en la evolución de la geometría. Es a partir de los esfuerzos de representar tanto los números negativos como las raíces negativas en forma geométrica que surge el concepto de vector geométrico. Se señalará el papel de Cardano, Wallis, Wessel, Gauss y Hamilton en relación con a la emergencia de vectores en el plano y el espacio
Cardano no sólo trabajó en la resolución de la cúbica; también consideró varias formas de ecuaciones cuadráticas, como, por ejemplo, 𝑥2+ 𝑝𝑥 = 𝑞, 𝑝𝑥 − 𝑥2 = 𝑞, 𝑥² = 𝑝𝑥 + 𝑞 haciendo uso de números negativos. Un ejemplo de ello es el siguiente problema:
Si alguien le pide a usted dividir 10 en dos partes, una que multiplicada por la otra produzca 30 o 40, es evidente que esta clase de preguntas es imposible. No obstante, vamos a resolverla de la siguiente manera. (Traducción en ingles de 1968 de la obra en latín de Cardano, 1945, Capítulo XXXVII)
53 Cardano se enfrenta a una solución imposible que lo conduciría a partir de procedimientos algebraicos a la raíz cuadrada de un número negativo. Cardano continúa afirmando que:
Esto, sin embargo, es más cercano a la cantidad que es verdaderamente imaginaria (entidades sofisticadas) ya que las operaciones no se pueden realizar con ella como con un número negativo puro, ni como en otros números. ... Esta sutileza resulta de la aritmética de que este punto final es como he dicho tan sutil como inútil. (Cardano, 1993)
En la resolución de algunas ecuaciones cúbicas, en las que propone un interesante método de resolución, también se encontró con números negativos; para las ecuaciones cúbicas que no tenían el término cuadrático de la forma:
𝑥3+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 .
Estableció un método para reducir el término cuadrático y reescribirlas como una de las formas que se vieron anteriormente. Cardano la transforma en una ecuación equivalente que no contenga el término cuadrático a partir de la sustitución:
𝑥 = 𝑦 − 𝑘 .
Reemplazando esta igualdad en la ecuación general 𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se obtiene: (𝑦 − 𝑘)3+ 𝑎(𝑦 − 𝑘)2+ 𝑏(𝑦 − 𝑘) + 𝑐 = 0 .
Haciendo procedimientos algebraicos:
𝑦3− 3𝑦2𝑘 + 3𝑦𝑘2− 𝑘3+ 𝑎𝑦2− 2𝑎𝑦𝑘 + 𝑎𝑘2+ 𝑏𝑦 − 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 . Reorganizando:
54 𝑦3+ 𝑦2(−3𝑘 + 𝑎) + 𝑦(3𝑘2− 2𝑎𝑘 + 𝑏) − 𝑘3+ 𝑎𝑘2− 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0. Haciendo −3𝑘 + 𝑎 = 0 se obtiene 𝑘 = 𝑎 3 y se llega a la ecuación: 𝑦3+ 𝑦 (3 𝑎 32 2 − 2𝑎𝑎 3+ 𝑏) − 𝑎3 33+ 𝑎3 32− 𝑏 𝑎 3+ 𝑐 = 0 , la cual no tiene término cuadrático.
Haciendo:
𝑝 = 𝑏 −
𝑎 3 2y 𝑞 = −
2𝑎3 27−
𝑏𝑎 3+ 𝑐,
la ecuación anterior: 𝑦3+ 𝑝𝑦 = 𝑞, que corresponde a una ecuación cúbica ya conocida.Cardano enriquece su demostración con varios ejemplos en los que reduce el término cuadrático; a continuación, se presenta uno de ellos:
Un oráculo le ordenó a un príncipe construir un edificio sagrado cuyo espacio debería ser de 400 cubits, del cual lo largo debe ser seis más que lo ancho y lo ancho tres más que la altura. Se deben encontrar estas cantidades. (Rascón, 2003, pág. 50)
Si se llama 𝑦 a la altura, entonces se tendrá:
Ancho: 𝑦 + 3 largo: (𝑦 + 3) + 6, de donde se tiene la ecuación:
55 que resulta siendo una ecuación cúbica:
𝑦3 + 12𝑦2+ 27𝑦 = 400.
Aplicando el procedimiento visto para eliminar el término cuadrático, se hace: 𝑦 = 𝑥 − 𝑘, donde 𝑘 =𝑎 3= 12 3 = 4. Reemplazando: (𝑥 − 4)3+ 12(𝑥 − 4)2+ 27(𝑥 − 4) = 400, finalmente se llega a la ecuación cúbica:
𝑥3 = 380 + 21𝑥,
que corresponde a una ecuación del caso 2 (página 29) planteado por Cardano y que tiene como solución:
𝑥 = √190 + √357573 + √190 − √35757, 3
De aquí se concluye que una de las raíces es:
𝑦 = √190 + √357573 + √190 − √357573 + 4 .
A continuación, se presenta otro de los problemas resueltos por Cardano que corresponde, en términos modernos, a resolver la ecuación:
𝑥3+ 26𝑥 = 12𝑥2+ 12,
Reduciendo el término cuadrático con el método planteado por Cardano, haciendo 𝑥 = 𝑦 + 4, corresponde a la ecuación:
56 𝑥3 = 22𝑥 + 36 ,
de la cual Cardano afirmó que:
Por lo tanto, habrá tres soluciones, la primera de las cuales es √19 + 1 y es verdadera; la segunda es falsa y es −(√19 − 1); y la tercera es también falsa y es 2. Suma estas individualmente a la tercera parte del coeficiente del cuadrado, y tendrás tres soluciones las cuales son: (1ª) 5 + √19; (2ª) 5 − √19; (3ª) 2 (Cardano, 1993).
Esta afirmación permite ver que, aunque Cardano no consideraba las soluciones negativas como válidas, en algunas situaciones se encontró en su camino de resolución con estas y las manipuló, llegando finalmente a resultados admitidos a partir de sus juicios. Es importante notar que en el trabajo de Cardano las operaciones que realizaba estaban respaldadas en una relación que había encontrado entre las raíces y los coeficientes de la ecuación: de esto se evidencia que el coeficiente del cuadrado, en los tres ejemplos en los cuales hay tres soluciones para la cosa (término que se asocia a la variable), es siempre la suma de las tres soluciones (Cardano, 1993). Tomando las raíces de la anterior ecuación, lo que plantea Cardano es:
(5 + √19) + (5 − √19) + (2) = 12 .
A modo de paréntesis, es importante notar que esta relación marca el inicio de una forma de entender el problema de resolución de ecuaciones a partir del estudio de sus coeficientes; esta relación entre las raíces de una ecuación y el coeficiente del término cuadrático es un hallazgo remarcable no sólo por el gran movimiento matemático que se gesta, sino también porque se
57 hace utilizando un lenguaje matemático limitado; comparado con el actual. La relación existente entre las raíces de la ecuación de grado tres y el coeficiente del término cuadrático es un resultado que luego se extiende a los restantes coeficientes de la ecuación por medio del concepto de polinomios simétricos, concepto que hasta hoy prevalece. Así mismo se verá un poco más adelante que Descartes también establece una relación similar y hace un análisis de los signos de los coeficientes y la relación con el número de raíces de una ecuación, llegando a establecer propiedades muy próximas a lo que después se llamaría el Teorema Fundamental del Álgebra.