Modelo con descuentos progresivos

Como mencionamos anteriormente, en el modelo progresivo tenemos un precio para

las primeras unidades; las siguientes unidades cuestan y así

sucesivamente. Por ejemplo, supongamos que y compramos

Las primeras 99 serán cobradas a las siguientes 100 serán cobradas a y las siguientes 5 1 serán cobradas a

El comportamiento de los costos se ilustra en la Figura 4.9 a continuación. Observando la Figura 4.9 el lector debe recordar que la línea es válida sólo de

cero a la línea es válida sólo de a Por tanto, algunas

serán compatibles y otras no. La compatible que conduzca al costo total

anual es óptima. Curiosamente, en este modelo las no pueden ser óptimas

nunca. Para verificar esto sugerimos, como en el inciso anterior, que el lector oscurezca en la Figura 4.9 las partes válidas de cada una de las curvas.

FIGURA 4.9 Modelo con descuentos progresivos

COSTO TOTAL

Analizaremos el modelo con costo de mantener constante por ser mucho más sencillo, proporcionando la ecuación matemática de las líneas el punto mínimo de éstas y la condición de optimalidad.

Capítulo IV: Control de 143

Si hay 3 (cambios de precio), como en la Figura 4.9, hay 4 rangos de precio diferentes:

Rango O Q

Rango #2: Q

Rango #3: Q

Rango #4: Q

Si compramos una cantidad en el rango #1, sólo el precio estará activo; si compramos una cantidad en el rango #2, tanto como estarán activos, ya que las

primeras unidades serán compradas a y las restantes serán

compradas a Siguiendo con la misma lógica, concluimos que en el rango estarán

activos y y en el rango estarán activos y

La ecuación matemática de la línea válida únicamente para es la

siguiente:

Q

_+-C, D

₊

2

Q

que pasa por el mínimo en la cantidad:

Dicha cantidad solamente será compatible si se ubica en el rango #1, o sea,

En cuanto al costo tenemos:

Q

D D

2

Q

Q

ya que, de la cantidad " Q , unidades se compran a y se compran

a y esto ocurre veces al año. Por simplicidad, hagamos

etc.:

Éste es equivalente a un modelo básico con "costo de preparación" igual a:

+ -

+ -

Dicha cantidad sólo es compatible si se encuentra en el rango #2, es decir, Análogamente, encontramos que:

Dicha cantidad sólo es compatible si se encuentra en el rango #3, es decir,

Y finalmente:

Dicha cantidad sólo es compatible si se encuentra en el rango #4, es decir

Seguiríamos calculando y de la misma manera si hubiera más cambios de

precio. La cantidad compatible que conduzca al menor óptima!

Resumiendo, el procedimiento para el modelo progresivo es el siguiente: a) Calcular todas las

b) Verificar cuáles son compatibles.

c) Calcular los sólo de las compatibles.

d) El mínimo identificará la óptima.

Ejemplo numérico 4.5:

Supongamos que el proveedor tiene la siguiente política de descuentos: Las primeras 499 unidades, a

Las siguientes 500 unidades, a = $9.00.

Las siguientes 4,000 unidades, a = $8.00.

Las siguientes, a = $7.50.

En otras palabras, tenemos Además tenemos que

y

Determinar la cantidad óptima a comprar. Solución:

Para empezar recordemos que y Las cantidades son

Capítulo Control de

a

1,095 unid. 1,095 500, es compatible!

+

- 1,787 unid. 2.50 1,787 1,000, es compatible!

B3, por lo que es compatible!

+

+

+

- = 4,146 unid. 2.50

+

O)

+

- unid. 2.50 4,146 5,000, es compatible!

Conclusión: sólo es compatible, por lo que es óptima. El costo correspondiente a es:

1

CTA,, 2.50

+

+

+

-

+

2 1

Si el costo de mantener fuera proporcional al precio, el modelo se complicaría bastante, porque en cada uno de los rangos hay varios precios activos. El precio del material resultaría ser una media ponderada de los precios Si es el costo de mantener en forma porcentual, entonces

,

y éste sería una función de " Q .

4.4 MODELO PARA PRODUCTOS TERMINADOS

Cuando una empresa utiliza el mismo equipo (o grupo de equipos) para la fabricación de productos terminados, no siempre es posible calcular los lotes óptimos usándose la fórmula:

Esto se debe al hecho de que obtendríamos lotes óptimos que no

necesariamente serían factibles de fabricarse sin que se agotaran las existencias de uno o más de ellos. En otras palabras, podría darse el caso de que los productos fueran fabricándose en forma secuencia1 y el inventario del producto se agotara antes de que se completara un ciclo y se volviera a fabricarlo. En este caso, será necesario

lotes diferentes de los lotes "óptimos" calculados con la fórmula que se encuentra arriba (la palabra "óptimos" está entre comillas porque si no son factibles dejan de ser óptimos).

Cuando hay problemas de agotamiento de existencias antes de que se complete un ciclo, el procedimiento alternativo es determinar un número de ciclos al año único para todos los productos y con base en éste determinar nuevas cantidades. Si el número de ciclos es óptimo (N,) las nuevas cantidades también serán óptimas. A continuación deducimos la fórmula que nos proporciona

Si cada producto se fabrica veces al año, tenemos:

El nivel de inventario de cada producto "i" variará como se indica en la Figura 4.10.

Durante el tiempo hay producción y demanda, y durante el tiempo hay sólo

demanda. Durante lotes de los demás productos serán fabricados. FIGURA 4.10 Comportamiento del inventario del producto

....

>

-

>

TIEMPO

Puede demostrarse que el inventario medio para el producto "i" en las condiciones de la Figura 4.1 0 es:

que tenemos:

Consecuentemente, el costo de mantener anual del producto será:

Capítulo N: Control de

Como hay "N" ciclos por año (para todos los productos), el costo de preparación anual será:

k

CPA = N

.

i=l

Finalmente, el costo total anual será:

Derivando respecto a "N", igualando a cero y despejando se encuentra la " N óptima:

El costo total anual mínimo sera

Como puede observarse, este procedimiento parte del supuesto de que sí es posible realizar " N ciclos de fabricación al año, y que para cada uno de los productos ocurrirá lo que se muestra en la Figura 4.10. Sin embargo, como se verá a continuación, este método no siempre es aplicable.

Si suponemos que el tiempo de preparación de para el producto

es el ciclo de fabricación, es decir, el período de tiempo total entre dos corridas consecutivas del producto "i", será:

k

CICLO =

+

)

Si ahora observamos la Figura 4.1 1, podemos concluir fácilmente que para cualquier producto "i" el período de tiempo tiene que cumplir con:

Si utilizamos la fórmula para calcular las corridas de cada producto, los períodos "Ti" de todos los productos serán idénticos e iguales a:

Por lo tanto, la realización de ciclos al año solamente será posible cuando:

FIGURA 4.11 Factibilidad de producción del producto

>

TIEMPO

>

+

Si suponemos que los son muy pequeños en relación a los podemos escribir:

Como tenemos:

Esta última ecuación muestra claramente que la posibilidad o imposibilidad de la aplicación de este método no depende de "N". En otras palabras, si la

Capítulo IV: Control de 149

fabricación de los productos será posible para cualquier valor de " N . Sin embargo, sólo un valor de " N conduce a un costo total anual mínimo y éste está dado por la fórmula:

P.'

Por otro lado, si el problema será imposible (sin faltas de existencia) para cualquier valor de " N La condición de factibilidad es relativamente obvia, ya que para cada producto el cociente representa el tiempo total en años para que se pueda fabricar la demanda anual Si la suma de todos estos es mayor que uno, esto indica que para la fabricación de las demandas anuales de todos los productos se necesitaría más de un año. En otras palabras, si la capacidad anual de producción del equipo sería insuficiente para la fabricación de todas las

Concluyendo, cuando la fabricación de los productos será imposible, no

importando el método que se utilice.

De este análisis podemos deducir que cuando queremos determinar los lotes óptimos factibles de productos múltiples, el procedimiento más adecuado sería el siguiente:

a) Calcular Si este valor es mayor que uno, la fabricación de los productos será imposible. Si es menor que uno, realizar el siguiente paso.

b) Calcular las cantidades utilizando el modelo básico.

c) Verificar la factibilidad de las cantidades obtenidas en el paso anterior. Si las cantidades no son factibles, realizar el siguiente paso.

d) Calcular el número óptimo de ciclos mediante la fórmula:

P.'

e) las nuevas cantidades mediante la fórmula Estas

cantidades serán siempre factibles si

Ejemplo numérico 4.6:

Determinar las cantidades óptimas factibles de tres productos terminados con base en la siguiente información: PRODUCTO 1 2 3 $200 $100 $300 4,000 1,500 500 25,000 5,000 1,000 $10 $20 $15

Solución:

a) de

= 4,000125,000

+

1,50015,000

+

50011,000 = 0.96 años 1.

Por lo tanto, pasamos al inciso

b) Cálculo de las utilizando el modelo básico:

= 436 unid.

= 146 unid. 1,500 15,000)

c) Verificar la factibilidad de las

Ti 43614,000 0.109 años

14611,500 0.097 año 2001500 0.400 años

Los tiempos de fabricación de l a . cantidades son: 436125,000 0.017 años

14615,000 0.029 años 0.200 años

El ciclo total de fabricación será entonces (ignorando los tiempos de preparación): Ciclo 0.017

+

0.029

+

0.200 0.246

Se puede observar que el años es mayor que y por lo que estas

cantidades no son factibles. d) Cálculo del número óptimo de ciclos:

N, = 6.97 7

i=l

e) Cálculo de las nuevas cantidades 4,00017 571 unid. 1,50017 214 unid. 50017 71 unid.

Capítulo IV: Control de

4.5.1 Generalidades

En los modelos de inventarios formulados anteriormente hemos supuesto, entre otras cosas, que:

a) La tasa de demanda es constante y conocida. b) El tiempo de entrega es constante y conocido.

c) Lo anterior permite que los pedidos de materiales o los lotes de productos siempre lleguen al almacén exactamente cuando el inventario de éstos se agotan.

En la vida real, sin embargo, estas suposiciones casi nunca son verdaderas. Por ejemplo, los proveedores no siempre cumplen los plazos de entrega de las materias primas y esto obviamente puede causar el agotamiento del inventario de éstas antes de la llegada de los pedidos. Análogamente, si la tasa de ventas de los productos terminados es mayor que la tasa prevista, el inventario de éstos puede agotarse antes de que los primeros productos de los lotes fabricados lleguen al almacén.

Debido a esto, es siempre necesario mantener inventarios de seguridad para reducir la posibilidad de una eventual falta de materiales o productos. El nivel del inventario de seguridad dependerá básicamente del cumplimiento de los plazos de entrega, de la magnitud de las variaciones de la demanda y del riesgo de agotamiento que quiere correr la empresa.

Obviamente, cuanto mayor sea el inventario de seguridad, menor será el riesgo de agotamiento de las existencias y, como consecuencia, menores serán los costos relativos a la falta de dichas existencias. Sin embargo, cuanto mayor sea el inventario de seguridad, mayor será el costo de mantener. Por lo tanto, el problema que tenemos que resolver es la determinación del nivel óptimo del inventario de seguridad, de tal forma que se minimice la suma de todos los costos del modelo. Como el valor de " Q afecta la con

que y ésta a su vez afecta el número esperado de faltas, la

determinación del nivel óptimo del inventario de seguridad se tiene que llevar a cabo

simultáneamente con la determinación del óptimo. Esto hace los modelos más

complejos y nos obliga a utilizar derivadas parciales.

A continuación analizaremos 2 modelos probabilísticos de inventarios de materias primas y cómo deben determinarse los parámetros óptimos de cada uno de ellos. No creemos que sea necesario analizar también el caso de los inventarios de productos terminados, ya que lo que será expuesto para los inventarios de materias primas es igualmente aplicable a los inventarios de productos terminados.

Analicemos inicialmente la Figura 4.12 y supongamos que el tiempo de entrega

"T," es constante y conocido. Si la tasa de demanda también es constante, realizamos un nuevo pedido siempre "T" unidades de tiempo después de la realización del pedido anterior, que es lo mismo que realizar el pedido "T," unidades de tiempo antes de que el inventario se agote. En este momento, el nivel del inventario será siempre el cual llamaremos punto de

Ahora bien, si la tasa de demanda empieza a variar y determinamos con base en la demanda media, al terminarse el período "T" el nivel del inventario podrá ser mayor

4.12). Análogamente, el nivel de los inventarios podrá llegar a antes o después de las "T" unidades de tiempo. Debido a esto, se agrega un inventario de seguridad y pueden adoptarse dos modelos de inventarios:

a) Si se hace un pedido igual a " Q (constante) siempre que el inventario llega a un nivel independientemente del tiempo necesario para que esto ocurra, el modelo de inventarios se llama "modelo de punto fijo". Existen valores óptimos para " Q , "Q:' y para el inventario de seguridad.

b) Si se hace un pedido (variable) cada unidades de tiempo, independientemente del nivel de las existencias, el modelo de inventarios se llama "modelo de ciclo fijo". Existen valores óptimos para "T" y para el inventario de seguridad.

FIGURA 4.12 Distinción entre "cantidad fija" y "frecuencia fija"

Demanda mayor que la media

Demanda menor

>

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