LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL CURRÍCULO DE DIVERSOS PAÍSES

La resolución de problemas se ha venido incorporando en el currículo de matemáticas, con mayor o menor intensidad, en numerosos países. De acuerdo a la evolución del currículo y los planes de estudio, algunos currículos consideran la

resolución de problemas como el proceso de aplicación de los conocimientos adquiridos previamente en situaciones nuevas y desconocidas, o para resolver problemas prácticos relacionados con la vida cotidiana (Australia, Reino Unido, Francia). En otros países, se enfatiza el desarrollo de estrategias de solución de problemas y se sugiere utilizar heurísticas básicas sobre la resolución de problemas de acuerdo a lo que propone G. Polya (Alemania, Singapur, Japón). También se incorporan otras formas de visualizar la resolución de problemas: como contenido y como metodología, a través de la idea de modelo matemático, a nivel interno y la modelización de fenómenos naturales y sociales (Italia) o los “problemas de investigación” como forma de vincular los problemas y los conocimientos matemáticos (Francia, Portugal). En Singapur se diseñó su currículo de matemáticas situando en su centro la resolución de problemas e instaurando el uso de heurísticas para la resolución de problemas, en especial, a través del denominado “método modelo”.

En 2007 la revista ZDM (The International Journal on Mathematics Education) publicó un monográfico sobre el estado del arte de la resolución de problemas alrededor del mundo. Más recientemente, The Mathematics Enthusiast ha publicado otro monográfico en dos números (2012 y 2013), donde investigadores de diversos países hacen una recopilación acerca de la resolución de problemas y su desarrollo, considerando diferentes aspectos básicos para entender la relación de la Resolución de Problemas Matemáticos (RPM) con el proceso de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. En el cuadro 1, presentamos los principales hitos de la incorporación de la RP en el currículo de la mayoría de los países incorporados en ese número monográfico de la Revista ZDM (Vol. 39, N° 5 y 6).

Cuadro 1. Hitos de la RP en diversos países.

PAÍS ^{AÑOS CLAVE} DE LA RP EN

EL CURRÍCULO ^{ÉNFASIS FUENTE}

Alemania Años ‘70 Aplicación del conocimiento matemático, a través de ejemplos prácticos y útiles. Utilización de heurísticas básicas

Reiss y Törner, 2007. Australia Inicios de los ’80.

Desde 1991

Aplicación de los conocimientos adquiridos previamente en situaciones nuevas.

Una visión pragmática del programa se basó en las heurísticas descritas por Polya. La RP clave para la actividad matemática

Clarke, Goos y Morony, 2007.

Brasil 1996 La RP sigue considerándose como una habilidad para las pruebas. El razonamiento imitativo prevalece sobre el razonamiento creativo.

China Finales años ’70. 1988

Estudiantes aplican los conocimientos matemáticos para RP de la vida real. Uso de estrategias adecuadas para resolver problemas

Cai y Nie, 2007.

Estados

Unidos ^{Años 1970-1980 Planes de estudio dedican atención a la RP,} aunque no necesariamente con el uso de estrategias heurísticas.

Schoenfeld, 2007.

Francia 1945 1970 2002

Los problemas de palabras relacionados con la vida cotidiana o para cuestiones profesionales. El programa 1970, rompe con esta visión utilitarista de la RP.

Construcción de conocimientos vía “problemas de investigación”

Artigue y Houdement, 2007.

Holanda 1980 La RP es a menudo relacionada con la solución de problemas del mundo real (corriente “Educ. Matemática Realista”)

Doorman, Drijvers, Dekker, Van den

Heuvel-Panhuizen, de Lange, y Vijers

2007. Hungría Años ‘50 La RP mencionada expresamente en el

currículo de matemáticas como uno de los principales objetivos de la educación matemática.

Szendrei, 2007

Italia 1983

2001

La RP fue la primera de las cinco áreas de la educación matemática. El pensamiento matemático se caracteriza por la actividad de la RP.

Aparece el modelo matemático, que incluye modelos internos en matemáticas y la modelización de fenómenos naturales y sociales. La RP como contenido.

Boero y Dapueto, 2007.

Japón 1951 La RP se establece como un objetivo de las matemáticas escolares. RP mediante el uso de las matemáticas. Hino, 2007. Reino Unido ^{Años ’40.} Años ‘80 2004

La resolución de problemas es una parte integrante del ''hacer matemáticas''.

Se incorporan los principios del Informe Cockcroft, entre ellos la RP.

Concepto de “matemática funcional”, consiste en la capacidad de utilizar las matemáticas para pensar acerca de los problemas en el mundo real.

Burkhardt y Bell, 2007.

Singapur 1990 Se establece como objetivo principal del currículo de matemáticas el desarrollo de la

capacidad de los alumnos en la RPM ^{Fan y Zhu, 2007.} La revisión realizada nos permite asegurar que a pesar de la incorporación de la resolución de problemas en el currículo de matemáticas y de la abundante literatura al respecto, aún hay aspectos importantes sobre los cuales no existen criterios comunes los diversos países ni entre los profesores. Así, sigue existiendo

cierta confusión acerca del significado del vocablo ‘problema’ o de las perspectivas que pueden adoptarse sobre la resolución de problemas o sobre la enseñanza de heurísticas o la influencia de los factores afectivos. Todo ello, nos lleva a considerar la necesidad de seguir investigando acerca de la resolución de problemas en relación a la formación de profesores y en la enseñanza de la matemática en los distintos niveles escolares.

3. ¿POR QUÉ ESTUDIAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES?

La resolución de problemas ha sido un tema de gran interés para el hombre y los matemáticos en particular, desde los albores de la humanidad. La sociedad progresa en la medida que los hombres van resolviendo los problemas más acuciantes que han existido en cada una de las etapas del desarrollo histórico. En matemáticas existen vestigios históricos que datan de 17 siglos a. de C., aproximadamente, en los papiros de Rhind y de Moscú. El Papiro de Rhind, contiene unos 85 problemas, en que se muestra el uso de fracciones, la resolución de ecuaciones simples y de progresiones, la medición de áreas de triángulos, trapezoides y rectángulos, el cálculo de volúmenes de cilindros y prismas, y la superficie del círculo (Boyer, 2001).

Desde el punto de vista de la evolución histórica moderna de las ciencias de la educación, la preocupación por la resolución de problemas en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se remonta a los comienzos del siglo XX con John Dewey. Según Dewey (1910), el pensamiento constituye un instrumento destinado a resolver los problemas de la experiencia y el conocimiento es la acumulación de los saberes generados por la resolución de esos problemas.

Diferentes investigadores y educadores matemáticos, consideran a G. Polya, y su texto “How to solve it”, publicado por primera vez en su edición en inglés en 1945, como el momento en que el mundo académico fue percatándose de la importancia de la resolución de problemas. También, hay que destacar diferentes publicaciones de carácter internacional en los que la resolución de problemas empieza a tomar vigor como son las del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 1980 y 1989). En la denominada “Una agenda para la acción”, recomienda que la resolución de problemas debe ser el foco de las matemáticas escolares y que al desarrollo de la habilidad de resolver problemas deben dirigirse los esfuerzos de los educadores matemáticos (NCTM, 1980). Posteriormente esta misma institución plantea que aprender a resolver problemas es el principal motivo para estudiar matemáticas (NCTM, 1989).

Por otra parte, en el Informe Cockroft (1985) se propone que la enseñanza de las matemáticas debe considerar la “resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las mismas situaciones de la vida diaria” (párrafo 243, punto 5º). En la última década el NCTM vuelve a dar relevancia a la resolución de problemas cuando la incorpora como uno de los cinco estándares de procesos que presenta en sus Principios y Estándares para las Matemáticas Escolares (NCTM-SAEM Thales, 2003).

También, en España, podemos encontrar algunos datos que señalan la importancia de la resolución de problemas en el currículo y en la investigación. Así, en la propuesta curricular de la LOGSE se indicaba que la resolución debía ser el contexto para la enseñanza de las Matemáticas, y la importancia en investigación es descrita por Blanco (2011), cuando recuerda el dato aportado en Torralbo, Fernández, Rico, Maz y Gutierrez (2003), al señalar la existencia de, al menos, 36 tesis doctorales relacionadas con la resolución de problemas en el periodo 1975 – 1998. La evolución de la Resolución de Problemas, en diferentes perspectivas, es analizada en Castro (2008) en la XII SEIEM (Badajoz, 2008) en el Seminario de Investigación, moderado por el profesor L. Puig, sobre la “Resolución de Problemas: 30 años después”, con la participación, además, de J.M. Matos (Universidad Nova de Lisboa) y M. Santos (Cinvestav-IPN, México).

La resolución de problemas es importante desde el punto de vista de su enseñanza y aprendizaje, tanto para pedagogos como para educadores matemáticos, al mismo tiempo que un tema prioritario de estudio e investigación, desde el momento en que la capacidad para resolver problemas se presenta como meta relevante para la educación de los estudiantes (Castro, 2008). Este interés por la resolución de problemas como un contenido y como “contexto” central en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, como lo hemos visto en el apartado anterior, se ha visto reflejado en los currículos y programas educativos de diversos países, y en varios de ellos se considera la resolución de problemas como un tema central del currículo de matemáticas. Algunos casos

paradigmáticos son los de Japón y Singapur, más otros países del Asia-Pacífico influenciados por los anteriores. En Singapur, la resolución de problemas es el eje vertebrador de todo el currículo de matemáticas en la educación escolar; tanto es así que desde 1992, tienen un currículo que se enfoca en la resolución de problemas matemáticos (Ministry of Education Singapore, 2011). La figura 1 ilustra la centralidad que adopta la resolución de problemas en ese país, y se complementa con la información del cuadro 2.

Figura 1. La RP en el currículo de matemáticas

Cuadro 2. Marco curricular de las matemáticas en Singapur (Ministerio de Educación, Singapur, 2003)

HABILIDADES CONCEPTOS ACTITUDES

Cálculo numérico Manipulación algebraica Visualización espacial Análisis de datos Medición

Uso de herramientas matemáticas Estimación Numéricos Algebraicos Geométricos Estadísticos Probabilísticos Analíticos Creencias Intereses Apreciaciones Seguridad Perseverancia METACOGNICIÓN PROCESOS

Monitoreo del pensamiento

Autorregulación del aprendizaje ^{Razonamiento, comunicación y conexiones} Habilidades heurísticas de pensamiento Aplicación y modelaje

Otros antecedentes significativos en este afán por estudiar la resolución de problemas de matemáticas, surgen de los resultados de las pruebas internacionales como PISA y TIMSS, y de pruebas nacionales que se realizan internamente en muchos países, con resultados preocupantes para la comunidad científica. En la prueba TIMSS del año 2003 (Acevedo, 2005), administrada a alumnos de octavo grado, sobresalieron: Singapur con 605 puntos, Korea 589 y Hong Kong 586. El promedio internacional fue de 467 puntos, Chile obtuvo 387, España no rindió la prueba pero si el País Vasco con 487 puntos. En la prueba del año 2007, España y Chile no participaron. Por otra parte, en la Prueba Pisa 2009, los primeros lugares fueron ocupados por China (600 puntos), Singapur (562), Hong Kong (555). El promedio de los países de la OECD fue de 496 puntos; España obtuvo 483 y Chile 421 puntos (OECD, 2010).

4. CONCEPTO DE PROBLEMA, TIPOS DE PROBLEMAS Y MODELOS