Las probabilidades marginales en condiciones de dependencia estadística se calculan mediante la su- ma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo. En el ejemplo anterior, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola de color mediante la suma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que aparece una bola de color:
P(C) P(CD) P(CS) 0.3 0.1 0.4
De manera parecida, la probabilidad marginal del evento bola gris se puede calcular sumando la pro- babilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola gris:
P(G) P(GD) P(GS) 0.2 0.4 0.6
Igualmente, podemos calcular la probabilidad marginal del evento bola con puntos mediante la su- ma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se tiene una bola con puntos:
P(D) P(CD) P(GD) 0.3 0.2 0.5
Y, por último, la probabilidad marginal del evento bola con franjas se puede calcular mediante la su- ma de la probabilidad de los dos eventos conjuntos en los que se presenta una bola con franjas:
P(S) P(CS) P(GS) 0.01 0.04 0.5
Estas cuatro probabilidades marginales, P(C) 0.4, P(G) 0.6, P(D) 0.5 y P(S) 0.5, se pue-
den verificar mediante una inspección de la tabla 4-4.
Ahora ya hemos analizado los tres tipos de probabilidad (condicional, conjunta y marginal) que se tienen en condiciones de dependencia estadística. En la tabla 4-5 se presenta un resumen de las fórmulas desarrolladas para las probabilidades bajo ambas condiciones de independencia estadísti- ca y de dependencia estadística.
Probabilidades bajo condiciones de inde- pendencia y dependen- cia estadística
Tabla 4-5 Fórmula bajo Fórmula bajo
Tipo de independencia dependencia probabilidad Símbolo estadística estadística
Marginal P(A) P(A) Suma de la probabilidad de los
eventos conjuntos en los que Aocurre
Conjunta P(AB) P(A)P(B) P(A |B)P(B) o P(BA) P(B)P(A) P(B |A)P(A) Condicional P(B|A) P(B) P P (B (A A ) ) o P(A|B) P(A) PP(A(BB))
Sugerencia: distinga entre probabilidad condicional y probabilidad conjunta me- diante el uso cuidadoso de los términos dado que y ambos... y: P(A|B) es la “pro-
babilidad de que Aocurra dado que ocurrió B” y P(AB) es la “probabilidad de que ambos, A y B ocurran”. La proba- bilidad marginal P(A) es la “probabilidad de que ocurra A, suceda Bo no”.
SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES
Ejercicios 4.6
Ejercicios de autoevaluación
EA 4-9 De acuerdo con una encuesta, la probabilidad de que una familia posea dos automóviles si su ingreso anual es mayor que $35,000 es 0.75. De los hogares encuestados, 60% tenía ingresos mayores que $35,000 y 52% tenía dos autos. ¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga dos autos y un ingreso mayor que $35,000 al año?
EA 4-10 La tienda de departamentos Friendly ha sido objeto de muchos robos durante el último mes; pero, debido al aumento en las medidas de seguridad, se ha detenido a 250 ladrones. Se registró el sexo de cada ladrón; tam- bién se anotó si se trataba de un primer delito o era reincidente. Los datos se resumen en la siguiente tabla.
Sexo Primera ofensa Reincidente
Hombre 60 70
Mujer 44 76
104 146
Suponga que se elige al azar un ladrón detenido, calcule a) la probabilidad de que el ladrón sea hombre.
b) la probabilidad de que sea la primera ofensa, dado que es hombre. c) la probabilidad de que sea mujer, dado que es reincidente. d) la probabilidad de que sea mujer, dado que es la primera ofensa. e) la probabilidad de que sea hombre y reincidente.
Conceptos básicos
■ 4-33 Dos eventos son estadísticamente dependientes. Si P(A) 0.39, P(B) 0.21 y P(Ao B) 0.47, encuen- tre la probabilidad de que
a) no ocurra ni Ani B. b) ocurran tanto Acomo B. c) ocurra Bdado que A ocurrió. d) ocurra A dado que Bocurrió.
■ 4-34 Dado que P(A) 3/4, P(B) 1/6, P(C) 1/3, P(AC) 1/7 y P(B|C) 5/21, encuentre las siguientes probabilidades: P(A|C), P(C|A), P(BC) y P(C|B).
■ 4-35 Suponga que para dos eventos Ay B, P(A) 0.65, P(B) 0.80, P(A|B) P(A) y P(B|A) 0.85. ¿Es és- ta una asignación de probabilidades consistente? Explique.
Aplicaciones
■ 4-36 En un comedor de beneficencia, una trabajadora social reúne los datos siguientes. De las personas que acu- den al comedor, 59% son hombres, 32% son alcohólicos y 21% son hombres alcohólicos. ¿Cuál es la pro- babilidad de que un asistente hombre que vaya al comedor, tomado al azar, sea alcohólico?
■ 4-37 Durante un estudio sobre accidentes automovilísticos, el Consejo de Seguridad Carretera encontró que 60% de los accidentes suceden de noche, 52% están relacionados con conductores alcoholizados y 37% se presentan de noche y están relacionados con conductores ebrios.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente esté relacionado con un conductor alcoholizado, dado que sucedió de noche?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un accidente haya sucedido de noche, dado que está relacionado con un conductor ebrio?
■ 4-38 Si un huracán se forma en la parte oriental del Golfo de México, hay 76% de posibilidades de que éste golpee la costa occidental de Florida. A partir de los datos recabados en los 50 años pasados, se ha deter- minado que la probabilidad de que se forme un huracán en la parte oriental del golfo en cualquier año da- do es de 0.85.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un huracán se forme en la parte oriental del Golfo de México y lle- gue a la costa occidental de Florida este año?
b) Si a un huracán formado en la parte oriental del Golfo de México se le induce a producir lluvia me- diante la irrigación de productos químicos desde aeronaves, la probabilidad de que golpee la costa oc- cidental de Florida se reduce en un cuarto. Si se decide aplicar este tratamiento a todo huracán que se forme en la parte oriental del golfo, ¿cuál es el nuevo valor de la probabilidad del inciso a)?
■ 4-39 Al Cascade, presidente de la empresa Litre Corporation, está estudiando las posibilidades de que su com- pañía obtenga un importante contrato para instalar un sistema de purificación de agua para las autorida- des del Valle de Tennessee. De acuerdo con ello, dos eventos tienen interés para él. Primero, el principal competidor de Litre, la WTR, está efectuando una investigación sobre purificación de agua en la zona, la cual espera concluir antes del tiempo límite para poder concursar por la concesión. Segundo, existen rumo- res de que las autoridades del Valle de Tennessee van a realizar una auditoría a todos sus contratistas, de los cuales Litre forma parte y WTR no. Si el competidor principal de Litre termina a tiempo su investigación de campo y no se hace la auditoría, entonces la probabilidad de que a Litre le sea otorgada la concesión es de 0.67. Si se efectúa la auditoría pero WTR no termina a tiempo la investigación, la probabilidad es de 0.72. Si ambos eventos se presentan, la probabilidad es de 0.58, y si ninguno de los dos eventos sucede, en- tonces la probabilidad es de 0.85. El que las autoridades hagan o no la auditoría y el que la WTR termine su investigación son eventos independientes.
a) Suponga que Al sabe que la probabilidad de que la WTR termine la investigación a tiempo es de 0.80. ¿Cuál deberá ser el valor de la probabilidad de que se haga una auditoría para que la probabilidad de Litre de obtener el contrato sea de al menos 0.65?
b) Suponga que Al sabe que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0.70. ¿Qué valor debe- rá tener la probabilidad de que la WTR termine a tiempo la investigación, de tal modo que la proba- bilidad de que Litre obtenga la concesión sea de al menos 0.65?
c) Suponga que la probabilidad de que se efectúe la auditoría es de 0.75 y que la probabilidad de que la WTR termine a tiempo su investigación es de 0.85. ¿Cuál es la probabilidad de que Litre obtenga la concesión?
■ 4-40 Una compañía desea actualizar su sistema de computación y una parte importante de la actualización es un nuevo sistema operativo. La compañía ha pedido a una ingeniero que evalúe el sistema operativo. Su- ponga que la probabilidad de una evaluación favorable es 0.65. Si la probabilidad de que la compañía ac- tualice su sistema dada una evaluación favorable es 0.85, ¿cuál es la probabilidad de que la compañía actualice su sistema y reciba una evaluación favorable?
■ 4-41 La biblioteca de la universidad ha entrevistado a afiliados elegidos al azar durante el último mes para ver quiénes usan la biblioteca y qué servicios requieren. Los afiliados se clasifican en licenciatura, posgrado y académicos. Los servicios se clasifican como consulta, publicaciones periódicas o libros. La tabla con- tiene los datos de 350 personas. Suponga que los afiliados usan sólo un servicio por visita.
Afiliados Referencia Publ. periódicas Libros
Licenciatura 44 26 72
Posgrado 24 61 20
Académicos 16 69 18
84 156 110
Encuentre la probabilidad de que un afiliado seleccionado al azar a) sea estudiante de licenciatura.
b) visite la sección de publicaciones periódicas, dado que es un estudiante de posgrado. d) sea de licenciatura y visite la sección de libros.
■ 4-42 El gerente regional del sureste de General Express, un servicio privado de mensajería, está preocupado por la posibilidad de una huelga por parte de algunos empleados. Sabe que la probabilidad de una huelga de pilotos es 0.75 y la probabilidad de una huelga de choferes es 0.65. Más aún, sabe que si los choferes hacen una huelga, existe una posibilidad de 90% de que los pilotos apoyen la huelga.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos grupos se vayan a huelga?
b) Si los pilotos hacen huelga, ¿cuál es la probabilidad de que los choferes apoyen la huelga?
Soluciones a los ejercicios de autoevaluación
EA 4-9 Si Iingreso > $35,000 C2 autos.
EA 4-10 M/Wladrón es hombre/mujer; F/Rprimera ofensa | reincidente a) P(M) (60 70)/250 0.520 b) P(F|M) P(Fy M)/P(M) (60/250)/(130/250) 0.462 c) P(W|R)P(Wy R)/P(R)(76/250)/(146/250) 0.521 d) P(W|F) P(Wy F)/P(F) (44/250)/(104/250)0.423 e) P(My R) 70/250 0.280
4.7
Revisión de las estimaciones anteriores
de probabilidades: teorema de Bayes
Al inicio de la temporada de béisbol, los seguidores del equipo ganador de la temporada anterior creen que éste tiene buenas posibilidades de ganar nuevamente. Sin embargo, a poco del arranque de temporada, el shortstoptiene que quedarse en la banca debido a una lesión y el principal rival del equipo contrata a un gran bateador, famoso por sus cuadrangulares. El equipo campeón empieza a perder. Casi al final de la temporada, sus seguidores se dan cuenta que deben cambiar sus anteriores probabilidades de ganar.
Una situación similar se presenta en el ámbito de los negocios. Si la administradora de una bou-
tiqueencuentra que la mayoría de las chamarras deportivas color púrpura y amarillas que pensó se
iban a vender muy bien, todavía están colgadas en los exhibidores, entonces tiene que revisar las pro- babilidades anteriores y ordenar una combinación diferente de color o ponerlas en oferta.
En ambos casos, ciertas probabilidades fueron alteradas después de que los interesados obtuvie- ron información adicional. Las nuevas probabilidades se conocen como probabilidades revisadas o posteriores. Como éstas pueden revisarse en la medida que hay más información, la teoría de proba- bilidad adquiere gran valor para la toma de decisiones empresariales.
El origen del concepto de la obtención de probabilidades posteriores con información limitada se atribuye al reverendo Thomas Bayes (1702-1761). La fórmula básica para la probabilidad condicio- nal en circunstancias de dependencia
P(B|A) P P (B (A A ) ) [4-6]
se conoce como teorema de Bayes.
Bayes, de origen inglés, fue ministro presbiteriano y un matemático competente. Consideró la for- ma en que podría probar la existencia de Dios examinando toda evidencia que el mundo aportaba acerca de él. En un intento por mostrar “que el fin principal de la Divina Providencia... es la felicidad de sus criaturas”, el reverendo Bayes utilizó las matemáticas para estudiar a Dios. Desafortunada- mente, las implicaciones teológicas de sus hallazgos alarmaron tanto al buen reverendo Bayes que du- rante su vida se rehusó a permitir la publicación de su trabajo. Sin embargo, su obra trascendió y la teoría de decisiones moderna a menudo se conoce en su honor como teoría de decisiones bayesiana. El teorema de Bayes ofrece un potente método estadístico para evaluar nueva información y re- visar nuestras anteriores estimaciones (basadas sólo en información limitada) de la probabilidad de que las cosas se encuentren en un estado o en otro. Si es utilizado de manera correcta, se hace in- necesario reunir grandes cantidades de datos en un periodo grande con el fin de tomar mejo- res decisiones, basadas en probabilidades.