Como se mencionó anteriormente, el enfoque algorítmico de los profesores ha generado en los estudiantes la percepción de que el álgebra lineal es un curso donde se aprende a resolver sistemas de ecuaciones lineales o simplemente a escalonar matrices. Dado el lugar privilegiado que se le da a los métodos de resolución, se pierde la idea central del curso de álgebra lineal.
En nuestro análisis histórico se mostró que en el estudio de las ecuaciones lineales y cuadráticas hubo una insistente búsqueda de métodos de solución. En los trabajos de Tartaglia, Cardano y Ferrari se encontró la solución por medio de radicales de la ecuación cúbica y de cuarto grado; estos métodos estimulan a los matemáticos de la época a la búsqueda de los algoritmos que completen este trabajo; se dan la tarea de buscar la solución de ecuaciones de grado 𝑛 ≥ 5.
En este contexto aparece la aproximación que dio Descartes al teorema fundamental del álgebra y, más adelante, la formalización de éste que dio Gauss; este teorema garantiza la
162 existencia de las raíces y caracteriza su naturaleza (reales, complejas), lo que invita a pensar que sólo falta encontrar el método para hallarlas.
En el caso de los sistemas de ecuaciones lineales, el uso de los determinantes como algoritmo para encontrar las soluciones trae como consecuencia una alta complejidad en los cálculos y computacionalmente resulta costoso. En la perspectiva de la enseñanza actual, cuando se incorpora el método de Cramer para la solución de sistemas de ecuaciones, no sólo se muestra el desconocimiento de la búsqueda del método para resolver cualquier ecuación, que hemos señalado arriba, sino que se hace uso de un ineficiente método, con un alto su costo computacional comparado con el método de eliminación Gaussiano:
El álgebra lineal es una de las bases de la matemática en general, desafortunadamente, muchos textos (y por lo tanto los cursos que lo usan) dan un énfasis “computacional” a la teoría y la notación, no sólo descuidando el verdadero aspecto computacional y numérico, sino que también desorientan al lector o al estudiante en lo que a cálculos se refiere.(Martínez & Sanabria, 1996, pág. 23)
Este no es el único caso en el que un objeto matemático, potente por su valor teórico, se usa forzosamente como algoritmo, sin ser esa su esencia e importancia dentro de las matemáticas. Volviendo a la época de Euler, la regla de Cramer significó un algoritmo general y válido que los matemáticos adoptaron fuertemente. En consecuencia, la perspectiva de Euler pierde interés. El punto es que la historia nos sugiere que los conceptos de dependencia e
163 independencia lineal surgen de manera natural en medio del estudio de los sistemas de ecuaciones donde resulten infinitas soluciones, abordando éstos desde un enfoque cualitativo.
Como lo hemos expuesto, la historia que envuelve el desarrollo del álgebra en general muestra el interés constante de los matemáticos por encontrar los métodos de solución de ecuaciones. Estos ejemplos y otros, que se abordaron en los dos anteriores capítulos, muestran que la comunidad matemática se conducía con la idea equivocada: dado un problema, se debe poder resolver; dada una ecuación, debe existir el método para encontrar sus raíces; dado un sistema de 𝑛 ecuaciones con 𝑛 variables, éstas deben ser suficientes para hallar las 𝑛 variables. El problema es que estas concepciones son válidas en muchos contextos y se creían válidas en general. Euler para el caso de los sistemas de ecuaciones lineales y Abel para el caso de los polinomios de grado mayor o igual que 5 señalaron el error. Abel, en su artículo titulado Mémoire sur les equations algébriques, oul´ on demontres l´impossibilité de la resolution de l´aquation générales du cinquiéne degré (1824) menciona:
Los geómetras se han ocupado mucho de la solución general de las ecuaciones algebraicas y varios de ellos trataron de probar la imposibilidad. Pero, si no estoy equivocado, no han tenido éxito hasta ahora. Por eso, espero que acojan con agrado esta memoria, la cual está destinada a llenar el hueco existente en la teoría de ecuaciones algebraicas. (Abel, 1824, pág. 3)
Dado que, en la perspectiva de la enseñanza, las concepciones equivocadas se repiten con pasmosa similitud, podemos concluir que estamos frente a lo que Brousseau llamó un obstáculo de tipo epistemológico: un conocimiento que resulta efectivo en un contexto, pero que en algún
164 momento se convierte en un obstáculo para adquirir un nuevo conocimiento. En otras palabras, el conocimiento eficaz en un contexto es disfuncional dentro de otro más amplio.
El algoritmo general de la regla de Cramer produce el estancamiento de conceptos como rango, dependencia e independencia lineal. Fue solo después de más de un siglo que la perspectiva de Euler dio lugar a la aparición de estos conceptos gracias a Frobenius, quien retomó las ideas de Euler del ambiente de las ecuaciones lineales y las extendió a las n-uplas. Este hecho, que pudiese parecer irrelevante, es el que da lugar a una conceptualización más clara de lo que ahora llamamos rango. Frobenius no sólo definió lo que actualmente conocemos como base de soluciones, sino que también asoció un sistema de ecuaciones para tal base, es decir cada n-upla se transforma en una ecuación, resultando lo que conocemos como el sistema escalonado asociado a un sistema inicial (Dorier, 1997, pág. 7) Luego, Frobenius deja claro que esta base de soluciones no es única, pero que cada una de ellas tiene a su vez un sistema asociado con el mismo conjunto de soluciones que el sistema inicial, lo que en la bibliografía utilizada en nuestro entorno se conoce como sistemas equivalentes.
Este primer resultado sobre la dualidad en espacios vectoriales de dimensión finita mostró la relación invariante entre el número de variables, el número de variables indeterminadas el número de elementos de la base de soluciones y la base del conjunto solución del mismo sistema. De otro lado, el enfoque de Frobenius permitió que un sistema fuera visto como un elemento de la clase de equivalencia de todos los sistemas equivalentes con él, lo que constituye un paso fundamental hacia la representación de un subespacio por medio de expresiones algebraicas.
165 Este hecho, que resume más de un siglo de historia, muestra cómo la adopción de una definición formal (aquí de dependencia e independencia lineal) puede ser un paso fundamental en la construcción de una teoría y, por lo tanto, constituyente esencial de esta teoría. Es sólo hasta que Frobenius retoma la perspectiva cualitativa propuesta por Euler que se logra avanzar en esta dirección.
Con respecto a la búsqueda de algoritmos se puede destacar, partiendo de una postura filosófica de las matemáticas, que el hecho de que los matemáticos consideren que los algoritmos existen y que simplemente no se había encontrado un algoritmo para resolver ecuaciones en general, va de la mano con la concepción platónica de las matemáticas, que afirma que los objetos matemáticos no son producto de la mente humana sino que son verdades preexistentes que habitan en un mundo distante de la condición humana, el mundo de la ideas, núcleo de la filosofía platónica caracterizado, en muchos de sus diálogos; en otras palabras, la búsqueda de algoritmos, suponiéndolos ya existentes, se asocia con que no son invenciones humanas sino que existen por sí mismos en un mundo ya terminado al que los matemáticos deseaban llegar.