ıa de Ejercicios N ◦1

Universidad de Santiago de Chile

Departamento de Matem´

atica y C.C.

Ingenier´

ıa Civil

Gu´

ıa de Ejercicios N

₁

Abril del 2011

Autores: Ricardo Santander Baeza, Rodrigo Quezada y Rodrigo Vargas

La matem´atica viene impresa en el cerebro y, s´olo se hace carne cuando palpita en el coraz´on. Objetivo de la gu´ıa

Estimados estudiantes, los profesores de nuestra coordinaci´on les proponemos estos ejercicios con el objetivo de que a trav´es del trabajo que significa analizarlos, comprenderlos y finalmente resolverlos, consigan en primera instancia, en el m´as breve plazo desarrollar competencias adecuadas que les permitan de manera eficiente

[1] Operar con polinomios

[2] Demostrar el valor de verdad de proposiciones l´ogicas, usando tablas de verdad o bien propiedades

[3] Demostrar la validez de f´ormulas proposicionales usando el m´etodo de Inducci´on matem´atica

[4] Determinar r´apida y eficientemente los elementos de sucesiones num´ericas que poseen las propiedades de progre-siones aritm´eticas y geom´etricas

[5] Determinar r´apida y eficientemente cualquier t´ermino de un desarrollo binomial

Y en segunda instancia, la competencia m´as importante para nosotros, es que consigan expresar de manera clara precisa y estructurada sus conclusiones, sin duda esta es la parte m´as compleja y dif´ıcil de realizar, pero tengan certeza que esta propiedad no viene en el ADN, y por tanto quien ya la obtuvo lo hizo s´olo persistiendo en el trabajo, y una buena idea ser´a imitarlo.

Algunas sugerencias [1] Lea cuidadosamente el problema

[2] Reconozca lo que es informaci´on, de lo que es ”incognita”, o lo que a usted se le consulta y debe hacer.

[3] Gestione de forma eficiente la informaci´on

1. Ejercicios Propuestos 1.1. Bases num´ericas y Polinomios.

[1] Demuestre que cualquiera sea la baseB, el n´umero 101010101 no es primo

[2] Demuestre que 121(m)= ((m+ 1)2)(10), enti´endase 10 como base decimal. [3] ¿(a+b)m

−am

−bm

es divisible por (a+b), simes impar?. Justifique su respuesta.

[4] Demuestre que el polinomio (a₋3)2n

+ (a₋2)n

−1 es divisible por (a₋3)(a₋2)

[5] Determinemynde modo que el polinomioq(x) =x4_+mx3_{+ 29x}2_{+nx+ 4} sea un cuadrado perfecto

[6] Determine si existe o no un polinomio p(x) de grado 3 tal que p(1) = 0, y p(₋i) = ₋9 para i = 1,2,3. Si la respuesta es afirmativa, determinep(x)

[7] Determine el conjunto

S = np(x)∈R_[x]|p_x4_{+ 2x}3_{+ 3x}2_{+ 2x+ 1 =p(x)}o [8] Desarrolle si es posible, el polinomiop(x) =x5

−4x4_{+ 3x}3

−6x+ 2 en potencias dex₋2

[9] Factorizaci´on directa de trinomios. Descomponga en factores

(a) p(x) =x5 −x

(b) p(x) = 2x3_{+ 6x}2_{+ 10x} (c) p(x) = 2x3_{+ 6x}2

−10x

(d) p(x) =x4 −5x2

−36

(e) p(x, y) = 3xy+ 15x−2y−10

(f) p(x) = 2xy+ 6x+y+ 3

[10] Factorizaci´on de trinomios usando sustituci´on. Ideas para resolver

Consideremos el trinomio;p(x) = (x₋2)2_{+ 3(x}

−2)₋10 entonces podemos desarrollar el siguiente procedimiento o algoritmo:

• Seau=x₋2

• Sustituyendo enp(x) tenemos que

p(x) = (x₋2)2_{+ 3(x}

−2)₋10_⇐⇒q(u) =u2_{+ 3u} −10 • Resolvemos la ecuaci´on de segundo grado para la variableu.

q(u) = 0 ⇐⇒ u=−3± √

9 + 40 2

⇐⇒ u=−3±7 2

⇐⇒ u=



 

 

u= 2 ∨

u=₋5 ⇐⇒ q(2) = 0∨q(−5) = 0 ⇐⇒ q(u) = (u₋2)(u+ 5) • Volvemos a la variable original y obtenemos:

p(x) = ((x−2)−2)((x−2) + 5) = (x₋4)(x+ 3)

Usando el procedimiento anterior factorice los siguientes:

(a) p(x) = (x₋3)2_{+ 10(x}

−3) + 24

(c) p(x) = (2x+ 1)2_{+ 3(2x+ 1)} −28

(d) p(x) = (3x₋2)2

−5(3x₋2)₋36

(e) p(x) = 6(x₋4)2_{+ 7(x}

−4)₋3

[11] Planteamiento y resoluci´on de ecuaciones polinomiales

A modo de ejemplo, consideremos el problema:

Una sala de clases posee 78 sillas universitarias. Si el n´umero de sillas por fila es uno m´as que el doble del n´umero de filas entonces determine el n´umero de filas y de sillas por fila.

• Planteamiento del problema

Si xes la variable que representa el n´umero de filas entoncesx(2x+ 1) representa el n´umero de sillas por fila, as´ı que

x(2x+ 1) = 78 representa el n´umero total de sillas

• Resolvemos la ecuaci´on 2x2+x−78 = 0

2x2+x₋78 = 0 _⇐⇒ x=−1± √

1 + 624 4

⇐⇒ x=−1±25 4

⇐⇒ x= 6_∨x=₋13 2 • Decidimos la factibilidad de los resultados:

Como el n´umero de filas es un natural, as´ı que desechamos x=₋13

2 y x= 6 es el resultado posible y hay 13 sillas por fila.

Resuelva los siguientes problemas:

(a) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 72

(b) Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno m´as que el doble del otro.

(c) El per´ımetro de un rect´angulo mide 32 cm y su ´area es de 60 cm2_{. Determine las dimensiones del rect´angulo.} (d) Si el largo de un rect´angulo excede en 2 cm al triple de su ancho y su ´area es 56 cm2_{. Determine las}

dimen-siones del rect´angulo.

(e) La suma de las ´areas de dos c´ırculos es 65πcent´ımetros cuadrados. Si el radio del c´ırculo mayor mide un cent´ımetro menos que el doble del radio del c´ırculo menor entonces determine el radio de cada c´ırculo.

[12] Divisi´on de polinomios. Realice las divisiones que se indican:

(a) (x2

−7x₋78)_÷(x+ 6)

(b) (2x3_+x2

−3x+ 1)_÷(x2_+x −1)

(c) (5a3_{+ 7a}2

−2a₋9)_÷(a2_{+ 3a} −4)

(e) (x5_{+ 1)}

÷(x+ 1)

(f) (x5

−1)_÷(x₋1)

[13] Ecuaciones con radicales. Resuelva las ecuaciones (a) √x+ 2 = 7−√x+ 9

(b) √x2_{+ 13x+ 37 = 1} (c) √3

x+ 1 = 4

(d) √3

3x₋1 =₋4

(e) √3

3x₋1 =√3

2₋5x

1.2. L´ogica.

[1] Determine el valor de verdad de las proposicionesp, q, r yssi se sabe que la siguiente proposici´on es verdadera.

[s_⇒((_∼r_⇒r)_∨(r_⇒∼r)))]_⇒[_∼(p_⇒q)_∧s_{∧ ∼}r]

[2] Demuestre usando propiedades que

{[p=⇒(q∧ ∼r)]∧[p∧(q=⇒r)]} ∨ {(p∧q)∨[r∧(∼r∨q)∧p]} ≡p∧q

[3] Sipyqson proposiciones l´ogicas. Demuestre que

[_∃(x) :p(x)_{∧ ∃}(x) :q(x)]_⇒/ [_∃(x) : (p_∧q)(x)]

[4] Sipyqson proposiciones l´ogicas, yAes un conjunto entonces niegue la proposici´on

(_∀(x), x_∈A) : [p(x)_{∧ ∼}q(x)]

[5] ParaAyB conjuntos: Determine la veracidad o falsedad de las proposiciones

(a) A⊂(A∪B)

(b) (A_∩B)_⊂(A_∪B)

(c) (A_∩B)c

⊂Bc

(d) (A_∪B)c

⊂(A_∩B)c

(e) B_⊂(A_∩B)

(f) (A_∪B)c

⊂Ac

[6] ParaAyB conjuntos: Simplifique las proposiciones

(a) (A_∩B)_∪(Ac

∩B)

(b) (A_∪B)c

∪(Ac

∩B)

(c) A∪B∪A

(d) (A_{∪ ∅})_∪A)c

(e) (A_∪B)_∩(A_∪Bc

)_∩(A_∪B)

[7] ParaAyB conjuntos: Demuestre que

(a) A_∪(A_∩B) =A

(b) A_∩[B₋(A_∩B)] =_∅

(c) [(A_∩Bc

)c

−(A_∪Bc

)]_∪(A_∩B) =B

[8] SiAn yBn (∀n;n∈N), son conjuntos. Demuestre que

Bn= n [

i₌₁

Ai, (∀n∈N !

=⇒ ∞

[

i₌₁ Bi=

∞

[

i₌₁ Ai

!

1.3. Inducci´on Matem´atica. [1] Determine si existec∈R_{tal que}

10

X

k=1

(2xk−c)2= 1050, si se tiene que:

9

X

k=1

xk = 50

9

X

k=1

x2k = 100 3

10

X

k=1

xk = 180,

[2] Demuestre que para todo n´umero naturalnse tiene que:

n+1 X k₌₂ k 2 = n+ 2

3 . Donde n k

= n!

k!(n₋k)!.

[3] Demuestre que para todo n´umero naturalnse tiene que:

2(√n+ 1₋1)_≤

n X k=1 1 √ k.

[4] Demuestre usando Inducci´on matem´atica que las siguientes f´ormulas proposicionales son verdaderas:

(a) F(n) :

n X

i=1 1

i2_+i) =

n

n+ 1 (∀n;n∈N) (b) F(n) : n_∈N_{impar =⇒7}n

+ 1 es divisible por 8 (_∀n;n_∈N₎

(c) F(n) : 5n3_{+ 7nes divisible por 6 (}

∀n;n_∈N₎

(d) F(n) : 10n

−1 es divisible por 9 (e) F(n) : 4n

−1 es divisible por 3 (f) F(n) : 8n

−5n

es divisible por 3 (g) F(n) : 10n₊₁

+ 10n

+ 1 es divisible por 3 (h) F(n) : n(n+ 1)(n+ 5) es divisible por 6

(j) F(n) : 22n

+ 5 es divisible por 8 (k) F(n) : x2n−1

+y2n−1

es divisible porx+y

(l) F(n) : 32n+2

−2n+1 _{es divisible por 7}

(m) F(n) : (n+ 1)(n+ 2)_{· · ·}(n+n) = 2n (2n−1)!

(2(n−1))! (∀n;n∈N) (n) SiUn₊₁= (1 +x)Un−nx, (∀n;n∈N), yU₁= 0 entonces

Un =

1

x[1 +nx−(1 +x) n

] (_∀n;n_∈N₎

(o) F(n) : 2n−1

≤n!.(∀n;n∈N₎

(p) F(n) :

n X

k₌₀

(₋1)k _n

k

= 0 (_∀n;n_∈N₎

(q) F(n) : (0_≤r_≤n) =_⇒

_n

r

∈N_(∀n;n∈N₎

(r) SiF(n) : x, y_∈R_{, con 0< x < y, entoncesx}n _{< y}n

(s) F(n) : 2n

> n2_{, n} ≥4 (t) F(n) : 4n

> n4_{, n≥5} (u) F(n) : 3n

>1 + 2n

(v) F(n) : n >(1 + 1/n)n

, n≥3 (w) F(n) : αn

−1> n(α−1),∀α >0 (x) F(n) : (1 +x)n

≥1 +nx,∀x >0 (y) F(n) : 2n−1_{< n!}

(z) F(n) : n!>2n

, n_≥4

1.4. Progresiones.

[1] ¿Cu´antos t´erminos hay que considerar en la progresi´on aritm´etica 5, 9, 13, 17, ...para que su suma sea 10877?

[2] Determine 5 n´umeros reales en progresi´on geom´etrica, tales que la suma de los dos primeros es 24, y la raz´on es la cuarta parte del primer n´umero.

[3] Si en una progresi´on aritm´eticaA, se verifica que: El producto del segundo con el quinto t´ermino es 364, y adem´as la diferencia de estos mismos t´erminos es 15 entonces determine, si es posible la progresi´onA.

[4] Dada la progresi´onT =

_a+b

2 , a, 3a₋b

2 , . . .

.

(a) CalculeS21. La suma de los primeros 21 t´erminos. (b) ExpreseSn usando el operador sumatoria.

[5] SeaS=_{b1, b2, . . .}una sucesi´on de numeros reales, tales que: (a) bm=n;bn =myn6=m

(b) Si adem´as construimos una progresi´on aritm´eticaA=_{a1, a2, . . . ,} tal queai=

1

bi (∀i;i∈N)

entonces demuestre que la diferencia de la progresi´on esd= 1

mn

[6] Dada la progresi´onA=_{a, a+d, a+ 2d, . . . ,_}yS la suma de susn+ 1 primeros t´erminos. Demuestre que

n X k_{=0 n} k

(a+kd) = 2

n S n+ 1

[7] La suma de tres n´umeros en progresi´on geom´etrica es 70. Si se multiplican los n´umeros ubicados en los extremos por 4 y el n´umero ubicado en el centro 5, se obtiene una progresi´on aritm´etica. Determine ambas progresiones.

[8] SeaA={a1, a2, . . .} ⊂Runa progresi´on aritm´etica. Si

n1 X

i₌₁

ai=S1,

n2 X

i₌₁

ai=S2y

n3 X

i₌₁

S1

n1(n2−n3) +

S2

n2(n3−n1) +

S3

n3(n1−n2) = 0

[9] El crecimiento de cierto tipo de bacteria se realiza de la siguiente manera: Cada media hora, cada bacteria se divide en dos. Si en cierto momentot0 existe una cantidadB de bacterias, ¿qu´e cantidad de bacterias existir´ıan pasadas 6 horas desdet0?

[10] Sea_{an | n≥1} una sucesi´on que se encuentra en progresi´on aritm´etica. Si a1 = 4, an = 34 y la suma de los

primerosnt´erminos de la sucesi´on es 247, determinar el valor den.

1.5. Teorema del Binomio. [1] Resolver la ecuaci´on 2_·

2n n

= 7_·

2n−2

n−1

dondenes un n´umero natural

[2] En el desarrollo binomial (√2 +√3

3)5 _{determine el conjunto}

E = {k∈Z_|tk∈Z}, dondetk es el t´ermino de ordenk

[3] Determine el t´ermino independiente dex(si existe) en el desarrollo binomial x3₋ 1

x2 30

[4] Determine el valor deaen el desarrollo binomial

_x

a+

1

x 20

, de tal forma que el t´ermino independiente dexsea

igual al coeficiente dex2

[5] En el desarrollo binomial

x√x+ 1

x2

n

el coeficiente binomial del 3er _{t´ermino es mayor que el coeficiente} bino-mial del 2do _{t´ermino en 44 unidades. Determine, si existe, el t´ermino independiente dex.}

[6] Muestre que el coeficiente del t´ermino central del desarrollo binomial (1 +x)2n

, es igual a la suma de los coefi-cientes de los dos t´erminos centrales del desarrollo binomial (1 +x)2n−1

[7] Dados los desarrollos binomiales

x2+ 1

x n

, y

x3+ 1

x2

n

. Determine el conjunto

T = {n∈N_{| Los terceros t´erminos de los binomios sean iguales}}

[8] Si en el desarrollo binomial (1 +x)43_{, los coeficientes de la posici´on (2m+ 1) y (m+ 2) son iguales. Determine,} si es posible, el valor dem

[9] Determine el coeficiente dexn

en el desarrollo binomial (1₋x+x2_{)(1 +x)}2n+1 [10] En el desarrollo del producto

x+ 2

xy

·

3x2+2

y 13

.

[11] Encuentre el coeficiente de x 15

y6 [12] Encuentre el coeficiente de x

11

y9 [13] En el desarrollo binomialx

a−y

215_{, el t´ermino que contiene ay}22 _{presenta el coeficiente num´erico−}455 27 . De-termine el valor dea

[14] Demuestre que

n X

i=0

[15] Considere los reales positivospyqtales que,p+q= 1. Demuestre que

rk = _n

k

·pk

·qn−k

(0_≤k_≤n) =_⇒

n X

k=0

(k_·rk) =n·p.

1.6. Relaciones.

[1] SeaA={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}yP(A) ={X|X⊂A}. Defina enP(A) la siguiente relaci´on

X R Y _⇔X_{− {}0, 1, 2, 4_}=Y _{− {}0, 1, 2, 4_} .

• Demuestre queRes relaci´on de equivalencia.

• Determine las clases de∅y{5}

[2] SeaA={0, 1, 2, 3, 4} yP(A) ={X |X ⊂A}. Defina enP(A) la siguiente relaci´on

X R Y ⇔X⊂Y

.

Determine las propiedades que cumpleR y confeccione un diagrama que la represente

[3] SiRyS son dos relaciones entonces demuestre que

• (R₋S)−1 =R−1

−S−1 • (S_◦R)−1

=R−1 ◦S−1 [4] SeaRuna relaci´on. Demuestre que

R es transitiva _⇔R_◦R_⊂R

[5] Diremos que una relaci´onRes circular si verifica la siguiente propiedad. aRb_∧bRc=_⇒cRa. demuestre que

R refleja y circular =⇒R es relaci´on de equivalencia

[6] SeanR_⊂A2_yS

⊂A2 _{dos relaciones de equivalencia ¿EsR}

◦S? una relaci´on de equivalencia

[7] SeaW_{={(x, y, z)∈}R3_{|z= 0}. Define en}R3_{la relaci´on}

(x1, y1, z1)R(x2, y2, z2) ⇐⇒ (x1−x2, y1−y2, z1−z2)∈W

• Demuestre queRes una relaci´on de equivalencia

• Demuestre queW_{= (0,0,0)}

• DetermineR3₌n_{(x, y, z)|(x, y, z)∈R}3o

[8] SeaW_{={(x, y, z)∈}R3_{|x+ 2y+ 3z= 0}. Define en}R3 _{la relaci´on}

(x1, y1, z1)R(x2, y2, z2) ⇐⇒ (x1−x2, y1−y2, z1−z2)∈W

• Demuestre queRes una relaci´on de equivalencia

• DetermineR3₌n_{(x, y, z)|(x, y, z)∈R}3o

[9] SeaW_{={p(x) =a0+a1x+a2x}2_∈R_{2[x]|a0−a1= 0}. Define en}R_{2[x] la relaci´on}

p(x)R q(x) _⇐⇒ (p(x)₋q(x))_∈W

• Demuestre queRes una relaci´on de equivalencia

• Demuestre queW_{= 0 + 0x+ 0x}2 • DetermineR_{2[x] =}n_p(x)|p(x)∈R_2[x]o