PRUEBAS DE HIPÓTESIS

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERÍA MEC ÁNICA - ENERGÍA PRUEBAS DE HIP ÓTESIS

Prof. V.Contreras T. En los temas anteriores se explicó como estimar un parámetro a partir de datos muestrales. Sin embargo, en muchos problemas de ingenier´ıa es necesario decidir si se acepta o se rechaza un enuncuado acerca de algún parámetro. Al enunciado se llama hipótesis y al procedimiento para tomar decisiones acerca de la hipótesis se le llama prueba de hipótesis. Se trata de uno de los aspectos más útiles de la inferencia estad´ıstica, ya que muchos problemas de toma de decisiones, pruebas o experimentos en el mundo de la ingenier´ıa pueden formularse como problemas de prueba de hipótesis. Hipótesis Estad´ıstica

Una hipótesis estad´ıstica es un enunciado acerca de los parámetros de una o más poblaciones. Son ejemplos de hipótesis estad´ıstica:

1. la longitud media de un tipo de objetos de 10 cent´ımetros 2. la varianza de la longitud de cierto objeto es 0,25cm2

Hip´otesis simple y compuesta

Definición Se denomina hipótesis simple a cualquier hipótesis estad´ıstica que especifica completamente la distribución de la población, es decir especi-fica la forma de la distribución y el valor de sus parámetros.

Si una hipótesis no especifica completamente la distribución de la población se dice que es una hipótesis compuesta.

Por ejemplo, la hipótesis que establece que el ingreso mensual promedio de los empleados de cierta ciudad esµ= 500 dólares, suponiendo que los ingresos mensuales se distribuyen normalmente con σ = 30 dólares es una hipótesis simple, ya que especifica completamente la distribución de la población. Si se supondr´ıa que σ= 30 dólares yµ6= 500 ó µ <500 ó µ >500, entonces la hipótesis referente a la media es una hipótesis compuesta, pues no especifica la media de la población de los ingresos.

Hip´otesis nula y alternativa

Definición Se denomina hipótesis nula Ho a la hipótesis que es aceptable provisionalmente como verdadera y cuya validez será sometida a compro-bación experimental; y la hipótesis alternativa H1 es una contradicción a la

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Por ejemplo, si se asume queθoes un valor del parámetro desconocidoθde una población cuya distribución se supone conocida, entonces son hipótesis nulas y alternativas respectivamente las siguientes afirmaciones:

1. Ho : θ =θo y H1 : θ 6=θo 2. Ho : θ ≤θo y H1 : θ > θo

3. Ho : θ ≥θo y H1 : θ < θo

Prueba de una hip´otesis estad´ıstica

Para tomar decisiones estad´ısticas se requieren las dos hip´otesis: Ho y H1

referente a un par´ametro θ.

Tipos de pruebas de hip´otesis

El tipo de prueba depende b´asicamente de la hip´otesis alternativaH1.

1. Ho : θ =θo y H1 : θ 6=θo Prueba bilateral o de dos colas.

2. Ho : θ ≤θo y H1 : θ > θo Prueba unilateral de cola a la derecha. 3. Ho : θ ≥θo y H1 : θ < θo Prueba unilateral de cola a la izquierda.

Errores de tipo I, tipo II y nivel de significancia

Definición Se denomina error de tipo I, al error que se comete al rechazar una hipótests nula Ho cuando ésta es verdadera.

Definici´onSe denomina error de tipo II, al error que se comete al aceptar una hip´otests nula Ho cuando en realidad es falsa.

Decisi´on Ho verdadera H1 verdadera

Aceptar Ho decis´ıon correcta Error tipo II RechazarHo Error tipo I decis´ıon correcta

La probabilidad de cometer un error tipo I se denota porα. Entonces, α= P[error tipo I]

α= P[rechazar Ho cuandoHo es verdadera]

La probabilidad de cometer un error tipo II se donota por β. Entonces, β = P[error tipo II]

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Definici´on Se denomina nivel de significancia de una prueba de hip´otesis a la probabilidad de cometer un error de tipo I(α)

Definición La POTENCIA de una prueba es la probabilidad de tomar la decisión acertada de rechazarHocuando ésta es falsa ó de aceptarH1 cuando

´esta es verdadera. La potencia de una prueba es calculada por 1−β.

El nivel de significancia se fija previamente por lo general en α = 0,05 ´o α= 0,01. Si para un valor dado de α, se rechaza la hip´otesisHo, entonces se dice que los resultados muestrales obtenidos no solo son diferentes por efectos del azar sino que son realmente significativamente diferentes al nivel α×100 %.

Para una muestra aleatoria de tama˜no n seleccionado de la poblaci´on en estudio, si α aumenta, entonces β disminuye, y si β aumenta, entonces α disminuye.

Regi´on cr´ıtica y regla de decisi´on

La regla de decisión implica la divisón de la distribución muestral Θ de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: la región de rechazo o región cr´ıtica (R.C) deHo y la región de aceptación (R.A) o no rechazo deHo. Esta división depende de la hipótesis alternativa H1, del nivel de significaciónα y

de la distribuci´on muestral del estadistico.

1. Sea la prueba bilateral Ho : θ=θo contra H1 : θ 6=θo. Dada el nivel

de significaci´on α, esto es la probabilidad de rechazar Ho cuando esta es verdadera, en la distribuci´on de Θ se pueden encontrar los valores cr´ıticos θc1 y θc2 tales que P(Θ < θc1) = α/2 y P(Θ > θc2) = α/2 de

donde se concluye que el intervalo R.C = h−∞, θc1i ∪ hθc2,∞i es la

región de rechazo ó región cr´ıtica de la prueba.

Por otra parte 1−α es la probabilidad de aceptar Ho cuando esto es verdadera, luego de P(θc1 ≤ Θ ≤ θc2) = 1 −α. Se concluye que el

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2. Sea la prueba unilateral de cola derechaHo : θ ≤θo contra H1 : θ >

θo Dado el nivel de significación α, en la distribución de Θ se puede encontrar el valor cr´ıticoθctal queP[Θ> θc] =α, de donde se concluye que el intervalo R.C =hθc,∞i es la región de rechazo ó región cr´ıtica de la prueba.

Por otra parte 1−α, es la probabilidad de aceptar Ho cuando esta es verdadera. Luego de P[Θ ≤ θc] = 1−α se concluye que el intervalo R.A=h−∞, θc] es la regi´on de aceptaci´on de la prueba.

3. Sea la prueba unilateral de cola a la izquierdaHo : θ≥θo contra H1 :

θ < θo. Dado el nivel de significaciónα, en la distribución de Θ se puede encontrar el valor cr´ıticoθctal queP[Θ< θc] =α, de donde se concluye que el intervalo R.C =h−∞, θc] es la región de rechazo ó región cr´ıtica de la prueba.

Por otra parte 1−α, es la probabilidad de aceptar Ho cuando esta es verdadera. Luego de P[Θ ≥ θc] = 1−α se concluye que el intervalo R.A= [θc,∞ies la regi´on de aceptaci´on de la prueba.

Estad´ıstica de prueba

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de dicha estad´ıstica. Una estad´ıstica de prueba tiene la siguiente constituci´on:

Estadistica de prueba= Estadistica relevante−parametro supuesto error estandar de la estadistica relevante Por ejemplo, la estad´ıstica de prueba para la media poblacional es:

E.P = X−µo σ_X para una distribuci´on normal se tiene: σ_X = _√σ

n

Etapas de una prueba de hip´otesis estad´ıstica 1. FijarH0 y H1

2. Fijar el nivel de significancia.

3. Fijar la estad´ıstica de prueba.

4. Se determinan las regiones de rechazo y aceptaci´on. 5. Se determina el valor de la estad´ıstica de prueba (EP).

6. Se compara la estad´ıstica de prueba con los valores cr´ıticos (en el eje horizontal Θ). A base de la comparación se toma la decisión de rechaz-ar o no la hipótesis nula. Si se rechaza la hipótesis nula se acepta la hipótesis alternativa.

NOTA

Decisi´on por el m´etodo del valor de la probabilidad p. Considere el valor de zk en valor absoluto.

p=P[Z > zk] (prueba unilateral cola derecha o izquierda) p= 2P[Z > zk] (prueba bilateral)

La regla de decisi´on con la probabilidad pes:

Se rechaza Ho si p < α. No se rechaza Ho en caso contrario. Ejemplo

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suficiente evidencia para decir que la duraci´on media no es 800? Utilice un nivel de significancia del 0,04.

Soluci´on

Se tienen los siguientes datos:

µ = 800 horas σ = 40 horas X = 788 horas

n = 30 α = 0,04 1. H0 :µ= 800 , H1 :µ6= 800

2. Nivel de significancia α= 0,04 3. La estad´ıstica de prueba es:

Z = X−_σ µ0

√

n

4. Regi´on cr´ıtica: para α= 0,04

z1−α

2 =z0,98= 2,05

Luego

R.C.=]− ∞;−2,05[∪]2,05;∞[ 5. Calculemos el estad´ıstico de prueba (E.P.):

zk =

X−µ0

σ

√

n

= 788−₄₀800

√ 30

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6. Decisión: comozk =−1,643 pertenece a la region de aceptación, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0,04 que la duración media de las bater´ıas no ha cambiado.

Ejemplo

Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71,8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8,9 años. Queremos probar si la vida media hoy en d´ıa es mayor a 70 años con base en esa muestra. La muestra parecer´ıa indicar que es as´ı pero ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra no refleje la verdadera media de la población?. Utilizar un nivel de significancia de 0.05.

Soluci´on

Se tienen los siguientes datos:

µ = 70 años σ = 8,9 años X = 71,8 años

n = 100 α = 0,05 1. H0 :µ= 70 , H1 :µ >70

Z = X−_σ µ0

√

n

P(Z ≥θc) = α⇒P(Z ≥θc) = 0,05⇒P(Z ≤θc) = 0,95⇒θc= 1,64 Luego

R.C. =]1,64;∞[ 5. Calculemos el estad´ıstico de prueba (E.P.):

zk =

X−µ0

σ

√

n

= 71,8₈_,−₉ 70

√ 100

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6. Decisi´on: como zk = 2,02> 1,64 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0,05 que la vida media hoy en d´ıa es mayor que 70 a˜nos.

Ejemplo

Se afirma que en el último ciclo de estudios de la UNAC no más del 30 % de alumnos trabajan y estudia. Para verificar esta sentencia se toma una muestra aleatoria de 300 alumnos del último ciclo de estudios donde se encontró que 75 trabajan y estudian. ¿Se puede seguir manteniendo la primera afirmación con un 95 % de seguridad?

Soluci´on

Se tienen los siguientes datos: P = 0,30 P = 75

300 = 0,25 n = 300

1−α = 0,95⇒α= 0,05 1. H0 :P = 0,30 , H1 :P < 0,30

Z = qP −P P(1−P)

n

P(Z ≤θc) = α⇒P(Z ≤θc) = 0,05⇒θc=−1,64 Luego

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5. Calculemos el estad´ıstico de prueba (E.P.):

zk=

P −P q

P(1−P)

n

= q0,25−0,30

0,30(1−0,30) 300

=−1,889≈ −1,9

6. Decisi´on: como zk = −1,9 < −1,64 se rechaza Ho y se concluye que los alumnos del ´ultimo ciclo de la UNAC trabajan y estudian con una seguridad del 95 %.

Ejemplo

Un fabricante de tornillos asegura que la longitud de un tipo especial de sus tornillos de alta precisión tiene distribución normal con una desviación estandar igual a 0,2 mm. Para probar la especificación de la varaición se tomó una muestra aleatoria de 10 de estos tornillos observandose las sigu-ientes longitudes en milimetros:

20,50 20,80 20,26 20,72 20,69 20,37 20,70 20,32 20,96 20,40

1. al nivel de significancia de 0,05 y con una prueba unilateral, ¿satisface esta producci´on la especificaci´on de la variabilidad de la longitud? 2. obtenga la probabilidad de detectar un incremento de 0,3 mm en la

desviaci´on estandar especificada. Soluci´on

1. De los datos se obtiene: ˆS2 _{= 0,}₀₅₄₅₇

a) H0 :σ2 = 0,22 , H1 :σ2 >0,22

b) Nivel de significancia α = 0,05

c) La estad´ıstica de prueba es:

χ2_(n₋_{1) =} (n−1) ˆS2

σ2

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d) Regi´on cr´ıtica: para α= 0,05 Recordemos que si la prueba es de:

cola a la izquierda,R.C. = (−∞, χ2

α,n−1)

cola a la derecha, R.C.= (χ2

1−α,n−1,∞)

cola bilateral, R.C.= (−∞, χ2

α/2, n−1)∪(χ21−α/2, n−1,∞)

En nuestro caso la prueba es de cola a la derecha, entonces: χ2

1−α =χ20,95 ; 9 = 16,92

Luego

R.C.= (16,92 ; ∞)

e) Calculemos el estad´ıstico de prueba (E.P.):

χ2

k =

9 (0,05457)

0,22 = 12,278

f) Decisi´on: como χ2

k = 12,278 <16,92 se acepta Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0,05 , que la producci´on satisface la especificaci´on de la variabilidad de la longitud.

NotaLa regi´on cr´ıtica tambien es: 9 ˆS2

0,22 >16,92 entonces ˆS2 >0,0752

luego R.C. = (0,0752,∞). El ˆS2 _{= 0,}_{05457 obtenido de los datos no}

pertenece a la R.C, por lo tanto no se debe rechazar Ho

2. La probabilidad de que la prueba detecte un incremento de 0,3mm en la variabilidad de la longitud es:

1−β =P[ ˆS2 >0,0752/ σ= 0,2 + 0,3] De donde se obtiene:

β =P[ ˆS2 _≤_0,₀₇₅₂_{/ σ} _{= 0,}_{5] =} _P_[9 ˆS2

(0,5)2 ≤

9 (0,0752)

(0,5)2 ] = P[χ2(n−1)≤

2,7072] = 0,0252

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Prueba estad´ıstica para dos par´ametros.

Prueba de la raz´on de las varianzas de dos poblaciones Sean varianzas ˆS2

1 y ˆS22 muestrales aleatorias independientes de tama˜nos

n1 y n2 escogidos de una poblaci´on normal 1 y 2 respectivamente, cuyas

varianzas σ2

1 y σ22 se desconocen.

Para docimar Ho : σ21 =σ22 contra H1 : σ21 > σ22 ´o σ21 < σ22 ´o σ21 6= σ22,

Se utiliza la estad´ıstica F (Fisher)con r1 =n1−1 y r2 =n2−1 grados de

libertad dada por

F = ˆ S2 1 σ2 1 ˆ S2 2 σ2 2

La regi´on de rechazo de Ho en la prueba es: F > f1−α , r1,r2 si H1 :σ

2 1 > σ22

F < fα , r1,r2 si H1 :σ

2 1 < σ22

F < fα/2, r1,r2 ´o F > f1−α/2, r1,r2 si H1 :σ

2 1 6=σ22

donde

f1−α , r1,r2 es el valor de F ∼F(r1, r2)/ P[F > f1−α , r1, r2] =α

f1−α/2, r1,r2 es el valor de F ∼F(r1, r2)/ P[F > f1−α/2, r1, r2] =α/2

Recordemos que:

fα , r1,r2 =

1 f1−α , r2,r1

fα/2, r1,r2 =

1 f1−α/2, r2,r1

Ejemplo

Un corredor de valores de la bolsa de Lima realizó un estudio de los porcentajes de rendimiento de las empresas del sector minero y del sector financiero, concluyendo que las tasas de los rendimientos de cada sector tienen distribución normal con variabilidad mayor en el sector minero al nivel de significación 0,05. Para comprobar la hipótesis acerca de la variabilidad, un grupo de trabajo escogió dos muestras aleatorias de las tasas de 10 empresas del sector minero (M) y de 8 empresas del sector financiero (F) observando los siguientes valores de rendimiento en porcentajes:

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¿Cree usted que el grupo de trabajo refutar´a el informe en lo que respecta a la variabilidad?

Soluci´on

De los datos se tiene:n1 = 10 , Sˆ21 = 11,0516 yn2 = 8 , Sˆ22 = 1,88495

1. H0 :σ21 =σ22 , H1 :σ21 > σ22

Fk =

ˆ

S2 1

σ2 1

ˆ

S2 2

σ2 2

∼F(9,7)

f1−0,05 ; 9,7 = 3,68

R.C.= (3,68, ∞) 5. Calculemos el estad´ıstico de prueba (E.P.):

Fk= 5,8629