ACTIVIDADES PARA ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE TIENEN PENDIENTE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CS I

(1)

ACTIVIDADES PARA ALUMNOS DE 2º DE BACHILLERATO QUE TIENEN PENDIENTE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CCSS I

SEGUNDA PARTE

_____________________________________________________________________________________________ 1. Determine los dominios de las siguientes funciones:

a)

( )

₂ 1

4 3 x f x x x − =

− + b)

( )

4 5 ln 2 6 x g x x − =

+ c)

( )

6 2 2 3 x h x x − = +

2. Represente la función

( )

2

8 14 si 3 1

si 3 3 2

2 7

si 3

3

x x x

x

f x x

x x x ⎧ ⎪− − − ≤ − ⎪ ₊ ⎪

=⎨ − < ≤

⎪ −

⎪ _>

⎪ ₋

⎩

3. Dadas las funciones

( )

2 7

3 x f x x + =

− g x

( )

= 2x+5 h x

( )

= −3 4x

se pide:

a) h− f c) f Dh e) _f−1

b) Dom

(

f +g

)

d) g f a

(

( )

)

f) Rec

( )

f 4. Determine el dominio y el recorrido de la función f dada por la gráfica

adjunta, sus puntos de intersección con los ejes, el signo de la función y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Dibuje la gráfica de la función g en los siguientes casos: a) g x

( )

= f x

(

+3

)

d) g x

( )

= −f

( )

x b) g x

( )

= f

( )

−x e) g x

( )

= f x

( )

−2

c) g x

( )

= f x

( )

5. Determine los dominios de las siguientes funciones: a)

( )

ln2 3

6 2 x f x x + =

− b)

( )

(

)

2

ln 25

g x = −x c)

( )

₂ 3

4 28 x h x x x − =

− d)

( )

2

16

v x = x −

6. Represente la función

( )

3

2

2 1 si 2

8

si 2 4 2

12 28 si 4

x _x

x

f x x

x x x

+

⎧ + ≤

⎪ ₋

⎪

−

=⎨ − < <

⎪

− + − ≥

⎪⎩

( )

2

5 2 1 x f x x − = −

( )

3 1 x g x x − = −

( )

3 4 2 x

h x = + u x

( )

=2x+3+1

se pide:

a) f −g b) g hD c) u−1

d)

(

)

1

2

h f ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

D

8. Estudie las asíntotas de la función

( )

2 2 2 3 x f x x + = − . 9. Calcule los siguientes límites:

a)

2

2 9 1

lim x − x+ 0

− + b)

1 2

lim x+5

+ c)

(

)

2 2

m 4 5

li 4

−

(2)

10. Dada la función

( )

2

2 5

si 3 3

1 3

si 3 1

2 2

6 7 si 1 x

x x

f x x

x x x

− − ⎧ x < − ⎪ ₋ ⎪ ⎪

=_⎨ − − − ≤ <

⎪

⎪− + − ≥

⎪⎩

se pide:

a) Estudio analítico de la continuidad. b) Gráfica de f.

11. Determine el valor de a para que la función

( )

1

2 si 2

x x f x ax x − ⎧ ≤ − ⎪ = ⎨

− > −

⎪⎩ sea continua.

12. Dada la función _{f x}

( )

=_x3−₃_x2+₄, se pide:

a) Ecuación de la recta tangente a f en el punto de abscisa x= −2.

b) Determine las coordenadas del punto en el que la recta tangente a f es paralela a la recta 3 y halla su ecuación.

2

x+ − =y 0

13. Estudie la monotonía y los extremos de la función

( )

3 2

3 9

f x = − +x x + x. 14. Obtenga la función derivada de la función f en los siguientes casos:

a) f x

( )

=

(

4x2−3

)

3 c) f x

( )

=3x2⋅ex2 e) f x

( )

=senx⋅cosx b) f x

( )

lnx

x

= d)

( )

1

2x

x

f x = − f) f x

( )

_xx

e =

15. Estudie la derivabilidad de la función

( )

3 2

2

2 3 si 7 7 si 2

x x x

f x

x x x

⎧ − + ≤2

= ⎨_{− +} ₋ _>

⎩ .

16. Calcule el valor de a para que la función _{f x}

( )

=_ax3−₂_x2+₃_x

tenga un extremo local en el punto de abscisa . Analice el tipo de extremo.

3 x=

17. Estudie el dominio, asíntotas, monotonía y extremos de la función

( )

2 2 4 x f x x = − .

18. Determine los dominios de las siguientes funciones: a)

( )

₃ ₂4

6

x f x

x x x

− =

− − b)

( )

3 12 2 3 x g x x + =

− c)

( )

2 18 9 2 h x = + x− x

( )

3 12

2 3 x f x x + =

− y

( )

4

g x x

= , se pide:

a) g−f c) 1

f− (inversa de f respecto de la composición) b) f Dg (g compuesta con f) d)

(

gD f

)( )

5

20. Calcule los siguientes límites: a) 2 3 1 3 2 lim 1 x x x x → − + +

+ b) 0

2 lim x x x →

− +4

c) 2 1 lim 1 x x x x + →+∞ + ⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠ d)

(

)

2

lim 4 1

x

x x x

→+∞ − + −

21. Estudia las asíntotas de la función f en los siguientes casos: a)

( )

2 5

3 x f x x + =

− b)

( )

2 2 1 x f x x + =

− c)

( )

2 2 5 3 2 x x f x x x + − =

+ − d)

( )

2 2 4 x f x x = −

22. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

( )

3

2 2

f x =x − x en el punto de abscisa x= −1. 23. Calcula la función derivada de las siguientes funciones:

a) _{f x}

( )

=_L _x2−₁

b)

( )

2 1 x f x x ⎛ = ⎜ ₋ ⎝ ⎠ ⎞

⎟ c)

( )

2x

x

(3)

24. Estudia el dominio, asíntotas, monotonía y extremos de la función

( )

₂ 4 x f x x = − .

25. Calcula en qué punto la recta tangente a la curva de la función f x

( ) (

= 2x−1

)

2+5 es paralela a la recta de ecuación y=2x+5. Después escribe las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica en dicho punto. 26. Determina los valores de los parámetros a y b para que la función

( )

3 2

f x = − +x ax +bx tenga un extremo local en el punto

(

− −1, 5

)

.

27. Estudia la monotonía y los extremos de la función

( )

4 3

8 16

8

2

x x x

f x = − + .

( )

2

8 13 si 2 1

2 si 2 2 2

6 7 si 2

x x x

f x x x

x x x

⎧− − − ≤ −

⎪ ⎪

=_⎨ − − <

⎪ ⎪ ₋ ₊ _≥ ⎩ < 2 −

, se pide:

a) Estudio analítico de la continuidad. b) Gráfica de f.

( )

2 , se pide:

3 si 1

3 si 2

x x

f x x x

x x

+ <

⎧ ⎪

=_⎨ − − < ≤

⎪_{− +} _>

⎩

a) Estudio analítico de la continuidad. b) Representación gráfica.

30. Estudia los siguientes límites: a) 2 2 1 1 lim 2 3 x x x x →− −

− − b) 2 2

2 lim 1 3 x x x → −

− − c)

5 2 3 lim 2 1 x x x x − →+∞ + ⎛ ⎞ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠

( )

5 2₂

1 x f x x − =

− y

( )

4 3 2 1 x g x x − =

− , se pide:

a) g−f b) g hD c) 1

g− d)

(

)

1

2 g f ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

D

32. Halla la derivada de las siguientes funciones: a) _{f x}

( )

=_x3−₂_x2+₅ c)

( )

x 4

h x = x+ ⋅e x e) j x

( )

=7x⋅ +

(

x cosx

)

g) l x

( )

=

(

x4−2x+6

)

3 b)

( )

(

2

)

3

1 2x

g x = x + ⋅ d)

( )

₂ 2

1 x i x x + =

− f)

( )

2 ln x x x k x e ⋅

= h) m x

( )

= 4x⋅senx

33. Estudia si la función

( )

es derivable. 2

2

2 si 0 2 si 0 x f x x x ⎧ + = ⎨_{− +} _≥ ⎩ x<

34. Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función _{f x}

( )

₌₂_x3₋₉_x2₊₁₂_x₋₁₅

. Halla sus extremos. 35. Esboza la gráfica de la función

( )

₂

4

x f x

x =

− , estudiando su dominio, asíntotas, puntos de intersección con los ejes, monotonía y extremos relativos:

36. La gráfica de la función

( )

2

f x =x +bx+c pasa por el punto P

(

−2, 1

)

y alcanza un extremo relativo en el punto de abscisa x= −3. Determina los valores de b y c.

37. Calcula la función inversa correspondiente a cada una de las siguientes funciones: a)

( )

2 1

1 x f x x − =

− b) g x

( )

= x+3 c) h x

( )

=log3

(

x+ −5

)

2

38. ¿Cuál es la ecuación de una parábola que pasa por el punto

( )

0, 9 y en el punto

( )

2, 9 tiene como recta tangente ?

6 3 0

(4)

39. Cierto tipo de bengala permanece encendida un tiempo de 4 minutos. Se ha comprobado que el porcentaje de luminosidad que produce viene dado por la siguiente función, considerando el tiempo en minutos.

( )

₁₀₀ ₂₅2

f t = t− t con t∈

[ ]

0, 4

a) ¿Para qué valor de t se obtiene el porcentaje de luminosidad máximo? b) ¿En qué intervalo de tiempo decrece el porcentaje de luminosidad? c) ¿Para qué valores de t el porcentaje de luminosidad es del 75%? 40. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a)

( )

₂ 1

2

x f x

x x − =

− − b) g x

( )

=2x+ x−1 c)

( )

(

)

2

log 4

h x = x −

41. Realiza las siguientes operaciones de funciones, indicando sus respectivos dominios: a) Siendo f x

( )

= +x 2 y g x

( )

1

x

= , calcula

(

f +g

)( )

x .

b) Siendo f x

( )

1 1

x

= − y

( )

3

1

x g x

x − =

+ , calcula

(

f g⋅

)( )

x . c) Siendo _{f x}

( )

₌_x2₊₁ y _{g x}

( )

₌ _x₋₂

, calcula

(

f Dg

)( )

x . d) Siendo

( )

3

1

f x x =

− y

( )

2

g x =x , calcula

(

gDf

)( )

x . 42. Dada la función _{f x}

( )

=2x

, indica que transformación sufre en cada una de las siguientes funciones (realiza un esbozo de las gráficas):

a) f x

(

−3

)

b) f x

( )

+4 c) f

( )

−x d) −f x

( )

43. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) f x

( )

= −2x2+8x−10 b)

( )

2

g x x =

− c)

( )

2

3 5 si 1 2 3 si 1 3

3 si 3

x x

f x x x

x x

⎧ − ≤

⎪

=_⎨ + <

⎪ _>

⎩

<

44. Calcula los siguientes límites: a) lim

(

3 2 2 3 2 5

)

x→+∞ x + − x − x b)

3 2

2 0

3 lim

x

x x x

x x

→

+ −

− c) 2

2 2 6

lim

2

x

x x

→−

− +

+

45. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, clasificando las discontinuidades:

a)

( )

b)

2

3 5 si 1 2 3 si 1 3

3 si 3

x x

f x x x

x x

⎧ − ≤

⎪

=⎨ + < <

⎪ _>

⎩

( )

2

1

4 3

x f x

x x

− =

− + c)

( )

2 2

2 1

si 3 2

4 si

x x

x

f x _x _x

x

⎧ + +

≤ ⎪

=_⎨ _{− −}

⎪ _>

⎩ 3

46. Dadas las funciones: _{f x}

( )

=_x2−₃_x

, g x

( )

= 1−x y h x

( )

2 x

= , realiza las siguientes operaciones: a)

(

f +g

)( )

x b)

(

fDg

)( )

x c)

(

hDf

)( )

x d) 1

( )

g− x

47. Contesta sólo lo que se te pide en cada apartado: a) Estudia la simetría de

( )

₂

1

x f x

x =

+ .

b) Halla los puntos de corte con los ejes de

( )

3₂ 4

1

x g x

x + =

− . c) Halla la inversa de

( )

3

2x 5

h x = + − . 48. Sea la función

( )

3 2

1

x f x

x =

− . Se pide:

a) Encuentra los máximos y mínimos relativos de la función.

(5)

SOLUCIONES

1. a) Dom f = −\

{ }

1, 3 b)

(

, 3

)

5, 4

Dom g= −∞ − ∪⎛_⎜ + ∞⎞_⎟

⎝ ⎠ c)

3 , 3 2

⎛₋ ⎤ ⎜_⎝ ⎥_⎦

2.

3. a)

(

)( )

2

4 13 1

3

x x

h f x

x

− + −

− =

−

6

c)

(

)( )

8 13

4

x f h x

x − =

D e) 1

( )

3 7

2

x f x

x

− ₌ +

−

b) Dom

(

)

5, 3

(

3, 2

f +g = −⎡ ⎞_⎟∪ + ∞

⎢⎣ ⎠

)

d)

(

( )

)

9 1

3

a g f a

a − =

− f) Rec

( )

f = −\

{ }

2 4. Gráfica de f:

a) g x

( )

= f x

(

+3

)

La gráfica de g es la gráfica de f trasladada 3 unidades a la izquierda.

f g

b) g x

( )

= f

( )

−x

La gráfica de g es la simétrica de la gráfica de f respecto del eje Y.

f g

c) g x

( )

= f x

( )

(6)

d) g x

( )

= −f

( )

x

La gráfica de g es la simétrica de la gráfica de f respecto del eje X.

En los intervalos donde f sea negativa, trazamos su simétrica respecto del eje X (la transformamos en positiva).

f g

e) g x

( )

= −f

( )

x

La gráfica de g es la simétrica de la gráfica de f respecto del eje X.

En los intervalos donde f sea negativa, trazamos su simétrica respecto del eje X (la transformamos en positiva).

f g

5. a) Dom

( )

3, 3 2

f = −⎛_⎜

⎝ ⎠

⎞

⎟ c) Dom

( )

h = −\

{ }

0, 7

b) Dom

( ) (

g = −5, 5

)

d) Dom

( ) (

v = −∞ − ∪, 4

) (

4,+ ∞

)

6.

7. a)

(

)( ) ( )( )

2

8

1 1

x f g x

x x

−

− =

+ − c)

( )

(

)

1

2

log 1 3

u− x = x− −

b)

(

)( )

3 2

x g h x

x − =

+

D d)

(

)

1 6

2

h f ⎛ ⎞ = −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

D

8. A. V. x=3; A.H. No tiene; A.O. y=2x+6.

9. a) 1

5

− b) –1 c) 3

2

10. a) f es continua en \− −

{ }

3

(7)

b) 11. 17

16

−

12. a) y=24x+32 b) P

( )

1, 2 ; y= − +3x 5

13. Monotonía Extremos locales

f es estrictamente decreciente en f tiene un mínimo local en x= −1

(

−∞ − ∪, 1

) (

3,+ ∞

)

MIN

(

− −1, 5

)

f es estrictamente creciente en f tiene un máximo local en x=3

(

−1, 3

)

MAX

(

3, 27

)

14. a) _f′

( )

_x =₂₄_x

(

₄_x2−₃

)

2 d)

( )

1 ln 2 ln 2

2x

x f′ x = − − ⋅

b) f

( )

x 1 ln₂ x x −

′ = e)

( )

2 2

cos sen

f′ x = x− x

)

c) _f′

( )

_x =₆_xex2

(

₁+_x2

f)

( )

1 2

2 x

x f x

e x −

′ =

15. f es derivable en \−

{ }

2 .

16. 1

3

a= ; f tiene un mínimo en x=3. 17. Dom

( )

f = − −\

{

2, 2

}

A.V. x= −2 y x=2 A.H. y=1

A.O. No tiene por tener A.H. por ambos lados.

Monotonía Extremos locales

f es estrictamente creciente en f tiene un máximo local en x=0

(

−∞ − ∪ −, 2

) (

2, 0

)

MAX

( )

0, 0

f es estrictamente creciente en

(

0, 2

) (

∪ 2,− ∞

)

18. a) Dom

( )

f = − −\

{

2, 0, 3

}

b) Dom

( ) (

, 4

]

3, 2

g = −∞ − ∪⎛_⎜ +∞⎞

⎝ ⎠⎟ c)

( )

3

Dom , 6

2

h = −⎡_⎢ ⎤_⎥

⎣ ⎦

19. a)

(

)( )

(

)

2

3 4 1

2 3

x x

g f x

x x

− − −

− =

−

2

c) 1

( )

3 12

2 3

x f x

x

− ₌ +

−

b)

(

)( )

12 1

(

)

8 3

x f g x

x + =

−

D d)

(

)( )

5 28

27

gDf =

20. a) 1

3 b)

1 4

− c) 2 d) –2

e

(8)

a) c)

b) d)

22. a)

( )

₂

1

x f x

x

′ =

− b)

( )

₍

₎

3

2

1

x f x

x −

′ =

− c)

( )

1 ln 2 2x

x

f′ x = − d)

( )

2 2

3 (3 2)

1

x x f x

x −

′ =

−

(9)

PARA CAMBIAR EL EJERCICIO 10 1. Dada la función

( )

2

3 2

si 3

3

1 3

si 3 1

2 2

6 7 si 1

x

x x

f x x

x x x

− − ⎧

x < −

⎪ ₋

⎪ ⎪

=_⎨ − − − ≤ <

⎪

⎪− + − ≥

⎪⎩ se pide:

a) Estudio analítico de la continuidad. b) Asíntotas.