A lo largo de este trabajo hemos recreado una propuesta metodológica que pretende mostrar las interacciones que se pueden dar entre la historia y la didáctica de las matemáticas. Con esta metodología se quiere mostrar la importancia de remitirnos a la historia para aportar a fenómenos (dificultades) de interés en el proceso de enseñanza- aprendizaje de algún concepto matemático, en nuestro caso el concepto de espacio vectorial y conceptos subyacentes. Es así como la historia es una referencia fundamental para las investigaciones que se adelantan en didáctica, porque permite ver las matemáticas como un saber dinámico y contribuye a justificar, a través de las etapas de constitución de un concepto, cómo este se convierte en un saber digno de ser enseñado.
4.2.1 Dimensión sociológica.
En el capítulo I y II encontramos diferentes episodios históricos de los que se develan fenómenos colectivos asociados al quehacer de la comunidad matemática, determinados por las creencias generalizadas y los intereses en determinado momento. Mencionemos dos fenómenos del colectivo formado por la comunidad matemática en dos épocas distintas, véase en los apartados 1.6, 1.7 y 1.8, que cronológicamente van del siglo XV al XVII, el fenómeno de
197 carácter colectivo que consiste en la no aceptación de los números negativos ni sus raíces, muy a pesar de que operaban con ellos y refrendaban las mismas propiedades de las raíces positivas.
Desde el desarrollo de las ecuaciones lineales y cuadráticas con las que trabajaron Al- Khowarizmi y Diofanto, se erige una búsqueda constante de métodos para resolver estas ecuaciones. En esta misma línea, los trabajos de Tartaglia, Cardano y Ferrari tuvieron éxito al encontrar la solución por medio de radicales de la ecuación cúbica y de cuarto grado. En consecuencia, se enfrasca la comunidad matemática en la búsqueda de los algoritmos que completen este trabajo, es decir, buscar la solución por medio de radicales para las ecuaciones polinómicas de grado 𝑛 ≥5.
Este fenómeno de carácter colectivo es alimentado en un largo periodo histórico a través de resultados que parecen ratificar la idea de que existe el método, por medio de radicales, para resolver las ecuaciones de quinto grado y mayores; por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra cuya primera aproximación fue dada por Descartes y luego Euler lo completa hasta el grado seis. Los hechos anteriores garantizaban en cierto sentido la existencia de las raíces. En consecuencia, en cuanto a las ecuaciones, la búsqueda de algoritmos para encontrar las soluciones era lo más relevante. Por otro lado, en el escenario que nos interesa ubicar el fenómeno, Euler presenta sus ideas alrededor de las características de las ecuaciones de un sistema de ecuaciones y cómo estas determinan la naturaleza del conjunto solución. Simultáneamente, emerge el algoritmo de la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales, y como era de esperarse la comunidad matemática se interesa más por la regla de Cramer (Ver 2.1 y 2.2). De nuevo, en este momento histórico, vemos cómo la idea
198 equívoca, de que si las soluciones existen debe existir el método que me lleve a ellas, orientó los intereses de los matemáticos por largo tiempo.
Los matemáticos de la época de Euler, como hemos reiterado, solo resolvían los sistemas de ecuaciones cuadrados, que son aquellos que tienen igual número de incógnitas que de ecuaciones, los que no tenían única solución se descartaban por considerarse mal planteados. Esta concepción de los matemáticos condicionó las estrategias investigativas de la época, lo que muestra claramente un fenómeno de características sociológicas.
4.2.2 Hallazgos filosóficos.
La postura filosófica determinante en la situación que hemos descrito en el punto anterior es del tipo platónico, bien conocida en el mundo de los matemáticos como realismo que se define como: cualquier explicación metafísica de las matemáticas que implica que las entidades matemáticas existen, que son abstractos, y que son independientes de todas nuestras actividades racionales. (Recuperado de https://www.iep.utm.edu/mathplat/. 25 de Noviembre de 2018).
En otras palabras, tanto los objetos matemáticos como las leyes que los rigen no se inventan, sino que se descubren. En el periodo histórico que hemos descrito en el apartado anterior y por muchos siglos más, la comunidad matemática decididamente creyó, sin prueba alguna que, si una ecuación tiene solución, en consecuencia, debe existir un método y más concretamente un método por radicales que nos lleve a obtener dichas soluciones. La creencia de naturaleza platónica, como ya hemos señalado, se centraba en el método por radicales para resolver ecuaciones: se tenía la certeza que debía existir en el mundo de las ideas, sólo era cuestión de encontrarlo. En general persiste la discusión milenaria sobre si los objetos matemáticos se
199 descubren o son invenciones del hombre. Creemos que las dos posturas coexisten. Nuestro análisis histórico realizado en el capítulo 1, nos deja la idea que la geometría juega un papel preponderante en la emergencia de un concepto básico como es el de vector, en particular la geometría del plano y el espacio le presta al álgebra lineal un campo donde poder descubrir a partir de visualizar e imaginar gran parte de los conceptos que le son constitutivos. Pero debemos advertir que la geometría que desinteresadamente sirve de caldo de cultivo para que germinen los conceptos básicos, se convierte a la postre en obstáculo para aquellos espacios de más de tres dimensiones, es ahí, donde el que aprende debe pasar de la etapa del descubrimiento a la etapa de las invenciones.
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BIBLIOGRAFÍA
Abel, N. H. (1824). Mémoire sur les equations algébriques, oul´ on demontres l´impossibilité de la resolution de l´aquation générales du cinquiéne degré.
Álvarez, Y. (2014). Introducción del álgebra lineal en España y Colombia durante la mitad del siglo XIX y primera del siglo XX. Logroño: Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática.
Arboleda, L. C. (2002). El problemas didáctico y filosófico de la desaxiomatización de las Matemáticas. Revista Colombiana de filosofía de la ciencia., 3(6-7), 59-84.
Arboleda, L. C. (2006). Los tratados franceses en la enseñanza del análisis en Colombia. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 101-107.
Arboleda, L. C. (2012). El análisis cartesiano en la solución del problema de Pappus y la introducción de las curvas algebraicas. Asociación Colombiana De Educación Matemática. ASOCOLME, 1-10.
Arboleda, L. C., & Castrillon, G. (2007). Educación matemática, pedagogía y Didáctica. REVEMAT. Revista Eletrônica de Educação Matemática., 5-27.
Artigue, M. (1990). Epistémologie et didactique. Reserches en didactique des mathématiques. Bombelli, D. R. (1572). L´Algebra. Bolonia.
Bourbaki, N. (1943). Eléments des Mathématique. París: Grat- Britain.
Bourbaki, N. (1976). Elementos de historia de las matemáticas. (J. Hernández, Trad.) Springer-Verlag. Boyer, C. B. (2001). Historia de la matemática. Madrid: Alianza.
Bravo, A., & Cantoral, R. (2012). Los Libros de Texto de Cálculo y el fenómeno de la Transposición didactica. Educación Matemática, 24(2), 91-122.