MODULO DE FISICA Nº10 TERMODINAMICA

Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009 2 En el enfoque macroscópico de la termodinámica se describe el estado de un sistema con variables como la presión, el volumen, la temperatura y la energía interna. El número de variables macroscópicas necesarias para caracterizar un sistema depende de la naturaleza de éste. Para un sistema homogéneo, como un gas que contiene sólo un tipo de molécula, por lo común sólo se necesitan dos variables. Sin embargo, es importante notar que un estado macroscópico de un sistema aislado sólo se puede especificar si el sistema está en equilibrio térmico internamente. En el caso de un gas en un recipiente, el equilibrio térmico interno requiere que cada parte del gas esté a la misma presión y temperatura.

Considere un gas contenido en un cilindro con un émbolo móvil ajustado herméticamente (Fig. 2). En equilibrio, el gas ocupa un volumen V y ejerce una presión uniforme P sobre las paredes del cilindro y el émbolo. Si éste tiene un área de sección transversal A, la fuerza ejercida por el gas sobre el émbolo es F = P·A. Suponga ahora que el gas se expande cuasi- estáticamente, es decir, lo suficientemente lento para permitir que el sistema permanezca en esencia en equilibrio termodinámico todo el tiempo. A medida que el émbolo se desplaza hacia arriba una distancia dy, el trabajo realizado por el gas sobre el émbolo es

dW = Fdy = PA dy

Puesto que A dy es el incremento en el volumen del gas dV, se puede expresar el trabajo hecho por el gas como

dW= P dV (1)

Como el gas se expande, dV y el trabajo efectuado por el gas son positivos. Si el gas se comprime, dV es negativo, lo que indica que el trabajo hecho por el gas es negativo (puede ser interpretado como trabajo efectuado sobre el gas).

En los problemas de termodinámica que se resolverán, se identificará el sistema de interés como una sustancia que está intercambiando energía con el ambiente. En muchos problemas éste será un gas contenido en un recipiente; sin embargo, también se considerarán problemas que involucren líquidos y sólidos. Es un hecho desafortunado que, debido al desarrollo histórico separado de la termodinámica y la mecánica, el trabajo positivo para un sistema termodinámico se define comúnmente como el trabajo realizado por el sistema, más que el realizado sobre el sistema. Éste es el inverso del caso para el estudio del trabajo en la mecánica. Por tanto, en termodinámica el trabajo positivo representa una transferencia de energía eliminada del sistema. Se usará esta convención para ser consistente con el tratamiento común de la termodinámica.

(a) _(b)

Figura 1. Incremento de la energía interna de un sistema por medio de (a) la realización de trabajo y (b) el suministro de calor al sistema.

Fig. 2. El gas contenido en un cilindro a presión

P realiza trabajo sobre un émbolo móvil conforme el sistema se expande desde un volumen V a un volumen V+ dV.

dy

Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009 3 El trabajo total realizado por el gas cuando su volumen cambia de Vi a Vf está dado por la integral de la

ecuación 1. F i V V W=

∫

Para evaluar esta integral no basta con que se conozcan los valores de las presiones inicial y final. También se debe conocer la presión en cualquier instante durante la expansión; esto se conocería si se tuviera una dependencia funcional de P con respecto a V.

Este importante punto es cierto para cualquier proceso -la expansión que se está analizando aquí o cualquier otro-. Para especificar de manera completa un proceso se deben conocer los valores de las variables termodinámicas de todos los estados a través de los cuales pase el sistema entre los estados final e inicial. En la expansión que se está considerando aquí, se puede graficar la presión y el volumen en cada instante para crear un diagrama PV como el mostrado en la figura 2. El valor de la integral en la ecuación 2 es el área limitada por tal curva. Por tanto, se puede decir que

el trabajo efectuado por un gas en expansión desde el estado inicial hasta el estado final es el área bajo la curva que une dichos estados en un diagrama PV.

Como se muestra en la figura 2, el trabajo hecho en la expansión desde el estado inicial i hasta el estado final f depende de la trayectoria seguida entre los dos estados, donde la trayectoria sobre un diagrama P V es una descripción del proceso termodinámico a través del cual se lleva el sistema. Para ilustrar este importante punto considere varias trayectorias que conecten i con f (Fig. 3).

En el proceso descrito en la figura 3.a, la presión del gas se reduce primero de Pi a Pf al enfriar

a volumen constante Vi. A continuación el gas se expande desde Vi hasta Vf a presión constante Pf. El

valor del trabajo hecho a lo largo de esta trayectoria es igual al área del rectángulo sombreado, la cual es igual a Pf( Vf - Vi). En la figura 3.b el gas se expande primero de Vi a Vf a presión constante Pi. Después,

su presión se reduce a Pf a volumen constante Vf.El valor del trabajo hecho a lo largo de esta trayectoria

es Pi (Vf - Vi), el cual es mayor que el correspondiente al proceso descrito en la figura 3.a. Por último, para

el proceso descrito en la figura 3.c, donde tanto P como V cambian continuamente, el trabajo realizado tiene cierto valor intermedio entre los valores obtenidos en los dos primeros procesos. Por tanto, se ve que el trabajo realizado por un sistema depende de los estados inicial y final, y de la trayectoria seguida por el sistema entre dichos estados.

La energía transferida por calor Q hacia o fuera de un sistema depende también del proceso. Considere las situaciones descritas en la figura 4. En cada caso el gas tiene el mismo volumen, temperatura y presión iniciales y se supone como ideal.

Trabajo=área bajo la curva

Figura 2. Un gas que

se expande cuasi- estáticamente (en forma lenta) desde un estado i hasta un estado f. El trabajo realizado por el gas es igual al área bajo la curva PV. a) b) c) Figura 3 El trabajo realizado por un gas conforme se lleva de un estado inicial a un estado final depende de la trayectoria entre dichos estados. Pared aislante Depósito de energía a Ti Posición final Pared aislante Posición inicial Vacío Gas a Ti Membrana Gas a Ti a) _b) Figura 4. a) Un gas a temperatura T, se expande lentamente mientras absorbe energía de un de- pósito para mantener una temperatura constante. b) Un gas se expande con rapidez en una región evacuada después de que una membrana se rompe.

Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009 4 En la figura 4.a el gas está aislado térmicamente de sus alrededores, excepto en el fondo de la región llena de gas, donde está en contacto térmico con un depósito de energía. Un depósito de energía es una fuente de energía que se considera tan grande que una transferencia finita de energía desde el depósito no cambia su temperatura. El émbolo es sostenido en su posición inicial por un agente externo - por ejemplo una mano -. Cuando la fuerza con la cual se sostiene al émbolo se reduce ligeramente, éste se eleva muy lentamente a su posición final. Ya que el émbolo se mueve hacia arriba, el gas está realizando trabajo sobre él. Durante esta expansión hasta el volumen final Vf , sólo se transfiere

suficiente energía por calor del depósito al gas para mantener una temperatura constante Ti .

Considere ahora el sistema aislado térmicamente por completo que se muestra en la figura 4.b. Cuando se rompe la membrana el gas se expande rápidamente dentro del vacío hasta que ocupa un volumen Vf y está a una presión Pf.En este caso el gas no hace trabajo ya que no hay un émbolo

móvil sobre el cual el gas aplique una fuerza. Asimismo, no se transfiere energía por calor a través de la pared aislante.

Los estados inicial y final del gas ideal de la figura 4.a son idénticos a los estados inicial y final mostrados en la figura 4.b, aunque las trayectorias son diferentes. En el primer caso efectúa trabajo sobre el émbolo y la energía se transfiere lentamente al gas. En el segundo caso no se transfiere energía y el valor del trabajo realizado es cero. Así, se concluye que la energía transferida por calor, al igual que el trabajo realizado, depende de los estados inicial, final e intermedio del sistema. En otras palabras, puesto que el calor y el trabajo dependen de la trayectoria, ninguna cantidad se determina sólo por los puntos extremos de un proceso termodinámico.

™ EJERCICIOS PROPUESTOS

1.) Un recipiente contiene un gas a una presión de 1,5 atm y un volumen de 4 m3. ¿Cuál es el trabajo efectuado por el gas si a) se expande a presión constante hasta el doble de su volumen inicial? b) ¿Se comprime a presión constante hasta un cuarto de su volumen inicial?. R: 6,08·105 (J)

2.) Una muestra de gas ideal se expande al doble de su volumen original de 1m3 en un proceso cuasi-estático para el cual P=αV2 _{, con α = 5 atm/m}6_{, como se muestra en la figura.}

¿Cuánto trabajo realiza el gas en expansión?. R: -1,18MJ

3.) a) Determine el trabajo realizado por un fluido que se expande de i a f como se indica en la figura. b) ¿Cuánto trabajo realiza el fluido si éste se comprime desde f hasta i a lo largo de la misma trayectoria?.

R: -12MJ , +12 MJ

4.) Un mol de un gas ideal se calienta lentamente de modo que pasa del estado PV (Pi, Vi) al estado (3Pi, 3Vi) de tal manera

que la presión del gas es directamente proporcional al volumen. a) ¿Cuánto trabajo se efectúa en el proceso? b) ¿Cómo se relaciona la temperatura del gas con su volumen durante este proceso?. R: -4PiVi ; i 2

i P T V nTV ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

5.) Una muestra de helio se comporta como un gas ideal conforme se le agrega energía por calor a presión constante de 273ºK a 373ºK. Si el gas realiza 20 J de trabajo, ¿cuál es la masa del helio?.

6.) Un gas ideal está encerrado en un cilindro con un émbolo móvil en la parte superior. El émbolo tiene una masa de 8000 g y un área de 5 cm2, y se puede deslizar libremente arriba y abajo manteniendo constante la presión del gas. ¿Cuánto trabajo se hace cuando la temperatura de 0,2 moles del gas se incrementa de 20°C a 300°C?. R: 466 J.

Módulo.10-Complemento de Física.prosec.estudios-U.Central – e.contreras.z.2009 5 7.) Un gas ideal está encerrado en un cilindro que tiene un émbolo móvil en la parte superior. El

émbolo tiene una masa m y un área A, y se puede deslizar libremente arriba y abajo, manteniendo la presión del gas constante. ¿Cuánto trabajo se hace cuando la temperatura de n moles del gas se incrementa de T1 a T2?. R: nR(T2 –T1)

8.) Un gas se expande desde I a lo largo de tres posibles tra- yectorias, como se indica en la figura. Calcule el trabajo en joules realizado por el gas a lo largo de las trayectorias IAF, IF e IBF. R: 810 J , 506 J , 203 J