determinar la traza horizontal trazamos una recta cv, que pase por Tvh y corte a av y bv en los puntos 1v y 3v, utilizando el punto 1v del que ya conocemos 1h. Encontramos 3h donde la perpendicular a la línea de tierra trazada por 3v corte a bh. Unimos 1h con 3h obteniendo ch, proyección horizontal de la recta c. El punto común a ch y a la recta de perfil es la Th de esta última.
El plano de perfil
Las proyecciones sobre los planos vertical y horizontal no son siempre suficientes para analizar las formas en el espacio. Es por ello que en algunos casos se requiere el empleo de un tercer plano, llamado plano de perfil (Fig. III-28).
Los tres planos de proyección forman un triedro trirrectángulo y se cortan según tres rectas perpendiculares entre sí, que concurren en el punto O. El plano de perfil se rebate sobre el plano vertical haciéndolo girar 90 grados alrededor del eje OY.
Para representar un punto sobre el plano de perfil (Figs. III-29 y III-30), luego de obtener sus proyecciones horizontal y vertical, se traza por Pv una paralela a la línea de tierra, luego se mide sobre la misma, a partir del eje OY, una distancia igual al alejamiento (P0Ph), determinando Pp que es la proyección de P sobre el plano de perfil.
Fig. III-28
Para obtener la proyección de la recta sobre el plano de perfil es suficiente, como ya hemos visto, con encontrar la proyección de dos de sus puntos.
Fig. III-29
3.3.3.- Representación de planos
Un plano queda definido por tres puntos, por un punto y una recta, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan. En todos los casos, para hallar las proyecciones de un plano, es necesario hallar las proyecciones de los entes geométricos que lo definen (puntos y/o rectas).
Fig. III-30
En la Fig. III-31 se ha representado un plano mediante las proyecciones verticales y horizontales de tres puntos. En la Fig. III-32 se ha hecho lo propio mediante ambas proyecciones de dos rectas que se cortan en el espacio.
Fig. III-31
Un plano determinado por dos rectas paralelas se representa en las dos proyecciones como se muestra en la Fig. III-33.
Por último las proyecciones de un plano representado por un punto y una recta se han dibujado en la Fig. III-34.
Otra forma de representar un plano es mediante sus trazas. Trazas de un plano son las rectas comunes a este y a los planos de proyección, o dicho de otro modo, son las rectas definidas por la intersección de estos planos con el primero.
Fig. III-33
Fig.III-34
Las trazas de un plano, por ser rectas que pertenecen a los planos de proyección, tienen una de sus proyecciones sobre la línea de tierra.
La nomenclatura que utilizaremos será: tv traza vertical, th traza horizontal, tvh traza vertical proyección horizontal y thv traza horizontal proyección vertical.
Las trazas de un plano se cortan siempre sobre la línea de tierra, ya que si ellas son la intersección de un plano con los de proyección, el punto común a los tres planos debe estar en la recta de intersección de dos de ellos, o sea la línea de tierra.
Este punto puede encontrarse en el infinito si el plano representado es paralelo a uno de los de proyección.
Fig. III-35
Posiciones particulares de un plano
Los planos, como las rectas, pueden ocupar diferentes posiciones con respecto a los planos de proyección, pudiendo deducirse fácilmente su posición de las posiciones de las trazas respecto de la línea de tierra.
Plano vertical: es todo plano perpendicular al plano horizontal de proyección (Figs. III-36 y III- 37).
La tv es perpendicular a la línea de tierra. La th formar con la línea de tierra un ángulo igual al que forma el plano vertical con el plano vertical de proyección.
Fig. III-36
Fig. III-37
Toda figura situada en un plano vertical tiene su proyección horizontal sobre la traza horizontal de este.
En la Fig. III-38 se ha representado un triángulo (ABC), que pertenece a un plano vertical.
Plano de punta: es todo plano perpendicular al plano vertical de proyección (Figs. III-39).
La th del plano de punta es perpendicular a la línea de tierra. La tv forma con la línea de tierra un ángulo igual al que forma el plano de punta con el plano horizontal (Fig. III-40).
Fig. III-39
Fig. III-40
Toda figura situada en un plano de punta tiene su proyección vertical sobre la traza vertical de esta. En la Fig. III-41 se ha representado un rectángulo (ABCD) situado en el plano de punta.
Fig. III-41
Fig. III-42
Plano horizontal: Es todo plano paralelo al plano horizontal de proyección (Figs. III-42 y III-43). La tv es paralela a la línea de tierra. La th no existe a distancia finita, podemos suponer que se encuentra en el infinito.
Fig. III-44
Toda figura situada en un plano horizontal se proyecta horizontalmente en verdadera magnitud, es decir que las dimensiones de la proyección horizontal son iguales a las verdaderas. Sus proyeccio- nes verticales se encontrarán sobre la traza vertical del plano (Fig. III-44).
Fig. III-45
Plano de frente o frontal: es todo plano paralelo al plano vertical de proyección (Figs. III-45 y III- 46). La th es paralela a la línea de tierra. La tv no existe a distancia finita de la línea de tierra.
Toda figura situada en un plano de frente se proyecta verticalmente en verdadera magnitud y horizontalmente sobre la traza de plano (Fig. III-47).
Fig. III-46
Fig. III-47
Plano paralelo a la línea de tierra: en este caso la th y la tv son paralelas a la línea de tierra (Figs. III-48 y III-49).
Fig. III-49
3.4.- Rectas notables del plano
Reciben este nombre las rectas de un plano que son paralelas a los planos de proyección.
En la Fig. III-50 se han representado varias rectas horizontales del plano determinado por los puntos A, B y C. Las proyecciones verticales son paralelas a la línea de tierra y las proyecciones horizontales son paralelas entre sí.
Fig. III-50
El la Fig. III-51 se han dibujado las proyecciones de varias rectas paralelas al plano vertical. Las proyecciones horizontales son paralelas a la línea de tierra y las verticales paralelas entre sí.
3.5.- Recta de máxima pendiente de un plano
Consideremos una recta inclinada respecto a un plano horizontal (Fig. III-52), por ejemplo la definida por los puntos A y B, siendo AC su proyección sobre dicho plano.
Fig. III-51
Fig. III-52
Si hacemos la razón B’C’/AC’, obtendremos un valor que no varía para cualquier posición del punto B sobre la recta. Esta razón recibe el nombre de pendiente de la recta. Dicha pendiente es, además, la tangente trigonométrica del ángulo a.
En la Fig. III-53 se ha dibujado un plano oblicuo respecto del plano horizontal. La recta del plano oblicuo definida por los puntos P y M, es la recta de máxima pendiente de este, ya que ella forma con el plano horizontal el máximo ángulo posible de las rectas de aquel plano.
La recta de máxima pendiente de un plano es perpendicular a la intersección de este con el plano horizontal y perpendicular a toda recta horizontal del plano al que pertenece. La proyección de la
recta de máxima pendiente de un plano es, además, perpendicular a la intersección del mismo con el plano horizontal.
Fig. III-53
Para determinar la recta de máxima pendiente de un plano se puede seguir el método indicado en la Fig. III-54.
Fig. III-54
En el plano definido por las rectas a y b encontraremos la recta de máxima pendiente que pasa por el punto B. Para ello tomamos una recta horizontal cualquiera del plano, por ejemplo la que corta a las rectas a y b en los puntos A y C. La proyección vertical de esta recta es paralela a la línea de tierra y pasar por Av Cv. Encontraremos luego la proyección horizontal de la misma, cuya
intersección con ah y bh serán los puntos Ah y Ch. Sabemos que en proyección horizontal, la recta de máxima pendiente debe ser perpendicular a esta recta horizontal. Por ello trazamos la misma como la perpendicular a AhCh que pase por Bh, obteniendo BhDh. Obtenida la proyección horizontal de la recta de máxima pendiente, BhDh, determinamos la proyección vertical hallando Dv y uniendo con Bv.
Fig. III-55
3.6.- Aplicaciones
1.- Dadas dos proyecciones de una recta, determinar sobre esta: a.- un punto de cota dada
b.- un punto de alejamiento dado.
a.- Sea av y ah las proyecciones de la recta y c la cota del punto P (Fig. III-55). Trazamos sobre el plano vertical una paralela a la línea de tierra, a una distancia c. La intersección de esta recta con av define Pv. Determinado Pv, por él trazamos una perpendicular a la línea de tierra, donde esta corta a ah está Ph.
Fig. III-57
b.- Supongamos ahora que el punto P tiene un alejamiento d (Fig. III-56). Sobre el plano horizontal trazamos una paralela a la línea de tierra a una distancia d. Donde esta recta corte a ah tendremos Ph, proyección horizontal del punto P. Luego determinamos la otra proyección de P, Pv, como en el caso anterior.
2.- Dadas las proyecciones horizontal y vertical de una recta, determinar su proyección sobre el plano de perfil (Fig. III-57).
Para hallar la proyección de la recta sobre el plano de perfil es suficiente con encontrar la proyección de dos de sus puntos sobre ese plano, por ejemplo A y B. Por ambas proyecciones de estos puntos se trazan paralelas a la línea de tierra. Sobre el plano horizontal estas paralelas se prolongan hasta cortar al eje m (intersección de los planos horizontal y de perfil). Las distancias OC y OD se trasladan, mediante el compás, a OC' y OD' respectivamente. Por C' y D' se trazan perpendiculares a la línea de tierra. En los puntos donde estas rectas cortan a las paralelas a la línea de tierra, trazadas por Av y Bv, se encuentran las proyecciones Ap y Bp de los puntos A y B sobre el plano de perfil. Uniendo Ap y Bp obtenemos la proyección de la recta dada sobre el plano de perfil.
Fig. III-58
La proyección sobre el plano de perfil de una recta de este tipo es un punto.