EJERCICIOS RESUELTOS DEL TEMA 4
(Sistemas de ecuaciones lineales)
1
.- Discutir según los valores de los parámetrosay bel sistema de ecuaciones lineales:ax
by
bz
a
bx
ay
bz
b
bx
by
az
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
LlamemosAa la matriz de coeficientes y Ba la matriz ampliada:
,
a
b
b
a
b
b
a
b
a
b
B
b
a
b
b
b
b
a
b
b
a
a
=
=
A
( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
2 2
det 0 1 1 0 2
0 0 1 1
a b b a b b a b b
b a b b a b a b a b a a b
b b a b a b a
= = − − − = − − = − +
− − − −
A
que se anula para a=b y a=–2b. Es decir, el rango de A es 3 (sistema compatible determinado) salvo para estos valores deay b.
Caso a=b
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
B
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
A
Por lo que tanto el rango de A como el rango de B es 1 y el sistema es compatible indeterminado.
Casoa=–2b
2
2
2
2
,
2
2
2
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
A
2 2 1 1 2 1 1
2 1 2 1 0 3 / 2 3 / 2
2 1 1 2 0 3 / 2 3 / 2
2 2 2 1 1 2 2 1 1 2
2 1 2 1 1 0 3 / 2 3 / 2 0
2 2 1 1 2 2 0 3 / 2 3 / 2 3
b b b
b b b b b
b b b
b b b b
b b b b b b
b b b
− − −
− ⇒ − ⇒ −
− − −
− − − − − −
− ⇒ − ⇒ −
− − − − − −
Por lo que el rango deAes2 y el rango de Bes 3 y el sistema es incompatible.
2
.- Discutir según los valores de los parámetros a y b el sistema de ecuaciones lineales:ax
y
a
by
z
a b
ax
bz
a b
+
=
+
=
+
+
=
−
Solución:
Llamemos A a la matriz de coeficientes del sistema y B a la matriz ampliada:
1
0
1 0
0
1 ,
0
1
0
0
a
a
a
b
b
a b
a
b
a
b
a b
=
=
+
−
A
B
( )
2(
2)
det A =ab + =a a 1+bLuego, r(A)=3 salvo para a = 0. Sustituyamos este valor de a en Ay en B:
0
1
0
0
1 0
0
0
1 ,
0
1
0
0
0
0
b
b
b
b
b
b
=
=
−
A
B
Evidentemente, r(A)=2 para cualquier valor de b pues el menor
1 0 1
b de A es siempre
distinto de 0 (independientemente del valor de b). Estudiemos el menor
1 0
0
1
0
b
b
b
−
b
(
)
21 0
0
1
1
0
b
b
b b
b
b
b
b
= − − = −
+
−
Por tanto, sólo se anula para b = 0 y b = –1 por lo que,salvo para estos valores deb,r(B)=3
.
En resumen:
a b r(A) r(B) Sistema
0
0 2 2 Compatible indeterminado –1 2 2 Compatible indeterminado ≠0 y ≠-1 2 3 Incompatible ≠0 Cualquiera 3 3 Compatible determinado
Nota: si suponemos que a b, ∈C, a los casos anteriores hay que añadir el caso b= ±i para el cual det( )A =0. Haciendo b=i:
1
0
1 0
0
1 ,
0
1
0
0
a
a
a
i
i
a i
a
i
a
i
a i
=
=
+
−
A
B
tenemos que r(A)=2 para cualquier valor de a pues, por ejemplo, el menor 1 0 1
i de A es siempre no nulo. Si realizamos las operaciones sobre B:
{
}
{
}
3 1 3
3 2 3
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1
1 0
0 1
0 0 0 1
a a a a
i a i F F F i a i
a i a i i i
a a
iF F F i a i
a i
+ ⇒ − → ⇒ + ⇒
− − −
⇒ + → ⇒ +
+ +
obtenemos r(B)=3 salvo para a= − −1 i, en cuyo caso r(B)=2.
Para b= −i:
1
0
1
0
0
1 ,
0
1
0
0
a
a
a
i
i
a i
a
i
a
i
a i
=
−
=
−
−
−
−
+
A
B
{
}
{
}
3 1 3
3 2 3
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1
1 0
0 1
0 0 0 1
a a a a
i a i F F F i a i
a i a i i i
a a
iF F F i a i
a i
− − ⇒ − → ⇒ − − ⇒
− + − −
⇒ − → ⇒ − −
− − +
obtenemos r(B)=3
salvo para
a
= − +
1
i
, en cuyo caso
r(B)=2. Así pues:
b a r(A) r(B) Sistema
i –1–i 2 2 Compatible indeterminado
≠–1–i 2 3 Incompatible
–i –1+i 2 2 Compatible indeterminado
≠–1+i 2 3 Incompatible
3.-
Discutir según los valores de los parámetro a,bel sistema de ecuaciones lineales:2
ay
bz
a
bx
z
b
ax
y
z
a b
+
=
+
=
+
+
=
−
Solución:
Llamemos A y B a las matrices de coeficientes y ampliada respectivamente:
0
0
0
1
0
1
1
2
1
2
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
a b
=
=
−
A
B
( )
2 2(
)
20
det
0
1
2
1
2
a
b
b
a
b
ab
a b
a
=
=
+ −
= −
A
Luego el rango de la matriz de coeficientes es 3 salvo para a = b: • a ≠ b
r(A) = r (B) = 3 = número de incógnitas
0
0
0
1
0
1
1
2
1
2
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
A
B
Haciendo en A:
3 1 2 1 2
1
2
1
2
0
1 ;
0
1
1
0
0
a
a
F
F
a
F
F
F
a
a
a
a
↔
− →
−
−
por tanto, el rango de A es 2 cualquiera que sea el valor de a. Veamos ahora el rango de B. Haciendo en B:
(
)
1 3 2 1 2
3 2 3
2
1 2 0 1 2 0
0 1 ; 0 1 1
0 0
1 2 0 1 2 0
0 1 1 0 1 1
0 0 0 0 0 0 1
a a
F F a a F F F a
a a a a a a
a a
F aF F a a
a a a a
↔ − → − −
+ → − − = − −
+ +
Salvo para a = 0 y a = -1, el rango de B es 3, luego: • a = b ≠ 0
r(A) < r(B)
Sistema INCOMPATIBLE • a = b = 0 ó a = b = -1
r(A) = r (B) = 2 < número de incógnitas
Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO
4.-
Discutir según los valores de los parámetros a,b el sistema de ecuaciones lineales:2
1 2
2
x
bz
b
ax
by
a b
x
y
az
a
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
1
0
2
1
0
2
1 2
0
0
1
1
1
1
2
b
b
b
a
b
a
b
a b
a
a
a
+
=
=
+
+
A
B
2
1
0
2
0
0
2
2
(3
2 )
0
3
1
1
2
b
b
a
b
ba
ba
b
b a
b
b
a
a
=
=
+
−
=
−
=
⇒
=
a) 0 3
2 b≠ y b≠ a
r(A) = r(B) = n = 3 → COMPATIBLE DETERMINADO
b) b=0
1
0
0
1
0
0 1
0
0
0
0
1
1
1
1
2
a
a
a
a
a
a
=
=
+
A
B
El menor 1 0
1 1 de A es no nulo, luego r(A) = 2. Por otra parte:
2 1 2
3 1 3
1
0
0 1
0
0
0
0
0 1
1
F
aF
F
F
F
F
a
a
−
→
− →
+
luego r(B) = 2
r(A) = r(B) = 2 < n → COMPATIBLE INDETERMINADO
c) 3
2 b= a
1 0 3 1 0 3 1 3
3 3 5
0 0
2 2 2
1 1 1 1 2
a a a
a a a a a
a a a
+
= =
+
A B
Al igual que en el caso b), el menor 1 0
2 1 2 2 2 2 2
3 2 3
3 1 3
1 0 3 1 3 1 0 3 1 3
3 3 2 3 3
0 3 3 ; 0 3 3
2 2 3 2 2
0 1 2 1 2 0 0 0 0
a a a a
F aF F
a a a a F F F a a a a
F F F a
a a
+ +
− →
− − − → − −
− →
− −
luego, salvo para el caso a = 0, r(B) = 2.
r(A) = r(B) < n → COMPATIBLEINDETERMINDADO
5.-
Discutir según los valores del parámetro ael sistema de ecuaciones lineales:2
2
2
x
y
az
ax
y
z
a
x
y
az
a
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
Llamemos A y B a las matrices de coeficientes y ampliada respectivamente:
2
1 1 2
1 1 2
2
1
1
1
1
1 1
1 1
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
A
B
( )
(
)
1 1 2
det
1
1
1
1 1
a
a
a a
a
=
=
−
A
Luego el rango de la matriz de coeficientes es 3 salvo para a=0 y para a=1, en cuyo caso el rango es 2. Veamos separadamente cada caso.
• a ≠ 0 y a ≠ 1 r (A) = r(B) = 3 = número de incógnitas
1 1 0
2
0 1 1
0
1 1 0
0
=
B
haciendo la operación elemental F3-F1→ F3 :1
1
0
2
0
1
1
0
0
0
0
2
−
resulta que r(B) = 3. Luego:
r (A) ≠ r (B) → Sistema INCOMPATIBLE
• a = 1 r(A) = 2
1 1 2
2
1 1 1
1
1 1 1
1
=
B
haciendo las operaciones elementales F2-F1→ F2 y F3-F1→ F3
1
1
2
2
0
0
1
1
0
0
1
1
−
−
−
−
haciendo la operación elemental F3-F2→ F3
1
1
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
−
−
resulta que r(B) = 2. Luego:
r(A) = r(B) < número de incógnitas
Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO
6.-
Discutir según los valores del parámetro ael sistema de ecuaciones lineales:(
)
(
)
(
)
2
3 2
4 3
1 3
1 3
1 3
a x y z a a
x a y z a a
x y a z a a
+ + + = +
+ + + = +
+ + + = +
Solución:
Llamemos A y B a las matrices de coeficientes y ampliada respectivamente:
2
3 2
4 3
1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 3
a a a a a
a a a a
a a a a
+ + +
= + = + +
+ + +
( )
2(
)
1
1
det
1
1
1
3
1
1
1
a
a
a
a
a
a
+
=
+
=
+
+
A
Luego el rango de la matriz de coeficientes es 3 salvo para a=0 y para a=-3: • a = 0
1 1 1
1 1 1 0
1 1 1
1 1 1 0
1 1 1
1 1 1 0
=
=
A
B
r(A) = r(B) = 1 < número de incógnitas
Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO • a = -3
2
1
1
2
1
1
0
1
2
1
1
2
1
0
1
1
2
1
1
2
0
−
−
=
−
=
−
−
−
A
B
r(A) = r(B) = 2 < número de incógnitas
ya que es posible encontrar menores de A de orden dos no nulos. Por ejemplo:
2 1 1 2 1 1
; ; ;
1 2 1 1 2 1
− −
− − …
Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO • a ≠ 0 y a ≠ -3 r(A) = r(B) = 3 = número de incógnitas
Sistema COMPATIBLE DETERMINADO
7.-
Resolver mediante el método de Gauss con PIVOTE PARCIAL e indicando todas las operaciones realizadas, el sistema de ecuaciones lineales:5
2
4
13
3
y
z
x
y
z
x
y
+
=
+
+
=
Solución:
La matriz ampliada del sistema es:
0 1 1 5
2 4 1 13
1 1 0 3
=
B
⋮
⋮ ⋮
1 2
2
4
1
13
0
1
1
5
1
1 0
3
F
F
↔
⋮
⋮
⋮
3 1 3
2 4 1 13 1
0 1 1 5
2
1 7
0 1
2 2
F F F
− →
− − −
⋮
⋮
⋮
3 2 3
2 4 1 13
0 1 1 5
1 3
0 0
2 2
F F F
+ →
⋮ ⋮
⋮
El sistema equivalente resultante es pues:
2 4 13 3
5 5 5 3 2
1 3 13 4 13 8 3
1
2 2 2 2
x y z z
y z y z
y z
z x
+ + = =
+ = ⇒ = − = − =
− − − −
= = = =
Nota: el elemento recuadrado es el que define la fila pivote.
8.-
Resolver mediante el método de Gauss con PIVOTE PARCIAL e indicando todas las operaciones realizadas, el sistema de ecuaciones lineales:7
2 1
6
4 6
z t
x y z
y t
x y t
+ =
− − = −
+ =
− + − = −
Solución:
0 0 1 1 7
2 1 1 0 1
0 1 0 1 6
4 1 0 1 6
− − − = − − − B ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 4 2 1 2
4 1 0 1 6
4 1 0 1 6
1 1
0 1 4
2 1 1 0 1 1
2 2
;
0 1 0 1 6 2
0 1 0 1 6
0 0 1 1 7
0 0 1 1 7
F F F F F
− − − − − − − − − − − − − ↔ + → ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
2 3 3 2 3
4 1 0 1 6
4 1 0 1 6
0 1 0 1 6
0 1 0 1 6
1 ;
1 1
0 0 1 0 1
2
0 1 4
2 2
0 0 1 1 7
0 0 1 1 7
F F F F F
− − − − − − ↔ + → − − − − − − ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
4 3 4
4 1 0 1 6
0 1 0 1 6
0 0 1 0 1
0 0 0 1 6
F F F
− − − + → − − ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
Y, resolviendo el sistema equivalente resultante por remonte: 6
t= 1 z=
6 6 6 0
y t+ = ⇒ y= − =
6 6 0 6
4 6 0
4 4
y t
x y t x + − + −
− + − = − ⇒ = = =
Nota: el elemento recuadrado es el que define la fila pivote.
9.-
Resolver mediante el método de Gauss con PIVOTE TOTAL e indicando todas las operaciones realizadas, el sistema de ecuaciones lineales:2
8
4
12
3
y
z
x
y
z
Solución:
La matriz ampliada del sistema es:
0 1 2 8
1 4 1 12
1 1 0 3
=
B
1 2
1 2
4
1
1 12
1
0
2
8
1
1
0
3
F
F
C
C
↔
↔
2 1 2
3 1 3
4 1 1 12 1
1 7 4
0 5
1 4 4
4 3 1
0 0
4 4
F F F
F F F
− →
−
− →
−
2 3
4 1 1 12
7 1
0 5
4 4 1 3
0 0
4 4
C C
↔ −
−
3 2 3
4 1 1 12
1 7 1
0 5
7 4 4
5 5 0 0
7 7
F F F
+ → −
Teniendo en cuenta los cambios de columnas realizados, el orden de las variables es ahora: y, z, x, luego el sistema resultante es:
4 12 1
7 1 5 4
5 3
4 4 7
5 5 12
2
7 7 4
y z x x
x
z x z
x z
x y
+ + = =
⋅ +
− = ⇒ = =
− −
= = =
Nota: el elemento recuadrado es el pivote.
10.-
Dado el sistema de ecuaciones lineales:(
)
2 2 2
x a b z a
cy c
ay z
+ + =
=
+ + =
,
Solución:
El método de Cholesky se basa en la factorización LLT de la matriz del sistema. Para que esta factorización sea posible es condición necesaria y suficiente que la matriz sea simétrica y definida positiva. Las condiciones de simetría exigen:
2
0, 2 2 0
a b
a b
a + =
⇒ = =
=
Calculemos ahora los valores propios:
(
)
(
) (
)
21 0 2
1 2
det( ) det 0 0 det
2 1
2 0 1
1 4 0 , 1, 3
c c
c c
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
− = − = − =
−
−
= − − − = ⇒ = = − =
A I
Al ser uno de los valores propios negativo, la matriz del sistema no puede ser definida positiva, independientemente del valor que le demos a c. Por tanto, no existe ningún juego de valores de a, b y c para el cual el sistema dado se puede resolver por el método de Cholesky.
11.-
Resolver mediante el método de Cholesky el sistema de ecuaciones lineales:1 2 3
1 2 3
1 2 3
4
2
4
10
2
10
14
26
4
14
21
39
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
La matriz del sistema es:
11 11 21 31
21 22 22 32
31 32 33 33
4
2
4
0
0
2 10 14
0
0
4 14
21
0
0
T
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
=
=
=
A
LL
2
11 11 11
21 21 11 21
11
31 31 11 31
11
2 2 2
22 21 22 22 21
31 21 32 31 21 32 22 32
22
2 2 2 2 2
33 31 32 33 33 31 32
4 2
2
2 1
4
4 2
10 10 3
14
14 4
21 21 1
a l l
a l l l
l
a l l l
l
a l l l l
l l
a l l l l l
l
a l l l l l l
= = → =
= = → = =
= = → = =
= = + → = − =
−
= = + → = =
= = + + → = − − =
Por tanto:
4
2
4
2
0
0
2
1
2
2 10 14
1
3
0
0
3
4
4 14
21
2
4
1
0
0
1
=
=
A
y los sistemas a resolver son:
1
1 2
1 2 3
1 2 3 1
2 3 2
3 3
2 10
3 26
2 4 39
2 2
3 4
T
y
y y
y y y
x x x y
x x y
x y
=
= ≡ + =
+ + =
+ + =
= ≡ + =
=
Ly b
L x y
Resolvemos el primero de ellos por descenso, obteniendo:
1
1 2 3 1 2
26 10
5; 7; 39 2 4 1
2 3
y
y = = y = − = y = − y − y =
y sustituyendo estos valores en el segundo sistema y resolviéndolo por remonte:
3 2 3
3 2 1
7 4 5 2
1; 1; 1
3 2
x x x
x = x = − = x = − − =
(
)
1 3
2 3
2 2
1 2 3
4
2 3
2 7 2 3
x x
x ax a
x ax a x a a
+ =
+ = +
+ + + = + +
Solución:
11 11 21 31
21 22 22 32
2
31 32 33 33
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
2
0
0
T
l
l
l
l
a
l
l
l
l
a
a
l
l
l
l
L
L
=
=
+
A
2
11 11 11
21 21 11 21 11
31 31 11 31 11
2 2 2
22 21 22 22 21
31 21 32 31 21 32 22 32
22
2 2 2 2 2 2 2
33 31 32 33 33 31 32
1 1 1
0 0 / 0
1 1/ 1
1 1 1
2 2 1
a l l
a l l l l
a l l l l
a l l l l
a l l
a a l l l l l a
l
a a l l l l a l l
= = → = =
= = → = =
= = → = =
= = + → = − =
−
= = + → = =
= + = + + → = + − − =
2
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
2
1
1
0
0
1
T
a
a
a
a
a
L
L
=
=
+
A
T
T T
⇒ ⇒
Ax = b Ly = b
LL x = b
A = LL L x = y
1 1
2 2
2
1 2 3 3
1 3 1 1
2 3 2 2
3 3 3
4
4
2 3
2 3
7
2
3
3
4
1
2 3
2
3
3
T
y
y
y
a
y
a
y
ay
y
a
a
y
x
x
y
x
x
ax
y
a
x
x
y
x
=
=
=
+
⇒
= +
+
+
=
+
+
=
+
=
=
=
+
=
= +
⇒
=
=
=
=
Ly = b
13.-
Discutir según los valores de los parámetros reales a y b el sistema de ecuaciones lineales:ax by a
by az b
ax bz a
+ =
+ =
+ =
Solución:
Sean A y B las matrices de coeficientes y ampliada respectivamente
0 0
0 ; 0
0 0
a b a b a
b a b a b
a b a b a
= =
A B
Veamos en qué condiciones el rango de la matriz A es menor que 3:
( )
2 2(
)
0 det 0
0
a b
b a ab a b ab a b
a b
= = + = +
A
Es decir, el rango de A es tres salvo para a = 0, b = 0 y a = –b. Estudiemos cada caso. a) a≠0, b≠0 y a≠ −b. En este caso:
( ) ( )
3 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADOr A =r B = =n ⇒
b) a=0. En este caso:
0 0 0 0 0
0 0 ; 0 0
0 0 0 0 0
b b
b b b
b b
= =
A B
Es fácil ver que r(A)=2 pues es posible encontrar menores de orden 2 no nulos (por ejemplo el 0
0
b
b ). Por otra parte, si en B hacemos la operación elemental F2− →F1 F2:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
b b b
resultando que r(B)=3. Por tanto:
( )
2,( )
3 SISTEMA INCOMPATIBLEr A = r B = ⇒
0 0 0 0
0 0 ; 0 0 0
0 0 0 0
a a a
a a
a a a
= =
A B
Ahora r( )A =r( )B =2 (ambas matrices tienen la primera y la tercera filas iguales). Es decir:
( ) ( )
2 3 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADOr A =r B = < =n ⇒
d) a= −b. En este caso:
0 0
0 ; 0
0 0
b b b b b
b b b b b
b b b b b
− − −
= − = −
− − −
A B
Hagamos la operación elemental F3− →F1 F3:
0 0
0 ; 0
0 0 0
b b b b b
b b b b b
b b b b
− − −
= − = −
− −
A B
y ahora, F3+F2→F3:
0 0
0 ; 0
0 0 0 0 0 0
b b b b b
b b b b b
b
− − −
= − = −
A B
resultando:
( )
2,( )
3 SISTEMA INCOMPATIBLEr A = r B = ⇒
14.-
Resolver el sistema de ecuaciones lineales:2 8
4 3
3 12
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
por el método de Gauss con pivote total e indicando todas las operaciones elementales entre filas y entre columnas realizadas.
Solución:
Sea A la matriz ampliada del sistema:
1 2 1 8
4 1 1 3
1 1 3 12
−
⋮
2 1 2
2 1
3 1 3
4 1 1 3
1
4 1 1 3
7 5 29
4
1 2 1 8 0
1 4 4 4
1 1 3 12
4 3 13 45
0
4 4 4
F F F
F F
F F F
−
−
− →
↔ ⇒ ⇒
− →
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
⋮
2 3
3 2 3
2 3
4 1 1 3 4 1 1 3
13 3 45 5 13 3 45
0 ; 0
4 4 4 13 4 4 4
5 7 29 19 38
0 0 0
4 4 4 13 13
F F
F F F
C C
− −
↔
⇒ − → ⇒
↔
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
Así pues:
4 3
2
13 3 45
3
4 4 4
1
19 38
13 13
x z y
y
z y z
x y
− + = =
+ = ⇒ =
=
