MOMENTO ÓPTIMO PARA LIQUIDAR UNA INVERSIÓN

Muchas inversiones tienen implícita una determinada tasa de crecimiento del stock del capital invertido (plantaciones de árboles, añejamiento de vinos, engorde o cría de anima- les y aves, etc.). De allí surge el problema de determinar cuál es el momento óptimo de liquidar la inversión (cuándo cortar los árboles, cuándo vender el vino, cuándo vender el ganado de engorda, etc.). Analizaremos el problema a través de un ejemplo numérico.

Suponga que la tasa de interés del mercado es 5% y que la inversión inicial es de $100 para comprar un bosque que crecerá a una tasa anual determinada de K_i%. El cuadro IV.5 indica en cada fila:

Fila 1:El valor del bosque al final de cada año “i”,o sea, éste es valor implícito en madera.

Fila 2: La tasa de crecimiento K_idurante el año “i”, o sea que da el ritmo al cual crece el bosque por año. Es obvio que K_i= ρi∗= tasa interna de retorno al esperar un año, ya que nos indica el porcentaje en que aumenta el valor de la inversión de año en año, la que puede llamarse Tasa Marginal Interna de Retorno.

Fila 3:Indica el “costo alternativo” de la inversión al final del año “i”, C_i, cuando la tasa de interés es del 5%. Vale decir, esta fila indica los montos que se hubieran obtenido al final del año “i” si se hubieran invertido los $100 en una alternativa que rinde el 5% por año. Fila 4:Indica el beneficio neto (mayor beneficio), BN_i, que puede obtenerse al final del año “i” si se vende el producto de la inversión (comparado con lo que se hubiera obtenido en la alternativa). Sería entonces la fila 1 menos la fila 3.

Fila 5: Indica el valor actual del beneficio neto obtenido en el año “i” descontando al 5%, o sea, es el valor presente de la fila 4.

Fila 6: Indica la Tasa Interna de Retorno (ρ) obtenida de la inversión cuando se la liquida en el año “i”, la cual puede llamarse TIR promedio.

Fila 7: Es el Valor Anual Equivalente (VAE) del VAN obtenido al final del año “i”. Debe recordarse que éste es el valor que se obtendría de reinvertir para siempre los mismos $100 en el bosque.

Fila 8: Es el valor del VAE a perpetuidad, es decir, reinvirtiendo siempre los $100; por lo tanto, es igual a (VAE/0,05).

Se supone que los costos de operación y de liquidación son iguales a cero.

Del cuadro se desprende que la inversión es rentable si se cortan los árboles al final del año 12: la tasa interna de retornos es ρ₁₂= 7% > 5% (alternativamente, el valor actual

C uadr o IV .5 Dat os par a “¿C uándo c o rtar los ár boles?” Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1) B 1 100 105 112,35 123,59 139,65 153,85 167,70 181,12 191,98 201,58 210,65 218,79 225,35 (2) Ki = ρi 5% 7% 10% 13% 10,17% 9% 8% 6% 5% 4,5% 3,86% 3% (3) Ci 100 105 110,25 115,76 121,55 127,63 134,01 140,71 147,75 155,13 162,89 171,03 179,59 (4) BN i 0 0 2,10 7,83 18,10 26,22 33,69 40,41 44,23 46,45 47,76 47,76 45,63 (5) V ABN 1 0 0 1,90 6,76 14,89 20,54 25,14 28,72 29,94 29,94 29,32 27,92 25,41 (6) ρi 5% 6% 7,32% 8,71% 8,99% 9% 8,86% 8,49% 8,10% 7,73% 7,38% 7% (7) V AE 1,02 2,53 4,20 4,74 4,95 4,96 4,63 4,21 3,53 3,24 (8) V AN 20,4 50,6 84,0 94,8 99,0 99,2 92,6 84,2 70,6 64,8

de los beneficios netos es 25,41 > 0). Por consiguiente, es buen negocio liquidar la inver- sión al final del último periodo. ¿Es mejor cortarlos el año 11?

El beneficio neto que se obtiene en el año 12, BN₁₂= 45,63 es menor que el que se obtendría el año 11, BN₁₁= 47,76, de modo que se ve con claridad que es más beneficio- so liquidar la inversión en el año 11 antes que en el año 12. Al hacerlo, se habrá obtenido una rentabilidad de 7,38% sobre la inversión de $100. ¿Conviene cortar antes?

El beneficio neto máximo se obtiene cortando los árboles al final del año 10, obteniéndose así un beneficio neto, BN_l0= 47,76. En este punto (sin tener que esperar el año 11), el aumento en el valor de la inversión es (218,69 – 210,65) = 8,14, igual al aumen- to en el costo de la inversión: el costo marginal de esperar un año es igual al ingreso marginal que se obtendría durante ese año. Al liquidar aquí, nuestra inversión habría obtenido un 7,73% sobre su monto inicial y, tal como lo muestra la Fila 5, el VAN de hacer- lo en ese año es 29,32, mientras que es de sólo 27,92 si los corta al final del año 11. ¿Conviene adelantar aún más la fecha de liquidación?1

El inversionista, es evidente, preferiría liquidar antes del año 10, ya que cortándolos el año anterior obtendrá $46,5, que colocados a la tasa de interés del 5% se transforman, al cabo de un año, en 46,45 (1 + 0,05) = 48,77 (ese dinero, $46,45, invertido en árboles rinde sólo el 4,5% = K₁₀, mientras que si se cortan y se invierte en el banco rinde un 5%), que es mayor que los $47,76 que hubiera obtenido al cortarlos al final del año 10. Nuevamente, el VAN de cor- tarlos en el año 9 es 29,94, el cual es mayor que los 29,32 obtenidos si los corta el año 10.

De modo que más vale cortarlos al final del año 9 que al final del año 10: el valor actual de los beneficios es mayor cuando los árboles se cortan al final del año 9 que cuando se

1_{En 1977, mi ayudante, Ricardo Silva Mena, aportó la siguiente aclaración para “rescatar” el sano principio econó-}

mico de que el óptimo siempre se encuentra donde el costo marginal es igual al ingreso marginal: “Se dice en el texto que igualando el costo marginal con ingreso (final año 10, en que se llama ingreso marginal al aumento en el valor de la inver- sión y costo marginal al aumento en el costo de la inversión) no se llega al óptimo; a primera vista, esto resulta contradic- torio, puesto que casi por definición el óptimo se encuentra donde ingreso marginal es igual a costo marginal. La cuestión está en identificar el valor relevante para cada uno de estos conceptos. Para nuestro caso, el ingreso marginal es (en térmi- nos de beneficio) 9,70; en tanto que el costo marginal es 10,08 (201,6 x 0,05 = 10,08, ingreso de la alternativa desechada –cortar, vender y poner el dinero en el mercado de capitales– por el hecho de mantener el bosque el décimo año). Así hecho el análisis, es obvio que el óptimo está donde r = K, es decir, CMg = IMg.

Todos los valores mencionados están en unidades del año en que se perciben. Si consideramos que lo que se está maximizando es el valor presente de la inversión, el ingreso marginal relevante es el VA del IMg o cuánto aumenta el valor presente por tener el bosque un año más:

En tanto que el CMg sería cero, el óptimo se alcanza cuando Ki + 1 = r, es decir, IMg = CMg = 0”. Agradezco este aporte.

(VA – VA ) – K + B (1 + K ) (1 + r i + 1 i 1 i + 1 )) + K – B r = B (K ) (1 i + 1 i i i i + 1 – r (1+ ) + r)i + 1 –r

cortan al final del año 10. De modo que si la inversión alternativa pertinente para el inversio- nista es una con rendimiento del 5%, cortará los árboles al final del año 8. En ese momento, el mantener la inversión un año más le produce un 5% más y también le cuesta un 5% más. Alternativamente, los $44,20 que obtiene al final del año 8 se transformarán al interés banca- rio en $46,45 al final del año 9, por lo que le es indiferente mantener los árboles un año más. Vale decir, el momento óptimo para cortar los árboles es aquel para el cual su tasa de rentabilidad anual es igual a la tasa de descuento (r = ρi= ρ∗i). En este punto se hace máximo el valor actual de los beneficios netos actualizados a la tasa pertinente de r = 5%. De modo que la decisión correcta parece ser la de liquidar la inversión cuando la tasa de crecimiento del valor del producto de la inversión (el retorno de mantener la inversión un año más) es igual a la tasa de crecimiento en el costo de mantenerla (la tasa de interés pertinente para el inversionista). Esto es consecuente con la regla de maximizar la rique- za del inversionista –maximizar el valor actual de los beneficios netos del proyecto (Fila 5). Si la alternativa del inversionista es invertir al 5%, deberá liquidar al cabo del año 8.

Sin embargo, la tasa de interés del mercado puede no ser la tasa de interés pertinente. La persona que estará permanentemente en el negocio de los árboles tendrá interés en reinver- tir su dinero otra vez en árboles, antes que colocarlo en el banco, si este negocio tiene una tasa de retorno superior al 5% que paga el banco. Si nuestro inversionista liquida los árboles al cabo de los nueve años y reinvierte su dinero, y nuevamente los corta al cabo de nueve años, estará obteniendo un 8,1% de rentabilidad a su capital inicial –su riqueza crecerá el 8,1% por año. Es obvio que es mejor una situación en que la riqueza crece al 8% que al 5% –de aquí que el negocio de los árboles sea bueno–, pero mejor aún es que ella crezca al 8,5%, lo cual podría alcanzarse cortándolos al cabo de 8 años y reinvirtiendo todo de nuevo en árboles que se cortarán nuevamente a los 8 años. Sin lugar a dudas convendrá, entonces, cortarlos en aquel año en que se hace máxima la tasa interna de retorno,ρ.

De modo que si el inversionista invierte todo lo generado por el bosque, le conviene cortarlos en aquel año en que la TIR del negocio es máxima, es decir, al cabo del año seis, donde estará obteniendo un VAN de $25,14 cada seis años. Pero, si sólo reinvertirá los $100 originales–por ejemplo, porque tiene limitada la cantidad de tierra donde plantar- los– le convendrá cortarlos cuando el Valor Anual Equivalente (VAE) de esa inversión es máximo, es decir, al cabo del año 7 –fila (7) del cuadro– en que el VAN de una perpetui- dad de $28,72 cada siete añosal 5% es $99,26.

La conveniencia de este proceder puede demostrarse de la siguiente manera: si corta cada seis años y reinvierte sólo $100, al cabo de 24 años habrá acumulado un VKBN = $220,42

VKBN5% = –100(1,05)24_{+ 67,7(1,05)}18_{+ 67,7(1,05)}12_{+ 67,7(1,05)}6_{+ 167,7} O bien, un VABN de $68,35.

Pero, si corta cada ocho años, al cabo de los 24 años habrá acumulado un VKBN = $206,16 < $220,42:

VKBN5% = –100(1,05)24_{+ 91,98(1,05)}16_{+ 91,98(1,05)}8_{+ 191,98}

O bien, un VABN = $63,92. Lo cual demuestra que es mejor cortar cada seis si sólo reinvierte los $100.

Si reinvierte al cabo de los seis años todo lo que le produce el bosque ($167,70), su VKBN al cabo de los 24 años será: –100 (1,05)24_{+ 167,70 (1,09)}18_{= 468,55, en que se le} carga un costo de capital del 5% a la inversión inicial y en que a partir del año seis, los $167,70 se reinvierten todos y crecen al 9% anual. Descontado este valor al 5%, se obtie- ne $145,28. Debiera ser obvio para el lector que el valor presente de estos flujos a la tasa de costo de capital del 9%será exactamente igual a cero.

De modo que la riqueza del inversionista será mayor cuando corta los árboles en el momento en que la tasa interna de retorno es máxima (cuando la tasa media interna de retornos es igual a la tasa marginal interna de retorno). Ésta es la decisión correcta para el inversionista que va a seguir en ese tipo de negocio, reinvirtiendo en él todolo produ- cido por el bosque. Para la persona que quiere deshacerse de este negocio e invertir en otro que rendirá el 5%, le conviene liquidar cuando r₀= K_i= ρ_i∗_{(al cabo de 8 años); si el}

negocio alternativo rinde el 8%, el momento óptimo para cortar los árboles es el año 8, y si r > 9%, no es buen negocio invertir en árboles, pues la máxima tasa interna de retorno en el negocio de árboles es menor que lo que puede obtener en inversiones alternativas.

Analizando este problema desde otro punto de vista, puede investigarse la decisión que, año por año, va haciendo el dueño del negocio que desea continuar con ese tipo de inver- sión. La alternativa para no cortar los árboles es cortarlos y volverlos a plantar,de modo que el retorno pertinente es aquel que se obtiene en árboles.Al comienzo del año 4, sabe que la “inversión adicional” de mantener los árboles por un año, rinde un 13%; que si los corta, puede reinvertir el dinero y obtener al cabo de tres años un retorno del 7,32% sobre ese dine- ro si es que nuevamente los corta al final del año 3. Por lo tanto, prefiere mantener el dinero donde está. Llegado al final del año 5, puede obtener un 9% manteniendo la inversión, y un 8,99% cortando los árboles y reinvirtiendo otra vez en árboles; por lo tanto, no le conviene cortarlos. Al final del año 6, decide cortarlos, pues la inversión adicional le rinde menos que

lo que obtendrá cortándolos y reinvirtiendo el dinero por otros seis años en árboles. Nuevamente, el momento óptimo para cortarlos es cuando la tasa media interna de retorno es máxima e igual a la tasa marginal interna de retorno. ¿Es esta decisión inconsecuente con la regla anterior? La respuesta es no; siempre será cierto que el momento óptimo para cortar los árboles es aquel para el cual la tasa a que crece la inversión es igual a la tasa en que crece- rían los fondos en la mejor alternativa abierta al inversionista. ¡La mejor alternativa define la tasa pertinente para el inversionista!

Si el inversionista sigue para siempre en el negocio pero no tiene más espacio para plantar árboles, de modo que sólo puede reinvertir los mismos $100 que invirtió origi- nalmente, el momento óptimo para cortarlos es aquél para el cual su VAE es máximo, es decir, al final del año 7, donde el VAN de ese proceder –su aumento en riqueza– será $99,2 si reinvirtiera para siempre los mismos $100 de la inversión original.

Puede indicarse, por último, que si el inversionista pudiera comprar y vender los árboles en cualquier momento al precio que aparece en la fila 1 del cuadro, el mejor negocio sería comprarlos al final del año 3 y venderlos al final del año 4, con lo que él obtendría un retorno del 13% sobre su capital. Vale decir, el inversionista operaría en una situación en donde la tasa marginal interna de retorno es máxima.

En el ejemplo se determinó el momento óptimo para liquidar una inversión en el caso de que el inversionista debía cortar los árboles para vender la madera, o bien faenar el ganado para vender la carne o embotellar el vino que se estaba añejando. Los precios que se podían obtener por este concepto en los distintos años son los que figuran en la fila 1 (B_i) del cuadro. Partiendo del supuesto que el inversionista querrá liquidar la inver- sión en el momento que se hace máximo el valor actual de los beneficios netos actualiza- dos a la tasa de interés pertinente,se concluyó que cuando éste no desea seguir en el nego- cio, la tasa de descuento pertinente (alternativa) para él era aquella a la cual puede invertir en el otro negocio (5%). En cambio, cuando el inversionista va a continuar rein- virtiendo su dinero en el mismo tipo de negocio, la tasa de descuento pertinente para esta persona es del 9%, ya que es la tasa alternativa a la cual puede reinvertir su dinero en este negocio. (La tasa interna de retorno para el año “i” es la tasa interna de retorno prome- dio para todos los años, desde el año cero hasta el año “i”, ya que si se descuentan al año cero los beneficios netos que se obtendrán el año “i” a esa tasa, se obtiene un valor actual de cero; en cambio, la tasa marginal interna de retorno indica el retorno durante ese año en particular, respecto del año anterior.)

Ahora podemos hacernos otra pregunta. ¿Le conviene en realidad cortar los árboles para vender la madera o acaso le conviene más vender el bosque a otra persona para que ésta lo siga manteniendo y corte ella los árboles más adelante? ¿Conviene faenar el ganado

o conviene más venderlo? ¿Conviene embotellar el vino o conviene más trasladarlo? ¿Se mantendrá el momento óptimo determinado anteriormente si es que lo vende?

Hemos determinado que nuestro inversionista debe cortar los árboles al final del periodo 6 si es que piensa reinvertir su dinero plantando árboles de nuevo. Sin embargo, la opción puede ser venderlos a una tercera persona, cuya única alternativa sea poner su dinero al 5% en un banco. ¿Cuál es el precio al cual puede vender el bosque de 6 años de edad? ¡Piénselo antes de seguir leyendo!

Si se le cobrara un precio igual al valor que el maderero puede obtener cortándolos al final del año 6 ($167,70), sería éste un gran negocio para el comprador, puesto que al final del año 8 (dos años después) estaría obteniendo $191,98, o sea, una tasa de retorno mayor (7%) que la alternativa de poner ese dinero en el banco al 5%. Si la tasa de interés en el mer- cado es del 5%, el precio de venta máximo que puede obtener el maderero al final del año 6 es igual al valor actual (final del año 6) del beneficio que obtendrá el comprador al cortarlos al final del año 8. Vale decir, $174,13. (¡Calcúlelo!) De modo que al inversionista le conviene más venderlos plantados en $174,13 antes que cortarlos y obtener solamente $167,70 al cabo de 6 años, pues gana así un beneficio adicional de $6,43 ese año (174,13 – 167,70 = $6,43) que, agregado al ingreso neto que obtenía antes, da un beneficio neto total de $40,12 (6,43 + 33,69 = 40,12) al cabo de 6 años, con una tasa interna de retorno del 9,68%:

Con esto hemos determinado que el maderero puede obtener un beneficio neto mayor vendiendo el bosque sin talar al final del año 6 a una persona cuya mejor alternativa es obte- ner un 5% de retorno sobre su capital, que cortarlo y vender su madera al final del año 6.

Podemos ahora preguntarnos: ¿será más conveniente venderlo al final del séptimo año antes que venderlo el sexto año? (Se deja de lado la alternativa de talarlo el año 6, pues esta alternativa es peor que venderlo el año 6; por la misma razón se deja de lado la alternativa de talarlo el año 7, por ser ésta una alternativa peor que la de talarlo el año 6.) La respuesta es claramente no, pues el precio máximo que puede obtener por el bosque al final del año 7 es igual al valor actual (al final del año 7) de $191,98 que puede obtener el comprador al final del año 8: $182,86.2

( , ) ( , )

174 15 1 0976 = 100

2_{Es interesante observar que 182,86/(1,09)}7_{es igual a 100.} 3

¿Conviene acaso anticipar la venta en un año? El precio máximo que puede obtener del bosque al final del año 5 es igual al valor actualizado (al final del año 5) de los $191,98 que obtendrá el comprador cuando lo tale al final del año 8.

La tasa interna de retorno que obtendría el maderero si pudiera vender los árbo- les en $165,86 al final del año 5 es de 10,65% (¡calcúlelo!), de modo que le es más con- veniente venderlos al final del año 5 y reinvertir ese dinero en nuevos árboles, antes que esperar hasta el año 6 para venderlos. El retorno que obtiene de vender el bosque al final del año 6, en vez de venderlo al cabo del año 5, es del 5% solamente, puesto que 165,86 (1,05) = 174,15.

¿Le conviene acaso anticipar la venta un año más? La respuesta no es clara, como así tampoco es clara la respuesta dada más arriba. Los $165,86 indican el precio máxi- mo que puede obtener el maderero de la venta de su bosque al final del año 5, y no indica cuál es el precio que en efecto puede obtener de su bosque en el mercado. Es evidente que si el comprador no tiene otra alternativa que invertir su capital al 5% de interés, el que planta los árboles podrá vendérselos ¡en el mismo instante en que los planta!al precio de

ganándose de inmediato $29,94 con una tasa de retorno infinito. El gran negocio sería, entonces, plantar árboles para que los compren inversionistas que no tienen mejor alter-