Cap 4: Ejercicios

(1)

210 Módulo 17

Capítulo 4: Cuadriláteros

1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable.

Figura 1 Figura 2

(2)

211

Geometría Euclidiana

Ejercicios del módulo 17

Figura 7 Figura 8 Figura 9

2. En la figura 10:

Hipótesis: paralelogramo ABCD

M, N, P, Q son puntos medios de

AO, BO, CO y OQ,_{respectivamente} Tesis: MMPQ es un paralelogramo.

3. En la figura 11:

Hipótesis: ΔABC; CH⊥AB M punto medio de AC N punto medio de BC P punto medio de AB Tesis: MNHP es trapecio isósceles

4. Demuestre que los puntos medios de los lados de un trapecio isósceles son los vértices de un rombo.

5. Demuestre que el vértice de un triángulo isósceles y los puntos medios de los lados son los vértices de un rombo.

Figura 10

(3)

(4)

213 Módulos 14 al 17

1. Determine si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.

Si los lados no comunes de los ángulos adyacentes son perpendiculares entre sí, los ángulos son rectos. Un triángulo isósceles tiene tres ángulos agudos.

Un triángulo isósceles puede ser equiángulo. Los ángulos alternos son suplementarios.

La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de dos ángulos interiores. Un ángulo exterior de un triángulo es por lo menos el suplemento de un ángulo interior del triángulo.

En un triángulo rectángulo en el cual un ángulo agudo mide 30º la medida de la hipotenusa es la mitad de la medida del cateto opuesto al ángulo de 30º.

La medida del segmento rectilíneo que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es igual a la medida del tercer lado.

Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas.

Las bisectrices de los ángulos adyacentes de un paralelogramo son perpendiculares. Un paralelogramo es equilátero si tiene dos lados congruentes.

Un trapecio es equilátero si tiene dos lados congruentes.

Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las bases.

Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se cortan en sus puntos medios.

La mediana de un trapecio biseca a cada diagonal.

Las rectas que pasan por los vértices de un paralelogramo, paralelas a las diagonales, forman otro paralelogramo. Las rectas que pasan por los vértices de un cuadrilátero, paralelas a las diagonales, forman un paralelogramo.

2. Determine el(los) cuadrilátero(s) que cumple(n) la propiedad dada.

Los lados opuestos son paralelos. Los lados son congruentes.

Los lados opuestos son congruentes. Las diagonales se bisecan.

Las diagonales bisecan los ángulos. Las diagonales son perpendiculares. Las diagonales son congruentes.

Los ángulos opuestos son suplementarios. Los ángulos adyacentes son suplementarios.

3. Cada una de las siguientes afirmaciones acerca de un cuadrilátero bastaría para demostrar que es paralelogramo o cuadrado, o rectángulo, o rombo. Escriba al final el nombre del cuadrilátero correspondiente. Si la información no es suficiente para ninguno de los cuadriláteros mencionados, al final escriba «ninguno».

4

Cuadriláteros

Capítulo 4

Auto

_Evaluación

(5)

214

Tiene sus lados congruentes _____________________________________________ Tiene dos lados consecutivos congruentes y perpendiculares ____________________ Las diagonales son congruentes __________________________________________ Las diagonales se bisecan ______________________________________________ Las diagonales son perpendiculares y congruentes ____________________________ Cada dos ángulos consecutivos son suplementarios congruentes _________________ Las diagonales son bisectrices de los ángulos correspondientes __________________ Dos lados consecutivos son perpendiculares y congruentes _____________________ Las diagonales son mediatrices entre sí _____________________________________ Una diagonal está contenida en la bisectriz a dos ángulos _______________________ Cada dos ángulos consecutivos (adyacentes) son suplementarios _________________ Dos ángulos consecutivos (adyacentes) son suplementarios _____________________ Una diagonal determina dos triángulos congruentes ____________________________ Cada dos lados consecutivos son perpendiculares _____________________________ Las diagonales son congruentes y mediatrices entre sí __________________________ Dos lados son paralelos y los otros dos son congruentes ________________________ Dos lados son paralelos y dos ángulos opuestos son congruentes _________________ Dos ángulos opuestos son rectos __________________________________________

En cada una de las siguientes figuras (1 a 10) encuentre el valor numérico de la(s) variable(s).

4. 5.

Autoevaluación

6. 7.

(6)

215

8. 9.

Euclidiana

Geometría Euclidiana

10. 11.

12. 13.

(7)

216

De acuerdo con la figura (11 a 20) demuestre lo solicitado.

14. En la figura 11:

Autoevaluación

Figura 11

,

DB AC_diagonales AC corta a DB en O

N− −O M

Tesis: ON ≅ OM

Figura 12

Hipótesis: trapecio ABCD

P y S puntos medios de DA y CB

Tesis: PS biseca las diagonales

Figura 13

Hipótesis: triángulo ABC con AM mediana

l l

M CP≅M BN

(8)

217

Geometría Euclidiana 17. En la figura 14:

Euclidiana

Geometría Euclidiana

Hipótesis: paralelogramo ABCD AP = PB, AB = 2AD Tesis: PD ⊥ PC

Figura 15

Hipótesis: ΔABC equilátero

O punto interior del ΔABC

, , ,

ON BC OM AB OP AC CH AB

⊥ ⊥

Tesis: OM + ON + OP = CH

Figura 16

Hipótesis: ΔABC rectángulo en C

, ,

CH ⊥AB HP⊥AC HN⊥BC CM mediana

Tesis: PN ≅CH, C PNl ≅Bˆ, C NPl ≅ Aˆ, CM ⊥PN

Figura 17

Hipótesis: ΔABC con BQ AN CM, ,

medianas

,

PM ≅ QB PM &QB Tesis: PC≅ AN

(9)

218 Autoevaluación

Autoevaluación

Figura 18

AQ bisectriz de Aˆ

CP bisectriz de Cˆ D−A−P; B−C−Q Tesis: APCQ es un paralelogramo

PF≅ EQ

PDQB es un paralelogramo

Figura 19

Hipótesis: cuadrado ABCD

Las diagonales se cortan en O

MN ⊥PQ; MN∩PQ en O Tesis: PMQN es un cuadrado

Figura 20

Hipótesis: CA = CB; C− −D B

AH = AE; A−K−E−B HF = HI; H − I− E− D F −I−K

(10)

219

Geometría Euclidiana Demuestre las siguientes proposiciones (24 a 36):

24. Si un triángulo tiene dos alturas congruentes, es isósceles.

25. Si dos medianas de un triángulo son perpendiculares a los lados, el triángulo es equilátero.

26. En un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es bisectriz del ángulo entre la altura y la mediana relativas a la hipotenusa.

27. En un triángulo rectángulo la mediana y la altura relativas a la hipotenusa forman entre sí un ángulo que tiene como medida la diferencia de las medidas de los ángulos agudos.

28. En un triángulo ABC cualquiera, CH es la altura y CD es la bisectriz de Cˆ. Si CA > CB, entonces:

l

(

)

m B

( )

ˆ ₂ m A

( )

ˆ m H CD

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟

=_⎜ _⎟

⎝ ⎠

29. La diferencia de las medidas de los ángulos que una bisectriz interior forma con el lado opuesto en un triángulo es igual a la diferencia de las medidas de los ángulos de la base.

30. La medida del ángulo formado por la bisectriz y la altura trazadas desde el mismo vértice de un triángulo es igual a la semidiferencia de las medidas de los ángulos de la base.

31. En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de medida 30º, la mediana y la altura relativas a la hipotenusa trisecan el ángulo recto.

32. Las alturas de un triángulo dividen los ángulos del triángulo en ángulos congruentes dos a dos.

33. Si dos ángulos opuestos de un cuadrilátero son rectos, entonces las bisectrices de los ángulos opuestos son paralelas.

34. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes de un paralelogramo son perpendiculares.

35. En un paralelogramo los segmentos que unen un vértice con el punto medio de los lados opuestos trisecan la diagonal.

36. En todo cuadrilátero los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos y los puntos medios de las diagonales se cortan en sus puntos medios.

37. Sean las rectas A1 y A2 paralelas. Desde el punto A de una de ellas se baja a la otra recta la perpendicular AC y una

oblicua AB. Luego se traza la secante BED con A−E−L tal que DE = 2BE con A y D en la misma recta. Demuestre

que ( ˆ ) 1 ( ˆ ) 3

m DBC = m ABD

38. Un cuadrilátero no convexo ABCD tiene en D un ángulo entrante. Demuestre que ADCˆ situado en el exterior del cuadrilátero tiene por medida la suma de las medidas de los ángulos A, B y C.

(11)

220

AD y se prolonga AB en una longitud BE = BC/2; luego se traza la recta EHF con H punto medio de BC y F en AD.

a. Pruebe que m

( )

l 1

2

ADB = m

( )

ABCl .

b. Pruebe que EA≅ HD.

c. Pruebe que FA = FD = FH.

d. Halle m

( )

AFHˆ y m

( )

ADBˆ si m BAC

( )

ˆ =62º.

40. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un paralelogramo al intersecarse forman un rectángulo. ¿Qué cuadrilá-tero forman si en lugar del paralelogramo se trata de un rectángulo?

41. ABCD es un paralelogramo y M y N son puntos sobre la diagonal AC tales que A−M−N−C. Demuestre que DMBN es un paralelogramo si:

a. DM⊥AC y .BN⊥AC

b. AM ≅ CN.

c. _DM y BN son bisectrices.

42. Por el punto de corte O de diagonales de un paralelogramo ABCD se trazan dos rectas cualesquiera. Una de

ellas corta a AB en E y aCD en F; la otra corta a AD en H y a BC en L. Demuestre que ELFH es un paralelogramo.

43. En un paralelogramo ABCD se unen los vértices B y D al punto medio del lado opuesto. Demuestre que AC queda dividido en tres partes congruentes.

44. Se unen los puntos medios M y N de las bases AB y CD del trapecio ABCD con los puntos medios P y Q de las diagonales AC y BD, respectivamente. Demuestre que MPNQ es un paralelogramo.

45. Sobre los lados de un triángulo ABC se construyen exteriormente los triángulos equiláteros MAB, NBC yPAC. Demuestre que MC = AN = PB.

46. Se construye exteriormente al cuadrado ABCD el triángulo equilátero BCP, e interiormente el triángulo equilátero ABM. Demuestre que los puntos D, M y P son colineales.

47. Sobre los lados AB y CD de un triángulo equilátero ABC se construyen exteriormente los cuadrados ABDP y

ACMN. Demuestre que la altura AH del triángulo es perpendicular a PN, P N &D M y PC⊥BN.

48. En un triángulo ABC, P es el punto medio de la mediana AM, y MQ BPN& con A−N−Q−C. Demuestre que NC = 2AN.

49. Las diagonales del rectángulo ABCD se cortan en O. Por un punto P de AB se traza la recta OP que corta a CDen Q. Por P y Q se trazan paralelas a la diagonal AC, las cuales cortan a BC en M y a AD en N. Demuestre que NPMQ es un paralelogramo y que su semiperímetro es igual a la medida de la diagonal del rectángulo.

(12)

221 Euclidiana

Geometría Euclidiana

50. ABC es un triángulo cualquiera con AB > AC. Se traza la mediana AM. Demuestre que m BMA( ˆ )>m AMC( ˆ ) y

ˆ ˆ

( ) ( )

m CAM >m CAM .

51. En un triángulo ABC, AM, BN y CP son las medianas. Demuestre que si BC > CA > AB, entonces CP > BM > AM.

52. Se da un triángulo equilátero ABC de lado Ay se prolonga BC una longitud CM=A.

Calcule las medidas de los ángulos del triángulo ACM. Muestre que AM ⊥AB.

Se prolongan del mismo modoCA=AN=A y AB=BP=A. Pruebe que el triángulo PMN es equilátero. (Considere el ortocentro O del triángulo ABC.)

Usando el teorema de la paralela media o de la base media, resuelva los ejercicios 53 a 59.

53. La suma de las distancias de los vértices de un triángulo a una recta cualquiera es igual a la suma de las distancias de los puntos medios de los lados a esta recta.

54. La suma de las distancias de los tres vértices de un triángulo a una recta cualquiera es igual a tres veces la distancia del baricentro a esta recta.

55. Por uno de los vértices de un paralelogramo se traza una recta cualquiera y de cada uno de los vértices restantes se traza una perpendicular a la recta. La distancia a la recta del vértice intermedio es igual a la suma o la diferencia de las distancias a la misma recta de los otros dos vértices (teorema de Varignon).

56. La suma de las distancias de los vértices de un paralelogramo a una recta exterior es igual a cuatro veces la distancia del punto de intersección de las diagonales a esta recta.

57. La suma o diferencia de las distancias de un punto dado a dos lados consecutivos de un rombo es igual a la suma o diferencia de las distancias a los otros dos lados.

58. La suma de las distancias de los vértices de un cuadrilátero a una recta cualquiera es igual a cuatro veces la distancia a esta recta del punto de intersección de las rectas que unen dos a dos los puntos medios de los lados opuestos del cuadrilátero.