Módulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009
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UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE
FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.
INTRODUCCION.
En este módulo se da una breve explicación de algunas definiciones de conceptos usados en la asignatura de “Complemento de Física - Química”, parte de Física. Se hace una descripción de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes físicas fundamentales y derivadas, se definen los múltiplos, submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numéricos de las magnitudes en ciencias en notación científica. Se dan reglas de análisis dimensional, lo que proporciona un método para determinar la forma funcional de las leyes físicas y permite verificar si está bien planteada. Se recuerdan las funciones trigonométricas fundamentales y se muestran algunas aplicaciones.
SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES.
Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Las leyes Físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física.
Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida.
El Sistema Internacional (S.I.) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se muestran en la tabla.
Este se conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo, y el sistema inglés de ingeniería, que es extremadamente confuso, por lo que no lo usaremos en este curso. El S.I. es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias.
La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales en la mecánica se da a continuación.
Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s.
Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192 631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una precisión de una parte en 1012, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años.
MODULO Nº1 DE FISICA INTRODUCCION A LA FISICA PROF. EUGENIO CONTRERAS Z.
Magnitud física Unidad de medida Símbolo Longitud metro m Tiempo segundo s Masa Kilogramo Kg
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Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Francia. Este patrón es confiable porque dicha aleación es muy estable.
Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores suman siete en total, están indicadas en la siguiente tabla.
En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales.
Por ejemplo:
Area = longitud por longitud, se mide en m2
Aceleración = longitud/tiempo al cuadrado, se mide en m/s2
Fuerza = masa por aceleración, se mide en Newton, N = kg m/s2
Densidad = masa/volumen, se mide en kg/m3, etc.
NOTACION CIENTIFICA.
La notación científica es un modo de representar un conjunto de números mediante una técnica llamada coma flotante (o de punto flotante en paises de habla inglesa y en algunos hispanoparlantes) aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en números demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes ( ó muy pequeñas), y que podamos manejar con más facilidad.
Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10.
Ejemplos:
• 1456,75 = 1,45675·103
• 0,000046 = 4,6·10-5
• 789·107 = 7,89·109 • 57,3·10-8 = 5,73·10-7
MULTIPLOS, SUBMULTIPLOS Y PREFIJOS.
Teniendo en cuenta que la Física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes.
Los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de 10, que es la notación científica. Ejemplos de algunos valores numéricos de magnitudes físicas conocidas se muestra en la tabla siguiente:
Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9,45·1015 m, o el Angstrom que es
igual a 10-10 m. Masa (kg) Sol Electrón Humano 2·1030 9,1·10-31 70 Longitud (m) Distancia Tierra-Sol
Cancha de fútbol
Diámetro núcleo atómico
1,5·1011
90 10-14
Tiempo (s) Edad de la Tierra
Edad estudiante universitario Duración choque nuclear
1,5·1017 5·108 10-22 Magnitud física Unidad de medida Símbolo Temperatura Kelvin K Corriente eléctrica Ampere A Intensidad luminosa Candela Cd Cantidad de sustancia Mol mol
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En las tablas siguientes se dan los nombres de los prefijos del Sistema Internacional (SI) .Otras unidades de medida, que también en algunos casos son utilizadas, son entre otras las siguientes: - Longitud: 1 milla marina = 1852 metros 1 milla terrestre = 1609 metros 1 Angstrom = 10-10 metros 1 Año luz = 9,461 ·1015 metros
1 metro = 39,37 pulgadas 1 pulgada = 2,54 centímetros 1 pie = 30,48 centímetros 1 braza = 1,8288 m = 6 pies 1 pértiga = 5,0292 m = 16,5 pies 1 grado geográfico = 111 Km. 1 yarda = 91,44 centímetros = 3 pies = 36 pulgadas
1 parsec = 3,084 ·1016 m = 3,259 años luz
1 unidad astronómica (U.A.) = 1,495 ·108 km.
- Masa: 1 onza = 28,35 gramos 1 libra = 453,6 gramos 1 utm = 9,8 Kilogramos 1 slug = 14,59 kilogramos 1 tonelada = 1000 Kilogramos 1 Kilogramo = 2,205 libras
- Tiempo: 1 hora (hr) = 60 minutos(min) 1 minuto = 60 segundos 1 día = 24 horas
TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES.
Muchos cálculos en Física requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las unidades pueden convertirse sustituyéndolas por cantidades equivalentes.
En toda respuesta numérica de los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resultado final.
Ejemplo. Transformar 18 km/hora a m/s.
Solución: Se sabe que 1h = 3600 s y que 1 km = 1000 m, entonces:
km 1000m
18 18 · 5 m / s
h = 3600s =
EJERCICIOS SOBRE CONVERSION DE UNIDADES.
1.) ¿A cuántos metros equivalen 500 nanómetros? R: 5 ·10-7 m.
2.) Convierta cada una de las siguientes medidas de longitud a su equivalente en metros. a.) 1,1 cm b) 76,2 pm c) 2,1 Km d) 0,123 Mm R: 1,1 ·10-2 m ; 7,62 ·10-11m ; 2,1 ·103 ; 1,23 ·105m.
MULTIPLOS
Potencia Prefijo Símbolo 10 deca da 102 hecto H 103 kilo k 106 Mega M 109 Giga G 1012 Tera T 1015 Peta P 1018 Exa E 1021 Zeta Z 1024 Yota Y SUBMULTIPLOS Potencia Prefijo Símbolo
10-1 decI d 10-2 Centi c 10-3 mili m 10-6 micro µ 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f 10-18 atto a 10-21 zepto z 10-24 yocto y
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3.) Exprese en kilogramos las siguientes masas:
a.) 0,496 g. b.) 9,46 mg. c.) 846 onza. d) 3,5 ·107 mg.
R: 4,96 ·10-4 g ; 9,46 ·10-3 g ; 2,39841 ·10 g ; 3,5 ·104 g
4.) Exprese en segundos los siguientes intervalos de tiempo.
a.) 34,6 min. b.) 48,2 hr. c.) 1,3 días d.) 2,45 años R: 2,076 ·103 s. ; 1,7352 ·105 s. ; 1,1232 ·105 s. ; 7,7316 ·107 s.
5.) Ordene de menor a mayor las siguientes medidas de masa. 11,6 mg ; 1021 µg, ; 0,6 cg ; 0,31 ng.
R: 0,31 ng < 1021µg < 0,6 cg < 11,6 mg
6.) Exprese en m/s las siguientes velocidades.
a.) 20 Km/hr b.) 6050 cm/hr c.) 4,3 ·106 Km/hr d.) 800 m/hr
R: 5,55 m/s ; 0,0168 m/s ; 1,194·106 m/s ; 0,22 m/s
7.) Una mesa rectangular tiene aristas de 80 y 140 cm. Calcule su superficie y exprésela en mm2 y m2. Use notación científica. R: 1,12 ·106 mm2 ; 1,12 m2
8.) Una esfera tiene un diámetro de 50 mm. Calcule su volumen y expréselo en mm3 , cm3 y dm3. (el volumen de una esfera es 4 r3
3π ). Use notación científica. R: 6,54498 ·104 mm3 ; 6,54498 ·10 cm3 ; 6,54498 ·10-2 dm3
9.) La densidad del petróleo es aproximadamente 0,83 g/cm3. ¿Cuál es su valor en Kg/m3 ,en lb/pie3 ?. R: 830 Kg/m3 ; 51,81 lb/pie3
10.) ¿Cuántos segundos tiene un año bisiesto? R: 3,16224 ·107 s.
11.) ¿Cuántos Radios Ecuatoriales de la Tierra existen entre la Tierra y la Luna?.
(Radio Ecuatorial de la Tierra = 6480 km , Distancia media de la Tierra a la Luna = 3,8 ·108 m ).
R:58,64 Radios Ecuatoriales.
12.) La velocidad de la luz es de 299.792.458 m/s. Exprese este valor en Km/hr. R: 1,079 ·109 Km/hr. 13.) Exprese porcentualmente la diferencia de 39,4 pulgadas respecto a 3,4 pie. R: aprox. 96,6%
14.) En la proyección de una película pasan 24 cuadros en 1 s. ¿Cuántos cuadros hay en una película que dura 1h 30min, si cada cuadro mide 15 mm?.¿Qué longitud tiene la película?. R: 129600 cuadros ; 1944 m.
ECUACIONES DIMENSIONALES.
Cuando en física nos encontramos con el resultado de una medición o de un cálculo numérico con su respectiva unidad de medida, es posible llegar a establecer de que magnitud se trata, solamente analizando las "dimensiones" de dicha unidad. La palabra dimensión en este caso está relacionada con la naturaleza física de una cantidad. Por ejemplo, si el resultado de una operación matemática arroja un valor de 50 g. ó 600 onzas ó 2,3 toneladas, etc. se ve que todas estas unidades corresponden a la masa de un cuerpo. Entonces en este caso las dimensiones de la cantidad es la de masa.
Los símbolos que se usan para especificar la longitud, la masa y el tiempo son respectivamente L , M y T. La notación que se utiliza para indicar las dimensiones de una magnitud, se indican mediante la utilización de un paréntesis de corchete ,
[ ]
.Por ejemplo, las dimensiones de la velocidad , “v” , se escriben
[ ]
v = L / T = L · T-1 .Las dimensiones del área “A”, son
[ ]
A = L2 yMódulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009
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Una magnitud derivada cualquiera "Q", puede ser expresada de la siguiente forma: Q = q ( Lx My Tz )donde "q" representa el valor numérico de la magnitud y L, M y T son las dimensiones de longitud, masa y tiempo respectivamente. Los exponentes x, y ∧ z pueden ser cualquier número entero, excluyendo el cero e indican las dimensiones de la magnitud "Q". Por ejemplo, si las dimensiones de una magnitud "Q" son 1 en longitud, 0 (cero) en masa y -1 en tiempo, significa que estamos en presencia de la magnitud velocidad, es decir:
Q = v = n ( L1 M0 T-1 ) ( n es el número de unidades de la magnitud )
El análisis dimensional permite que las dimensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas, esto quiere decir, que se pueden sumar o restar sólo si tienen las mismas dimensiones.
Una igualdad correcta entre dos miembros es del tipo Lx My Tz = Lx' My' Tz' ,
donde se debe cumplir que x = x' , y = y' ∧ z = z'.
Ejemplo.
Demostrar que la ecuación 2 o
1 d v t at
2
− = es dimensionalmente correcta. "d" representa distancia, "vo" es velocidad, "a" aceleración y "t " tiempo.
Solución:
distancia:
[ ]
d = Lvelocidad:
[ ]
v = L To -1 L - L T-1 T = L T-2 T2aceleración
[ ]
a = L T-2 L - L = Ltiempo
[ ]
t = T L = L (es dimensionalmente correcta) EJERCICIOS SOBRE ANÁLISIS DIMENSIONAL.1.) Demuestre que la ecuación v2 =v2o +2ax , es correcta dimensionalmente, donde v y vo
representan velocidad, "a" es aceleración y "x" es una distancia.
2.) La expresión W Fd 1 P v2 2 g
⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ es una ecuación dimensionalmente homogénea. "F y P" son fuerzas, "v" es velocidad, "d" es longitud. Determine las dimensiones de "W" y de "g".
R:
[ ]
W =ML T2 −2 ,[ ]
g =LT−23.) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta dimensionalmente? a.) v = vo + ax
b.) y = (2m) cos (kx) donde k = 2m-1
4.) El período T de un péndulo simple se mide en unidades de tiempo y está dado por T 2 L g = π donde "L" es la longitud del péndulo y "g" es la aceleración de la gravedad dada en unidades de longitud por unidad de tiempo al cuadrado. Pruebe que esta ecuación es consistente dimensionalmente.
5.) Suponga que el desplazamiento de una partícula está relacionado con el tiempo de acuerdo con la expresión s = c t3. ¿Cuáles son las unidades de c ?
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TRIGONOMETRIA APLICADA.La trigonometría en principio es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en B; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo “α”, correspondiente al vértice A.
• El seno (abreviado como “sen” ) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.
a BC sen( )
c AC α = =
• El coseno (abreviado como “cos”) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa. b AB
cos( )
c AC α = =
• La tangente (abreviado como “tan o tg”) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
a BC tg( )
b AB α = =
Razones Trigonométricas Recíprocas
Se definen la cotangente, la secante y la cosecante, como las razones recíprocas a la tangente , coseno y seno, del siguiente modo:
• cotangente: (abreviado como “cotg o ctg) es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo: 1 b AB cotg( ) tg( ) a BC α = = = α
• secante: (abreviado como “sec”) es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo: 1 c AC sec( ) cos( ) b AB α = = = α
• cosecante: (abreviado como “csc o cosec”) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo: c AC cos ec( ) a BC α = =
α
a
b
c
A
C
B
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En nuestra aplicación como herramienta matemática para el estudio de la física, normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente.Unidades angulares
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean en general el Grado sexagesimal y el Radián.
El grado sexagesimal, como unidad del sistema de medida de ángulos sexagesimal, esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90° (90 grados sexagesimales), y sus divisores el minuto sexagesimal, y el segundo sexagesimal, están definidos del siguiente modo:
• 1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).
• 1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales). • 1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).
El radián (rad) se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Una definición más general, indica que el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco formado sobre el radio,
es decir, S(rad) R
θ = , donde θ es el ángulo, S es la longitud del arco y R es el radio. Por tanto, el ángulo, “α”, completo en radianes de una circunferencia de radio R, es:
circunferencia circunferencia L 2 R 2 (rad) R R π α = = = π Entonces, 360º = 2π (rad
Valor de algunas funciones trigonométricas
Importante: para calcular el valor de las funciones trigonométricas usando la calculadora, primeramente se debe tener claro si el ángulo dado esta expresado en radianes ó grados sexagesimales.
Si está en radianes, el MODO de la calculadora debe estar en “RAD” ( en el visor aparece R ), pero si esta en grados sexagesimales, el MODO de la calculadora debe estar en “DEG” ( en el visor aparece D ).
grados Rad sen cos tg cotg sec cosec
0º 0 0 1 0 ∞ 1 ∞ 30º 6 π 1 0,5 2= 3 2 3 3 3 2 3 3 2 45º 4 π 2 2 2 2 1 1 2 2 60º 3 π 3 2 1 0,5 2= 3 3 3 2 2 3 3 90º 2 π 1 0 ∞ 0 ∞ 1 180º π 0 -1 0 ∞ -1 ∞ 270º 3 2 π -1 0 ∞ 0 ∞ -1 360º 2π 0 1 0 ∞ 1 ∞
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Observación a considerar:
En aplicaciones físicas de la trigonometría, suele ocurrir por ejemplo el siguiente problema:
“Qué ángulo debe tener un plano inclinado para que un cuerpo que recorre una distancia a través del plano de 5 m , alcance una altura respecto al suelo de 2 m?.
Solución: La situación gráfica del problema se muestra en la figura. El problema es determinar el valor de “θ”
Se conoce el lado opuesto al ángulo θ y la hipotenusa del triángulo, de modo que aplicando la función seno se obtiene,
2 sen( ) 0,4
5 θ = =
La pregunta ahora es: se conoce el valor de la función y se desea saber ¿ para qué valor de θ la función seno tiene un valor de 0,4”.
En este caso se debe usar la función inversa “arcoseno”, es decir: Si sen( ) 2 0,4 arcsen(0,4) 23,578º
5
θ = = ⇒ θ = =
Por lo tanto el ángulo que debe tener el plano inclinado es de 23,578º
Las funciones inversas “arco” son válidas para las seis funciones trigonométricas.
Identidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen, entre otras, las siguientes identidades fundamentales:
• sen (α) · cosec(α) = 1 • cos (α) · sec(α) = 1 • tg (α) · cotg(α) = 1 • tg( ) sen( ) cos( ) α α = α • sen2(α) + cos2(α) = 1 • tg2(α) + 1 = sec2(α) • 1 + cotg2(α) = cosec2(α) Ejemplo.
Se desea construir un puente sobre un río, que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20º. ¿Cuál debe ser la longitud de la baranda?, ¿a qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?. Solución.
La longitud de la baranda es L = 2h + 10m
“h” se determina con, sen 20º 2 h 2 5,848(m)
h sen 20º
= ⇒ = =
(Como ya se conoce “h” también se puede calcular con la función coseno ó incluso con el teorema de Pitágoras. Hágalo y compruébelo)
Luego, L = 2·5,848(m) + 10(m) = 21,696 (m) “x” se determina con, tg 20º 2 x 2 5,495(m) x tg 20º = ⇒ = = 5m 2m
θ
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EJERCICIOS SOBRE APLICACIÓN DE TRIGONOMETRIA BASICA
1.) Un cohete es lanzado con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. ¿A qué altura se encuentra después de recorrer 8[km] ? R: 4 km.
2.) Un segmento de 15[cm] de longitud forma un ángulo de 20° con respecto a un plano. ¿Cuánto mide la proyección del segmento en el plano? R: 14,1 cm.
3.) La longitud de la proyección de un segmento en una recta mide 10[cm]. Si el ángulo de inclinación mide 35°, ¿cuál es la longitud del segmento? . R: 12,208 cm.
4.) En un ejercicio de tiro, el blanco está a 30 m de altura y a una distancia horizontal de 82 m de la persona. ¿Cuánto debe medir, aproximadamente, el ángulo de lanzamiento del proyectil ? R: 20º 5` 42,83``.
5.) El ángulo del vértice de un triángulo isósceles mide 70° y la longitud de la base, 30 cm. ¿Cuánto mide su altura? R: 41,212 cm.
6.) ¿Cuántos grados miden, aproximadamente, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si las longitudes de sus catetos son 7 y 24 m ?. R: 16,26º , 73,74º .
7.) Calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 m. R: 8,66 m.
8.) Calcular la longitud del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 12 m. R: 13,856 cm.
9.) Calcular el largo que debe tener una escalera para que, al apoyarla en un muro, pueda alcanzar una altura de 3,5 m. considerando que la escalera debe formar un ángulo de 52º con el plano basal. R: 4,44 m
10.) Una escalera de mano se apoya contra la pared de un edificio formando con el piso un ángulo de 50°. El pie de la escalera dista 3 m del edificio. Calcular:
a.) la altura "h" que alcanza la escalera en la pared.
b.) la longitud "I" de la escalera. R: 3,575 m , 4,667 m.
11.) Determinar, aproximando al grado más cercano, la inclinación de los rayos solares en un instante en que un farol de 2,5[m] de altura proyecta una sombra de 3,2 m. R: 52º.
12.) Determinar las dimensiones de un rectángulo, si la longitud de su diagonal mide 8 cm y forma con la base un ángulo de 30°. R: 4cm , 6,928 cm.
13.) Un pentágono regular está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular: a) la longitud del lado del pentágono. R: 11,756 cm.
b) la longitud del apotema. R: 8,09 cm.
14.) Una escalera de 6[m] de longitud está apoyada en una pared, alcanzando 5[m] de altura sobre la misma. ¿Cuánto mide el ángulo formando entre la escalera y el suelo? R: 56º 26` 33,68``
15.) Hallar la altura del puente de la figura, sabiendo que éste tiene 17 m de largo. R: 8 m
16.) Determinar la altura de un edificio, si el ángulo de elevación mide 55° y el observador está a 16[m] del edificio. R: 22,85 m.
17.) Desde un punto situado a 15[cm] del centro de una circunferencia, de radio 9[cm], se trazan las tangentes a dicha circunferencia. ¿Cuál es el ángulo formado por las tangentes?. R:73º 44` 23,26`` 18.) Para hallar la altura de un árbol se ubicó un teodolito a 24 [m] de su pie. Si la altura del instrumento
es 1,4[m] y el ángulo de elevación 55°, ¿cuál es la altura del árbol? R: 35,676 m.
(El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal que sirve para medir ángulos verticales y, sobre todo, horizontales, ámbito en el cual tiene una precisión elevada. Con otras herramientas auxiliares puede medir distancias y desniveles).
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19.) Un satélite artificial sobrevuela una ciudad C y, en ese instante, en un observatorio situado a 300[km] de C se le avista con un ángulo de elevación de 64°. ¿A qué distancia de la ciudad C está el satélite? R: 615,091 km.
20.) Una torre de alta tensión de 60 m de altura proyecta una sombra de 160 m de largo. ¿Cuánto mide el ángulo que en ese momento forma la horizontal con los rayos del sol?. R: 20º 33` 21,76``. 21.) Un avión, pronto a aterrizar, se encuentra a una altura de 1500 m. ¿A qué distancia del aeropuerto
está el avión si el piloto lo observa con un ángulo de depresión de 30º.? R: 3000 m. 22.) La parte más elevada de un edificio es observada desde una
distancia de 83 m con un ángulo de elevación de 42º. Calcular la altura del edificio. R: 74,734 m.
23.) Se desea colgar de un muro un cartel publicitario de 1,7 m de ancho. ¿Qué largo debe tener el cable tensor para que forme un ángulo de 60º con el lado horizontal del cartel. R: 3,4 m. 24.) Halla la longitud de los vientos que sujetan la tienda de
campaña de la figura, y la longitud del lado x. R: 3,26 m ; 2,2 m
25.) Se desea determinar la altura de un cerro con respecto al plano del lugar. Para ello, se miden los ángulos de elevación: α, β,
desde los puntos A y B, en línea recta con el pie de la altura del cerro y separados por la distancia d =300m. Si α = 40º y β = 28º, calcular la altura “h” del cerro. R: 435,431 m.
26.) La diagonal de un rectángulo forma un ángulo de medida “α“ con el lado más largo. ¿Cuánto mide cada lado del rectángulo si su área es 60 cm2 y tg α = 0,8?. R:
3
5
,4 3.27.) Se necesita conocer la diferencia entre las alturas de dos chimeneas que están a 30 m una de la otra; para ello, un observador se ubica entre ellas a 10 m de las más baja. Los ángulos de elevación son 35º con la menor y 51º con la más alta. R: 17,696 m.
28.) El árbol de la figura tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ángulo de elevación de 50º. ¿Bajo que ángulo proyectará una sombra el doble que la anterior?. R: 30,8º
29.) Un helicóptero se encuentra justo sobre el cruce de dos caminos perpendiculares y a una altura de 300 m. El piloto observa el automóvil de los “delincuentes” bajo un ángulo de depresión de 35º y da aviso a la patrullera, la cual se desplaza por el otro camino y ve al helicóptero con un ángulo de elevación de 48º. Calcular la distancia (en línea recta) desde la patrullera hasta el automóvil. R: 506,45 m.
30.) Se requiere que las cerchas para la techumbre de una casa tengan 8 m. de base y ángulos de inclinación de 20º y 30º.Calcular
- Cuánto debe medir el madero de refuerzo que debe ponerse entre el vértice y la base.
- La longitud de las proyecciones x e y de los otros lados sobre la base.
31.) Los extremos de una barra de equilibrio de 6 m de largo se sustentan sobre la parte superior de dos pilares que miden 1,5 y 1,7 metros de alto. Calcular la pendiente de la barra. R: 0,033
20º
20º y x 30º 8 mα
β
A B d h 1,6m 2m 1,6mMódulo01.Introducción a la física Parte 1.U.Central – e.contreras.z-2009
11
32.) Una paparazzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube a un árbol de 3,75 m de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2,25 m. ¿Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su intimidad? . R: 14º ; 9m
33.) Desde el puesto de observación de un faro de 35 m. de altura sobre el nivel del mar, se observa que los ángulos de depresión de dos barcos, situados en línea con el faro son de 28º y 55º respectivamente. Calcular la distancia que separa a ambos barcos.
34.) Un obelisco está ubicado en medio de una avenida. Desde puntos distintos A y B de ella, a ambos lados del monumento y en línea recta con este, se observa su cúspide con ángulos de elevación de 60º y 25º respectivamente. Si la distancia entre los puntos A y B es de 600 m , ¿cuánto mide la altura del obelisco?
35.) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?. R: 188,19 m
36.) Un avión despega de una base A en la costa y vuela en línea recta en dirección 30º hacia el NO . Cuando lleva recorrido 400 Km. sufre una avería mecánica que lo obliga a dirigirse a un aeropuerto B de alternativa, ubicado a 250 Km al norte de donde despegó. Si el avión vuela a 320 Km/hr . ¿Alcanzará a llegar al aeropuerto B si tiene combustible para 15 min?
37.) Un coche avanza por una carretera recta. Al pasar por una gasolinera, el conductor ve a su derecha una casa; la visual forma un ángulo de 39º con la dirección de la carretera. Dos minutos después, vuelve a mirar a la casa y, ahora, en un ángulo de 65º. Sabiendo que la casa está a 7Km de la gasolinera, hallar la velocidad del coche.
38.) Considere un paralelogramo del que se sabe que uno de sus lados mide 4 cm, la menor de su diagonal mide 5 cm. y el ángulo agudo que forman sus lados es de 34º. Calcular la longitud del otro lado del paralelogramo.
28º
X Y
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE
FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.
INTRODUCCION.
CANTIDADES O MAGNITUDES FISICAS. Se llama magnitud a toda característica de la materia que pueda ser medida. En el estudio de la física las magnitudes se pueden clasificar bajo dos aspectos:
1.) MAGNITUDES FUNDAMENTALES Y DERIVADAS.
Magnitudes fundamentales de la física: Longitud (metro – m) , masa (kilogramo – kg), tiempo (segundo – s), intensidad de corriente eléctrica (ampere – A), temperatura termodinámica (kelvin - ºK), cantidad de sustancia(mol) , intensidad luminosa (candela – cd ) . Las tres primeras son las magnitudes fundamentales de la mecánica.
Unidades de medida: estas son dependiendo del sistema de unidades de medida.
- Sistema internacional (S.I. ó M.K.S.) : Longitud (metro – m) , masa ( kilogramo – kg ) , tiempo ( segundo – s )
- Sistema cegesimal ( ó C.G.S. ) : Longitud ( centímetro – cm) , masa ( gramo – g ) , tiempo ( segundo – s )
- Sistema inglés ( USA y el Reino unido (Inglaterra, Escocia, Gales - en la isla de Gran Bretaña - e Irlanda del Norte - en la Isla de Irlanda): Longitud ( pulgada – in , el pie – ft , la yarda – yd y la milla terrestre – mi ) , masa ( libra – lb , onza – oz ) , fuerza ( libra fuerza – lbf) , tiempo ( segundo – s )
Algunas equivalencias: 1 pulgada (in) = 2,54 cm. 1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm. 1 yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm
1 milla terrestre (mi) = 1760 yd = 1,609344 km. 1 libra = 0,45359237 kg = 453,59237 g
1 onza = 28 g
Magnitudes derivadas: son el resultado de la combinación de dos o más magnitudes fundamentales. Ejemplos en el sistema S.I.: Superficie (m2 ) , Volumen (m3) , densidad (kg/m3) , velocidad(m/s),
aceleración(m/s2) , fuerza(kg·m/s2) , etc.
2.) MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES.
Una cantidad o magnitud escalar es la que está especificada completamente por un número con unidades apropiadas. Es decir, una cantidad escalar sólo tiene magnitud. Ejemplos de este tipo de magnitud son la masa, el tiempo, la temperatura, la rapidez, etc. Este tipo de magnitudes se pueden multiplicar, dividir, sumar o restar, simplemente usando la aritmética tradicional.
En cambio, una cantidad vectorial es una cantidad física completamente especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección y sentido. Es decir, una cantidad vectorial tiene magnitud tanto como dirección y sentido, como por ejemplo la fuerza, la velocidad, el desplazamiento, etc. Para operar con este tipo de magnitudes se debe utilizar el álgebra vectorial.
MODULO Nº1 – 1º SEM. 2009 COMPLEMENTO DE FISICA MAGNITUDES FISICAS - VECTORES
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 2 COMPONENTES Y REPRESENTACION ANALITICA DE UN VECTOR.
Un vector es posible descomponerlo en dos o tres vectores, dependiendo en el sistema en que se encuentra ubicado ( en el plano o en el espacio ). Cada componente se encuentra a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas considerados. La componente de un vector corresponde a la proyección que tiene sobre un eje.
El vector AG de la figura, que se encuentra en el plano (x,y), tiene como componentes los vectores AGx y AKy.
Los módulos o magnitudes de ambas componentes son: Ax = A cos θ y Ay = A sen θ
El módulo del vector AG en función de sus componentes está dado por: AG =A = A2x +A2y
Para un vector en 3 dimensiones su módulo o magnitud es 2 2 2
x y z
AG =A= A +A +A La dirección de AG con respecto al eje "x" positivo es:
y x
A
tg
A
θ =
⇒ y xA
arctg
A
θ =
yA
sen
A
θ =
⇒arcsen
A
yA
θ =
x A cos A θ = ⇒ arccosAx A θ =Es importante siempre tener presente la ubicación del vector, ya que el signo de cada una de sus componentes va a depender del cuadrante donde se encuentre dicho vector. Considerando un plano cartesiano ( x, y ), los signos de las componentes para tener presente son los que se muestran en la tabla anterior.
Además, usando la magnitud del vector ( AG =A ) y su dirección ( θ ), es posible escribir el vector en coordenadas polares, en la forma: A = ( A , θ )G
VECTORES UNITARIOS.
En la generalidad de las situaciones, las cantidades vectoriales suelen escribirse en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones y de longitud o módulo igual a 1, el cual se emplea para especificar una dirección dada. Los vectores unitarios utilizan los símbolos
i j
,
∧
k
yrepresentan vectores que apuntan en las direcciones x, y ∧ z respectivamente. Como se observa en la figura, los vectores unitarios son
perpendiculares entre sí
Usando las componentes rectangulares y sus correspondientes vectores unitarios, es posible escribir un vector en coordenadas rectangulares de la forma:
x
ˆ
yˆ
zˆ
A = A i + A j + A k
G
También el vector A se puede escribir de la forma
A
G
=
A·u
ˆ
donde, x y Z 2 2 2 x y z ˆ ˆ ˆ A i A j A k A ˆu A A A A + + = = + + G
G . Este vector unitario apunta en la dirección de
A
G
. x y zˆi
ˆj
ˆk
A
G
x AG yA
G
θ
x
y
0
(I)
Ax : positiva Ay : positiva(II)
Ax : negativa Ay : positiva(III)
Ax : negativa Ay : negativa(IV)
Ax : positiva Ay : negativax
y
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 3 SUMA DE VECTORES.
MÉTODOS GEOMETRICOS.
Las reglas para las sumas de vectores se describen adecuadamente con métodos geométricos. Dentro de estos métodos, se debe considerar si la suma es de dos o más vectores.
Para sumar dos vectores.
a.) Método del triángulo: para sumar el vector b
G
al vector aG se dibuja primero el vector aG, con su magnitud representada por una escala adecuada. A continuación, en el extremo de aG, se copia el vectorb
G
en la misma escala como se muestra en la figura. El vector resultanteR
G
=
a
G
+
b
G
es el vector dibujado desde el origen de aG hasta la punta o extremo de bG
.b.) Método del paralelógramo. Este método tiene la particularidad de que para sumar dos vectores aG y
b
G
, ambos se deben colocar con el origen en común y el vector resultanteR
G
=
a
G
+
b
G
es la diagonal del paralelógramo. Este vector RG
nace en el origen común de ambos vectores llegando al vértice opuesto del paralelógramo, como se muestra en la figura. Para sumar tres o más vectores.
Las construcciones geométricas también pueden utilizarse para sumar más de dos vectores. La figura muestra el vector suma resultante RG =aG+bG+cG+dG que es el vector que completa el polígono. En otras palabras, RG es el vector dibujado desde el origen del primer vector hasta el extremo del último vector.
METODOS ANALITICOS.
El vector suma o resultante de dos o más vectores, es un vector cuyas componentes equivalen a la suma de cada una de las componentes de los vectores, esto es:
Sea AG = Axiˆ+Ayjˆ+Azkˆ ; kˆ B jˆ B iˆ B BG = x + y + z ; kˆ C jˆ C iˆ C CG = x + y + z Entonces: CRG =AG +BG+ G ⇒ RG =(Ax +Bx +Cx)iˆ+(Ay +By +Cy)jˆ+(Az +Bz+Cz)kˆ NEGATIVO DE UN VECTOR.
El negativo del vector AG se define como el vector que al sumarse a AG resulta cero para la suma vectorial. Es decir, AG +(−AG)=0G. Los vectores AG y - AG tienen la misma magnitud pero apuntan en sentidos opuestos.
PRODUCTO DE ESCALAR POR UN VECTOR. Sea k : escalar y AG =Axiˆ+Ayjˆ+Azkˆ Luego, kAG =kAxiˆ+kAyjˆ+kAzkˆ bG aG RG bG aG RG aG bG RG dG
c
G
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 4 PRODUCTO ESCALAR, INTERNO O PUNTO DE VECTORES.
Se define el producto escalar de dos vectores, como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, es decir:
θ ·cos B · A θ ·cos B · A B AG •G = G G =
De esta definición se saca como conclusión lo siguiente:
El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo o magnitud de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, es decir, AG•BG = Acosθ·B=Ap·B
De esta expresión se concluye que el producto punto de dos vectores es una magnitud escalar. En función de sus componentes, se puede demostrar que A • B = (A B ) + (A B ) + (A B )G G x x y y z z
PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ DE VECTORES.
Si dos vectores AG y BG son distintos a cero, el producto vectorial entre ambos es otro vector PG = AG×BG que tiene las siguientes características.
a.) El módulo o magnitud del producto es PG = AG×BG = AG·BG·senθ=A·B·senθ b.) La dirección de PGes perpendicular al plano que contiene a AG y BG.
c.) El sentido de PG se puede determinar por la regla del sacacorcho o tirabuzón. El sentido del vector B
A
PG = G×G coincide con el sentido de avance de un sacacorcho que, colocado perpendicularmente al plano que contiene a AG y BG, gira llevándole primer factor ( AG ) sobre el segundo
Sea A = A i + A j + A kG xˆ yˆ zˆ y B = B i + B j + B kG xˆ yˆ zˆ
Este producto también se puede calcular usando determinante de la forma siguiente:
z y x z y x
B
B
B
A
A
A
kˆ
jˆ
iˆ
B
x
A
G
G
=
= (Ay·Bz−Az·By)iˆ−(Ax·Bz−Az·Bx)jˆ+(Ax·By −Ay·Bx)kˆ EJEMPLOCuatro vectores coplanares tienen magnitud de 8 , 12 , 10 y 6 unidades respectivamente. El primer vector tiene una dirección de 0º y los tres últimos hacen con el primer vector ángulos de 70º, 150º y 200º respectivamente. Encontrar la magnitud y la dirección del vector resultante.
Rx = 8 cos 0 + 12cos70º + 10cos150º + 6cos200º = -2,19 unidades
ó Rx = 8 + 12cos70º - 10cos30º - 6cos20º = -2,19 unidades.
Ry = 8 sen 0 + 12 sen70º + 10sen150º + 6sen200º = 14,22 unidades
ó Ry = 12 sen 70º + 10 sen 30º - 6 sen 20º = 14,22 unidades
Luego, la magnitud de R
G
es: R = R = (-2,19) + (14,22) =G 2 2 14,38 unidades La dirección respecto al eje "y" es: XY
R 2,19
tg 0,154
R 14,22
θ = = = ⇒ θ = 8,76º La dirección respecto al primer vector es 90 + 8,76 = 98,76º.
Entonces, en coordenadas polares: R = (14,38u ; 98,76º )G
θ
AG BG θ cos A AP = 70º 30º 20º 8 1 2 1 0 6 y xMódulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 5 TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO.
Estos teoremas establecen relaciones entre lados y ángulos de un triángulo no necesariamente rectángulo. Consideremos la suma geométrica de dos vectores
V
G
1 y2
V
G
que no son perpendiculares, como lo muestra la figura. El vector suma resultante esV
G
.θ es el ángulo que forman
V
G
1 yV
G
2. Se cumple que:
V
=
V
+
V
+
V
1V
2cos
θ
2 2 2
1
2
. TEOREMA DEL COSENO.Si se considera el ángulo interior "φ" , se tiene que
cos
θ
=
cos(
180
−
φ
)
=
−
cos
φ
Luego,V
=
V
+
V
2−
V
1V
2cos
φ
2 2
1
2
. TEOREMA DEL COSENO.Además,
α
=
β
=
φ
sen
V
sen
V
sen
V
1 2. TEOREMA DEL SENO.
EJERCICIOS RESUELTOS.
1. Dos cables que ejercen fuerzas
F
G
1 yF
G
2 conocidas se sujetan al punto B. Un tercer cable AB, que se usa como tirante, se sujeta también en B. La fuerza F1 = 8 lbf forma un ángulo de 25º con lahorizontal y 20º con la fuerza F2 = 4 lbf. Determine:
a.) la magnitud de la tensión requerida en AB para que la resultante de las fuerzas ejercidas por los tres cables sea vertical.
b.) El vector fuerza resultante.
SOLUCION.
a.) Se Debe cumplir que la suma de las componentes horizontales de la fuerzas sea cero ΣFx = 0 , pero no así la suma de las componentes
verticales ΣFy ≠ 0.
Al hacer diagrama de cuerpo libre en el punto B y aplicando trigonometría para determinar la dirección del cable AB, se tiene la siguiente figura:
Haciendo suma de componentes:
ΣFx = T cos37º - F1 cos25º - F2 cos5º = 0 (1)
ΣFy = -T sen37º - F1 sen25º - F2 sen5º = ? (2)
De la ec. (1), T = ( F1 cos25º + F2 cos5º ) / cos 37º = ( 8 cos 25º + 4 cos 5º ) / cos37º
⇒ T = 14,06 lbf .
b.) Por condición del problema sólo existe fuerza resultante vertical hacia abajo, entonces usando la ecuación (2) se tiene que su magnitud es :
R = T sen37º + F1 sen25º + F2 sen5º = 14,06 sen37º + 8sen25º + 4 sen5º = 12,19 lbf.
Por lo tanto: RG =−12,19ˆj(lbf)
φ
VGθ
A B C D E 1V
G
2V
G
α
β
T
G
1F
G
x•
B 37º y 2F
G
•
A 80pie•
60pie 1F
G
2F
G
BMódulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 6 2. Un hombre empuja un trapeador a través de un piso haciendo que lleve
a cabo dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150 cm y forma un ángulo de 120º con la dirección positiva de x. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm y cuya dirección forma un ángulo de 35º con el eje x positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento. Use métodos por componentes y teoremas del seno y del coseno. Además escriba el vector del segundo desplazamiento usando componentes rectangulares ( o en forma canónica ) y coordenadas polares. (Fuente- SERWAY- TOMO I . )
SOLUCION.
d1 = 150 cm , d2 = ? , R = 140 cm , α = 55º
POR TEOREMAS DEL COSENO Y DEL SENO.
85 2 1 2 2 1 2 2 d d R dRcos dG = = + − 2 2 2 2 dG =d = 150 +140 −2 • 150 • 140 cos85 196cm.= 2 1 85 d º sen d sen =β ⇒ sen 150 • sen85 0,762 196 β = = ⇒ β = 50º ∧ ε = 45º En el dibujo se demuestra que la dirección del segundo desplazamiento es de -15º ó + 345º.
POR COMPONENTES. (usando la figura )
Rx = d2x - d1x ⇒ d2x = Rx + d1x = R cos 35 + d1 sen 30 d2x = 140 cos 35 + 150 sen 30 = 189,68 Ry = d1y - d2y ⇒ d2y = d1y - Ry = d1 cos30 - R sen 35 d2y = 150 cos30 - 140 sen35 = 49,6 2 2 2 2 2 2 2x 2y dG =d = d +d = 189,68 +49,6 =196cm. Dirección: 2y 2x d 49,6 tg 0,26 d 189,68 θ = = = ⇒ θ = 15º
Luego, la dirección del segundo desplazamiento es de -15º (sentido antihorario) ó 345º (sentido horario) Entonces:
- En coordenadas rectangulares: dG2 =d2xiˆ−d2yjˆ ⇒ dG2 =(189,68i 49,6 j)cmˆ− ˆ . - En coordenadas polares:
d
2=
(
d
2,
θ
)
G
⇒ dG2 =(196cm ; −15º ) (196cm ; 345º )=
Otra forma: para solucionar este tipo de problema también se puede optar por el siguiente método:
- Escribir cada uno de los vectores en coordenadas rectangulares, es decir:
d =d i+d j=d cos120i+d sen120j =150cos120i+150sen120jG1 1xˆ 1yˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ⇒ d = (-75i+130j)cmG1 ˆ ˆ R=R i+R j=Rcos35i+Rsen35j=140cos35i+140sen35jG xˆ yˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒ R = (114,68i+80,3j)cmG ˆ ˆ - Se debe cumplir que RG =dG1+dG2 ⇒ dG2 =RG −dG1
2 ˆ ˆ ˆ ˆ
dG =(114,68i 80,3 j) ( 75i 130 j)+ − − + ⇒ dG2 =(189,68i 49,7 j)cmˆ− ˆ 2x dG 2y dG
θ
x
y
35º 30ºG
d
1G
R
G
d
2x
y
35º 30ºG
d
1G
R
α
β
ε
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 7 3. Un carro de una montaña rusa se mueve horizontalmente 200 pie, entonces sube 135 pie a un ángulo
de 30º respecto a la horizontal. Y después recorre 135 pie a un ángulo de 40º hacia abajo. ¿Cuál es su desplazamiento desde su punto de partida hasta el final de este recorrido?. (Fuente- SERWAY- TOMO I - CAP 2. ) SOLUCION. d1 = 200 pie d2 = d3 = 135 pie
?
d
G
=
POR COMPONENTES.dx = d1x + d2x + d3x = d1 + d2cos30 + d3cos40 = 200 + 135 cos30+ 135 cos40 = 420,3 pie
dy = d2y - d3y = d2 sen30 - d3 sen40 = 135 sen30 - 135 sen40 = 19,3 pie
2 2 2 2 x y d= d +d = 420,3 +19,3 =421pie Dirección: y x d 19,3 tg 0,0459 d 420,3 θ = = = ⇒ θ = (-)2,63º ó (+) 357,37º Luego,
• en coordenadas polares: d (421pie; 2,63º ) (421pie; 357,37º )G= − = • en coordenadas rectangulares: d (420,3i 19,3 j) pieG= ˆ− ˆ
Otra forma:
- Escribir cada uno de los vectores en coordenadas rectangulares, es decir: dG1=d i d j d cos 0i d sen0 j 200 cos 0i1xˆ+ 1yˆ= 1 ˆ+ 1 ˆ= ˆ ⇒ dG1=200i(pie)ˆ
dG2 =d i d j d cos 30i d sen30 j 135 cos 30i 135sen30 j2xˆ+ 2yˆ= 2 ˆ+ 2 ˆ= ˆ+ ˆ ⇒ dG2 =(116,9i 67,5 j) pieˆ+ ˆ dG3 =d i d j d cos320i d sen320 j 135 cos320i 135sen320 j3xˆ+ 3yˆ= 3 ˆ+ 3 ˆ= ˆ+ ˆ
⇒ dG3 =(103,4i 86,8 j) pieˆ− ˆ d dG=G1+dG2 +dG3 =200i (116,9i 67,5 j) (103,4i 86,8 j)ˆ+ ˆ+ ˆ + ˆ− ˆ ⇒ dG =( 420,3 iˆ − 19,3 j ) pie.ˆ
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.) Calcular la magnitud y la dirección de R 7i 12jG = ˆ− ˆ. R: 13,9 a -59,7º
2.) Calcular las componentes "x" e "y" de los siguientes desplazamientos en el plano xy: (a) 300 cm a 127º y (b) 500 cm a 220º. R: (a) -180 cm , 240 cm; (b) -383 cm, -321 cm.
3.) Dos fuerzas actúan sobre un objeto puntual de la siguiente forma: 100 N a 170º y 100 N a 50º. Calcular su resultante. R: 100 N a 110º.
4.) Una fuerza de 100 N forma un ángulo "θ" con el eje "x" y tiene una componente "y" de 30 N. Calcular la componente "x" de la fuerza y el ángulo θ. R: 95,4N a 17,5º.
5.) Dos hombres tiran horizontalmente de cuerdas atadas a un poste, las cuales forman entre si un ángulo de 45º. El hombre A ejerce una fuerza de 75 kp y el de B 50 kp. Encuentre la fuerza resultante sobre el poste, en forma gráfica, por el método del paralelogramo y del triángulo; en ambos casos considere 25 kp. = 2 cm. Determine además analíticamente, el módulo de la fuerza resultante y el ángulo que forma con la fuerza ejercida por A. Resp: 116 kp; 17º 8’
30º 40º 1
d
G
2d
G
3d
G
dGd
G
xd
G
y dGθ
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 8 6.) Dos fuerza, FG1 y FG2 , actúan en un punto. El valor de F1 = 8 kp y su dirección forma un ángulo de
60º por encima del eje x en el primer cuadrante. El valor de F2 = 5 kp y su dirección forma un
ángulo de de 53º por debajo del eje x en el cuarto cuadrante. Determine: a) las componentes horizontal y vertical de la fuerza resultante.
b) La magnitud de la fuerza resultante.
c) La magnitud del vector diferencia FG1 - FG2. R: a) 7 kp , 2.9 kp b) 7,6 kp c) 11 kp
7.) Tres fuerzas que actúan sobre una partícula están dadas por FG1=(20i 36 j 73k) Nˆ− ˆ+ ˆ ,
2 ˆ ˆ ˆ
FG = −( 17i 21j 46k) N+ − y FG3 = −12k (N).ˆ Encontrar las componentes de la resultante, y calcular la magnitud de la misma R : 3N , -15N , 15N , 21,4 N.
8.) Sean 5 fuerzas coplanares que actúan sobre un objeto; 19 N a 0º , 15 N a 60º , 16 N a 135º , 11 N a 210º y 22 N a 270º. Usando el método de componentes encuentre la resultante.
R: 6,5 N a 331º ó 6,5 N a -29º.
9.) Partiendo del origen de coordenadas, se realizan los siguientes desplazamientos en el plano xy: 60 mm en dirección +y, 30 mm en dirección -x, 40 mm a 150º, y 50 mm a 240º. Calcular el desplazamiento resultante. R.: ( 89,6i 36,7 j) m− ˆ+ ˆ
10.) Un insecto empieza en un punto A, se arrastra 8 cm. al Este, 5 cm. al Sur, 3 cm. al Oeste, y 4 cm. al Norte hasta un punto B. (a) ¿Qué tan retirado se encuentra el punto B del A en dirección norte y en dirección este? (b) Calcular el desplazamiento de A a B gráfica y algebraicamente. R: (a) 5 cm. al Este, -1 cm. al norte ; (b) 5,1 cm a 11,3º al sureste.
11.) Un niño frena una carreta para impedir que ruede hacia atrás en un camino inclinado que forma un ángulo de 20º con la horizontal. Si la carreta pesa 150 N, ¿con qué fuerza debe tirar el niño la palanca si ésta es paralela a la pendiente? R: 51 N.
12.) Una topógrafa calcula el ancho de un río mediante el siguiente método: se para directamente frente a un árbol en el lado opuesto y camina 100 m a lo largo de la rivera del río, después mira el árbol. El ángulo que forma la línea que parte de ella y termina en el árbol es de 35º. ¿Cuál es el ancho del río?. R: 70 m.
13.) Las instrucciones para descubrir un tesoro enterrado son las siguientes: ir 75 pasos a 240º, girar hasta 135º y caminar 125 pasos, después caminar 100 pasos a 160º. Determine el desplazamiento resultante desde el punto de partida.
14.) El buque escuela Esmeralda zarpa del puerto de Valparaíso en un día con fuertes vientos.
Navega 45 km al oeste; luego cambia de rumbo y viaja 35 km en dirección 30º al sur del
este, y por último recorre otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 100
km al sur del punto de partida. a) Determine el vector desplazamiento correspondiente al
tercer tramo. b) Determine el módulo y dirección del tercer tramo.
R: a)
(14,7i 82,5 j) kmˆ− ˆ; b) 83,8 km ; 10,1º al este del sur
15.) Un estudiante esta atrapado en un bosque. Para encontrar la salida camina 10 m, da un
giro de 90º hacia la derecha y camina 5 m, efectúa otro giro de 90º a la derecha y camina 7
m. Cuál es el desplazamiento desde su posición inicial?. R: 5,83 m y a 59º a la derecha
de la primera posición.
16.) Un avión despega desde un aeropuerto A y viaja hasta otro B que se encuentra a 200 km en la dirección N 37º O. A continuación vuela hasta una ciudad C desplazándose para ello 300 km hacia el Este. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección del desplazamiento que lo lleve enseguida hasta una ciudad D ubicada a 150 km de A en la dirección S 60º E?. R.:(240 km; dirección O 78,1º S ). 17.) La resultante de cuatro fuerzas concurrentes es de 1000 N en la dirección 30º al oeste del norte.
Tres de las fuerzas son 400 N con una dirección de 60º al norte del este; 200 N al sur y 400 N con una dirección de 53º al oeste del sur. Determine la magnitud y dirección de la resultante.
Módulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 9 18.) Encontrar la resultante en los sistemas de fuerzas mostrados a continuación.
Resp: RGA = −7,32 iˆ + 2 jˆ RGB = 14,9 iˆ + 21,3 jˆ RGC = 28 iˆ
19.) Las siguientes fuerzas coplanares concurrentes tiran de un anillo: 200 N a 30º , 500 N a 80º , 300 N a 240º y una fuerza desconocida. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza desconocida si el anillo se halla en equilibrio. R: 350 N a 252º.
20.) En la figura 1, la tensión de la cuerda horizontal es de 30 N. Encuentre el peso del objeto. R: -25,2 ˆj N.
21.) Si W = 40N en la situación mostrada en la fig. 2., determine los vectores T1 y T2.
R: (58N , 120º) ; ( 31 N , -20º ).
22.) Un joven de 90 N se cuelga de una cuerda que se extiende entre dos postes ( Fig. 3.). Encuentre vectorialmente las tensiones de las dos secciones de la cuerda.
R: TG1= −( 340,74i 60,08 j)Nˆ+ ˆ ; TG2 =( 341,69i 29,89 j)Nˆ+ ˆ ó TG1 = ( 346N,170º ) ; TG2 =( 343N, 5º )
23.) Cuatro fuerzas actúan sobre una viga (fig.4.). La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. Las magnitudes de las fuerzas son FD =10 kN y Fc = 5 kN. Determine los
vectores FGA y FGB.
R.: FGA =(10kN;30º ) ; FGB =(8.7KN;180º )
24.) Dos fuerzas A y B de magnitudes A = 1000 lbf y B = 500 lbf se aplican a la conexión mostrada en la figura. Sabiendo que las fuerzas son coplanares concurrentes y que la conexión está en equilibrio, determine la magnitud y dirección de las fuerzas C
G
yD
G
. R: CG =( 433Lbf ;90º ) ; DG =( 750Lbf ;0º ) 50º Fig. 1. Fig. 3 10º 5º T1 T2 60º 70º Fig. 2. W T1 T2º º
º
30º B FG A FG c FG D FG Fig.4 30A
G
B
G
C
G
D
G
Fig.5. 30N 10N 20N x y 20º 30º B) A) 30º 8N 10N 20N x y 20N 10N 30Nx
y
45º 45º 40N C) 65ºMódulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 10 25.) Seis fuerzas actúan sobre una viga ( fig. 6. ) que forma
parte de la estructura de un edificio. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. Las magnitudes de las fuerzas son FB = FE =5 kN , FC = 4 kN y FD = 2 kN.
Determine los vectores FGA y FGG. R.: FGA =(3.22N;110º ) ; FGG =(4.1N;50º )
26.) Los cables A, B y C ayudan a soportar una columna de una estructura ( Fig. 7.). Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales. FA = FB = FC. La
magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene FA? R: 68,2 kN.
27.) Dos cables están unidos en C y cargados como se muestra en la figura 8. Hallar las tensiones en el cable AC y en el cable BC.
R: TG1=(1769,1N ;20º ) ; TG2 =(2170 N ;140º )
28.) Una cuerda ABCD cuelga de los puntos fijos A y D (Fig.9). En B hay un peso de 12 Kp y en C un peso desconocido. Si el ángulo que hace AB con la horizontal es de 60º, BC es horizontal y CD hace un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular el valor que debe tener P para que el sistema se encuentre en equilibrio estático. Resp: 4 Kp
BIBLIOGRAFIA:
Física general, Capítulo 1 y 2, FREDERICK J. BUECHE. Física Tomo I , Capítulo 2, RAIMOND A. SERWAY.
Mecánica vectorial para ingenieros. Tomo Estática. Cap.2.BEER Y JOHNSTON.
FACTORES DE UNIDADES
G FG 70º B FG A FG c FG FGD Fig.6 40º 40º 50º E FG•
•
•
•
4m 4m 4m A B C 6m Fig. 7.•
•
A B C 200kg 40 20 Fig.8. A B C P 60º 30º Fig.9 DMódulo.01-Física.Prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009 11 Tiempo
1 seg = 1,667·10-2 mim = 2,778·10-4 hr = 3,169·10-8 años
1 mim = 60 seg = 1,667 · 10-2 hr = 1,901 · 10-6 años
1 hr = 3600 seg = 60 mim = 1,141 · 10-6 años
1 año = 3,156 · 107 seg = 5,259 · 105 mim =
8,766 · 103 hr Longitud 1 m = 102 cm = 39,37 pulg = 6,214 · 10-4 millas 1 milla = 5280 pies = 1,609 km 1 pulg = 2,54 cm : 1 pie = 30,48 cm 1 A = 10-8 cm = 10-10 m = 10-4
µ
(micrones) 1µ
(micrón) = 10-36 m1 U.A. (unidad astronómica) = 1,496 · 1011 m
1 año luz = 9,46 · 1015 m Potencia 1 W = 1,341 · 10-3 HP : 1 HP = 745,7 W 1 CV = 75 kgm/s = 736 W 1kgm/s = 9,8 J/s = 9,8 · 107 erg/s 1lb-pie/s = 1,355 J/s Fuerza 1 N = 105 dinas = 0,2248 lbf = 0 0,102 kgf 1 dina = 10-5 N = 2,248 · 10-6 lbf 1 lbf = 4,448 N = 4,448 · 105 dinas 1 kgf = 9,81 N Angulo 1 radián = 57,3º 1º = 1,74 · 10-2 rad 1’ = 2,91 · 10-4 rad 1’’= 4,85 · 10-6 rad Presión 1 N/m2 = 9,265 · 10-6 atm = 1,45 · 10-4 lbf/pulg2 = 10 dinas/cm2 1 atm = 14,7 lbf/pulg2 = 1,013 · 105 N/m2 1 bar = 106dinas/cm2 Area 1 m2 = 104 cm2 = 1,55 · 10-5 pulg2 =10,76 pies2 1 pulg2 = 6,452 cm2 1 pie2 = 144 pulg2 = 9,29 · 10-2 m2 Volumen 1 m3 = 106 cm3 = 103 litros = 35,3 pie3 = 6,1 · 104 pulg3 1 pie3 = 2, 83 · 10-2 m3 = 28,32 litros 1 pulg3 = 16,39 cm3 Trabajo y Energía 1 J = 107 erg = 0,239 cal = 6,242 · 1018 CV 1 eV = 1,6 · 10-19 J = 1,07 · 10-9 uma 1 cal = 4,186 J = 2,613 · 1019 eV 1 uma = 1,492 · 10-19 J = 3,564 · 10-11 cal 1 Kgm = 9,8 J = 9,8 · 107 erg = 7,2284 lb-pie 1 lb-pie = 1,356 J = 1,356 · 107 erg 1 CVh = 27 · 104 kgm = 264,6 · 104 J 1KWh = 367347 kgm = 3,6 · 106 J = 1,36 CVh Masa 1 Kg = 103 gr = 2,205 lb 1 lb = 453,6 gr = 0,4536 kg
1 unidad atómica de masa = 1,6604 · 10-27 kg
Temperatura ºK = 273,1 + ºC ºC = 5/9 (ºF – 32) ºF = 9/5 (ºC + 32) Velocidad 1 m/s = 102 cm/s = 3,281 pies/s 1 pie/s = 30,48 cm/s
1 milla/min = 60 millas/h = 88pies/s
Aceleración
1 m/s2 = 102 cm/s2 = 3,281 pies/s2
1 pie/s2 = 30,48 cm/s2
Los símbolos de las unidades pueden verse afectados de prefijos que actúan como múltiplos y submúltiplos decimales. Estos prefijos se colocan delante del símbolo de la unidad correspondiente sin espacio intermedio. El conjunto del símbolo más el prefijo equivale a una nueva unidad que puede combinarse con otras unidades y elevarse a cualquier exponente (positivo o negativo). Los prefijos decimales se muestran en las tablas siguientes.
Prefijo Símbolo Factor
deca da 101 hecto h 102 kilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 peta P 1015 exa E 1018 zetta Z 1021 yotta Y 1024
Prefijo Símbolo Factor
deci d 10-1 centi c 10-2 mili m 10-3 micro µ 10-6 nano n 10-9 pico p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18 zepto z 10-21 yocto y 10-24 Submúltiplos decimales Múltiplos decimales
Módulo.02-Complemento de Física-prosecución de estudios-U.Central - ecz-2009
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UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE
FAC. DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS PROSECUCIÓN DE ESTUDIOS.
INTRODUCCION.
La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento y equilibrio de los cuerpos. Existen tres formas de mecánica: clásica, relativista y cuántica.
La mecánica clásica considera cuerpos macroscópicos que se desplazan a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. La mecánica relativista extiende el campo de validez de las leyes de la mecánica clásica a los cuerpos que se mueven con una velocidad cuya magnitud es del orden de la velocidad de la luz. En cambio la mecánica cuántica considera las leyes que regulan los fenómenos atómicos en la rígida relación determinista que caracteriza a las otras mecánicas, la cuántica introduce el concepto de probabilidad.
La mecánica clásica se divide en cinemática, dinámica y estática. El capítulo que describe el movimiento de ellos, se le llama CINEMATICA - da respuesta a la pregunta ¿cómo se mueven?. La parte que relaciona el movimiento con las fuerzas que lo causan o modifican y con las propiedades del sistema en movimiento, se llama DINAMICA - da respuesta a la pregunta ¿por qué se mueven? -. La ESTATICA considera el equilibrio de los cuerpos.
Cuando un objeto real está en movimiento, puede girar o también vibrar ( una pelota y una gota de agua son ejemplos de ello, respectivamente ). Estas complicaciones al movimiento de traslación pueden evitarse de dos formas que, en el fondo, son equivalentes:
♦ Suponer que el cuerpo es muy pequeño. A un cuerpo pequeño se le llama partícula. Matemáticamente a una partícula se la trata como un punto ( un objeto sin extensión), de tal forma que no hay que hacer consideraciones de rotación ni de vibración.
♦ Se escoge un punto representativo del cuerpo en el cual se supone, entre otras cosas, que está concentrada su masa. Este punto se denomina centro de masa del cuerpo, y se estudiará en detalle en la parte de dinámica. Por razones obvias entonces, en el estudio de la cinemática de traslación, se utilizará la primera forma, es decir, considerar para dichos efectos que el cuerpo es una partícula. CINEMATICA.
Es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen. Relaciona específicamente el tiempo con cuatro conceptos vectoriales fundamentales: la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.
PUNTO DE REFERENCIA.
Es todo punto que se considera inmóvil y desde el cual se pueden hacer mediciones. SISTEMA DE REFERENCIA.
Es todo sistema de ejes coordenados, que contiene un punto de referencia en su intersección llamado origen. Por comodidad el sistema de referencia se ubica en el lugar en donde está el observador, aunque esto no es absolutamente necesario.
No existe un sistema de referencia que sea absoluto, es decir, que esté en reposo en el espacio vacío.
(Esto es imposible, ya que en el espacio no hay elementos fijos que puedan servir como referencia). Lógicamente entonces, si no existe un sistema absoluto, tampoco existe el movimiento absoluto, por lo tanto, todo movimiento es relativo.
x
y
z
Punto de referencia (origen) MODULO DE FISICA Nº2CINEMATICA DE LA PARTICULA – PARTE 1. PROF. EUGENIO CONTRERAS Z.
