Problema VII: Calcule la TIR del siguiente flujo de beneficios netos de una mina a la cual las autoridades ambientales le exigen reponer el sitio a su estado natural:
G. LA EVALUACIÓN DEL RIESGO Y LA INCERTIDUMBRE
Es conveniente, primero, distinguir entre los distintos tipos de riesgos: (1) riesgos asegurables, (2) riesgos relacionados con la vida útil (con el tiempo) de la inversión, (3) riesgos involucrados en la actividad misma.
Respecto de los riesgos asegurables,no hay problemas. Deberá incluirse en los costos del proyecto las primas que se paguen a las compañías de seguro por la contratación de distintos tipos de seguros: contra incendio, robo, etcétera.
Un tipo de riesgo que no es asegurables es aquel (¿incertidumbre?) que, por lo general, está asociado con la duración de la inversión y con el cambio tecnológico. Al cabo de unos años pueden producirse cambios tecnológicos (o de mercado, o de gustos) que harán obsole- ta la inversión. Ejemplo de esto puede ser la posible inversión en equipos sumamente especia- lizados para la producción de “Hulahoops”, donde la obsolescencia se produjo por cambios en los gustos (cambio de moda) o la inversión en equipos para reparar relojes a cuerda en cir- cunstancias que hoy (2007) son “todos” a cuarzo (cambio técnico). Lo mismo con la inversión en motores con combustión de madera para los autos durante la guerra, pero donde la obso-
VABN BN d i i i n = + =
∑
(1 ) 0 r2 115 5 110 110 5 5 110 0 05 5 = , − = , = , = %lescencia se produjo por cambios en los precios de los combustibles; o bien la inversión en locomotoras a carbón (o en minas de carbón), donde la obsolescencia se produjo por cambios tecnológicos y también por los cambios en los precios de la mano de obra y de los combusti- bles. Por otra parte, si bien menos usual, el pasar del tiempo puede también tener el efecto con- trario: hacer más rentable la inversión. Un caso típico es el de los barrios viejos que suben de valor, ya sea porque se construye un metro o porque sencillamente se ponen de moda.
¿Cómo considerar el factor riesgo proveniente de este “pasar del tiempo” que puede hacer obsoleta la inversión? Algunos autores recomiendan usar una tasa de interés más alta para descontar los flujos de beneficios, argumentando que debe exigirse un retorno más alto a las inversiones más riesgosas. Con este proceder se estaría, en efecto, dando menos peso a los beneficios que reditúan en un futuro más lejano, obteniéndose así el efecto dese- ado. No obstante, estimo erróneo aplicar la tasa de descuento más alta para toda la vida del proyecto en consideración. La aplicación de una tasa de descuento “alta” para toda la vida del proyecto discriminará en exceso en contra de los proyectos con largo periodo de gesta- ción o de larga vida. Si se desea darle menos peso a los beneficios netos que se redituarán en un futuro más o menos lejano, puede aplicarse a ellosuna tasa de descuento mayor. (El problema, sin dudas, es determinar qué es un futuro más o menos lejano y cuánto mayor debe ser la tasa de descuento para esos flujos). Lo más correcto es hacer estimaciones lo más exactas posibles para los flujos futuros, y “castigar” los más lejanos, ya sea a través de aplicarles una tasa de descuento mayor (r + ai),
(1)
donde ai> 0 a partir de algún año determinado, o bien a través de multiplicarlos por un factor 1 > αi> 0, quizá decreciente.
(2)
Un problema radicalmente distinto es aquel de actividades inherentemente riesgosas,tales como la perforación de pozos de petróleo, la plantación de viñas u otros cultivos que se ven afectados por el granizo, heladas, sequías, etc., o bien el de actividades en que es difícil prede- cir con precisión el valor que asumirán determinados rubros de gastos o ingresos del proyec- to con motivo de variabilidad en precios o en cantidades físicas compradas o vendidas (cos- tos de construcción, crecimiento de las ventas, etc.). ¿Debe en estos casos exigirse una tasa mayor con la cual descontar el flujo futuro de beneficios de estos proyectos riesgosos?
VABN BN r i i i = +
∑
α(1 ) VABN = BN (1 + r + a 1 i i )∑
iConviene distinguir entre varios casos. Comencemos con casos bien sencillos, supo- niendo, primero, que el proyecto sobre el cual se debe tomar una decisión tiene un año de vida y que el inversionista no tiene otros proyectos en su cartera. Se supone que hay certeza sobre el monto de la inversión inicial y que toda la variabilidad se produce en los beneficios esperados en el futuro. Habrá otros proyectos, en que los flujos futuros son ciertos y es incier- to el monto (costo) de la inversión –los beneficios de un túnel en una carretera serán ciertos, no así el costo del túnel si acaso el terreno (textura del cerro) no es homogéneo en calidad.
En el cuadro III.4 se presentan diferentes flujos de ingresos para el primer año de cuatro proyectos, todos los cuales tienen el mismo “valor esperado”, pero distinta variabilidad. El proyecto A ofrece la certeza de un ingreso neto de $110 para el año siguiente; el C, un 50% de probabilidad de pagar $220, un 25% de pagar $100 y un 25% de obligarlo a usted a tener que pagar $100, etc. La penúltima columna muestra la des- viación estándardel ingreso esperado y la última el coeficiente de variación. El primer proyecto podría ser un bono de un gobierno solvente; el segundo, el de una empresa que abiertamente informa a los compradores que existe un 50% de probabilidad de pagar un dividendo de $220 y un 50% de probabilidad de no poder pagar nada al cabo de un año, etc. Todos los proyectos rinden una tasa esperadade retorno del 10%. El proyecto B, sin embargo, puede resultar un gran negocio o un gran desastre, depen- diendo de obtener $220 o cero, mientras que el proyecto A rendirá seguramente el 10%. ¿Cuál elegir? Es evidente que dependerá de los gustos del empresario en cuestión. Hay algunos que tienen atracción por el riesgo (juegan a la lotería) y habrá otros que tienen aversión al riesgo (no juegan a la lotería y prefieren tomar un seguro para evitar riesgos).
¿Cuál proyecto es mejor para usted? Dicho de otra manera, ¿cuánto estaría usted dispuesto a pagar por un documento que le da esas probabilidades de ingreso para el año próximo?
Si su alternativa segura (un depósito en el banco más seguro del mundo) le rinde 10%, usted debería estar dispuesto a pagar $100 por el proyecto A (documento A). Si está dispuesto a pagar más que $100 por el segundo, usted tiene atracción al riesgo; si desea pagar menos, se dice que tiene aversión al riesgo. ¿Cuál es el grado de atracción o aver- sión? Si $95 es el precio máximo que pagaría por un documento del tipo B, ello indica que el valor esperado de $110 al cabo de un año ha sido descontado por usted a la tasa de r∗= 15,8%; vale decir, el ajuste “a
1” que usted le introduce a su tasa de interés por el mayor riesgo –su prima por riesgo– es de 5,8 puntos porcentuales.
Cuadro III.4
Proyecto INj Prj INEj INE σ C.V.
A 110 1,00 110 110 0 0 B 220 0,50 110 110 110 1 0 0,50 0 – – – 220 0,50 110 – – – C 100 0,25 25 110 130,7 1,119 – 100 0,25 – 25 – – – 130 0,50 65 – – – D 100 0,30 30 110 21,8 0,22 75 0,20 15 – – – (3) r∗= r + a 15,8 = 10 + 5,8
Alternativamente, considerando que, al 10%, un flujo cierto de $95 hoy es equivalente a un flujo cierto de $104,5 dentro de un año, se desprende que el flujo incierto de $110 que le ofrece el proyecto B ha sido “castigado” por usted para convertirlo en un flujo equivalente de 104,5. Dicho de otra forma, un ingreso cierto de $104,95 dentro de un año es para usted equi- valente a uno incierto de $110 dentro de ese mismo año. Por lo tanto, el factor de equivalen- cia,α1,es 0,95 = 104,5/110. Multiplicando el flujo incierto por el factor de equivalencia se obtiene un flujo equivalente cierto. Es claro que existe una evidente relación entre el ay α.
Los proyectos C y D tendrán también sus primas y castigos por riesgos.10El mejor proyecto será aquel que tenga mayor valor actual de sus beneficios netos, calculado ya sea a) utilizando los valores esperados y descontándolos con r∗, o bien b) utilizando equiva- lentes ciertos y descontándolos con r.Alternativamente, puede obtenerse el TIR en valo- res inciertos, para compararlos con los r∗, o bien se calculan los TIR con equivalentes ciertos y se los compara con r.
C V INE . .= σ
σ=
∑
(INj−INE) Pr2 jEl problema del riesgo se complica cuando se introducen más periodos de tiempo y cuan- do se considera el proyecto como uno que se incorpora a la cartera de proyectos que ya posee el inversionista. Respecto de proyectos con varios años de vida útil, debe distinguirse entre aquellos en que los resultados de un año no afectan ni se ven afectados por los de otros años, y aquellos en que sí existe interdependencia. En cuanto a los otros proyectos de la cartera, inte- resará conocer el efecto que la adición del nuevo proyecto tendrá en la variabilidad total de la cartera, al mismo tiempo que, obviamente, la “importancia” del proyecto dentro de la cartera total –un proyecto riesgoso de US$100.000 es prácticamente irrelevante para la General Motors, no así para quien tenga un patrimonio neto de sólo unos pocos miles de dólares.
Considérese el proyecto del cuadro III.5, en que existe independencia entre los sucesos de año en año –el resultado del año n es independiente de lo que suceda en los años (n – i). El valor actual de los beneficios netos esperados a la tasa de descuento libre de riesgo 10%, es:
VABNE = 58,70 Cuadro III.5 Año IN Pr INE σσ C.V. 0 – 250 1,00 – 250 0 0 240 0,10 24 I 8020 0,500,10 402 – 20 0,30 – 6 60 74,3 1,24 400 0,10 40 200 0,10 20 II 100 0,30 30 25 0,40 10 0 0,10 0 100 115,1 1,15 130 0,50 65 III 100 0,30 30 75 0,20 15 110 18,8 0,17 IV 130 1,0 130 0 0 VABNE=−250+60+ + + 1 1 100 1 21 110 1 33 130 1 46 , , , ,
Puede calcularse la desviación estándar de la distribución de probabilidad de los valores actuales mediante la fórmula:
(4)
σ= 118,6
Debido al supuesto de independencia y de normalidad en las distribuciones de pro- babilidades, puede obtenerse la probabilidad de que el proyecto rinda un VABN menor que cero mediante el uso de la tabla de valores correspondiente a una distribución nor- mal. Esta probabilidad es del 31%. Al mismo tiempo, hay un 68% de probabilidad que esté entre –59,9 y + 177,3, y un 95% que lo esté entre –178,5 y 295,9. La gerencia podrá, en función de esta información, tomar la decisión.
Gráfico III.4
Apliquemos los equivalentes ciertos. Es obvio que el flujo del año cuatro tiene α4= 1; el del periodo tres es bastante cercano a la unidad, digamos α3= 0,9. Aplicando un α2= 0,7 y un α1= 0,6 se obtiene: = 4562 4 9048 6 468 2, + , + , σ= ( , ) + + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 74 3 1 1 115 1 1 1 18 8 1 1 2 2 2 4 2 66 σ= σ + ∑ i i i r 2 2 1 ( ) . .
= – 250 + 253,75 = + 3,75
con lo que el proyecto sería aconsejable para quien indicó que sus preferencias corres- ponden a los αiutilizados.
El problema del riesgo y su medición y valoración se complica cuando los flujos dependen de lo que ocurra en periodos anteriores. Por ejemplo, una sequía o peste puede arruinar una plantación de frutales, un negocio que parte mal por lo general seguirá mal, y el que parte bien seguirá bien. Así, en el proyecto recién analizado, la probabilidad de que en el año dos se produzca un ingreso neto de $400, estaría condicionado a lo que haya ocurrido en el año uno; por ejemplo, podría ser que fuera del 70% si acaso en el año uno se hubieran obtenido $240, sólo un 2% si en el año uno se hubiesen obtenido $20, y un 0,1% si se hubiesen obtenido pérdidas de $20.
Es claro que esta interdependencia o correlación positiva entre los flujos aumenta la variabilidad o riesgo de los proyectos (aumenta el σtotal). En el peor de los casos –aquel de correlación perfecta– la desviación estándar es:11
(5)
Aplicando esta fórmula al ejemplo visto, se obtiene un sigma total de 176, menos de un 50% superior al caso con independencia. Como norma, los proyectos caen entre estos dos límites. La computación permite la utilización de modelos de simulaciónque utilizan probabilidades condicionadas para los flujos y arrojan como resultado una distribución de probabilidades para los VABN de proyecto.
Consideremos, por último, el caso de proyectos riesgosos que se incorporan a una cartera de proyectos que ya posee el inversionista. El cuadro III.6 presenta el caso de dos anualidades (proyectos) A y B, “altamente” riesgosos cuando se los considera en forma individual; considerados en conjunto, sin embargo, pueden dar lugar a una cartera “casi” exenta de riesgo. σ= σ +
∑
i t r (1 ) VABN=−250+ 36+ + + 1 1 70 1 21 99 1 33 130 1 46 , , , ,Cuadro III.6 Proyecto Pr IN INE σ C.V. 0,25 200 50 A 0,50 100 50 0,25 0 0 70,17 0,70 100 70,17 0,70 0,25 200 50 B 0,50 100 50 0,25 0 0 100 70,17 0,70
Si las probabilidades de los flujos de ambos proyectos son independientes, la variabili- dad de la cartera se determina por la fórmula (5). Pero si los proyectos son tales que el año en que A produce cero el B producirá 200 y en el que A produce 200 B producirá cero, el riesgo de la cartera se habrá reducido a cero: la incorporación del proyecto B a la cartera que conte- nía al proyecto A permite ahora contar con un flujo ciertode $200 por año. ¿Habrá aumenta- do la riqueza de la persona que teniendo el proyecto o documento A adquiere también el B? Ello depende de la valoración que se da al riesgo. Si acaso un proyecto o documento del tipo A se vende (se valora en el mercado) en $600 y si los documentos exentos de riesgo se cotizan al 10% de interés, quien compre el proyecto A y lo junte con el proyecto B habrá invertido $1.200 y podrá vender el “conglomerado” en $2.000. He aquí la “razón de ser” de los llama- dos grupos económicos y del dicho “No pongas todos los huevos en el mismo canasto”.
H. PROBLEMAS
1. Rehaga los problemas del capítulo II, utilizando para ello el VAN.
2. Usted compra una parcela con un bosque “joven” de alerces –tienen ya 200 años desde que fueron plantados. Un ingeniero forestal le dice que al cabo de 100 años usted (¡sus descendientes!) podrá explotar este bosque en forma comercial. Un ganadero le ofre- ce tomar su parcela en arriendo por 100 años al precio de US$5 la hectárea por año, pero con la condición de que usted le eche abajo los árboles. Su costo de botar los árboles y destroncar es de US$50 por hectárea, igual que el precio por hectárea que
puede obtener hoy por los alerces vendidos como leña a los panaderos del pueblo. ¿Da el fundo en arriendo si la hectárea de alerces maduros podrá venderse en US$250.000 al cabo de los 100 años? Si la tasa de interés fuese del 6%, ¿que arriendo lo deja indiferente? 3. El costo de una casa de playa hecha de madera es de $500.000; dura 10 años si acaso no la mantiene, y 20 años si acaso todos los años la hace “calafatear” al costo de $20.000. Su alternativa es comprarse en $800.000 una de concreto que dura para siempre con un costo obligado de mantenimiento de $2.000 cada 4 años. ¿Cuál es su decisión respecto de comprar una de madera y hacerle mantenimiento? Suponga r = 10%: ¿a qué tasa de interés no conviene hacerle mantenimiento a la casa de madera? ¿A qué tasa de interés le conviene comprar una de concreto en lugar de comprar la mejor alternativa para la madera?
4. Los expertos determinan que ciertas variables de un proyecto están sujetas a riesgo, el cual puede resumirse de la siguiente manera:
a. La inversión, que demora dos periodos, se puede resumir:
Monto de la inversión en cada momento
0 1
Pesimista (20% probabilidad) $110 $110
Más probable (60% probabilidad) $100 $100
Optimista (20% probabilidad) $ 90 $ 90
b. Los ingresos tienen lugar durante 4 momentos a partir de la terminación de la inversión (momentos 2 a 5) y están sujetos a fluctuaciones de precios:
Ingresos de operación
Pesimista (20% probabilidad) $110
Más probable (60% probabilidad) $120
Optimista (20% probabilidad) $130
c. Los egresos de la operación se sabe, sin duda, que serán $80 por año durante los momentos 2 a 5.
Evalúe este proyecto. Suponga r = 7%.
5. Teniendo la posibilidad de invertir en un pagaré del Banco de Chile que rinde el 10% anual, el señor Segura nos dice que sólo pagaría $200 por un documento emitido por los Termitas, que promete pagar $250 al cabo de dos años. Calcule el coeficiente para convertir los $250 en equivalente cierto. (Suponga que el bono de “El” Banco de Chile
está exento de riesgo.) También calcule la “prima” por riesgo (ai) que recarga el inte- rés anual.
6. Un comprador desea adquirir una casa, la que tiene un precio al contado de $500.000. Esta casa se vende con un pie del 20% del precio, y la diferencia se puede financiar. a. ¿Cuál será el valor de la cuota anual si el financiamiento es a 15 años y a una tasa de
interés anual del 7%?
b. Si se nos ofrece una fórmula de pago por la cual pagamos cuotas anuales de $40.000 durante 20 años: ¿Qué tasa de interés anual nos cuesta el financiamiento? c. Si pagamos $40.000 al año, y si la tasa de interés del préstamo es de 6% al año:
¿Cuántos años demoraremos en cancelar la deuda?
7. Deseamos crear un fondo para nuestra vejez, depositando anualmente una cierta can- tidad durante los próximos 25 años en una cuenta que nos da un interés del 8% anual. El monto que así acumulamos nos permitirá recibir una anualidad por los 25 años que siguen. ¿Cuál deberá ser nuestro depósito anual si queremos acumular una suma tal que nos permita efectuar retiros anuales de $50.000 durante 25 años? Nota: La cuenta paga un 8% de interés anual capitalizable anualmente, a lo largo de los 50 años que dura la operación total.
8. Problemas para ejercitarse: (vea apéndice matemático y el anexo con las dos tablas financieras).
a. ¿Cuál es el valor actual de $500, situados 8 años en el futuro, si lo descontamos a la tasa del 8% anual?
b. ¿Cuál será el valor en 5 años de un capital actual de $300, si lo depositamos a un interés del 6% anual?
c. Hace 8 años depositamos en el banco $800, y hoy ese capital se ha acumulado, lle- gando a $1.094,85. ¿Qué tasa de interés anual ha percibido ese depósito?
d. Un banco que paga un interés del 10% anual sobre cuentas de ahorro nos anuncia que nuestro depósito inicial de $700 se ha acumulado hasta llegar a $1.650,56. ¿Cuánto tiempo ha permanecido ese depósito en el banco?
e. ¿Cuál es el valor presente de un flujo de $400 al año durante 7 años, si se actualiza a la tasa del 15% anual?
f. Nos venden una casa cuyo precio es de $10.000, por la cual debemos pagar $2.000 al contado. El resto lo pagaremos en 15 cuotas anuales iguales. ¿Cuál será el valor de estas cuotas si la deuda devenga un interés del 8% anual?
g. Compramos otra casa, cuyo precio es de $15.000, por la cual pagamos $3.000 al conta- do. El saldo insoluto devenga un interés del 6% anual y nuestra capacidad de pago es de cuotas de $1.000 por año. ¿Cuánto tiempo tardaremos en terminar de pagar la casa?
h. Un negocio en el que invertimos $50.000 hoy promete retornarnos un flujo de $7.000 al año durante 15 años. ¿Qué rentabilidad anual nos da el negocio?
9. Indique si las afirmaciones que se dan son verdaderas ( ) o falsas ( ) marcando como falsas aquellas que considere inciertas. Lea con mucho cuidado cada afirmación. ( ) Si el valor agregado por el proyecto A es mayor que el agregado por B, el proyec- to A es mejor que el B.
( ) Si el VAN del proyecto A es mayor que el del proyecto B, ejecutar el proyecto A aumentará más la riqueza que ejecutar el proyecto B.
( ) Si la TIR del proyecto A es mayor que la TIR del proyecto B –ambos con flujos “bien comportados”– ejecutar el proyecto A aumentará más la riqueza que ejecutar el proyecto B.
( ) Si la relación beneficio-costo del proyecto A es mayor que la misma relación del proyecto B, ejecutar el proyecto A aumentará más la riqueza que ejecutar B.
( ) Si la TIR de un proyecto bien comportado es positiva, su VAN también lo será. ( ) Si la razón VAB/VAC de un proyecto es menor que la unidad, su VAN será nega- tivo.
( ) Si la TIR de un proyecto “bien comportado” es mayor que la tasa de descuento, su VAN será positivo.
( ) La identificación de los costos y beneficios de un proyecto requiere definir y opti- mizar la situación actual.
( ) El VAN de un proyecto que genera,ad infinitum, un flujo anual de beneficios netos constantes, será igual a esta anualidad dividida por uno, más la tasa de descuen- to (suponga que ésta es constante).
( ) Mientras más alta sea la tasa de descuento, más caro será el whisky de 12 años res- pecto del de 4 años.
( ) Si el VAN de un proyecto con flujos bien comportados es igual a su TIR, éste es un