La opción elegida será k si es mayor que la de cualquier otra opción dentro del conjunto , esto es, si:
( ) (4-3) La expresión (4-3) produce una única solución, y es aproximadamente equivalente al modelo microeconómico, y por lo tanto está sometido a las críticas a) a d) al principio de este capítulo. En particular, es de poco valor práctico porque sería imposible llevar registro de la función de utilidad de millones de personas que habitan una ciudad o región, y también porque el número de opciones puede ser enorme. Para que todo este análisis tenga sentido, hay una urgente necesidad de agregación. Los individuos deben ser agrupados de acuerdo a sus características socioeconómicas, y las opciones deben ser reducidas a grupos discretos.
4.2 Teoría de decisiones: el caso agregado
Se dijo que, aún en el caso individual, la utilidad no puede ser una función determinís- tica, porque un mismo individuo puede comportarse de maneras diferentes cada vez. Cuando consideramos el caso agregado, en que la función de utilidad se refiere a una población de individuos que escogen entre grupos de opciones, las variaciones en la percepción de la utilidad pueden ser demasiado importantes como para ignorarlas. Naturalmente mientras menor sea el grupo, menor serán las variaciones, pero el ana- lista deberá hacer un balance entre la dificultad de trabajar con un gran número de grupos pequeños relativamente homogéneos y las dificultades de operación, calibra- ción y recolección de datos.
En el caso agregado, entonces, ya no será plausible suponer una función de utilidad invariable. En su lugar debe suponerse que, dentro del grupo decisor, la utilidad varía en torno a un valor medio. Si la población es muy homogénea, entonces todos los miembros tenderán a percibir la utilidad de una manera similar, y por lo tanto la dis- persión en torno a la media será pequeña (nunca cero, incluso si la población es igual a uno). Por el contrario, si la población es grande, las variaciones en torno a la media también serán grandes.
Hay muchas fuentes de variabilidad a medida que los grupos crecen en tamaño. La lista propuesta por Domencich y McFadden (1975) puede ser completada con la de Williams (1977a) y con el propio autor:
a) Variaciones intra-individuales. No necesariamente los individuos perciben la utilidad de manera idéntica en cada ocasión, e incluso si lo hacen, pueden tomar acciones diferentes.
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b) Variaciones intra-opciones. Las opciones a escoger no se presentan necesa- riamente de manera idéntica todos los días. Los buses pueden llegar tarde un día, temprano otros. Una bicicleta puede ser una opción muy atractiva para un viaje corto en la temporada adecuada, pero no en un día lluvioso.
c) Los individuos que conforman el grupo no necesariamente tienen la misma información acerca los atributos de cada opción.
d) La función de utilidad del modelo puede estar incompleta. Puede ser que las variables principales están bien representadas, pero puede haber otras de menor importancia que no están en el modelo, y que explican variaciones en el comportamiento de los individuos miembros del grupo.
e) La localización exacta de cada individuo dentro de una zona agregada puede variar, tanto respecto a la zona de origen de una interacción como de la zona de destino. Considérese el ejemplo de la Figura 4-1 con dos individuos de un mismo grupo que viajan de una zona i a una zona j. Para un modelo determi- nístico los atributos medibles de la función de la utilidad percibida será el mismo para ambos individuos. Sin embargo, un individuo que viaja de a a d percibirá un costo menor que uno que lo hace de b a c.
f) Otra fuente importante de variabilidad es la posición exacta de cada individuo dentro de su grupo. Así, por ejemplo, si hemos definido el grupo como las personas con ingreso entre 1000 y 3000, el comportamiento de un individuo de ingreso 1100 puede ser muy diferente a uno de 2900.
g) El criterio para definir los grupos no será nunca enteramente satisfactorio. Si hemos utilizado el ingreso para clasificar los individuos, seguramente estare- mos dejando de lado otros elementos importantes, tales como el nivel de educación, cultura, etnia, y otros. En el caso de la agregación espacial, los lí- mites de las zonas obedecen a muchos elementos arbitrarios.
h) No siempre los individuos escogerán la opción de mayor utilidad, aunque pueden estar conscientes de ello, porque pueden estar limitados por algún otro factor. Por ejemplo, si se ha introducido un cambio importante en el sis- tema de transporte, un hogar puede percibir que ya no vive en el lugar ópti- mo, pero el costo de comprar una nueva casa y mudarse a ella puede superar la diferencia en el costo percibido de transporte. También puede que el hogar se sienta atado al lugar por razones de vecindario, amistad, costumbres.
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Figura 4-1: Variabilidad en la percepción de los costos de transporte
La agregación, entonces, introduce fuentes de variabilidad a la forma en que cada individuo miembro de la población decisora percibe la utilidad. Esto resultará en una distribución en la percepción de la utilidad para todo el grupo. La Figura 4-2(a) mues- tra un ejemplo de distribución de la utilidad percibida para una población hipotética respecto a una opción específica. La mayor parte de la población percibirá un nivel de utilidad m, que es el valor medio para toda la población. Otros miembros asignarán un valor mayor o menor alrededor de este valor medio. Si el grupo es pequeño y ho- mogéneo, las variaciones también serán pequeñas, lo cual da lugar a una distribución estrecha y empinada como la curva A en la Figura 4-2(b). Si el grupo es grande y hete- rogéneo, la curva resultante será mucho más ancha y plana como la curva B.
La Figura 4-2(c) muestra lo que ocurre en la percepción de la utilidad cuando el grupo se enfrenta a tres opciones. Dado que cada individuo evalúa las opciones con los mismos criterios, la forma de la curva de distribución de la utilidad deberá ser idéntica en los tres casos, moviéndose de derecha a izquierda de acuerdo a la opción. En ge- neral curvas más a la derecha serán preferidas, pero hay importantes solapes en las curvas, que se muestran con sombreados en la figura, y que explican por qué la po- blación se distribuye entre las opciones, aunque no en las mismas proporciones.
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Figura 4-2: Distribución de las utilidades percibidas
Matemáticamente, si la ecuación (4-2) representa la función utilidad determinística para un individuo, la función de utilidad agregada para una población debe incluir un elemento aleatorio:
(4-4)
Donde representa la variación aleatoria en la percepción de la utilidad. Ya no habrá una resultado único: la introducción de fuentes de variabilidad significa que todas las opciones pueden ser escogidas por algún miembro individual de la población. Enton- ces se puede asignar una probabilidad a cada opción. La probabilidad de que una opción k será seleccionada por la población s será:
[ ( ) ] (4-5)
El elemento aleatorio puede ser eliminado de la función de utilidad si se entiende que la función misma es aleatoria. Más aún, la función de utilidad puede dividirse en dos componentes: una función determinística , que representa sus atributos medibles o utilidad estricta, y un componente estocástico :
opción 1 opción 2 opción 3
de ns ida d pr ob ab ilí st ic a de ns ida d pr ob ab ilí st ic a de ns ida d pr ob ab ilí st ic a utilidad utilidad utilidad
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( ) ( ) (4-6)
Lo que significa que (4-5) puede transformarse en:
[ ( ) ( ) ( )] (4-7)
Si se asume que representa el grado de variación entre los individuos de la pobla- ción pero no entre las opciones, entonces todos los tendrán distribución conjunta. Si es la distribución conjunta acumulativa de , y es la k- ésima derivada de entonces la probabilidad de que la opción k sea seleccionada será la integral de (4-7):
∫ ( )
(4-8) La ecuación (4-8) representa el modelo básico para simular decisiones discretas bajo el supuesto de utilidades aleatorias. De este modelo genérico se pueden derivar mu- chas formas específicas, dependiendo de la forma que adoptemos para la distribución conjunta .
Domencich y McFadden (1975) estudiaron extensamente las principales funciones estadísticas para representar . Las distribuciones mejor conocidas son la normal, logística y la Cauchy, que luego de la integración generan los modelos probit, logit y arcotangente respectivamente. Los autores exploraron y sometieron a extensas pruebas las tres distribuciones, especialmente para los rangos más significativos, evi- tando los valores extremos (cerca de 0 o cerca de 1). Si se considera un modelo con dos opciones, los autores argumentan que si y tienen la misma distri- bución conjunta, por consistencia la distribución de las diferencias también debe tener la misma forma. Desde este punto de vista, si y son normales, entonces también debe tener una distribución nor- mal, y similarmente para la distribución Cauchy.
La distribución logística no tiene esta propiedad, pero puede resolverse reemplazán- dola por una distribución Weibull, que también genera un modelo logit. La diferencia entre una distribución normal y una Weibull se presenta en la Figura 4-3 que resultan bastante similares. Aparte de la estabilidad a la suma que se discutió más arriba, las distribuciones Weibull tienen una propiedad que es de especial relevancia para este caso: la distribución de los máximos de distribuciones Weibull también es una distri- bución Weibull, lo cual es particularmente interesante para un modelo de maximiza- ción de la utilidad. Basando en estas y otras propiedades, los autores señalan que la Weibull debe ser la distribución preferida, con el respectivo modelo logit.
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Figura 4-3: Comparación entre las distribuciones Normal y Weibull
La cuestión si el modelo debe ser probit o logit sigue siendo materia de debate. Los modelos logit son mucho más simples y fáciles de calibrar, pero algunos autores (Da- ganzo, 1980) argumentan que el modelo probit produce resultados más realistas, porque no están afectados por el problema de la correlación entre atributos entre las opciones, lo cual hace que el esfuerzo adicional valga la pena. Este punto será discuti- do más adelante.
Si la distribución es Weibull, el modelo multinomial logit resultante es:
∑ (4-9)
donde es un parámetro que puede ser absorbido en la definición de sin pérdi- da de generalidad. Si, además, introducimos un parámetro explícito a la función ex- ponencial, la forma final del modelo es:
∑ (4-10)
Cochrane (1975) hace una derivación similar del modelo, pero asume desde el princi- pio que la distribución cumulativa de la distribución de la probabilidad conjunta puede ser aproximada con una función exponencial, como se muestra en la Figura 4-4, llegando así, luego de integración, al mismo modelo multinomial logit. Cochrane, sin embargo, agrega un importante corolario a esto al señalar que si el modelo es de la forma (4-10) entonces la utilidad conjunta o beneficio promedio para la población decisora luego de distribuirse entre las opciones es:
[∑ ] (4-11)
donde es el beneficio promedio percibido por el grupo s o costo compuesto. Más aún, como lo señala Williams (1977a) si comparamos dos escenarios alternativos, por ejemplo ̅ y ̅, la diferencia en beneficios, será:
79 [∑
̅
∑ ̅] (4-12)
El indicador es conceptualmente equivalente al indicador tradicional del exceden- te al consumidor, pero ayuda a resolver muchos problemas relacionados con la eva- luación. Williams (1977a) hace una completa revisión del trabajo de Domencich y McFadden, así como el de Cochrane, agregando una serie de consideraciones adicio- nales de interés. En particular Williams enfatiza que, si se acepta que el modelo co- rrecto para simular las decisiones de una población de individuos es (4-10), no hay grados de libertad acerca de cuál debe ser el indicador de beneficios: debe ser (4-11) y (4-12). Esta formulación tiene la ventaja adicional de una total integración entre simulación y evaluación económica y, como se verá en la próxima sección, puede tener un efecto muy importante en los resultados de un proyecto.
Figura 4-4: La aproximación exponencial de la distribución de utilidad de Coch- rane