RESPUESTAS Examen Matutino CS 1er Dptal 2013 A y B

1.- Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectorial (2 puntos):

)

)(

(

)

(

)

(

)

(

A

×

B

⋅

B

×

A

=

A

⋅

B

2

−

A

⋅

A

B

⋅

B

Utilizando las siguientes propiedades de la notación de subíndices:

i i k j

jk

u

v

u

v

v

u

⋅

=

δ

=

u

×

v

=

ε

_ijk

e

ˆ

_i

u

_j

v

_k

km jn kn jm imn

ijk

ε

δ

δ

δ

δ

ε

=

−

e

ˆ

i

⋅

e

ˆ

j

=

δ

ij

e

ˆ

i

×

e

ˆ

j

=

ε

kij

e

ˆ

k

)

)(

(

)

)(

(

_{jm j m kn k n j j k k}

n k m j kn

jm

δ

u

v

u

v

=

δ

u

v

δ

u

v

=

u

v

u

v

δ

Respuesta:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

A

×

B

⋅

B

×

A

=

ε

_ijk

e

_i

A

_j

B

_k

⋅

ε

_mnp

e

_m

B

_n

A

_p

=

ε

_ijk

ε

_mnp

A

_j

B

_k

B

_n

A

_p

e

_i

⋅

e

_m

m i m i

e

e

⋅

=

δ

p n k j kn jp kp jn

p n k j inp ijk

A

B

B

A

m

i

A

B

B

A

)

(

δ

δ

δ

δ

ε

ε

−

=

=

←

=

)

.

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

B

B

A

A

A

B

B

A

B

B

A

A

A

B

B

A

B

B

A

A

A

B

B

A

n n p p k

k j j

n k kn p j jp p

k kp n j jn

⋅

−

⋅

⋅

=

−

=

−

Matutino EXAMEN A - RESPUESTAS

2.- Determinar si el siguiente conjunto forma o no una base. Desarrollar la demostración y declarar si el conjunto forma o no una base y decir porqué (2 puntos):

  

  

   

 

−

         

 

− − −

     

= ×

2 1

2 0 1 1

1 0 1 0

1 1 0

1 0 1 n m

M

Respuesta:

Una condición necesaria para que el conjunto sea una base es demostrar que es linealmente independiente. Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo:

0 2

1 1

0

0 1

1 0

1

0 2

1 1

0

0 0

0 1

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

= −

+ −

= +

+

= +

+ −

= +

+ −

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Se calcula el wronskiano:

2 1 1 0

1 1 0 1

2 1 1 0

0 0 1 1

− −

− −

=

W =8

Se obtiene W ≠ 0 por lo que el conjunto es linealmente independiente, y puede formar una base.

3.- Resolver el determinante aplicando propiedades de determinantes (2 puntos)

1 10 2 3

6 10 5

4

4 1 1 2

1 2 1 1

− −

− − −

− − −

=

A

Respuesta:

18 64

) 4 )( 6 )( 4 )( 12 ( 4 0

0 0

8 6 0 0

8 20 4

0

12 24 12 12

64 1 1 10 2 3

6 10 5

4

4 1 1 2

1 2 1 1

= − −

=

− − − −

− =

− −

− − −

− − −

=

4.- Calcular:

a) rf, para f(x,y,z) = xz + y2 + yz2 donde r = x i + y j + z k es el vector de posición (1 punto). b) Calcular div(rf), y finalmente evaluarla en el punto P(1,2,3) (1 punto)

Respuesta:

143 )

3 )( 2 ( 6 ) 2 ( 5 ) 3 )( 1 ( 5 )

(

6 5 5 )] )(

( ), )(

( ), )(

[( )

(

)] )(

( ), )(

( ), )(

[(

2 2

) 3 , 2 , 1 (

2 2

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

= +

+ =

+ + = +

+ +

+ +

+ =

+ + +

+ +

+ =

rf div

yz y

xz yz

y xz z yz y xz y yz y xz x div rf

div

yz y xz z yz y xz y yz y xz x rf

5.- Sólidos y Curvas:

a) Determine el sólido delimitado por las superficies: (1 punto) 25 4

4 2 2 2

2

2 + = = + + =

z y x y

x ϕ π

Respuesta: Cilindro de radio 2, cortado por una esfera de radio 5 y por dos planos verticales, el plano y otro a radianes con el eje . Es decir, octavo de cilindro de radio 2 con casquetes esféricos (tapas)

b) Determine la curva generada por: (1 punto)

j t sen i

t t

F( )=5cos( )ˆ+5 ( )ˆ para t∈[0,π/2]

Matutino EXAMEN A - RESPUESTAS 6.- Determinar el conjunto de valores de α para que el sistema de ecuaciones sea linealmente independiente (2 puntos):

  

 

  

 −

=

  

 

  

 

  

 

  

 

−

2 1 1

1 1

2 1 4

2 1 1

3 2 1

x x x

α

Respuesta:

Se determina alpha para W=0, linealmente dependiente. Por lo tanto, los valores de alpha que cumplen con la condición de independencia lineal serán aquellos distintos a dicho valor.

4 / 7

0 4 7 2 8 2 4 3 ] 4 [ 2 ] 2 4 [ ] 2 1 [

0 1 1 4 2 1

2 4 1 1

2 1 1 1

2 1 4

2 1 1

=

= − = − + − − = − + + − + =

= +

− − − = − =

α

α α

α α

α

α α

α

W W

1.- Aplicando la notación de sumatoria de Einstein, demostrar la siguiente identidad vectorial (2 puntos):

)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

(

U

×

V

⋅

U

×

W

=

U

⋅

U

V

⋅

W

−

U

⋅

W

U

⋅

V

Utilizando las siguientes propiedades de la notación de subíndices:

i i k j

jk

a

b

a

b

b

a

⋅

=

δ

=

a

×

b

=

ε

_ijk

e

ˆ

_i

a

_j

b

_k

km jn kn jm imn

ijk

ε

δ

δ

δ

δ

ε

=

−

e

ˆ

i

⋅

e

ˆ

j

=

δ

ij

e

ˆ

i

×

e

ˆ

j

=

ε

kij

e

ˆ

k

)

)(

(

)

)(

(

_{jm j m kn k n j j k k}

n k m j kn

jm

δ

a

b

a

b

=

δ

a

b

δ

a

b

=

a

b

a

b

δ

Respuesta:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

U

×

V

⋅

U

×

W

=

ε

_ijk

e

_i

U

_j

V

_k

⋅

ε

_mnp

e

_m

U

_n

W

_p

=

ε

_ijk

ε

_mnp

U

_j

V

_k

U

_n

W

_p

e

_i

⋅

e

_m

m i m i

e

e

⋅

=

δ

p n k j kn jp kp jn

p n k j inp ijk

W

U

V

U

m

i

W

U

V

U

)

(

δ

δ

δ

δ

ε

ε

−

=

=

←

=

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

V

U

W

U

W

V

U

U

U

V

W

U

W

V

U

U

U

V

W

U

W

V

U

U

n n p p k

k j j

n k kn p j jp p

k kp n j jn

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

−

=

−

Matutino EXAMEN B - RESPUESTAS 2.- Determinar si el siguiente conjunto forma o no una base. Desarrollar la demostración y declarar si el conjunto forma o no una base y decir porqué (2 puntos):

  

  

   

 

−

         

 

− −

− −

    

 −

= ×

2 1

2 0 1 1

2 0 1 2

1 1 0

1 1 1 n m

M

Respuesta: Una condición necesaria para que el conjunto sea una base es demostrar que es linealmente independiente. Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneo:

0 2

1 1

0

0 1

1 2

1

0 2

2 1

1

0 0

0 1

1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

= −

+ −

= +

+ −

= +

+ −

−

= +

+ −

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

Se calcula el wronskiano:

2 1 1 0

1 1 2 1

2 2 1 1

0 0 1 1

− −

− − −

−

=

W =0

Se obtiene W = 0 por lo que el conjunto es linealmente dependiente, y NO puede formar una base.

3.- Resolver el determinante aplicando propiedades de determinantes (2 puntos)

1 3 2 1

0 0 5 0

4 1 3 2

6 3 1 4

− −

− −

= B

Respuesta:

500 ] 100 [ 5 3 1

1 2 6 1 1

4 2 3 1 3

4 1 4 5 1 3 1

4 1 2

6 3 4 5 1 3 2 1

0 0 5 0

4 1 3 2

6 3 1 4

= =

   



 ₋

+ − − + − =

− −

− =

− −

− −

= B

También:

500 1120

) 333 )( 28 )( 15 )( 4 (

333 0

0 0

392 28

0 0

42 3 15 0

6 3 1 4

1120 1

1 3 2 1

0 0 5 0

4 1 3 2

6 3 1 4

= − −

=

− − − − −

− =

− −

− −

4.- Demuestre que:

a) La solución de la ecuación de Maxwell ∇⋅H = 0 es H = ∇×A, donde A es el potencial vectorial. (1 punto) Respuesta: 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 2 1 1 2 3 3 1 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 / / / / / / ) ( ) ( A x x A x x A x x A x x A x x A x x x A x A x x A x A x x A x A x A A A x x x x x x A x x e e A x x A x e x e A H p n m mnp m j p n j mnp p n m mnp j j ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = =       ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = × ∇ ⋅ ∇ = ⋅ ∇ ε ε ε Considerando: 0 0 , 0 ₁ 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ A x x A x x A x x A x x A x x A x x

Por lo tanto:

0 ) ( 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 = ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = × ∇ ⋅ ∇ = ⋅ ∇ A x x A x x A x x A x x A x x A x x A H

Matutino EXAMEN B - RESPUESTAS 5.- Sólidos y Curvas

a) Determine el sólido delimitado por las superficies: (1 punto) 2

0 25

4

2 2

2 ϕ ϕ π

π

θ = x + y +z = = =

Respuesta:

a) Cono a 45 cortado por una esfera de radio 5 y por dos planos verticales, el plano y el plano yz. Es decir, cuarto de cono con casquete esférico (tapa)

b) Determine la curva generada por: (1 punto)

k t j t sen i

t t

F( )=2cos( )ˆ+2 ( )ˆ+ ˆ para t∈[0,3π/2] Respuesta:

b) 3/4 de una circunferencia de radio 2.

6.- Determinar el conjunto de valores de α para que el sistema de ecuaciones sea linealmente independiente (2 puntos):

  

 

  

 −

=

  

 

  

 

  

 

  

 

− − −

−

2 1 1

1 3 3

3 2

1 2 1

3 2 1

x x x

α

Respuesta:

Se determina alpha para W=0, linealmente dependiente. Por lo tanto, los valores de alpha que cumplen con la condición de independencia lineal serán aquellos distintos a dicho valor.

9 / 16

0 16 9 15 6 4 3 3 ] 9 6 [ 1 ] 3 2 [ 2 ] 3 3 [

0 3 3

3 2 1 1 3 2 2 1 3

3 1

3 3

3 2

1 2 1

=

= + − = + − + − − = − − − + − − − − =

= −

− − − −

− − −

= −

− −

− =

α

α α

α α

α

α α

α

W W