PROGRAMACIÓN DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

CONTENIDOS.

CONCEPTOS.

Distribución temporal de los contenidos de Matemáticas aplicadas a las CC.SS I

Primer trimestre:

1.NÚMEROS REALES

Tras un breve repaso a los números naturales y enteros y a la construcción de los números racionales a partir de las fracciones semejantes, se pasa a identificar estos números con las expresiones decimales exactas o periódicas. La posibilidad de construir expresiones decimales infinitas no periódicas o la comprobación de que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad no puede ser expresada en forma fraccionaria nos llevará a la necesidad de introducir un nuevo conjunto de números: los irracionales; para pasar posteriormente a construir los reales como la unión de los racionales y los irracionales.

Tras conocer la ordenación en R y la recta real, se prestará especial atención al desarrollo de técnicas de trabajo con fracciones, radicales y potencias, aunque desde un punto de vista más instrumental que formal.

Se introduce la notación científica y las operaciones con números expresados en esta notación tanto a mano como utilizando la calculadora científica.

El valor absoluto y los conceptos topológicos de entorno, intervalo y semirrecta nos permitirán describir ciertos subconjuntos de los números reales e identificarlos con las correspondientes parcelas de la recta real.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Conocer los conjuntos numéricos Q e I y saber que el conjunto de los números reales R es la unión de

estos dos: R = Q U I. A. Encontrar la fracción generatriz de una expresión decimal exacta o periódica. B. Saber distinguir números racionales de números irracionales utilizando las

caracterizaciones decimales.

 Identificar los números racionales con los que admiten expresiones fraccionarias o decimales exactas o periódicas, y los irracionales con los que no las admiten.

 Operar con fluidez con números reales expresando los resultados de forma exacta o aproximada dependiendo de la situación a resolver y acotando en este último caso el error cometido.

C. Ordenar un conjunto de números reales y dominar los distintos métodos de representarlos en la recta real.

D. Obtener aproximaciones decimales por exceso y por defecto. Operar con ellas y determinar los errores cometidos.

 Conocer las propiedades de las potencias y de las raíces, y aplicarlas en el cálculo con números reales.

E. Manejar con fluidez y simplificar expresiones planteadas a base de radicales y potencias. Usar indistintamente expresiones radicales y sus equivalentes en forma potencial.

 Expresar números muy grandes o muy pequeños

usando la notación científica. F. Realizar operaciones con cantidades dadas en notación científica.

 Conocer los conceptos básicos de la topología de la recta real y emplearlos en la definición y

G. Conocer el significado del valor absoluto y emplearlo en la descripción de algunos subconjuntos de la recta real (entornos, intervalos, semirrectas).

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representación de conjuntos de números reales.

H. Utilizar los números reales para representar e intercambiar información, y para resolver problemas cotidianos o que tengan relación con otras disciplinas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Números racionales.

Expresión decimal de un número racional; expresiones decimales exactas y periódicas.

Expresiones decimales no periódicas. Números irracionales.

Aproximación de un número real. Errores.

Suma y producto de números reales. Propiedades.

Potencias de números reales. Propiedades.

Radicales. Operaciones con radicales. Racionalización.

Notación científica.

Ordenación en R. La recta real.

Valor absoluto de un número real. Propiedades.

Intervalos, entornos, semirrectas.

Los números reales en la resolución de problemas de otras disciplinas.

 Realización de operaciones combinadas con números reales utilizando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.

 Determinación de la fracción generatriz de un número racional dado en forma decimal.

 Determinación de números irracionales.

 Aproximación a un número real acotando el error cometido.

 Ordenación de números reales. Representación en la recta real.

 Realización de operaciones con potencias.

 Realización de operaciones con radicales expresándolos previamente como potencias de exponente fraccionario.

 Utilización de la notación científica.

 Descripción de subconjuntos de la recta real por medio de intervalos o desigualdades.

 Utilización de la calculadora científica para operar con fracciones, expresiones decimales y en notación científica.

 Valoración de los números reales como elementos útiles a la hora de cuantificar magnitudes y operar con ellas.

 Valoración de la posibilidad de dar resultados exactos o con la aproximación requerida por la naturaleza del problema.

 Gusto por el rigor y la precisión a la hora de operar con números reales.

 Reconocimiento y valoración crítica de la calculadora como herramienta que facilita el cálculo numérico y las aproximaciones.

 Confianza en las capacidades propias para afrontar y resolver problemas relacionados con situaciones cotidianas mediante la utilización de números reales y los conceptos de medida.

 Interés por la precisión en el desarrollo y presentación de los trabajos realizados.

COMPETENCIAS BÁSICAS

 Utilizar el lenguaje simbólico a la hora de describir conjuntos numéricos. (C1, C2, C3, C4)

 Reconocer la utilidad de las aproximaciones decimales y de la notación científica, y acotar los errores que se cometen al operar con ellas, para interpretar y valorar adecuadamente los resultados que se obtengan. (C1, C2, C5, C7)

 Utilizar los números, con la precisión requerida en cada situación, para cuantificar y comparar el valor de ciertas magnitudes y tomar las decisiones pertinentes. (C3, C4, C8)

 Conocer la evolución histórica del concepto de número, así como los sistemas de numeración de las civilizaciones que más han influido en el desarrollo del mundo occidental. (C1, C5, C6)

 Utilizar la calculadora o programas informáticos para operar y obtener expresiones decimales cuando queramos trabajar con números decimales y una gran precisión. (C2, C4, C8)

2. MATEMÁTICA FINANCIERA

A través de los contenidos desarrollados en esta unidad, los alumnos van a formarse una idea de la importancia de la matemática a la hora de interpretar y resolver problemas financieros de la vida ordinaria.

Comenzaremos con la introducción a los logaritmos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones en la resolución de ecuaciones exponenciales, por la frecuencia de estas ecuaciones en la resolución de problemas de evolución, en el tiempo, de poblaciones o cantidades sujetas a aumentos o disminuciones porcentuales.

El cálculo de un término determinado de una progresión geométrica o la suma de varios términos de la misma son procedimientos necesarios a la hora de determinar capitales finales de una imposición sujeta a un interés compuesto o estipular anualidades de amortización o capitalización. Sin duda, podremos hacer uso de múltiples situaciones de la vida ordinaria cuyo estudio lleva implícito el conocimiento de los conceptos y procedimientos propios de esta unidad.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Conocer la definición y propiedades de los logaritmos y saber operar con ellos.

A. Aplicar las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas de cálculo aritmético.

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 Identificar las progresiones geométricas y saber calcular su término general, un término concreto y la suma de un determinado número de términos.

B. Determinar el término general de una progresión geométrica.

C. Calcular la suma de n términos de una progresión geométrica.

D. Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente.

 Aplicar los incrementos porcentuales en el cálculo de cantidades finales.

E. Calcular en cuánto se transforma una cantidad sometida a un incremento porcentual.

F. Calcular en cuánto se transforma una cantidad sometida a sucesivos incrementos o disminuciones porcentuales.

 Conocer y calcular el interés simple y el interés compuesto. G. Determinación de capitales finales, iniciales, intereses o tiempos de _{imposición en problemas de interés simple y compuesto.}

 Calcular anualidades de amortización y capitalización. H. Determinación de anualidades de amortización y capitalización.

CONTENIDOS

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Logaritmo en base a de un número positivo. Logaritmos decimales y logaritmos neperianos.

Propiedades de los logaritmos.

Operaciones con logaritmos.

Progresiones geométricas. Término general. Razón. Suma de n términos de una progresión geométrica.

Progresiones geométricas decrecientes. Suma de los infinitos términos.

Aumentos y disminuciones porcentuales. Índice de variación.

Intereses bancarios. Interés simple e interés compuesto.

Anualidades de amortización.

Anualidades de capitalización.

 Aplicación de las propiedades de los logaritmos al cálculo de expresiones numéricas.

 Utilización de la calculadora científica en el cálculo de logaritmos.

 Cálculo del término general, de un término determinado, de la razón y de la suma de n términos de una progresión geométrica de la que se conocen dos datos.

 Cálculo de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente.

 Cálculo de la cantidad final en la que se transforma una cantidad inicial sometida a uno o varios incrementos o decrementos porcentuales.

 Utilización del interés simple y compuesto para el cálculo de capitales finales, iniciales, intereses y períodos de imposición.

 Determinación de anualidades de amortización.

 Determinación de anualidades de capitalización.

 Resolución de problemas financieros.

 Valoración de los logaritmos en la simplificación del cálculo con expresiones numéricas.

 Reconocer la presencia de progresiones geométricas en contextos reales.

 Valoración del conocimiento de los porcentajes a la hora de analizar con rigor y de forma crítica los mensajes, informes y noticias que los incluyen en su contenido.

 Aprecio por la utilidad de la matemática financiera en el desarrollo de otras disciplinas y en el estudio del comportamiento de diversos fenómenos de carácter económico y social.

 Confianza en las propias capacidades para interpretar y analizar la información financiera utilizando el lenguaje matemático.

COMPETENCIAS BÁSICAS

 Utilizar el lenguaje simbólico a la hora de describir y analizar procesos finitos o infinitos que siguen una tendencia determinada o son recursivos. (C1, C2, C4)

 Reconocer la utilidad de la matemática financiera a la hora de analizar la tendencia y el previsible comportamiento futuro de ciertas variables de carácter económico, natural o social, lo que nos permitirá tomar las medidas correctoras necesarias. (C3, C5, C7, C8)

 Utilizar los números con la precisión requerida en cada situación para cuantificar y comparar el valor de ciertas magnitudes y tomar las decisiones pertinentes. (C3, C4, C8)

 Aprender a tomar decisiones personales tras analizar las distintas posibilidades que brindan las ofertas de tipo económico. (C7, C8)

 Aprender a analizar con carácter crítico y formarse una idea propia en torno a las informaciones y noticias que utilizan los porcentajes. (C1, C4, C5, C8)

3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

A lo largo de la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria, los alumnos han estudiado las expresiones algebraicas y las han utilizado para traducir al lenguaje simbólico ciertas situaciones enunciadas en el lenguaje natural; asimismo han estudiado los monomios y polinomios y las operaciones con ellos, vieron las identidades notables, la regla de Ruffini y la descomposición factorial de polinomios para posteriormente aplicar

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todos estos conocimientos en el cálculo con fracciones algebraicas. Por todo ello, esta unidad no debe suponer un incremento en los conceptos que el alumno ya conoce de cursos anteriores, sino un recordatorio de los mismos y una profundización en los procedimientos preparándole, de esta manera para afrontar con garantía de éxito las siguientes unidades de este temario.

Se procurará destacar la importancia de la factorización y simplificación de las expresiones algebraicas con las que se trabaje, pues de ello dependerán la sencillez y exactitud de los cálculos posteriores.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Utilizar los polinomios y otras expresiones algebraicas para expresar, mediante lenguaje algebraico, distintas situaciones descritas en el lenguaje natural.

A. Expresar mediante el lenguaje algebraico una relación dada mediante un enunciado.

 Conocer los conceptos y la terminología básica del álgebra. B. Conocer el grado del polinomio resultante de operar dos polinomios de grado conocido.

 Conocer las igualdades notables, los algoritmos y los teoremas que facilitan las operaciones con expresiones algebraicas y utilizarlos a la hora de operar con ellas

C. Aplicar las igualdades notables en el desarrollo de expresiones algebraicas.

D. Utilizar la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x –a.

E. Utilizar el teorema del resto en la determinación de las raíces de un polinomio.

F. Factorizar polinomios de grado menor o igual a cuatro.

 Operar con fluidez con expresiones algebraicas y conocer las propiedades de las distintas operaciones.

G. Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos o tres polinomios.

H. Simplificar fracciones algebraicas y determinar si dos fracciones algebraicas son equivalentes.

I. Operar con fracciones algebraicas simplificando los resultados.

CONTENIDOS

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Expresiones algebraicas. Valor numérico de una expresión algebraica

Polinomios: términos, coeficientes, grado. Operaciones con polinomios: suma, producto.

Igualdades notables.

División de polinomios: división entera y división exacta.

División de un polinomio por el binomio x – a. Regla de Ruffini.

Teoremas del resto y del factor. Cálculo de las raíces de un polinomio

Factorización de polinomios. m.c.d. y m.c.m. de dos o más polinomios.

Fracciones algebraicas. Fracciones algebraicas equivalentes.

Operaciones con fracciones algebraicas.

 Utilización de expresiones algebraicas para matematizar diversas situaciones.

 Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica para un valor determinado de la variable.

 Realización de operaciones con polinomios.

 Utilización de las igualdades notables en el cálculo con expresiones algebraicas.

 Determinación del cociente y el resto en la división entera de polinomios.

 Determinación del resto de la división de un polinomio por x – a. Cálculo del cociente por medio de la regla de Ruffini.

 Aplicación del teorema del factor para el cálculo de las raíces enteras de un polinomio.

 Descomposición factorial de un polinomio.

 Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. de dos o más polinomios.

 Simplificación de fracciones algebraicas.

 Realización de operaciones con fracciones algebraicas.

 Valoración del álgebra para traducir al lenguaje simbólico situaciones problemáticas de distintos contextos.

 Valoración de la utilidad de las expresiones algebraicas en el estudio y desarrollo de otras disciplinas y en el análisis del comportamiento de distintos fenómenos de carácter social o científico.

 Confianza en la propia capacidad para realizar abstracciones y emplear con precisión el lenguaje algebraico a la hora de describir y resolver diversas situaciones problemáticas.

 Valoración de las igualdades notables y de ciertos algoritmos de cálculo por la simplificación que suponen a la hora de operar con expresiones algebraicas.

 Gusto por el rigor y la precisión a la hora de operar con expresiones algebraicas.

 Gusto por la presentación ordenada del trabajo realizado.

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COMPETENCIAS BÁSICAS

 Utilizar el lenguaje algebraico para describir situaciones problemáticas en distintos contextos. (C1, C2, C3, C4)

 Utilizar aplicaciones informáticas para operar con polinomios y fracciones algebraicas y comparar los resultados con los obtenidos mediante cálculo manual. (C2, C4, C7, C8)

Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar aplicaciones informáticas existentes en la Red que nos ayuden en nuestro proceso de aprendizaje. (C4, C7, C8

4. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Durante la etapa de la Educación Secundaria Obligatoria, los alumnos han resuelto ecuaciones de primero y segundo grado y sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción, así como el método gráfico; también se han habituado a plantear y resolver, utilizando ecuaciones y sistemas de ecuaciones, problemas sencillos extraídos de distintos contextos. En esta unidad se pretende consolidar los conceptos y procedimientos adquiridos en la ESO ampliándolos en la resolución de otras ecuaciones (polinómicas, racionales, radicales) que por su mayor complejidad requieren el dominio de los conceptos y procedimientos de la unidad 3, “Expresiones algebraicas”.

En cuanto a los sistemas de ecuaciones lineales, se introduce el método de Gauss como una generalización del método de reducción y se empleará tanto en la discusión como en la resolución de sistemas de dos o tres ecuaciones con dos o tres incógnitas.

OBJETIVOS DIDÁCTICOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

 Resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado y en algunos casos de grado superior a dos (bicuadradas, fácilmente factorizables, etc.).

A. Resolver ecuaciones de segundo grado y bicuadradas.

B. Determinar, sin resolverla, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

C. Resolver ecuaciones de grado superior a dos mediante su factorización.

 Resolver ecuaciones racionales y radicales.

D. Resolver ecuaciones racionales y comprobar la validez de las soluciones obtenidas.

E. Resolver ecuaciones radicales y comprobar la validez de las soluciones obtenidas.

 Resolver sistemas de hasta tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Conocer y aplicar el método de Gauss en la resolución de estos sistemas.

F. Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por reducción, igualación o sustitución.

G. Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas de forma gráfica.

H. Resolver sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Gauss.

 Utilizar las ecuaciones y sistemas de ecuaciones en el planteamiento y resolución de problemas de diversos contextos.

I. Plantear y resolver problemas que den lugar a ecuaciones o sistemas de ecuaciones de los estudiados en esta unidad.

CONTENIDOS

CONCEPTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Igualdades e identidades. Ecuaciones.

Ecuaciones con una sola incógnita: lineales, polinómicas, racionales, radicales.

Ecuaciones equivalentes. Transformación de una ecuación en otra equivalente.

 Distinción entre igualdad, identidad y ecuación.

 Transformación de ecuaciones en otras equivalentes.

 Resolución de ecuaciones lineales con una incógnita.

 Determinación de la compatibilidad o incompatibilidad de una ecuación.

 Determinación del número de soluciones de una ecuación de segundo grado por el valor de su discriminante.

 Valoración del álgebra para plantear y resolver, traduciendo al lenguaje simbólico, situaciones problemáticas de distintos contextos.

 Valoración de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales como herramienta indispensable en el desarrollo de otras disciplinas.

 Valoración de los procedimientos gráficos en la resolución de distintos problemas.

Programación didáctica

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Solución de una ecuación. Ecuaciones compatibles e incompatibles.

Ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones incompletas; método general de resolución. Ecuaciones bicuadradas.

Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos. Factorización.

Ecuaciones racionales.

Ecuaciones radicales.

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Métodos de resolución. Resolución gráfica.

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss.

 Resolución de ecuaciones de segundo grado por aplicación de la fórmula general.

 Resolución de ecuaciones bicuadradas mediante un cambio de variable que las convierta en cuadradas.

 Resolución de ecuaciones polinómicas de grado superior mediante factorización.

 Resolución de ecuaciones racionales y radicales. Comprobación de la validez de las soluciones obtenidas.

 Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Representación gráfica.

 Discusión y resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de Gauss.

 Planteamiento y resolución de problemas de contextos diversos que den lugar a ecuaciones o sistemas de ecuaciones de los tratados en esta unidad.

 Gusto por el álgebra, que permite transformar expresiones complejas en otras equivalentes y más sencillas.

 Análisis crítico de las diferentes soluciones obtenidas en la resolución de una ecuación rechazando aquellas no válidas bien por la naturaleza del problema o por haber sido introducidas en alguna de las transformaciones realizadas.

 Interés por la realización de abstracciones partiendo de situaciones concretas.

 Confianza en las capacidades propias para enfrentarse a la resolución de problemas.

 Curiosidad por los procesos que conducen a la generalización de situaciones y métodos.

COMPETENCIAS BÁSICAS

 Utilizar el lenguaje algebraico para describir y resolver situaciones problemáticas en distintos contextos. (C1, C2, C3, C4)

 Conocer la evolución histórica del álgebra y su influencia en el desarrollo científico de las distintas culturas. (C5, C6)

 Utilizar aplicaciones informáticas para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones representando gráficamente el conjunto de soluciones. (C2, C4, C7, C8)

 Desarrollar la autonomía e iniciativa personal a la hora de buscar nuevos métodos en la resolución de problemas reales en cualquier contexto. (C3, C5, C7, C8)

5. INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

En etapas anteriores, los alumnos han estudiado la ordenación y las distintas propiedades de las desigualdades. Llega el momento en que apliquen de manera práctica dichas propiedades en la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

En esta unidad, la resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones es un método prioritario y en algunos casos único y al que debemos recurrir de manera constante.

En la resolución de inecuaciones polinómicas o racionales utilizaremos la descomposición factorial y las tablas de signos, y una vez resuelta la inecuación parece conveniente dibujar el conjunto solución en la recta real y hacer intuir a los alumnos por dónde discurriría la gráfica

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