UNIDAD DIDÁCTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE: lo que tienes que dominar.
1. Las potencias: DEFINICIONES y PROPIEDADES. 2. Potencias enteras: NOTACIÓN CIENTÍFICA.
3. RAÍCES y RADICALES: potencias de exponente fraccionario. 4. Propiedades de los radicales: OPERACIONES.
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1. LAS POTENCIAS:
DEFINICIONES Y PROPIEDADES.
Definiciones Propiedades
an = a.a….a (n veces)
a0 = 1
am · a n = am+n
am : a n = am-n
(am)n = am·n
an · b n = (a · b) n
an : b n = (a : b) n
DEFINICIONES
Potencias de exponente natural an = a.a.a…a (n veces)
53 = 5.5.5 = 125
Potencias de exponente 0 a0 = 1
50 = 1
Potencias de exponente entero negativo
Potencias de exponente racional
Potencias de exponente racional y negativo
n
z
PROPIEDADES
Multiplicación de potencias con la misma base am · a n = am+n
25· 22= 25+2= 27
División de potencias con la misma base am : a n = am - n
25: 22= 25 - 2= 23
Potencia de un potencia (am)n=am · n
(25)3 = 215
Multiplicación de potencias con el mismo exponente an · b n = (a · b) n
23· 43= 83
División de potencias con el mismo exponente an : b n= (a : b) n
63: 33= 23
EJERCICIOS
33 · 34 · 3 = 38 57 : 53 = 54
(53)4 = 512 (5 · 2 · 3) 4 = 304
(34)4 = 316 [(53)4]2 = (512)2 = 524
(82)3 =[( 23)2]3= (26)3 = 218 (93)2 = [(32)3]2 = (36)2 = 312
25 · 24 · 2 = 210 27 : 26 = 2
(22)4 = 28 (4 · 2 · 3)4 = 244
(25)4 = 220 [(23)4]0 = (212)0 = 20= 1
(272)5 =[(33)2]5= (36)5 = 330 (43)2= [(22)3]2 = (26)2 = 212
(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9 = −512 (−2)−2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)5 = −32
2−2 · 2−3 · 24 = 2−1= ½ 22 : 23 = 2−1= 1/2
2. POTENCIAS ENTERAS:
NOTACIÓN CIENTÍFICA.
La notación científica (o notación índice estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños. Los números se escriben como un producto: siendo:
un número entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.
un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.
Historia
:
Arquímedes, el padre de la notación científica.El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obraEl contador de Arenaen el siglo III a. C. Ideó un sistema de represen-tación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. Nótese la coincidencia del exponente con el número de casilleros del ajedrez sabiendo que para valores positivos, el exponente es n-1 donde n es el número de dígitos, siendo la última casilla la Nº 64 el exponente sería 63 (hay un antiguo cuento del tablero de ajedrez en que al último casillero le corresponde -2 elevado a la 63- granos).
Escritura
100= 1 101= 10 102= 100 103= 1 000 104= 10 000 105= 100 000 106= 1 000 000 107= 10 000 000 108= 100 000 000 109= 1 000 000 000 1010 = 10 000 000 000
1020 = 100 000 000 000 000 000 000
1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
10 elevado a una potencia entera negativa–nes igual a 1/10no, equivalentemente 0,(n–1 ceros)1:
10–1= 1/10 = 0,1 10–2= 1/100 = 0,01 10–3= 1/1 000 = 0,001
10–9= 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001
Usos
Por ejemplo, la distancia a los confines observables del universo es 4,6×1026m y la masa de un protón es 1,67×10-27kg. La mayoría de las calculadoras y muchos programas de computadora presentan resultados muy grandes y muy pequeños en notación científica; la base 10 se omite generalmente y se utiliza la letra E (mayúscula o minúscula) para indicar el exponente; por ejemplo: 1,56234E29.
Nótese que esto no está relacionado con la base del logaritmo natural también denotado comúnmente con la letrae.
La notación científica es altamente útil para anotar cantidades físicas, pues pueden ser medidas solamente dentro de ciertos límites de error y al anotar sólo los dígitos significativos se da toda la información requerida de forma concisa.
Para expresar un número en notación científica debe expresarse en forma tal que contenga un dígito (el más significativo) en el lugar de las unidades, todos los demás dígitos irán entonces después del separador decimal multiplicado por la potencia de 10 que indique el exponente. Ejemplos: 238 294 360 000 = 2,3829436E11 y 0,00031416 = 3,1416E-4.
Operaciones matemáticas con notación científica
Suma y resta: Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.
Ejemplos:
2×105+ 3×105= 5×105 3×105- 0.2×105= 2.8×105
2×104+ 3 ×105- 6 ×103= (tomamos el exponente 5 como referencia) = 0,2 × 105 + 3 × 105- 0,06 ×105= 3,14 ×105
Multiplicación: Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
Ejemplo: (4×1012)×(2×105) =8×1017
División: Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.
Ejemplo: (48×10-10)/(12×101) = 4×10-11
Potenciación: Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.
Ejemplo: (3×106)2= 9×1012.
Radicación: Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.
EL PROBLEMA DEL AJEDREZ
El Brahmán Laharsessa, parece ser que también conocido como Sissa Ben Dahir, como recompensa por ofrecer el juego del
ajedrez como entretenimiento al rey Iadova de la India, que estaba triste por la muerte de su hijo, pidió como recompensa un grano de trigo por el primer cuadro del tablero del ajedrez, por el segundo cuadro el doble del cuadro anterior es decir del primero, por el tercero el doble de lo que había en el cuadro anterior, el segundo; y así sucesivamente hasta la casilla 64.
El Rey les planteo el problema a sus matemáticos y le dijo a Sissa Ben Dahir, “pásate después y te daré tu recompensa”.
¿Puedes ayudar a los matemáticos a calcular la cantidad de trigo que debe entregarse como recompensa al inventor del ajedrez?
SOLUCIÓN
El número total de granos de trigo de la recompensa pedida por El Brahmán inventor del juego del ajedrez es la suma de la siguiente progresión geométrica:
S= 1 + 2 + 22+ 23 + ……… + 2i+ …….. + 262+ 263= 20+ 21+ 22+ 23+ ……… + 2i+ …….. + 262+ 263
= 264– 1 = (1´8446 x 1019)-1 granos de trigo.
Parece ser que un metro cúbico de trigo tiene unos quince millones de granos, es decir 15x106granos, con lo que el volumen que ocuparan los granos de la recompensa es:
(1´8446 x 1019)/(15 x 106) = 1´2297 x 1012m3.
Que es el volumen de un cubo de lado igual a 10.713 m (10´713 Km).
También parece ser que un grano de trigo pesa entre 0´032 gramos y 0´05 gramos, si cogemos un valor medio, por ejemplo 0´04 gramos, el peso de los granos de la recompensa es:
(1´8446 x 1019)x(0´04)x1x10-6= 7´37 x 1011Toneladas métricas de trigo. La producción actual mundial anual de trigo esta sobre las 650 millones de toneladas.
Con lo cual: (7´37 x 1011)/(650 x 106) = 1.135 años.
3. RAÍCES Y RADICALES:
POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.
Radicales equivalentes
Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:
Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
Reducción de radicales a índice común
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obteniéndose multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical Se descompone el radicando en factores. Si:
Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
4. PROPIEDADES DE LOS RADICALES:
OPERACIONES
SUMA DE RADICALES
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales
semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.
Radicales de distinto índice
DIVISIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo índice
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.
POTENCIA DE RADICALES
RAÍZ DE UN RADICAL
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
RACIONALIZACIÓN :
La racionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o los radicales, que están en el denominador de la fracción.
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar elimine la raíz del denominador.
RACIONALIZACIÓN DE UN RADICAL ÍNDICE 2
Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominador de la misma. En el siguiente caso:
hay que multiplicar numerador y denominador por
RACIONALIZACIÓN DE BINOMIO DE ÍNDICE 2
Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma.
En el siguiente ejemplo:
hay que multiplicar el numerador y el denominador por ; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.
· =
=
=
RACIONALIZACIÓN DE MONOMIOS CON ÍNDICES MAYORES QUE 2
Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por índices mayores que 3.
Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.
=
Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.
Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.
=
En este ejemplo, es , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...
· =
Despejando las raíces, que son de índice 5:
=
Simplificando, se obtiene:
=
RACIONALIZACIÓN DE BINOMIOS CON RADICAL MAYOR A 2
Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.
Tomamos este producto notable.
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.
·
En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.
Si se trata de la suma de dos radicales de índice 3:
Hay que usar este otro producto notable.
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.
