TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS

TEMA 2: VIBRACIONES Y ONDAS PARTE 1

• Movimiento periódico: Periodo

• Movimiento Oscilatorio: Características • Movimiento armónico simple

• Características cinemáticas del MAS • Características dinámicas del MAS • Energía del MAS

PARTE 2

• Fenómenos ondulatorios: Pulsos y ondas

• Rasgos diferenciales de ondas y partículas: Deslocalización espacial, transporte de cantidad de movimiento y energía sin transporte de materia.

• Ondas longitudinales y transversales. Descripción cualitativa de los fenómenos de polarización.

• Magnitudes de una onda: Amplitud, frecuencia, periodo, longitud de onda y número de ondas. Relación entre ellas.

• Velocidad de propagación: Descripción cualitativa de su dependencia de las propiedades del medio.

• Ondas armónicas: Expresión matemática de la función de onda y descripción de sus características.

• Periodicidad espacial y temporal de las ondas: su independencia. • Velocidad y aceleración con que vibran los puntos del medio. • Magnitudes asociadas a una onda: Energía, Intensidad y Absorción

PARTE 3

• Superposición de ondas: Descripción cualitativa de los fenómenos de interferencia de dos ondas.

• Ondas estacionarias: Ondas estacionarias en resortes y cuerdas. Ecuación de una onda estacionaria y análisis de sus características. Diferencias entre ondas estacionarias y ondas viajeras.

• Principio de Huygens

• Propagación de una onda: Reflexión y refracción en la superficie de separación de dos medios.

• Difracción: Diferencias de comportamiento de la luz y del sonido en los fenómenos cotidianos.

MOVIMIENTO PERIÓDICO

Una partícula describe un movimiento periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, que llamamos periodo, repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y

aceleración).

Son movimientos periódicos el giro de la manecillas de un reloj, el movimiento circular uniforme, el bote elástico de una pelota, etc

MOVIMIENTO OSCILATORIO. CARACTERÍSTICAS

Un movimiento oscilatorio es el de una partícula que se desplaza sucesivamente de un lado a otro de un punto central, o de equilibrio, a intervalos regulares de tiempo, que llamamos periodo, y repite sus valores cinemáticos (posición, velocidad y aceleración). Si la trayectoria es rectilínea y el origen se encuentra en el centro se llama vibratorio.

Son movimientos oscilatorios el de un muelle, un péndulo, una varilla sujeta por un extremo, una cuerda de guitarra, etc, siempre que en todos los casos se desplacen de la posición de equilibrio y se suelten.

Las dos magnitudes que sirven para definir un movimiento oscilatorio son el periodo y la frecuencia:

• Se llama periodo al tiempo (T) comprendido entre dos posiciones sucesivas de las mismas características cinemáticas.

• Se llama frecuencia (ν) al número de oscilaciones que tienen lugar en la unidad de tiempo. (Se mide en seg−1 que recibe el nombre de Hercio)

• La frecuencia y el periodo son funciones inversas:

ν

= 1

T

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS), debido a que además de ser el de más sencilla descripción matemática, es una aproximación muy buena de muchas oscilaciones presentes en la naturaleza. El MAS :

• es un movimiento vibratorio y periódico

• es rectilíneo

• es acelerado, y en todo momento su aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio:

x a =−ω2

El movimiento armónico simple puede ser representado como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Imagina una lápiz sobre el plato de un tocadiscos que gira con velocidad angular constante. Si lo proyectamos sobre la pared obtendríamos un MAS.

Supongamos un punto P que describe un movimiento circular uniforme con una velocidad angular ω y gira en sentido antihorario con un radio A. Según que lo proyectemos sobre un eje u otro obtendríamos el MAS de un resorte que oscila verticalmente o el MAS de un resorte oscila horizontalmente.

Como vemos, al proyectar sobre el eje X obtenemos una función coseno y si proyectamos sobre el eje Y obtenemos una función seno. Ambos resultados son equivalentes ya que el seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario, así que no habría más que sumarle o restarle π/2 al ángulo inicial ϕo para que las dos funciones sean la misma.

Para el describir el movimiento de una partícula que ejecuta un MAS utilizaremos la expresión:

) t ( Asen

x = ω⋅ +ϕ_o

donde:

• x es elongación, es decir, la distancia en cada momento a la posición de

equilibrio. Normalmente utilizamos la x, pero si el MAS tiene lugar en dirección vertical podríamos escribir y=Asen(ω⋅t+ϕ_o)

• A es la amplitud, es decir la elongación máxima

• ω se llama pulsación o frecuencia angular e indica el número de veces que el ciclo completo se repite en 2π segundos.

πν = π =

ω 2

T 2

•

ω

t+

ϕ

o se llama fase e indica la situación del punto que vibra en relación a un ciclo completo

•

ϕ

o es la fase inicial, es decir la situación en referencia al ciclo completo que tiene la partícula en el momento t=0.

Si representamos la elongación en función del tiempo, obtendremos una sinusoide. Para eso le damos valores al tiempo cada cuarto de periodo:

(la representación en el caso de que

ϕ

_o ≠0sería igual, solo que desplazando el eje el valor correspondiente. El eje sería el de color verde.)

CINEMÁTICA DEL MAS

Si la elongación del MAS viene dada por x=Asen(ωt+ϕ_o) entonces la velocidad vendrá dada por su derivada respecto al tiempo, así que:

) t cos( A

dt dx

v= = ω⋅ ω +ϕ_o

si representamos la velocidad en función del tiempo, y para ello le damos valores de cuarto en cuarto de periodo, obtendremos:

• como es de suponer la gráfica de la función coseno está desfasada π/2 respecto de la función seno

• comparando la gráfica de la elongación con la velocidad se observa que cuando x=0, la velocidad es máxima y que cuando x=A, v=0. Eso es lo esperado, ya que si pensamos por ejemplo en el muelle, en los extremos, donde la elongación es máxima la velocidad es nula, porque allí se para, y luego empieza a crecer hasta llegar a su máximo en la posición de equilibrio, donde x=0.

Relación entre la velocidad y la elongación. Si elevamos la ecuación de la velocidad al cuadrado y tenemos en cuenta que sen2ϕ+cos2ϕ=1

ϕ ω

= 2 2 2

2

cos A

v = A2ω2(1−sen2ϕ)=ω2(A2 −A2sen2ϕ)=ω2(A2 −x2)

sustituyendo x:

2 2

x A v=±ω −

La aceleración se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad:

) t ( sen A dt

v d

a 0

2 ω +ϕ

ω − = =

teniendo en cuenta que x=Asen(ωt+ϕo), podemos poner que :

x a =−ω2

que como ya dijimos anteriormente es la condición para que un movimiento sea MAS. Si representamos gráficamente la ecuación de la aceleración obtendremos:

• La aceleración está desfasada π respecto de la elongación

Resumen: Para mayor sencillez vamos a suponer que la fase inicial es φo=0, es decir, que en el momento t=0, x=0

Magnitudes cinemáticas Valor máx Relación con x gráfica (magnitud/t)

t sen A

x= ω xmáx =A

t cos A dt dx

v= = ω⋅ ω vmáx =Aω v=±ω A2 −x2

t sen A dt

v d

a = =− ω2 ω a_máx =Aω2 a =−ω2x

Si observas detenidamente las ecuaciones de x y v comprenderás que ambas magnitudes estén desfasadas un cuarto de periodo ya que una es función seno y la otra coseno. Ello significa que cuando una toma su valor máximo la otra toma su valor nulo. Puedes verlo también en las gráficas correspondientes. También puedes verlo muy claramente en la

relación entre ambas, ya que si por ejemplo x=0 → máx 2

2

v A 0 A

v=±ω − = ω=

En la figura hemos dibujando las tres gráficas “superpuestas“ correspondientes a masa que ejecuta un MAS sujeta a un resorte.

Préstale atención a cada una de las gráficas hasta que las entiendas muy bien, en especial a los valores que cada una de las magnitudes cinemáticas toma cada cuarto de periodo y a cómo esos valores se corresponden con las curvas de la derecha.

Imaginemos una masa sujeta a un resorte y que ejecuta un MAS. Supongamos que empezamos a contar el tiempo cuando la masa pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha. En tal caso:

Durante el primer cuarto de periodo la masa se mueve desde la posición de equilibrio x=0 (donde la velocidad es máxima) hasta x=A. Durante ese tramo la aceleración tiene sentido opuesto a la velocidad (y por supuesto la Fuerza recuperadora del muelle que es quién la provoca FRecup Kxi

r r

−

= ) por eso el cuerpo va frenando hasta pararse en x=A.

En x=A la masa está parada, pero la fuerza recuperadora, que sigue apuntando hacia la posición de equilibrio (tiene sentido

i r

− ,) comienza a tirar de ella. Como ahora velocidad y

aceleración tienen el mismo sentido el movimiento es acelerado. Cuando llega a la posición x=0 la velocidad vuelve a ser máxima, aunque ahora tiene sentido contrario al inicial.

Por inercia rebasa la posición de equilibrio, pero inmediatamente que entra en x negativo la fuerza recuperadora cambia de sentido y, al tener aceleración en sentido contrario a la velocidad,

empezará a frenar hasta pararse en x=‒A.

(*) Al tomar x valores negativos, la fuerza recuperadora i

x K F_Recup

r r

−

= tiene sentido i r

+ , por eso siempre apunta hacia la posición de equilibrio.

Una vez parado en x=‒A, la fuerza recuperadora (responsable de haberlo frenado) como mantiene el sentido hacia la posición de equilibrio comienza a acelerarlo conforme disminuye su distancia a x=0, donde llegará otra vez con la velocidad máxima.

Ejemplo:

Cuando la cuerda de una guitarra da la nota La vibra con una frecuencia de 440 Hz. Si se desplaza 5mm a ambos lados de la posición de equilibrio, y si en el momento inicial se encuentra a 2mm a la izquierda de la posición de equilibrio y moviéndose a la derecha, calcula:

a) Ecuación de la elongación, velocidad y aceleración

La pulsación será:

π = ν ⋅ π = π =

ω 2 880

T 2

rad/s

teniendo en cuenta que la amplitud es igual al máximo desplazamiento de la posición de equilibrio, A=0,005m, la ecuación de la elongación del MAS será:

) t 880 ( sen 005 , 0 ) t ( Asen

x = ω +ϕo = ⋅ π +ϕo

para completar la ecuación todavía nos queda calcular la fase inicial. Para ello

tendremos en cuenta que tal como puede verse en la figura, en el momento inicial (t=0) la elongación es x=−0,002m. ¿Entiendes ahora el significado de la fase?

para el momento t=0, tenemos que: ) ( sen 005 , 0 002 ,

0 = ⋅ ϕo

− ⇒ ϕo =−0,41 rad

así que la ecuación de la elongación de un punto de la cuerda será:

) 41 , 0 t 880 ( sen 005 , 0

x= ⋅ π −

Su velocidad y aceleración serán la primera y segunda derivada respecto al tiempo, así:

) 41 , 0 t 880 cos( 4 , 4 ) 41 , 0 t 880 cos( 880 005 , 0 dt dx

v= = ⋅ π π − = π π −

) 41 , 0 t 880 ( sen 3872 ) 41 , 0 t 880 ( sen 880 4 , 4 dt v d

DINAMICA DEL MAS

Teniendo en cuenta que un MAS es un movimiento vibratorio en el que debe cumplirse

que a=−ω2x. De acuerdo con la segunda ley de Newton, si la condición de MAS la multiplicamos por la masa del oscilador tendremos que la fuerza que provoca el MAS (llamara fuerza recuperadora por lo que ahora veremos) será:

x k x m a m

F_recup = =− ω2 =− quiere decir que:

• La fuerza es proporcional al desplazamiento de la posición de equilibrio y el “signo menos” indica que la fuerza (al igual que aceleración) se opone a la deformación, , es decir, que cuando x está en el lado positivo del SR, a apunta hacia el negativo y viceversa, por ese motivo se llama fuerza recuperadora porque siempre apunta hacia la posición de equilibrio.

• La constante de proporcionalidad, llamada constante elástica, es k=mω2 y es una constante característica para cada sistema.

• Para una masa determinada, la frecuencia angular es también una constante del sistema. Como ω= π =2πν

T

2 _{quiere decir también que cada sistema vibra con}

un periodo propio y una frecuencia propia y característica.

El oscilador armónico ideal no es más que una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Como sabemos la fuerza recuperadora, que viene dada por la ley de Hooke es:

x T 2 m x m ma kx F

2 2

recup 

     π

− = ω − = = − =

donde se ha tenido en cuenta que la condición para que un movimiento se pueda considerar un MAS es que en todo momento su

aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a=−ω2x, así como que ω=2π/T

Despejando k de la 2ª y 3ª Despejando el periodo de la 2ª y última

2 m k = ω

k m 2 T= π

Observa que:

• El periodo (y la frecuencia) no depende de la amplitud de las oscilaciones. Solo depende de la masa y de la constante del muelle (como ya apuntamos antes)

El péndulo simple o matemático no es más que una masa m sujeta a un hilo de longitud L y masa despreciable que está sujeto por el otro extremo y ejecuta pequeñas oscilaciones de forma que prácticamente el arco que describe sea una recta. Como sabemos, en este caso, la fuerza

recuperadora es debida a la componente del peso:

x T 2 m x m ma L x mg mgsen

F

2 2

recup 

     π

− = ω − = = −

= α −

=

donde se ha tenido en cuenta que senα _{= x/L y que la condición para que un movimiento} se pueda considerar un MAS es que en todo momento su aceleración sea proporcional y de sentido contrario al desplazamiento de la posición de equilibrio: a=−ω2x, así como que ω=2π/T.

Despejando el periodo de la 3º y última:

g L 2 T= π

Observa que:

• El periodo no depende de la amplitud de las oscilaciones, ni tampoco de la masa. Solo depende de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad

Ejemplo:

La lámpara de la iglesia de Atarfe está colgada de un hilo de 5 m de longitud. Si comienza a oscilar ligeramente como consecuencia de una corriente de aire, podemos contar que ejecuta 13 oscilaciones en un minuto. Calcular el valor de la aceleración de la gravedad.

La frecuencia de las oscilaciones es:

Hz 22 , 0 60 13

= =

ν ⇒ 4,54seg 22

, 0

1 1

T = =

ν =

y como:

g L 2

T= π ⇒ ₂ 2 2

2

s / m 6 , 9 54 , 4

5 4 T

L 4

E1A.S2014

1. a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características dinámicas.

b) Un oscilador armónico simple está formado por un muelle de masa despreciable y una partícula de masa, m, unida a uno de sus extremos. Se construye un segundo oscilador con un muelle idéntico al del primero y una partícula de masa diferente, m’. ¿Qué relación debe existir entre m’ y m para que la frecuencia del segundo oscilador sea el doble que la del primero?

b) Como los dos muelles son iguales, ambos tienen la misma constante elástica K. Escribimos la frecuencia (inversa al periodo) para ambos sistemas y dividimos miembro a miembro: m k 2 1 π = ν ´ m k 2 1 2 ´ π = ν = ν m ´ m 2

1 _{= →}

4 / m ´ m= E1B.S2001

Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1π s de período y su energía cinética máxima es de 0,5 J.

a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica. b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble.

a) x=Asen(ω⋅t+ϕo)

s / rad 20 1 , 0 2 T 2 ₌ π π = π = ω 2 2 máx

máx m (A )

2 1 v m 2 1

Ec = = ω → 0,2 (A20)2 2

1 5 ,

0 = → A=0,11m

) t 20 ( sen 11 , 0 x= ) x ( m a m x K

F=− = = −ω2 → K =m ω2 =0,2⋅202 =80N/m

b) A cos( t) dt

dx

v= = ω⋅ ω A sen( t)

dt v d

a= =− ω2 ω

i) Si duplicamos la constante elástica, manteniendo la masa, debe variar la frecuencia angular, ya que K´=m ω´2=2⋅K=2⋅m ω2 → ω´= 2⋅ω La velocidad máxima (vmáx=Aω) aumentará en 2

La aceleración máxima (amáx =Aω2) aumentará el doble.

ii) Si duplicamos la masa, manteniendo K, igualmente debe variar la frecuencia

angular, ya que K =m´ ω´2=2m ω´2=m ω2 →

2 ´= ω

ω

ENERGÍA EN UN MAS

Energía potencial: Ya hemos dicho anteriormente, que las fuerzas recuperadoras elásticas son fuerzas centrales y por tanto conservativas, así que como consecuencia podemos definir el incremento de energía potencial entre dos puntos como el trabajo que hemos de realizar nosotros para llevarlo desde un punto a otro.

B A 2 B

A B

A B

A resorte cuperadora Re )

cuperadora Re . F .( Conser . F

B

A kx

2 1 dx kx i

dx i kx r

d F

W _→ =

∫

• =

∫

− ⋅ • ⋅ =

∫

− ⋅ =−

r r

r r

2_A kx2_B Ep Ep_A Ep_B 2

1 kx 2

1 _{− =−∆ = −}

=

Si asignamos cero a la Ep del resorte cuando está en la posición de equilibrio, podremos hablar de energía potencial absoluta, así la Ep de un punto que dista x del origen sería:

2 kx 2 1 Ep=

• Como vemos la Ep es máxima en los extremos, donde x=

±

A , ₂1 2

max kA

Ep = y es nula en la posición de equilibrio, donde x=0.

• A partir de esa expresión y teniendo en cuenta que para un oscilador k=mω2,

podríamos escribirla como: 2 m 2x2 2

1 kx 2 1

Ep= = ω

La Energía cinética de la masa que oscila ejecutando un MAS es: 2 v m 2 1 Ec=

Si tenemos en cuenta que v=±ω A2 −x2 , podemos escribir la Ec en función de la elongación como: ) x A ( k 2 1 ) x A ( m 2 1 v m 2 1

Ec= 2 = ω2 2 − 2 = 2 − 2

• Como puede verse en ambas formas de expresar a la Ec, en el caso de que el punto se encuentre en el origen, donde x=0 y la velocidad es máxima,

2 2 1 2 2 2 1 2 max 2 1

max mv m A kA

Ec = = ω = (Recuerda que v dt A cos( t o) dx = ω⋅ ω +ϕ

=

y que por tanto la v_max =Aω )

La representación gráfica de la Ec que tiene el punto en función de x, es decir, de la posición que ocupa respecto de la posición de equilibrio sería exactamente igual que si representásemos la función y=10−5x2, una parábola invertida. En el eje de ordenadas estará la Ec y en el eje de abscisas la x que tomará valores desde −A hasta +A puesto que no puede tomar otros.

Conservación de la energía mecánica en el MAS: Puesto que las fuerzas recuperadoras son centrales y por tanto conservativas, se tiene que cumplir el principio de

conservación de la energía mecánica, de manera que en todo momento:

. cte Ep Ec

E= + =

Al conservarse la energía mecánica será igual en todo momento a la suma de ambas, pero también será igual a la potencial máxima ₂1 2

max kA

Ep = y también a la cinética

máxima 2 ₂1 2 2

max 2 1

max mv m A

Ec = = ω (Si te das cuenta verás que ambas expresiones

son totalmente equivalente, ya que k =mω2)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 kA 2 1 A m 2 1 x m 2 1 ) x A ( m 2 1 kx 2 1 mv 2 1 Ep Ec

E= + = + = ω − + ω = ω =

Como puede verse:

• En los extremos, donde x=

±

A, la Ec=0 y la Ep es máxima.

• En el origen la velocidad es máxima y también la energía Ec, mientras que Ep=0

• En cualquier otro punto se cumple que E Ec Ep m 2A2 ₂1kA2 cte. 2

1 ω = =

= + =

como corresponde a un sistema conservativo.

Representación gráfica

• Si representamos la ecuación de la energía potencial _Ep= ₂1_kx2 _{en función de la} elongación obtendremos una parábola (gráfica en rojo, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como y=5x2)

• Si ahora representamos la energía cinética Ec= ₂1mω2(A2 −x2) _{en función de} la elongación obtendremos una parábola invertida (gráfica en azul, que es exactamente igual que si representásemos una ecuación como y=10−5x2, por cierto que en este caso 10 sería la energía total)

• Si representamos a la energía mecánica obtendremos una recta ya que es constante. (Es como si representásemos y=10)

Ejemplo:

Si una lámpara tiene una masa de 20Kg y está colgada de un hilo de 5 metros, calcular su energía mecánica cuando está oscilando y forma un ángulo máximo de 2º respecto de la vertical. ¿Cuánto valdrá la Ec y la Ep en el momento en que forma 1º con la vertical?

a) Si la cuerda de 5m se desplaza 2º de la vertical, la amplitud será:

m 174 , 0 º 2 sen 5

A= ⋅ =

La pulsación del péndulo es

L g =

ω por tanto, como la energía

mecánica es igual, por ejemplo, a la potencial máxima:

J 60 , 0 174 , 0 5 10 20 2 1 A L g m 2 1 A m 2 1 Ep

E= _máxima = ω2 2 = 2 = 2 =

o bien, teniendo en cuenta que Kx L

x mg mgsen

F_recup =− α=− =− →

L mg K=

y como A 0,60J

L g m 2 1 KA 2 1 Ep

E= _máxima = 2 = 2 =

b) En el momento en que forma 1º con la vertical, la elongación será

m 087 , 0 º 1 sen 5

x = ⋅ =

J 45 , 0 ) 087 , 0 174 , 0 ( 5 10 20 2 1 ) x A ( L g m 2 1 ) x A ( m 2 1 v m 2 1

Ec= 2 = ω2 2 − 2 = 2 − 2 = 2 − 2 =

J 15 , 0 087 , 0 5 10 20 2 1 x L g m 2 1 x m 2 1

Ep= ω2 2 = 2 = 2 =

Como puedes ver se cumple que E=Ec+Ep

E4B.S2012

2. a) Energía mecánica de un oscilador armónico simple. Utilice una representación

gráfica para explicar la variación de las energías cinética, potencial y mecánica en función de la posición.

b) Dos partículas de masas m1 y m2 (m2 > m1), unidas a resortes de la misma constante k, describen movimientos armónicos simples de igual amplitud. ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor energía cinética al pasar por su posición de equilibrio? ¿Cuál de las dos pasa por esa posición a mayor velocidad? Razone las respuestas.

a) Teoría

b1) Al pasar por la posición de equilibrio tendrá la energía cinética máxima (igual a la energía mecánica) viene dada por 2 2 ₂1 2

2

1_{m A KA}

b2) Puesto que la energía cinética máxima es igual para las dos masas, es evidente que la de mayor masa deberá tener menor velocidad, ya que _Ec= 1_2mv2

E3A.S2010

a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas. b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico

simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante.

a) Teoría

b) Teniendo en cuenta que:

• La energía mecánica viene dada por _máx KA2 2 1 Ep

Ep Ec

E= + = = por tanto,(

para un sistema concreto de constante elástica K), solo depende de la amplitud.

• Por otro lado, la frecuencia del MAS de un oscilador viene dada por:

ν = π

= 1

K m 2

T que como vemos solamente depende de la masa oscilante y de

la constante elástica. Quiere decir que para un sistema concreto formado por un resorte y una masa fija, la frecuencia de oscilación es una característica del sistema.

b1) Al aumentar la energía mecánica aumentará la amplitud, pero permanecerá inalterada la frecuencia de oscilación que es una característica del sistema.

b2) Al disminuir la masa oscilante aumentará la frecuencia, pero permanecerá constante la amplitud, ya que no depende de la masa.

E2A.S2010

Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m.s−1 y 7,2 m.s−2 respectivamente.

a) Determine el período y la amplitud del movimiento.

b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima.

a) La ecuación general de un cuerpo que ejecuta un MAS es: x=Asen(ω⋅t+ϕ_o). Derivándola respecto al tiempo obtenemos la velocidad y a su vez, derivando ésta obtenemos la aceleración, así que:

) t cos( A

dt dx

v= = ω⋅ ω +ϕ_o

) t ( sen A dt

v d

a 0

2 ω +ϕ

ω − = =

como vemos, los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima son:

ω

=A

vmáx 0,6=Aω 2

máx A

a = ω 7,2=Aω2 de donde A = 0,05m y ω_{=12 rad/s}

b1−a) La respuesta estricta a esta pregunta sería que un sistema concreto vibra con una frecuencia característica y por tanto no es posible cambiarla, ya que la frecuencia

solamente depende de la constante del muelle (que es una característica del muelle) y de la masa que oscila. Sabemos que el periodo (y la frecuencia que es la inversa) viene dado por

ν = π

= 1

K m 2 T

b1−b) Como puede verse, la frecuencia solo depende de la masa oscilante y de la constante. Si no podemos cambiar la masa del cuerpo y queremos cambiar la frecuencia de oscilación deberemos cambiar de muelle.

Vamos a ver qué relación existe entre la energía de dos muelles que vibran con

frecuencias ν y 2ν. Teniendo en cuenta que los resortes son sistemas conservativos, y que por tanto la suma de la energía cinética y potencial permanece constante, resulta que la energía mecánica será igual a la potencial máxima o bien a la cinética máxima, y como K=mω2 y ω=2π/T=2πν:

2 2 2 2

2 2

máx m4 A

2 1 A m 2 1 A K 2 1 Ep

Ep Ec

E= + = = = ω = π ν

Como vemos, la energía de un sistema concreto solo es función de su amplitud (de su cuadrado) y de la constante. Por eso decíamos de cambiar de muelle para poder alterar la frecuencia del sistema, ya que la energía mecánica es proporcional al cuadrado de la frecuencia E=f(ν2_{) por tanto, si se duplica la frecuencia ("cambiando de resorte"), la} energía mecánica se hará 4 veces mayor.

Podríamos contestar a otra pregunta: “Qué relación guardan las constantes elásticas de dos resortes para que uno oscile con una frecuencia doble que el otro”. Despejando K tenemos:

2 2 2

m 4 m

K = ω = π ν

2 2

2 2 2

) 2 ( m 4 ´ m 4 ´ m ´

K= ω = π ν = π ν div. miembro a miembro → K´= 4K

b2). Teniendo en cuenta que la a_máx =Aω2 (y puesto que para un sistema concreto la frecuencia con que oscila es una constante característica del mismo y por tanto también lo será la frecuencia angular ω=2πν), es evidente que, si se duplica la aceleración máxima se duplica la amplitud.

Y como:

2

máx KA

2 1 Ep

Ep Ec

E= + = =

E2B.S2009

a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de cada una de las variables que aparecen en ella.

b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula?

a) Teoría

b) La ecuación de una partícula que ejecuta un MAS es x=Asen(ω⋅t+ϕo) En primer lugar, si se duplica el periodo de las oscilaciones variará la pulsación o frecuencia angular haciéndose la mitad ya que es inversamente proporcional al periodo:

2 T 2 2 ' T 2

´= π = π = ω

ω

Por otro lado, si la energía mecánica se hace el doble variará la amplitud, puesto que depende del cuadrado: E= ½KA2

Lo que ocurre es que si la energía se hace el doble la amplitud no aumenta en A´= 4A

como parece a bote pronto, ya que si también hemos duplicado el periodo hemos necesitado cambiar la constante elástica (el periodo depende de la masa y de la constante: K=mω2 ). Así pues:

2 2

A m 2 1 E= ω

2 2

´ A ´ m 2 1 ´

E= ω Div.miembro a miembro

2 1

´ A 2

A ´

A ´

A ´

E E

2 2

2 2 2

2 2 2

=

     ω

ω = ω

ω

= ⇒ A´= 8A

FENÓMENOS ONDULATORIOS

En éste capítulo nos referiremos solo a ondas mecánicas, que son aquellas que necesitan un medio elástico para propagarse. Imaginemos un medio compuesto por muchas partículas unidas por una sustancia elástica. Si uno de sus extremos se perturba, es decir sufre una deformación, la experiencia nos dice que ésta se propaga a través del medio, aunque no lo hace de manera instantánea.

Cuando tiramos una piedra a un estanque la deformación se transmite de unos puntos a otros y así sucesivamente, pero lo hace con un cierto retraso que depende de las

propiedades del medio.

Cuando se enciende una bombilla, se da una palmada o tiramos una piedra al agua generamos fenómenos que tienen una cosa en común: En cada caso hay una propiedad que varía con el tiempo (la propagación de un campo electromagnético, la presión de los puntos del medio o el desplazamiento de las partículas de agua) y se transmite a través del medio de unos puntos a otros, pero de forma que el medio en sí no es transportado.

Por tanto, en un movimiento ondulatorio hay un transporte de energía a través del medio, pero no de masa, ya que las partículas el medio oscilan alrededor de una posición de equilibrio y se transfieren la energía de unas a otras, pero no se desplazan en conjunto.

Tipos de ondas: Las ondas se pueden clasificar atendiendo a varios aspectos.

1. Según el medio en que se propagan se clasifican en :

• Ondas mecánicas. Son aquellas en las que la perturbación producida en un punto se transmite a las demás debido a las propiedades elásticas del medio, es decir que la presencia del medio es indispensable para que tenga lugar la propagación y por tanto la onda. (No obstante insistimos que el medio en su conjunto no se desplaza, solo vibra. Piensa en una boya que al alcanzarla la ola sube y baja, pero no se desplaza en conjunto.) El sonido es una onda de este tipo y por tanto no puede propagarse en el vacío.

• Ondas no mecánicas: Son las que pueden propagarse aun sin un medio soporte, es decir que pueden hacerlo en el vacío. A este tipo pertenecen todas las ondas electromagnéticas, como la luz, que son el objetivo de otro tema.

2. Atendiendo a la relación que existe entre la vibración de las partículas del medio y la dirección de propagación de la onda, se clasifican en :

En una onda transversal cada punto del medio ejecuta un MAS en dirección perpendicular a la de propagación de la onda.

Las ondas transversales para propagarse necesitan un medio que presente fuerzas tangenciales que se opongan a la deformación, por esa razón solamente se propagan en sólidos y no pueden propagarse en el interior de líquidos ni gases, ya que sus

moléculas carecen de este tipo de fuerza tangenciales. Las ondas longitudinales, por el contrario, pueden propagarse en cualquier medio.

• Ondas longitudinales: Son aquellas en las que las partículas del medio vibran en la misma dirección en que se propaga la onda.

En una onda longitudinal cada punto del medio ejecuta un MAS en la misma dirección en que se desplaza la onda. Este tipo de ondas se explica mediante una serie de

comprensiones y enrarecimientos (expansiones) sucesivos en el medio. Para entenderlo mejor piensa en varias bolas todas iguales suspendidas a la misma altura.

Al dejar caer la primera bola, la energía que tiene es la que comunica a la segunda y esta a la siguiente y así sucesivamente hasta llegar a la última. En este caso, como en una onda, se transporta la energía de una bola a la siguiente pero no la masa y tiene lugar por las comprensiones y enrarecimientos

El sonido es una onda longitudinal y su propagación se explica como en el caso de las bolas, así cuando se da una palmada la perturbación da lugar a una serie de

comprensiones y enrarecimientos de la masa gaseosa que se encuentra a su alrededor.

Polarización de las ondas transversales

En una onda transversal la dirección de vibración de los puntos es perpendicular a la dirección de propagación de la onda. quiere decir que, si por ejemplo la onda se propaga en dirección del eje X, los puntos podrán vibrar en cualquier dirección siempre que esté contenida en el plano YZ, como se muestra en la figura. Esta sería una onda no polarizada:

En el caso de que todos los puntos vibren en la misma línea si dice que la onda está polarizada linealmente o que tiene polarización plana (porque todos los puntos vibran en el plano formado por la línea de vibración y la dirección de propagación)

Una onda se puede polarizar de varias formas. Por ejemplo haciéndola pasar por una rendija, tras lo cual saldrá polarizada en el plano que forma la rendija con la dirección de propagación:

También se puede polarizar por reflexión, ya que siempre que una onda se refleja se polariza en mayor o menor medida, dependiendo del ángulo con que incide. (La polarización es total cuando el ángulo de incidencia es tal que el de reflexión + el de refracción suman 90º). La luz también se puede polarizar por absorción como ocurre en las hoja polaroid (está formada por moléculas largas ordenadas paralelamente que hacen de rendija).

MAGNITUDES DE UNA ONDA.

Longitud de onda (λ) es la distancia que hay entre dos puntos consecutivos que están en fase, es decir que tienen los mismos valores de elongación, velocidad, aceleración, etc)

El número de onda (ν~ ) es una magnitud que indica el número de longitudes de onda que hay en 1 metro. Es la inversa de la longitud de onda, y por tanto se mide en m−1:

λ =

ν 1

~

Periodo (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda, es decir el tiempo que tarda en pasar una longitud de onda por delante de un observador

estacionario. El periodo coincide con el periodo de vibración de las partículas del medio, que como sabemos es el tiempo que tardan en dar una oscilación completa.

Frecuencia (ν) es la inversa del periodo, es decir es el número de longitudes de onda que ve pasar un observador estacionario en la unidad de tiempo.

ν

= 1

T

Amplitud (ymáx) es la separación máxima de la posición de equilibrio que experimentan los puntos del medio cuando vibran. Como ya vimos en el MAS depende de la energía que lleve la onda:

2 máx y K 2 1 E=

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS

La velocidad de propagación de la onda (v) es la distancia recorrida por la onda en la unidad de tiempo.

Todas las ondas tienen una velocidad de propagación constante que depende de las características del medio, ya que influyen las fuerzas recuperadoras elásticas del medio. (En la ampliación puedes ver esta dependencia de las características del medio con velocidad de propagación de las ondas transversales, longitudinales y electromagnéticas.) Puesto que el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda es por

definición el periodo, tenemos que:

ν ⋅ λ = λ =

T vonda

No debe confundirse la velocidad con que se propaga la onda (que es constante para cada medio) con la velocidad con que vibran los puntos del medio, que como sabemos ejecutan un MAS y su velocidad viene dada por vpuntos =Aω⋅cos(ωt+ϕo)

Ejemplo

Sabiendo que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz (c=3.108 m/s) Calcular la longitud de onda en que emite Radio Ilíberis, si lo hace a una

frecuencia de 101,5 MHz.

ν ⋅ λ =

v

6 8

10 5 , 101 10

3⋅ =λ⋅ ⋅

m 96 , 2

= λ

ONDAS ARMÓNICAS. EXPRESIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DE

ONDAS

En un movimiento vibratorio era suficiente con conocer la elongación del único punto que vibra en función del tiempo: y=f(t)

En una onda (como hay muchos puntos ejecutando un movimiento vibratorio) es preciso conocer la elongación (y) de cada punto (x) y en cada momento (t), es decir que y=f(x,t). Es muy importante recordar que la ecuación de una onda depende de dos variables: x y t Supongamos una cuerda larga en dirección del eje X por la que avanza una onda transversal. Si en el instante t=0 le hacemos una foto, la forma de la cuerda se podría representar por una ecuación del tipo:

• y es la elongación de cada uno de los puntos de la cuerda

• x es la distancia de cada punto x al origen o foco.

Supongamos que la onda avanza hacia la derecha con una velocidad v, entonces al cabo de un tiempo t habrá avanzado un espacio vt y la ecuación de la onda será:

t=t y=f(x−vt)

Efectivamente esa es la ecuación de una onda que se propaga hacia la derecha, puesto que para que la fase se mantenga constante al aumentar t también aumenta x, de esta forma al restar se mantiene fijo el término (x–vt).

Si representamos la ecuación de una onda que avanza hacia la izquierda su ecuación sería del tipo y=f(x+vt).

La función f puede tener cualquier expresión matemática, pero vamos a considerar solamente aquellas cuyo perfil es de tipo seno o coseno, por las razones que más adelante veremos. A estas ondas se les llama senoides u ondas armónicas, porque en ellas cada partícula del medio ejecuta un movimiento armónico simple.

La ecuación de una onda armónica en el instante t=0 es: t=0

λ π

=y sen2 x

y _max

donde:

• y es la elongación de los puntos

• x es la distancia del punto x al origen o al foco

• ymax es la amplitud de la sinusoide

•

λ

es la longitud de onda

Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y en un momento concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias:

Supongamos que la onda se propaga hacia la derecha con una velocidad v. Al cabo de un tiempo t la ecuación de la onda será:

t=t

λ − π

=y sen2 x vt

y max

o bien, si tenemos en cuenta que T

v= λ podríamos escribirla como:

   

 

− λ π =

T t x 2 sen y y max

que es la ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la derecha. Observa que, al tratarse de una función seno, el valor de y de un punto concreto (que dista x=x1 del foco) será el mismo en los instantes:

t, t+T, t+2T, t+3T, ..., t+nT

La ecuación de la onda también se suele escribir de la forma:

) t kx ( sen y

y= max −ω

donde como puedes ver comparando:

•

λ π = 2

k es el Número de onda: Nº de ondas que hay en una distancia de 2

π

•

T 2π

=

ω es la Frecuencia angular

Recuerda que :

"y es la elongación del punto x en el momento t". (Deberías llamarla siempre así, con esa frase completa para ser consciente de que y depende de dos variables). Lógico, ya que en el medio hay muchos puntos y con la x nos referimos a uno en concreto [al que dista esa distancia del foco], pero ese punto ejecuta un MAS y para poder medir la distancia a la que se encuentra de su posición de equilibrio necesitamos indicar un momento t)

PERIODICIDAD ESPACIAL Y TEMPORAL DE LAS ONDAS

Una onda es doblemente periódica. Ya hemos visto que la ecuación de una onda depende de dos variables: la posición y el tiempo, es decir que y=f(x+vt)

Para un valor dado de t, es decir en un momento determinado, la ecuación de la onda nos da el desplazamiento de la posición de equilibrio de cada punto del medio. Es como si fuese una foto de la onda en ese instante:

el valor de y en ese instante concreto será el mismo para los puntos que disten del foco las distancias x, x+

λ

, x+2

λ

, x+3

λ

, ... , o en general que los puntos que distan x+n

λ

están en fase. Lo contrario puede decirse de los que distan

λ

/2 , o múltiplo impar, que están en oposición de fase.

Para un valor dado de x, es decir para un punto determinado que dista una distancia x del foco, la ecuación de la onda nos da las distintas posiciones que ese punto ocupa conforme transcurre el tiempo. Como ya sabemos el punto ejecuta un MAS:

Ejemplo:

Dada la onda armónica y=sen2π(0,25x−0,5t) donde y, x se expresan en cm y t en seg, calcular:

a) El periodo y la frecuencia de la onda b) Longitud de onda y número de ondas

c) Velocidad de propagación de la onda y su sentido d) Ecuación del foco

e) Ecuación del punto que dista 6cm del foco

f) Ecuación de la onda en los instantes t=0 y t=6 seg g) Cuanto ha avanzado la onda en 6 seg.

h) Razona si la onda es longitudinal o transversal

i) Razona si otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia tiene la misma velocidad

No hay más que comparar la ecuación general de una onda con la de esta onda concreta:

      − π ⋅ = 2 t 4 x 2 sen 1 y       − λ π = T t x 2 sen y y max

a), b) Como vemos por comparación:

cm 1 ymax =

seg 2

T= y la frecuencia que es su inversa: 0,5Hz T 1 ₌ = ν cm 4 =

λ y el número de ondas: ~ 1 =0,25m−1

λ = ν

c) La onda debe propagarse hacia la derecha ya que al aumentar t debe aumentar x para mantener constante el argumento, y un aumento de x significa desplazarse hacia la parte positiva del eje X

s / cm 2 2 4 T v= λ = =

d) El foco es el punto para el cual x=0, por tanto:

) t ( sen 2 t 2 sen 1

y t 0 = −π

    ₋ π ⋅ = =

e) Un punto que dista x=6cm del foco tiene por ecuación:

vamos a representar estas dos ecuaciones, que como ves son las ecuaciones del MAS de esos puntos, ya que nos dan la elongación en función del tiempo de esos puntos

concretos, pero aun antes de hacerlo nos damos cuenta de que ambos puntos están vibrando en oposición de fase ya que distan 6cm que es igual a 3(

λ

/2)

Para representar estas funciones lo más sencillo es darles al tiempo valores de cuarto en cuarto de periodo, es decir, t=0, t=0,5, t=1, ... y vamos anotando los valores que va tomando y:

y \ t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 yx=0 0 −1 0 1 0 −1 0 1 yx=6 0 1 0 −1 0 1 0 −1

f) La ecuación de la onda en los momentos t=0 y t=6 es:

2 x sen y_t=0 = π

     

− π =

= 3

4 x 2 sen y_{t 6}

Estas ecuaciones no corresponden a un MAS (y no es una función del tiempo), sino que representan la forma que la onda tiene en esos instantes, es como si fuesen fotos de la onda en esos momentos: una foto en el momento t=0 y luego otra en el t=6seg Puesto que la diferencia de tiempo entre esos dos instantes es 6 seg = múltiplo entero del periodo, en ambos instantes la forma de la cuerda será la misma.

Para representarlas vamos a darle a darle a x valores de cuarto en cuarto de longitud de onda, es decir x=1, x=2, x=3, ...:

g) Puesto que la onda se propaga a una velocidad constante de 2cm/s, en 6 seg habrá avanzado: s=v⋅t=12cm. Obvio, ya que en 6 seg = 3 periodos, la onda habrá avanzado 3 longitudes de onda, es decir, 3*4 = 12 cm.

h) La ecuación de la onda indica la forma en que cada uno de los puntos del medio vibran en función del tiempo, y tanto si vibran en la dirección de propagación (onda longitudinal) o perpendicularmente a la dirección de propagación (onda transversal) responden a una misma ecuación, salvo por las letras que utilicemos.

Si nos fijamos en las letras utilizadas, podemos ver que los puntos del medio los hemos definido con la variable (x) lo que quiere decir que están sobre el eje X, mientras que el desplazamiento de esos puntos de la posición de equilibrio se mide con (y), es decir, vibran en el eje Y. En consecuencia la ecuación y=sen2π(0,25x−0,5t) corresponde a una onda transversal

i) Si otra onda tiene doble amplitud y mitad de frecuencia tendrá distinta velocidad, ya que v=λ.ν _{(tendría la mitad de velocidad). La energía que transporta sería mayor, ya que}

2 máx 2 1_Ky

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN CON QUE VIBRAN LOS PUNTOS DEL MEDIO

Hay que distinguir claramente entre la velocidad con que se propaga la onda, que como sabemos es constante v=λ/T=λ⋅ν y la velocidad con que vibran los puntos del medio que como sabemos ejecutan un MAS y por tanto no es constante, ni tampoco su aceleración, puesto que proviene de una fuerza del tipo F=−ky.

Como ya vinos en el MAS, la velocidad con que vibran los puntos es:

      ₋ λ π      ₋ π = = T t x 2 cos T 2 y dt dy v _max

y la aceleración:

      ₋ λ π      ₋ π − = = T t x 2 sen T 2 y dt v d a 2 max

podríamos haber partido de la ecuación de la onda escrita como       λ − π = x T t 2 sen y y max

con lo que al derivarla habríamos obtenido:

      λ − π       π = = x T t 2 cos T 2 y dt dy v _max       λ − π       π − = = x T t 2 sen T 2 y dt v d a 2 max Ejemplo:

Dada la ecuación 

     − = 20 d 05 , 0 t 2 sen 8

y donde las distancias se expresan en cm.

a) Indicar la amplitud del movimiento periódico, su periodo, su frecuencia y su longitud de onda. b) Al cabo de 0,15 seg y a una distancia de 40cm del foco determinar la elongación y velocidad c) Determine la velocidad máxima y la velocidad de propagación de la onda.

i) Razona como sería la velocidad máxima con que vibran los puntos de otra onda del doble de amplitud y mitad de frecuencia

a) Antes de comparar la ecuación con la ecuación general de una onda, fíjate que le falta el número π, así que la vamos a escribir como:

      π − π π = 20 d 05 , 0 t 2 sen 8 y

comparando con: 

seg 05 , 0

T= π y la frecuencia que es su inversa: 20Hz T 1 π = = ν cm 20π =

λ y el número de ondas: ~ 1 0,05m−1

π = λ = ν

b) La elongación (y) del punto que dista x=40cm del foco en el instante t=0,15seg es:

cm 27 , 7 20 40 05 , 0 15 , 0 2 sen 8

yx 40,t 0,15 =      π − π π = = =

la velocidad: 

     − = = 20 d 05 , 0 t 2 cos 05 , 0 2 8 dt dy v

y sustituyendo para x=40cm y t=0,15seg, resulta que v=–133,17cm/s

c) Una cosa es la velocidad con la que vibran los puntos del medio, que varía con el tiempo, puesto que cada uno ejecuta un MAS y otra cosa es la velocidad con que se propaga la onda, que es constante y solamente depende de las características del medio. La velocidad con que vibran los puntos del medio es:

      − = = 20 d 05 , 0 t 2 cos 05 , 0 2 8 dt dy

v_puntos →→→→ _320cm/s

05 , 0

2 8 v_máx = =

La velocidad de propagación de la onda es:

s / cm 400 20 20 T

v_onda =

π ⋅ π = ν λ = λ =

d) 

     λ − π       π = = x T t 2 cos T 2 y dt dy

vpuntos max → vmáx,puntos =ymax

(

2πν

)

Como vemos, si la amplitud es doble y la frecuencia la mitad la velocidad máxima

con que vibran los puntos de las dos ondas será la misma. Sin embargo la

velocidad de propagación de ambas ondas no es la misma ya que vondaondaondaonda=λλλλ....νννν (sería la

ENERGÍA QUE TRANSPORTA UNA ONDA

Sabemos que en una onda elástica que se propaga a través de un medio elástico cada partícula ejecuta un MAS y por tanto tiene una energía que se transmite a las siguientes y que es en parte cinética y en parte potencial debida a su posición respecto de la posición de equilibrio.

A lo largo de un periodo una partícula cede toda su energía a la siguiente y a su vez la recibe de la anterior, de manera que como puede suponerse la energía que transportada por la onda es la total que posee la partícula.

La energía total es igual a la suma de Ec+Ep o bien igual a la cinética máxima o a la potencial máxima, esta última igual a la que tiene cuando la partícula se encuentra en su desplazamiento máximo:

2 max

max k y

2 1 Ep

E= = ⋅

donde k es la constante elástica del medio e ymax es la amplitud. Teniendo en cuenta que para un punto que ejecuta un MAS: k=mω2 =m

(

2π/T

)

2 =m4π2ν2 nos quedaría que:

2 max 2 2

y 2

m

E= ⋅ π ν ⋅

Lo que nos dice que la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de la amplitud.

Al mismo resultado habríamos llegado si tenemos en cuenta que la energía total es igual a la cinética máxima, ya que:

2 max max mv

2 1 Ec

E= =

como la velocidad es 

  



 ₋

λ π π =

T t x 2 cos T 2 y

v _max está claro que la = π =y 2πν T

2 y

v_{max max max}

y sustituyendo nos quedará el mismo resultado que obtuvimos anteriormente:

2 max 2 2

y 2

m

E= ⋅ π ν ⋅

Cuando una onda se propaga en una sola dimensión, la energía de un punto se transmite íntegramente al siguiente y así sucesivamente, de manera que todos los puntos tienen la misma energía y vibran con la misma amplitud.

FENÓMENOS ASOCIADOS CON LA PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS

INTERFERENCIAS

Por experiencia sabemos que cuando dos o más odas se propagan en un mismo medio lo hacen de manera independiente y que la elongación de una partícula cualquiera es la suma debida a cada onda por separado. Al proceso de adición vectorial de la elongación se llama principio de superposición. Fourier demostró basándose en este principio que cualquier onda por rara que sea se puede obtener como suma de varias ondas armónicas, de tipo seno y coseno, por ello es por lo que el estudio de las ondas se suele reducir al estudio de ondas armónicas.

Así pues, cuando un punto del medio es alcanzado por dos o más ondas se producen interferencias y, de acuerdo con el principio de superposición, la elongación del punto es la suma de la que tiene cada onda por separado. El punto vibrará con:

2 1 y y y= +

Consideremos el caso más sencillo, el de dos ondas iguales que se propagan en la misma dirección, solamente que tienen un desfase

φ

(es decir que si les tomásemos una foto las encontraríamos desplazadas una respecto a la otra). Sus ecuaciones serían:

) T t x ( 2 sen y

y1 m −

λ π = ) T t x ( 2 sen y

y_{2 m} − +φ

λ π =

el desfase entra ambas ondas lo podemos poner como que la distancia del punto a uno de los focos es distinta, ya que:

) T t x ( 2 sen y

y_{2 m} −

λ λφ + π =

así que las ecuaciones podrían escribirse como:

) T t x ( 2 sen y y 1 m 1 − λ π = ) T t x ( 2 sen y y 2 m

2 = π _λ −

teniendo en cuenta el principio de superposición, la onda resultante será y=y1+y2 y

recordando que 2 B A cos 2 B A sen 2 senB

senA+ = ⋅ + −

) T t 2 x x ( 2 sen ) 2 x x ( 2 cos y 2

y 1 2 1 2

La onda resultante corresponde a una onda que tiene la misma frecuencia, pero que su amplitud vale: ) x x ( cos y 2

A 1 2

m _λ

− π =

lo que quiere decir que:

• Habrá refuerzo y la amplitud será máxima (igual a 2ym) cuando el coseno valga 1 o −1, es decir, para cos0, cos

π

, cos2

π

, cos3

π

…. Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino x1−x2 sea múltiplo entero de la longitud de onda: 0,

λ

, 2

λ

, 3

λ

, …

Se produce una interferencia constructiva en los puntos donde la diferencia de camino recorrido por las dos ondas que interfieren es n

λ

1 ) x x (

cos 1 2 =

λ −

π → ₍x1 x2₎=_0,π_{, 2}π_{, 3}π_,....

λ −

π es decir para x1 −x2 =nλ → A=2ym

• La amplitud será nula cuando el coseno valga cero, es decir, para cos

π

/2, cos3

π

/2, cos5

π

/2 . Ello ocurre en aquellos puntos en los que la diferencia de camino sea

λ

/2 o un múltiplo "impar", entonces A=0 y tendremos una interferencia destructiva.

0 ) x x (

cos 1 2 =

λ − π → _,.... 2 5 , 2 3 , 2 ) x x

( 1 2 = π π π

λ −

π es decir para

2 ) 1 n 2 ( x

x₁ − ₂ = − λ → _A=₀

Ejemplo:

Un generador de ondas en la superficie del agua tiene forma de T de modo que actúa como dos focos que generan ondas de la misma frecuencia y amplitud. Si las ondas generadas tienen una amplitud de 0,6cm, una frecuencia de 60Hz y se propagan con una velocidad de 30cm/s.

¿Cuál es la ecuación que nos muestra el estado de vibración de un punto P que dista 15cm de un foco y 15,75cm del otro?

cm 6 , 0 ym =

Hz 60

=

ν ⇒ T 1 =0,016seg

ν =

T

v= λ ⇒ 0,5cm 60

30 ₌

= λ

La ecuación de vibración del punto P debida a cada onda por separado es:

La interferencia debida a ambas ondas, de acuerdo con el principio de superposición es

2 1 y y

y= + , pero no es necesario sumarlas para saber que ocurre al punto P, ya que:

2 3 75 , 0 x

x₁ − ₂ = = ⋅λ

es decir, que en el punto P las dos ondas interfieren destructivamente, y por tanto la amplitud de la onda es nula: y=0 y lo mismo le ocurrirá a todos los puntos en los que

2 ) 1 n 2 ( x x1 2

λ ⋅ − =

− . El lugar geométrico de esos puntos es una familia de hipérbolas

con focos en F1 y F2.

Ejemplo: Experimento de Young

Dos fuentes coherentes de luz están separadas una distancia a=1mm. A una distancia d de ellas hay una pantalla en la que se recogen las interferencias. Calcular la longitud de onda de la luz empleada sabiendo que la distancia entre dos franjas brillantes

consecutivas es de h=10−4m y que la distancia entre las fuentes y la pantalla es de 1m.

Para que haya una interferencia constructiva es necesario que la diferencia de camino sea igual

λ

o múltiplo entero, es decir que:

λ =

−x n

x_{1 2}

En el centro hay interferencia constructiva, puesto que para ese punto x1 −x2 =0 y el punto brillante más próximo es aquel para el que n=1, es decir aquel en el que ;

λ = − 2 1 x

x (*)

por otro lado, de la figura podemos deducir lo que vale la diferencia de camino x1 −x2 ya que si trazamos una línea para construir un triángulo isósceles el ángulo que forma con la abertura es α, que es el mismo que forma la línea del centro (en rosa, que es la altura del triángulo) con la distancia de la abertura a la pantalla (los ángulos son iguales porque tienen sus lados perpendiculares). Así que:

α ⋅ =

−x a sen

x_{1 2} (**)

El ángulo α puede calcularse fácilmente, ya que de la figura se deduce que:

rad 10 1 10 arctg d

h

arctg 4

4 − −

= =

= α

así que

m 10 10 sen 10 sen

a⋅ α = −3 −4 = −7

= λ

ONDAS ESTACIONARIAS

Un caso particular de interferencias es el que tiene lugar cuando se dan dos condiciones: 1. En el medio concurran dos ondas iguales que avanzan en sentidos opuestos, como por ejemplo ocurre en una cuerda sujeta por uno de sus extremos (o los dos) o en un resorte, ya que en este caso tendremos la onda que va y la que se refleja, es decir dos ondas iguales propagándose en sentidos opuestos.

2. Que la frecuencia de las ondas que interfieren sea igual a la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda o múltiplo de ella (frecuencias resonantes), aunque de este detalle nos ocuparemos después.

Las ondas iguales que viajan en sentidos opuestos se pueden representar por las ecuaciones: (*) ) T t x ( 2 sen y

y_{1 m} +

λ π

= Avanza hacia la izquierda

) T t x ( 2 sen y

y2 m −

λ π

= Avanza hacia la derecha

La superposición y=y₁ +y₂ y recordando que

2 B A cos 2 B A sen 2 senB

senA+ = ⋅ + −

T t 2 cos x 2 sen y 2

y _m π

λ π

= Ec. onda estacionaria

Fíjate que:

1. la amplitud de la onda estacionaria no es la misma para todos los puntos, sino que depende de la distancia x de cada punto al foco:

λ π =2y sen2 x

A m

2. la amplitud es máxima en todos aquellos puntos en los que se cumpla que seno=±1. A estos puntos donde la amplitud es máxima (igual a 2ym) se les llama vientres o antinodos.

1 x 2 sen = λ π → _,.... 2 5 , 2 3 , 2 x

2 = π π π

λ

π es decir para ,.... 4 5 , 4 3 , 4

x= λ λ λ Antinodos, A=2ym

3. la amplitud es "siempre nula” en aquellos puntos en los que seno=0 y se llaman nodos. Son aquellos en los que:

0 x 2 sen =

λ

π → ₂ x =_0,π_{, 2}π_{, 3}π_,.... λ

π es decir para ,2 ,.... 2 3 , , 2 , 0

Si representamos la onda estacionaria en varios momentos, como si tomásemos fotos en varios instantes, podríamos tener las siguientes instantáneas, donde puede verse que los nodos, al igual que los antinodos, están separados media longitud de onda.

Generalmente la vibración es muy rápida de modo que solamente vemos la envolvente del movimiento, es decir que veríamos algo así como la siguiente figura:

Lo más importante de una onda estacionaria es:

• No es una onda viajera, ya que su ecuación no es del tipo f(x,t).

• Su ecuación se parece más a la de un MAS, con la diferencia de que cada punto vibra

con una amplitud distinta que depende de su posición:

λ π =2y sen2 x

• Hay unos puntos que no vibran nunca (los nodos) y otros que vibran con una amplitud máxima igual al doble de la amplitud de las ondas que por superposición forman la onda estacionaria.

• Una onda estacionaria no puede transportar energía ni hacia un lado ni al otro, porque los nodos no vibran y en consecuencia no puede fluir más allá de un nodo.

(*) Por simplicidad, anteriormente hemos preferido superponer dos ondas iguales sin desfasar viajando en sentidos opuestos, como la que va y se refleja en una cuerda con el extremo libre. Podría pensarse que en el caso de una cuerda con el extremo fijo, el resultado podría ser diferente, ya que al tener el extremo fijo la onda que va invierte su fase al reflejarse, asi que las ecuaciones de las ondas originales serían:

) T t 2 x 2 ( sen y

y1 m

π + λ π

= Avanza hacia la izquierda

) T t 2 x 2 ( sen y

y2 m +π

π − λ π

= Avanza hacia la derecha desfasada π

La superposición y=y₁ +y₂ y recordando que

2 B A cos 2 B A sen 2 senB

senA+ = ⋅ + −

      _π − π       _π + λ π = 2 T t 2 cos 2 x 2 sen y 2 y m

teniendo en cuenta que

α+π)=cos α 2

(

sen α+π)=senα 2 cos ( finalmente T t 2 sen x 2 cos y 2

y m π

λ π

= Ec. onda estacionaria

RESONANCIA

Un péndulo o una masa unida a un resorte tienen una única frecuencia natural de

vibración, la que viene dada por las conocidas expresiones

L g 2

1 π =

ν y

m K 2

1 π = ν

respectivamente, sin embargo muchos sistemas, como pasa en una cuerda, pueden vibrar con muchas frecuencias. A la más pequeña se le llama frecuencia fundamental o primer armónico y al resto, que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, se les llama frecuencias resonantes (2º armónico, 3º armónico, ..) o sobretonos (1º

sobretono, 2º sobretono …) respectivamente.

Empezaremos explicando la resonancia para el caso más sencillo de un péndulo o de un niño en un columpio. Si le empujamos una vez, empezará a oscilar con su frecuencia natural (con la única que tiene) pero debido a las pérdidas por rozamiento la oscilación se irá amortiguando, es decir, al perder energía su amplitud se hará cada vez menor

(_E= 1_2KA2_{). Si queremos mantener el balanceo del niño tendremos que aportar energía al} columpio, pero …. pero eso no basta como sabemos por experiencia, tenemos que

aportarle esa energía empujándole con la misma frecuencia con la que oscila el columpio, o de lo contrario lo que haremos es frenarlo. De hecho si le empujamos adecuadamente y no hubiera pérdida de energía (o si en el empujón le aportamos un poco más de la que pierde) el sistema irá acumulando energía y cada vez oscilará con mayor amplitud.

Cuando le comunicamos energía a un sistema a intervalos con una frecuencia distinta a su frecuencia natural termina oscilando con nuestra frecuencia y decimos que oscila forzado y en tal caso la energía aprovechada por el sistema es solo una pequeña parte de la que le suministramos. Por el contrario cuando le suministramos energía a un sistema con una frecuencia igual a su frecuencia natural decimos que oscila en resonancia y en tal caso el sistema absorbe íntegramente la energía que le aportamos. Dicho de otra forma,

suministrando pequeñas cantidades de energía con la misma frecuencia con que oscila el sistema podemos conseguir oscilaciones de gran amplitud.

Igual puede decirse para una cuerda sujeta por un extremo y a la que comunicamos energía por el otro extremo. Si la hacemos vibrar con una frecuencia distinta a su frecuencia natural (vibración forzada) la onda que va y la que vuelve interferirán destructivamente en mayor o menor medida dando lugar a una onda de poca energía.

Cuando suministramos energía a la cuerda haciéndola vibrar en uno de sus extremos con una frecuencia igual a una de sus frecuencias naturales conseguimos una onda estacionaria. La diferencia con el péndulo o la masa unida a un resorte es que la cuerda tiene infinitas frecuencias de resonancia, todas ellas son múltiplo entero de la frecuencia más pequeña llamada fundamental.

Supongamos una cuerda atada por un extremo y siempre sometida a la misma tensión (para que la velocidad de propagación de la onda sea la misma). Si por el otro extremo la hacemos oscilar a diferentes frecuencias obtendremos ondas estacionarias como las siguientes cuando la frecuencia de oscilación coincidan con ν1, 2ν1, 3ν1, 4ν1, … (donde

Si te das cuenta hay una relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de onda (λ) de las ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria. Siempre la cuerda debe

contener un número de veces media λ, es decir:

2 n

L= λ o lo que es igual n

L 2

= λ

Puesto que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda (v=λ⋅ν) si en cada modo de vibración λ se hace la mitad, la tercera parte, la cuarta parte … la frecuencia será doble, triple, cuádruple …. Es decir que las frecuencias para las que se produce onda estacionaria son ν=nν₁, donde ν1 es la frecuencia fundamental de vibración de la cuerda.

Calculo de la frecuencia fundamental de vibración: (Ampliación)

Como verás enseguida, la frecuencia fundamental de vibración de una cuerda depende de la tensión de la cuerda, de su longitud y de su masa. Quiere decir que cuando calculemos una frecuencia lo hacemos para determinados valores de esos tres

parámetros. Otra advertencia antes de comenzar es que no confundas la frecuencia de vibración del foco que transmite la energía a la cuerda con la frecuencia de vibración de la cuerda, aunque ambas coincidan cuando la cuerda vibre en resonancia.

Lo más sencillo sería disponer de un aparato capaz de vibrar a diferentes frecuencias. No hay más que colocarlo al otro extremo de la cuerda y tensarla. (ves? ahora tenemos valores concretos para T, L y masa de la cuerda). Ahora vamos variando la frecuencia de oscilación del vibrador hasta conseguir en la cuerda una onda estacionaria con un solo vientre. En tal caso, como la cuerda estaría resonando con el vibrador, la frecuencia de éste sería igual a la fundamental de la onda. (Ojo, que si variamos la tensión, o la longitud de la cuerda tendremos una frecuencia distinta).

cuerda obtendremos los distintos modos de vibración dependiendo de la tensión. (La tensión de la cuerda podemos medirla muy fácilmente con la ayuda de una polea y varias masas, como se indica en la figura de más abajo.)

Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación de una onda es v=λ⋅ν y que en el caso de ondas que se propagan por una cuerda la velocidad es v= T/µ, donde T es

la tensión de la cuerda y µ es la densidad lineal de la cuerda (masa/longitud), tenemos:

ν = ν λ = µ =

n L 2 T

v →

µ =

ν T

L 2

n

L = longitud de la cuerda

µ = densidad lineal = masa de la cuerda/longitud

T = Tensión de la cuerda = mg = peso de la masa que tira de la cuerda, como se indica en el esquema siguiente, y que hace que en la cuerda se forme una onda estacionaria. Según el número de vientres le daremos a n el valor que corresponda: Cuando vibre con un solo vientre (n=1) obtenemos la frecuencia fundamental de vibración. Para n=2, 3, … obtenemos la frecuencia del resto de los armónicos.

Relación entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria

Ya hemos visto que en todos los modos de vibración de una onda estacionaria se

cumple que la longitud de cuerda debe contener un número de veces media λ. El motivo es muy sencillo:

Cuando en una punta de la cuerda generamos una onda, ésta viaja hacia la otra punta donde se refleja. Cuando llega al punto de partida vuelve a reflejarse por segunda vez. Como en cada reflexión invierte la fase en π, la onda ahora está como al principio después de recorrer un espacio 2L (suponiendo que no se perdió energía). Si en este momento el vibrador genera una onda nueva, ahora tendremos dos ondas que

interferirán constructivamente, y la onda resultante tendrá una amplitud doble que las ondas que la producen, si la diferencia de camino es un múltiplo entero de λ, es decir,

cuando x1-x2 = nλ = 2L →

2 n

L= λ o lo que es igual n

L 2

Con este sencillo razonamiento se explica la relación que hay entre la longitud de la cuerda (L) y la longitud de la ondas que por superposición dan lugar a la onda estacionaria, pero además nos ayuda a entender porqué la amplitud de la onda

estacionaria puede llegar a ser muy grande con respecto a la amplitud de las ondas que genera el vibrador. Es muy sencillo, porque cada vez que la onda que está viajando por la cuerda llega al punto de partida vuelve a interferir constructivamente con la nueva onda que generado el vibrador. Por eso cada nueva onda hace aumentar la amplitud más y más. Hasta el infinito si no hubiera pérdidas de energía.

Ondas estacionarias en una cuerda con un extremo libre.

Cuando una onda que viaja por una cuerda llega al otro extremo puede ocurrir dos cosas:

1. Que el otro extremo esté fijo. En tal caso, al no poder vibrar se comporta como un nodo y al llegar a él la onda se refleja y consecuentemente invierte su fase, es decir, la onda que vuelve está desfasada π respecto de la que incide. Este es el caso

correspondiente a los dibujos anteriores.

2. Que el otro extremo esté libre. En tal caso la onda al llegar al extremo se vuelve sin cambiar de fase, en consecuencia en se extremo siembre tendremos un vientre: