Una de las formas como los estudiantes aprenden conceptos matemáticos es a través de la construcción de objetos mentales a partir de su intuición; es así como lo describe Efraím Fischbein (1920,1998) quien estudió la importancia de la intuición en los razonamientos matemáticos y sus consecuencias:
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El estudiante tiende a olvidar las propiedades formales y tiende a mantener aquellas impuestas por un modelo intuitivo. La explicación perece ser muy simple: las propiedades impuestas por el modelo concreto constituyen una estructura coherente, mientras que las propiedades formales aparecen, al menos a primera vista, más bien como una colección arbitraria. (Fischbeim, 1989, pág. 10)
Hemos recurrido a la explicación propuesta por Fischbein, ya que la intuición guarda una estrecha relación con la geometría que tiene un fuerte impacto en el desarrollo del álgebra lineal; Aunque es quizás 𝑅𝑛, el caso más sencillo de espacio vectorial, es con objetos que “habitan” en el plano o en el espacio ( 𝑅2, 𝑅3respectivamente) que se describen la gran mayoría de los elementos de 𝑅𝑛, es decir, cuando trabajamos en álgebra lineal, es habitual que al presentar propiedades de 𝑅𝑛, recurramos a 𝑅2 ó 𝑅3 para tener el referente geométrico e intentar imaginar en “dimensiones mayores”.
Fischbein hace una caracterización de varios términos asociados a la intuición. Uno de los que nos llama la atención es la “coerción”, que se define como las nociones intuitivas que tiene el sujeto y que las considera como representaciones absolutas y únicas, a pesar de entrar en contradicción con la teoría formal. Un ejemplo de ello en álgebra lineal en un primer nivel es el caso de las rectas no paralelas en el plano, las cuales sin remedio se cortan; el estudiante termina tomando como representación absoluta de las rectas no paralelas aquellas que se cruzan. En el espacio este hecho no es verdad y, aunque cuesta alguna dificultad, puede ser superado por la mayoría de los estudiantes, puesto que contamos con ejemplos que podemos visualizar en nuestro entorno natural. En esta misma línea, pero en otro nivel, en el espacio se toman como
167 representación absoluta de planos distintos no paralelos aquellos que se cruzan formando una línea recta; dicho de otra manera, la ecuación de una línea recta en el espacio está dada por un sistema de dos planos no paralelos. Una vez planteamos éste mismo problema en un espacio de dimensión mayor a tres, nos podemos encontrar con el caso de que dos planos no paralelos nunca se intersectan; un matemático vería este fenómeno como una especie de generalización del caso que mencionamos como de primer nivel.
Otro de los rasgos de la intuición al que haremos referencia es de “Implicidad” que se define como la inconciencia que tiene el sujeto sobre sus nociones intuitivas.
Como se caracterizó antes, hay un rasgo transversal al álgebra lineal: su formalismo. Este hace que con frecuencia los estudiantes busquen caminos familiares para ellos con el objetivo de entender el carácter abstracto del álgebra lineal; uno de los caminos que toman es el de asociar a ideas intuitivas las propiedades, definiciones o teoremas con los que trabajan. Este hecho no es inaceptable en sí mismo, sino que, en la necesidad, a veces inconsciente, de plasmar en un modelo intuitivo una idea formal, el nivel de abstracción se puede ver reducido y mal interpretado (Fischbein, 1987). La mayoría de los modelos tácitos o intuitivos son mediadores imperfectos, llevando algunas veces a interpretaciones incorrectas e incompletas.
La intuición geométrica se desarrolla a partir de un conjunto de acciones interiorizadas. Se realiza allí una captura del objeto físico mediante el lenguaje. Los objetos matematizados pueden tener una cierta autonomía lógica, pero, ontológicamente, permanecen dependientes de los objetos físicos y, en consecuencia, aquellos objetos están obligados a respetar los límites impuestos
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a los objetos físicos. En esta perspectiva, el objeto magnitud matemática permanece subordinado al objeto magnitud física. Por ejemplo, la magnitud matemática sólo puede ser infinita en potencia (Moreno-Waldegg, 1995).
La conclusión que se quiere ubicar aquí es que, aunque los modelos intuitivos en una primera etapa aportan hacia la construcción de conocimientos, dado el carácter abstracto del álgebra lineal es necesario desprenderse de estos, como también de la geometría, ya que al tender a generalizar hay problemas.
En la historia de las matemáticas vemos la constante interacción entra la geometría y el álgebra; esta interacción se caracteriza por diferentes momentos en los que el ambiente geométrico posibilita al álgebra a avanzar en la conceptualización de objetos matemáticos y viceversa, como también otros en los que los límites que le impone el mundo físico a la geometría no permiten, a su vez, progresos en la línea algebraica.
La axiomática propuesta en la obra de Euclides fue un hecho transversal en la historia de las Matemáticas por más de 20 siglos: está forma de validar resultados matemáticos se convirtió por mucho tiempo en el lugar de partida para aceptar o rechazar avances matemáticos. La validación de procesos que actualmente se conocen como algebraicos, se daba en el seno de la geometría. Esto se puede observar con varios matemáticos que citamos en nuestro capítulo anterior, por citar uno de ellos mencionaremos a Cardano.
Aceptación de raíces y de cantidades negativas.
En la obra de Cardano podemos resaltar, desde la filogénesis, entendiendo esta como el desarrollo de un concepto en la historia, el inicio de una etapa operativa entre los números
169 negativos y los números complejos, los cuales ni Cardano ni sus contemporáneos aceptaban como números; pero el hecho de cumplir las propiedades de las raíces de una ecuación de tercer grado le asigna accidentalmente un estatus de objeto matemático a las llamadas raíces falsas; en la obra de Bombelli y otros matemáticos de la época, se acentúa mucho más este posicionamiento. En la ontogénesis, entendiendo esta como desarrollo del conocimiento en un individuo, se podría sugerir como estrategia de apropiación y aceptación de los números negativos y sus raíces, operarlos en el contexto de la solución de ecuaciones; en una primera etapa se podría trabajar con soluciones negativas y complejas de ecuaciones de segundo grado, de las cuales su semisuma es siempre la abscisa del vértice de la parábola (tomando parábolas con eje de simetría vertical) y brindar las representaciones geométricas respectivas. La idea clave aquí es que la solución de ecuaciones brinda la posibilidad de cambiar números reales aceptados fácilmente, como los números reales positivos, por números negativos y complejos que no son aceptados naturalmente.
Es precisamente la imposibilidad de validar los números negativos y sus raíces en el ambiente geométrico, lo que hacía inadmisible que Cardano y su generación los legitimara como números, aunque tenían un comportamiento similar al de los números aceptados hasta el momento. La obligación de demostrar o validar todos sus resultados a través de la geometría Euclidiana, que representaba el paradigma de las matemáticas para la época, se constituye en un obstáculo que se comparte en el desarrollo filogenético y ontogenético de los números complejos. Lo que se acaba de señalar, es conocido en el ambiente didáctico como uno de los obstáculos que hacen parte del referente geométrico, como lo caracteriza Dorier y otros investigadores.
170 Podría pensarse que la enseñanza de la geometría euclidiana puede ser de alguna manera nociva, lo que, aunque no es parte de nuestra investigación, debemos aclarar que es absolutamente falso. La geometría representa una fuente potente de imaginación para la construcción de pensamiento algebraico, pero en sus etapas tempranas aparece muy ligada al mundo físico, lo que hace que se convierta a su vez en fuente de obstáculos.
3.6 Un posible camino para abordar el concepto de dependencia e independencia lineal.