Louis de Broglie propuso que no sólo la luz tiene las propiedades duales de ondas y partículas, sino que también las partículas de materia poseen propiedades ondulatorias. La longitud de onda de esas ondas de partículas es:
λ = h mv
donde m y n son la masa y la velocidad de la partícula. La constante de Planck, h, es tan pequeña, que las longitudes de onda sólo están en una región observable para partículas de masa atómica o subatómica.
Se confirmó experimentalmente la relación de Louis de Broglie para un haz de electrones de una sola energía y a esto siguió un desarrollo teórico de la mecánica cuántica, llamada también mecánica ondulatoria. No sólo se repro- dujo la exitosa predicción de Bohr de los niveles de energía estables en los átomos de hidrógeno, sino que el concepto ahora se puede aplicar a átomos de muchos electrones y a moléculas de muchos átomos. Se sustituyen los postulados de Bohr por la ecuación de Schrödinger, que se debe resolver con los métodos de las ecuaciones diferenciales parcia- les. La ecuación tiene semejanzas matemáticas con las descripciones de ondas físicas; la introducción arbitraria de números enteros en la teoría de Bohr tiene la justificación, en mecánica cuántica, por el requisito de que las soluciones ondulatorias de la ecuación deben ser continuas, finitas y de un solo valor. Las soluciones del estado estable de la ecuación de onda corresponden a estados de energía fija, como en la teoría de Bohr, y en muchos casos, incluido el átomo de hidrógeno, de momento angular fijo. Muchas otras propiedades descriptivas, como la ubicación de un electrón, definitivamente no son fijas, pero se representan con probabilidades de distribución dentro de un intervalo de valores numéricos. En el átomo de hidrógeno, el electrón no se confina a una órbita bidimensional, sino que se representa por una onda que se extiende en el espacio tridimensional. La amplitud de onda indica la probabilidad variable de encon- trar el electrón en lugares diferentes con respecto al núcleo.
Orbitales
Una solución de la ecuación de Schrödinger debe satisfacer tres condiciones cuánticas, que corresponden a las tres dimensiones espaciales. Cada condición cuántica introduce un número entero, llamado número cuántico, en la solución. Existe una solución aparte que describe una distribución de probabilidades de encontrar el electrón en varios lugares,
para cada conjunto permitido de tres números cuánticos. Esa solución se llama orbital; es parecida a una fotografía de tiempo hipotética de un electrón, tomada durante un intervalo suficiente para que cada región del espacio quede repre- sentada por la probabilidad ponderada de encontrar el electrón en esa región. Los tres números cuánticos se suelen designar de la siguiente manera:
1. Número cuántico principal, n: este número determina casi exclusivamente la energía del orbital en sistemas de un electrón y sigue siendo el principal determinante de la energía en sistemas de muchos electrones.
2. Número cuántico del momento angular, l: este número define la forma del orbital y, junto con n, define la distancia promedio del electrón al núcleo.
3. Número cuántico magnético, m: este número determina la orientación del orbital en el espacio.
Además de las tres dimensiones espaciales que describen las posiciones del electrón y del núcleo, hay una cuarta dimensión, interna del electrón mismo, relacionada con el espín o giro del electrón respecto a un eje interno, caracte- rizado por el momento magnético asociado con este espín. El número cuántico asociado con el espín del electrón se suele representar con ms.
Cada uno de los cuatro números cuánticos sólo puede tener ciertos valores, que son:
a) n puede ser cualquier entero positivo. Se dice que los electrones que tienen determinado valor de n están en el mismo nivel (órbita). Los niveles se representan con letras mayúsculas, así:
n 1 2 3 4 5 6 7
Designación K L M N O P Q
b) El valor de l varía desde 0 hasta n − 1. Los valores de l se representan con letras minúsculas, así:
l 0 1 2 3 4
Designación s p d f g
Se suele especificar un orbital con su número cuántico principal (n), seguido por la letra correspondiente a su valor de l. Por ejemplo: 2s, 2p, 4d y 5f.
c) ml puede tener cualquier valor entero desde −l hasta +l. Esta regla indica la cantidad de orbitales, que es 2l + 1,
asociada con una combinación determinada (n, l). Hay tres orbitales p correspondientes a ml = 1, 0 y −1. Sin
embargo, en química suele ser más común usar un conjunto nuevo de tres orbitales orientados a lo largo de los ejes x, y y z para presentar la forma y la dirección de esos orbitales. Además, hay 5 orbitales d y 7 orbitales f que tienen diferentes formas y orientaciones en el espacio.
d ) Los valores de ms pueden ser ++12 o −+12.
Las probabilidades de encontrar un electrón a varias distancias r del núcleo del hidrógeno se muestran en la figura 8-2, para varias combinaciones (n, l). Las formas de los orbitales s, p y d se muestran en la figura 8-3. Al inspeccionar la figura 8-2 resalta un detalle que surge como una consecuencia matemática exacta de la teoría: cuando l = n − 1, la distancia más probable del electrón al núcleo es exactamente igual al radio de la órbita de Bohr, n2a0. En general, la
distancia promedio del electrón al núcleo aumenta al incrementar n. Esta misma figura muestra otra propiedad intere- sante de todos los valores permitidos de l, excepto el máximo, para determinada n, que es la existencia de mínimos de probabilidad cero, correspondientes a superficies nodales esféricas en torno al núcleo; en ellas no se encuentra el electrón. La figura 8-3 muestra que los orbitales s tienen la forma de una esfera, con el núcleo en el centro. Cada orbi- tal p se concentra a lo largo de las porciones + y − de uno de los ejes cartesianos (x, y o z), con un plano nodal de probabilidad cero perpendicular a ese eje, en el núcleo. De los cinco orbitales d permitidos para determinada n, sólo cuatro tienen la misma forma, un trébol de cuatro hojas tridimensional, estando la máxima probabilidad a lo largo de los ejes x y y, en el caso de dx2−y2, y entre los ejes, en el caso de dxy, dxz y dyz. Cada uno de esos orbitales tiene dos
planos nodales perpendiculares que pasan por el núcleo. El quinto orbital d, dz2, tiene máximos en las direcciones +z
y −z, y una concentración secundaria en el plano (x, y). Este orbital tiene dos superficies nodales cónicas que pasan por el núcleo, una que se proyecta arriba del plano (x, y) y una que se proyecta abajo de él. Separa los lóbulos +z y −z del anillo, en forma de dona, de probabilidad concentrada en ese plano.
c) orbitales d
a) orbital s b) orbitales p
Figura 8-3 Dependencia angular de los orbitales. Figura 8-2