EA 2-1 7 intervalos 13 intervalos
Frecuencia Frecuencia Frecuencia Clase relativa Clase relativa Clase relativa
30-39 0.02 35-39 0.02 70-74 0.10 40-49 0.06 40-44 0.04 75-79 0.10 50-59 0.16 45-49 0.02 80-84 0.12 60-69 0.32 50-54 0.08 85-89 0.04 70-79 0.20 55-59 0.08 90-94 0.04 80-89 0.16 60-64 0.10 95-99 0.04 90-99 0.08 65-69 0.22 1.00 1.00
a) Como se puede saber a partir de cualquiera de las distribuciones, cerca de 90% de los participantes tiene más de 50 años, por lo que el programa no cumple la política.
b) En este caso, es igualmente sencillo usar las dos.
c) La distribución de 13 intervalos da una mejor estimación porque tiene una clase de 45-49, mientras que la distribución de 7 intervalos agrupa todas las observaciones entre 40 y 49.
EA 2-2 Ordenamiento de datos según el promedio general de bachillerato:
Prom. bach. Prom. univ. Prom. bach. Prom. univ.
4.0 3.9 3.4 3.4 4.0 3.8 3.2 3.5 3.9 4.0 2.9 3.0 3.9 3.7 2.7 2.2 3.7 3.2 2.6 2.7 3.6 3.0 2.6 1.9 3.6 2.5 2.4 3.2 3.5 3.8 2.2 3.5 3.5 3.6 2.2 2.8 3.4 3.6 2.1 2.5
Ordenamiento de datos según el promedio general en la universidad:
Prom. bach. Prom. univ. Prom. bach. Prom. univ.
4.0 3.9 3.2 3.7
3.9 4.0 3.2 2.4
Ancho de un intervalo de clase
[2-1]
Valor unitario siguiente después Valor más pequeño
del valor más grande de los datos de los datos
Número total de intervalos de clase Ancho de los
intervalos de clase
Prom. bach. Prom. univ. Prom. bach. Prom. univ.
3.8 4.0 3.0 3.6 3.8 3.5 3.0 2.9 3.7 3.9 2.8 2.2 3.6 3.5 2.7 2.6 3.6 3.4 2.5 3.6 3.5 3.2 2.5 2.1 3.5 2.2 2.2 2.7 3.4 3.4 1.9 2.6
De estos ordenamientos se puede ver que los promedios generales altos en un nivel tienden a relacionarse con promedios generales altos en el otro, aunque hay algunas excepciones.
2.4
Construcción de una distribución
de frecuencias
Ahora que ya hemos aprendido a dividir una muestra en clases, podemos tomar los datos sin proce- sar y construir una distribución de frecuencias. Para resolver el problema de los telares para alfom- bra de la primera página del capítulo, siga estos tres pasos:
1. Decida el tipo y número de clases para dividir los datos. En este caso, ya hemos escogido clasificar los datos de acuerdo con la medida cuantitativa del número de yardas producidas, más que con respecto a un atributo cualitativo como color o estampado. En seguida, necesitamos decidir cuántas clases distintas usar y el alcance que cada clase debe cubrir. El rango total debe dividir- se entre clases iguales; esto es, el ancho del intervalo, tomado desde el principio de una clase hasta el principio de la siguiente, debe ser el mismo para todas. Si escogemos un ancho de 0.5 yardas para cada clase de la distribución, las clases serán las que se muestran en la tabla 2-12.
Si las clases fueran desiguales y el ancho de los intervalos variara de una clase a otra, tendría- mos una distribución mucho más difícil de interpretar que una con intervalos iguales. ¡Imagine lo difícil que sería interpretar los datos de la tabla 2-13!
El número de clases depende del número de datos puntuales y del alcance de los datos reco- lectados. Cuantos más datos puntuales se tengan o más grande sea el rango, más clases se nece- sitarán para dividir los datos. Desde luego, si solamente tenemos 10 datos puntuales, no tendría sentido plantear 10 clases. Como regla general, los estadísticos rara vez utilizan menos de seis y más de 15 clases.
Debido a que necesitamos hacer los intervalos de clase de igual tamaño, el número de clases determina el ancho de cada clase. Para hallar el ancho de los intervalos podemos utilizar esta ecuación:
Determine el ancho de los intervalos de clase
Use de 6 a 15 clases Problemas con clases desiguales Divida el rango total de los datos en clases de igual tamaño Clasifique los datos
Producción diaria de una muestra de 30 telares para alfombras con intervalos de clase de 0.5 yardas
Tabla 2-12 Clase en yardas Frecuencia
15.1-15.5 2 15.6-16.0 16 16.1-16.5 8 16.6-17.0 4 30
Clase Frecuencia 15.2-15.4 2 15.5-15.7 5 15.8-16.0 11 16.1-16.3 6 16.4-16.6 3 16.7-16.9 3 30
Debemos utilizar el siguiente valor de las mismas unidades,ya que estamos midiendo el in- tervalo entre el primer valor de una clase y el primer valor de la siguiente. En nuestro estudio de los telares, el último valor es 16.9, de modo que el siguiente valor es 17.0. Como estamos uti- lizando seis clases en este ejemplo, el ancho de cada clase será:
[2-1]
0.3 yd ←ancho de los intervalos de clase
El paso 1 está completo. Hemos decidido clasificar los datos según las mediciones cuantitati- vas de cuántas yardas de alfombra fueron producidas. Definimos seis clases para cubrir el rango de 15.2 a 16.9 y, como resultado de ello, utilizamos 0.3 yardas como el ancho de nuestros interva- los de clase.
2. Clasifique los datos puntuales en clases y cuente el número de observaciones que hay en cada una. Hicimos esto en la tabla 2-14. Cada dato puntual entra al menos en una clase y ningún dato puntual entra en más de una clase. En consecuencia, nuestras clases son completamente incluyentes y mutuamente excluyentes. Observe que el límite inferior de la primera clase corres- ponde al dato puntual menor de la muestra, y que el límite superior de la última clase correspon- de al de dato puntual mayor.
3. Ilustre los datos en un diagrama. (Vea la figura 2-1.)
Estos tres pasos nos permiten organizar los datos en forma tanto tabular como gráfica. En este caso, nuestra información se muestra en la tabla 2-14 y en la figura 2-1. Estas dos distribuciones de frecuencias omiten algunos de los detalles contenidos en los datos sin procesar de la tabla 2-3, pero nos facilitan la observación de los patrones contenidos en ellos. Por ejemplo, una característica ob- via es que la clase 15.8-16.0 contiene el mayor número de elementos; mientras que la 15.2-15.4, con- tiene el menor.
Construya las clases y cuente las frecuencias Examine los resultados 1.8 6 17.0 15.2 6 Valor unitario siguiente después del valor
más grande de los datos Valor más pequeño de los datos
Número total de intervalos de clase Producción diaria de una
muestra de 30 telares para alfombra utilizando intervalos de clase desiguales
Tabla 2-13 Clase Ancho de intervalos de clase Frecuencia
15.1-15.5 15.6 15.1 0.5 2 15.6-15.8 15.9 15.6 0.3 8 15.9-16.1 16.2 15.9 0.3 9 16.2-16.5 16.6 16.2 0.4 7 16.6-16.9 17.0 16.6 0.4 4 30
Producción diaria de una muestra de 30 telares para alfombra con intervalos de clase de 0.3 yardas
Observe, en la figura 2-1, que las frecuencias de las clases con ancho de 0.3 yardas siguen una secuencia regular: el número de datos puntuales empieza con dos para la primera clase, aumenta hasta cinco en la segunda, alcanza 11 en la tercera clase, disminuye a seis y luego cae a tres en la quinta y sexta clases. Tendremos que, cuanto más ancho sea el intervalo de clase, más suave será la progresión. Sin embargo, si las clases son demasiado anchas, podemos perder mucha información, al grado de que la gráfica carezca de significado. Por ejemplo, si compactamos la figura 2-1 y toma- mos sólo dos categorías, oscurecemos el patrón. Esto se hace evidente en la figura 2-2.