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Compacidad de la bola unitaria

cerrada en espacios de Banach de

dimensi´

on infinita

Tesis

para obtener el t´ıtulo de:

LICENCIADA EN MATEM ´ATICAS APLICADAS presenta:

Sonia Venancio Guzm´

an

DIRECTOR DE TESIS:

Dr. SALVADOR S ´

ANCHEZ PERALES

CODIRECTOR DE TESIS:

Dr. SERGIO PALAFOX DELGADO

espacios de Banach de dimensi´

on infinita

A mis padres, Esperanza y Albino por todo el apoyo que me han dado.

A mis 7 hermanos, Flor, Eduardo, Leticia, Jes´us, Julieta, Marisol, Albino

”Vive como si fueras a morir ma˜nana y aprende como si el mundo fuera a durar para siempre” Mahatma Gandhi.

Primero que nada le doy gracias a DIOS por haber puesto en mi camino a todas esas personas maravillosas que he conocido hasta ahora, le doy gracias por que en cada etapa de mi vida supo darme el control y la tranquilidad que buscaba.

A mis padres por haberme apoyado de todas las formas posibles, especialmente a la mujer que m´as amo en la vida, mi madre, por haberme mostrado el amor m´as sincero y puro que estoy segura he de conocer en toda la vida y sobre todo por haber ense˜nado que todo se trata de AMOR Y RESPETO hacia uno mismo y para con los dem´as.

A cada uno de mis hermanos por haber estado siempre a mi lado y apoyarme en cada paso que daba, en particular a mi hermana Julieta por haberme apoyado en los momentos m´as dif´ıciles, por haber sido mi gu´ıa en este mi ´ultimo a˜no de carrera y sobre todo por haberme ayudado a encontrar el verdadero prop´osito en mi vida. A mi hermano Jes´us porque aunque ´el no lo sepa gran parte de mi persona es debido a sus ense˜nanzas e infinita bondad.

A cada uno de mis amigos que conoc´ı estando en esta universidad principalmen-te a mi amigo y hermano Luis Edgar Padilla Abid´an no solo por haberme ofrecido una de las amistades m´as sinceras que poseo si no por haberme ense˜nado el verda-dero significado de lo que ello implicaba. “Gracias...Sigo sin saber cu´al es el nombre”.

A Diana Citlalli Casta˜neda por haberme ayudado a modificar muchos aspectos de mi persona de forma positiva y sobre todo por haber formado parte de tan agra-dable etapa en mi vida.

A Elide Luna L´opez amiga inigualable que encontr´e iniciando la universidad, por haber sido para m´ı una de las mujeres que m´as ha marcado mi vida por su independencia, cordura y bondad para con los dem´as.

A Adriana Santiago Herrera y Rocio Velasco Vel´asquez por haber sido para m´ı la viva imagen de firmeza, rectitud, responsabilidad y de amor en mi vida adem´as por la gran paciencia y el apoyo que siempre me ofrecieron sin esperar nada a cambio.

A mi maestro y bailar´ın favorito, Michel L´opez Bravo por haberme devuelto lo que el alg´un momento hab´ıa perdido. . . Mi pasi´on por hacer cada una de las cosas

que hago. . . Sobre todo por ense˜narme a poner en pr´actica lo que ahora se ha vuelto una de mis grandes pasiones en la vida.

Al Dr. Salvador S´anchez Perales y Dr. Sergio Palafox Delgado por haber dirigido esta tesis y por su infinita paciencia y apoyo durante todo el trabajo de investigaci´on.

A cada uno de mis revisores M.M. Vulfrano Tochihuilt Bueno, Dr. Franco Ba-rrag´an Mendoza, M.C. Jos´e Luis Carrasco Pacheco por haber formado parte de este trabajo de investigaci´on ofreci´endome un gran apoyo.

A la M.M. Luz del Carmen ´Alvarez Mar´ın, L.F.M. Juan Carlos Mendoza Santos, Dra. Silvia Reyes Mora, M.E. Ana Delia Olvera Cervantes por haberme apoyado con mis estancias profesionales.

La tem´atica principal de este trabajo de tesis es del tipo topol´ogico. Esta tesis se ha escrito con el prop´osito de presentar variados elementos b´asicos que nos permitan introducirnos al estudio de lo que es “La compacidad de la bola unitaria cerrada en espacios normados de dimensi´on infinita”.

Se sabe que la bola unitaria cerrada en_Rn_{es un conjunto compacto, este}

resulta-do se sigue preservanresulta-do en cualquier espacio normaresulta-do de dimensi´on algebraica finita (vea corolario 2.1.9). Sin embargo, cuando X es un espacio normado de dimensi´on infinita el resultado anterior ya no se cumple (vea ejemplo 2.1.10). Con esto surge el problema de encontrar una topolog´ıa que haga que la bola unitaria cerrada sea compacta. Pero adem´as, se le pide que proporcione “buenas” propiedades aX, como por ejemplo que los funcionales que son continuos con la topolog´ıa generada por la norma sigan siendo continuos con esta nueva topolog´ıa, ´esta es una de las principales razones por las cuales resulta interesante debilitar las topolog´ıas. En esta direcci´on Alaoglu, en [1], muestra usando el teorema de Tychonoff que para todo espacio nor-mado X la bola unitaria cerrada del espacio dual X∗ es compacta en la topolog´ıa

∗−d´ebil σ(X∗, X) (esta topolog´ıa se da en la definici´on 5.4.1), el resultado anterior se conoce usualmente como teorema de Alaoglu. En la presente tesis se expone a detalle la prueba de este teorema.

La topolog´ıa d´ebilσ(X, X∗) paraX, definida como la min´ıma topolog´ıa que hace continua a los funcionales deX∗, ser´a la base de nuestro trabajo para el estudio de la compacidad de la bola unitaria cerrada, cuando X es de dimensi´on infinita. En particular, se har´a evidente que la reflexividad est´a estrechamente ligada con la geometr´ıa de la bola, por tanto nos enfocamos en probar este hecho mostrando que un espacio es reflexivo si y s´olo si la bola unitaria cerrada del espacio es compacta con la topolog´ıa d´ebil, auxili´andonos del teorema de Alaoglu.

As´ı mismo, otros puntos muy importantes a resaltar en este trabajo de inves-tigaci´on es la teor´ıa fundamental que se presenta para abordar nuestro objetivo principal, como el estudio de nociones acerca de lo que hoy conocemos como uno de los tres principios fundamentales del an´alisis funcional, el teorema de Hahn-Banach sobre las extensiones de funcionales present´andola en su forma geom´etrica y forma anal´ıtica. Estos teoremas nos ayudan a probar que la clausura de un conjunto conve-xo con la topolog´ıa fuerte y la d´ebil coinciden. Por otro lado, tambi´en se introducir´an nociones acerca de los espacios reflexivos.

Se da a continuaci´on una descripci´on un tanto m´as detallada de lo que se abor-dar´a en cada uno de los cap´ıtulos.

i) Los espacios normados.

La motivaci´on m´as sencilla para introducir el concepto de norma sobre un

espacio vectorial no es otra que la generalizaci´on de los conceptos de valor absoluto y m´odulo en _R y _C, respectivamente. Las desigualdades de H¨older y Minkowski permiten generalizar estos conceptos para el caso de los espacios `p(K) y Lp(X,S, µ), como puede ver en [22].

ii) Compacidad de la bola unitaria cerrada en espacios normados de dimensi´on finita.

En el cap´ıtulo 2 mostramos el teorema de Bolzano-Weierstrass para espacios normados de dimensi´on finita y con ello se ve que la bola unitaria cerrada en un espacio normado de dimensi´on finita es compacta. Tambi´en se da un ejem-plo en donde se muestra que este resultado falla para espacios de dimensi´on infinita. Se destaca el resultado de F. Riesz, el cual muestra la equivalencia de la compacidad de la bola unitaria cerrada y la dimensi´on finita del espacio. Mostr´andonos con ello que en espacios de dimensi´on infinito las bolas cerradas est´an muy lejos de ser conjuntos compactos.

iii) El teorema de Hahn-Banach.

En el cap´ıtulo 3 presentamos uno de los teoremas m´as significativos del an´alisis funcional, el famoso teorema de extensi´on de “Hahn-Banach” (puede ver [18] y [12]) para el caso real, complejo y sus versiones geom´etricas y anal´ıticas.

iv) Dualidad.

En el cap´ıtulo 4 se da el concepto de espacio dual. Nos permitimos la opor-tunidad de presentar y describir el dual de algunos de los espacios normados cl´asicos. Cabe aclarar que para ciertos espacios normados arbitrarios es bas-tante complejo determinar de manera expl´ıcita a su espacio dual. Adem´as, se muestra un resultado el cual garantiza la no trivialidad del dual de un espacio normado arbitrario (consecuencia que se desprende del teorema de Hahn-Banach versi´on anal´ıtica).

v) Topolog´ıas d´ebiles.

S´IMBOLO DESCRIPCI ´ON P ´AGINA

BX(x0, r) Bola abierta en X centrada en x0 y radio r >0 20

BX[x0, r] Bola cerrada enX centrada en x0 y radio r >0 20

BX Bola unitaria cerrada en X 20

BX∗ Bola unitaria cerrada en X∗ 51

BX∗∗ Bola unitaria cerrada en X∗∗ 51

K Campo de los n´umeros reales o complejos 2

ℵ0 Cardinalidad del conjunto de los n´umeros naturales 13

Uτ Cerradura de U con la topolog´ıa τ 52

dim(X) Dimensi´on de X 83

d(x, A) Distancia de x al conjuntoA⊂X 23

d(x, A) = ´ınf{d(x, y) : y∈A}

X∗ Espacio dual de X;X∗ =B(X,_K) 39

X∗∗ Espacio bidual de X; espacio dual de X∗ 39

SX Esfera unidad de X; SX ={x∈X : kxk= 1} 59

B(X, Y) Espacio de operadores lineales acotados de X en Y 79

C([a, b]) Espacio de funciones continuas sobre [a, b]; 3 C([a, b]) ={f : [a, b]→_K| f es continua }

`p(K) Espacio de las sucesiones en K; 10

`p(K) ={(xn)n∈_N ∈KN:

∞

X

n=1

|xn|p <∞}

`∞(K) Espacio de las sucesiones acotadas; 2

`∞(K) = {(xn)n∈_N: (xn)n∈_N est´a acotada}

Lp(X,S, µ) Espacio de las funciones p−Lebesgue integrables; 15

Lp(X,S, µ) ={f :X →Kmedible :

R

X|f|

p_{dµ <∞}}

{f =α} Hiperplano H ={f =α}={x∈X : f(x) =α} 32

J Inyecci´on can´onica de X enX∗∗ 46

R Identificaci´on can´onica de Riez 41

N(T) N´ucleo de T ∈B(X, Y); N(T) = {x∈X : T(x) = 0} 79

σ(X, X∗) Topolog´ıa d´ebil definida en X 52

Indice general

Introducci´on VII

1. Espacios de Banach 1

1.1. Nota Hist´orica . . . 1

1.2. Introducci´on . . . 2

1.3. Espacios normados . . . 2

1.3.1. Desigualdad de H¨older y Minkowski . . . 3

1.4. Espacios de Banach . . . 8

1.5. Los espacios`p(K) yLp(X,S, µ) . . . 10

1.5.1. Nota hist´orica . . . 10

1.5.2. Los espacios `p(K) . . . 10

1.5.3. Los espacios Lp(X,S, µ) . . . 15

2. Compacidad de BX[0,1]; X de dimensi´on finita 19 2.1. El teorema de Bolzano-Weierstrass . . . 19

2.2. El teorema de F. Riesz . . . 23

3. El teorema de Hahn-Banach 25 3.1. Nota Hist´orica . . . 25

3.2. Introducci´on . . . 25

3.3. Teorema de Hahn-Banach . . . 26

3.4. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach . . . 30

3.4.1. Versi´on anal´ıtica . . . 30

3.4.2. Versi´on geom´etrica . . . 32

4. Espacios duales 39 4.1. Espacios duales . . . 39

4.2. Identificaci´on de algunos espacios duales . . . 40

4.3. Espacios reflexivos . . . 46

5. Topolog´ıas d´ebiles 51 5.1. Introducci´on . . . 51

5.2. Topolog´ıa menos fina que hace continua a una familia de aplicaciones 52 5.3. Topolog´ıa d´ebil . . . 52

5.4. Topolog´ıa?−d´ebil . . . 61

5.5. Compacidad en espacios reflexivos . . . 68

Conclusi´on 75

A. Relaci´on de orden 77

A.1. Lema de Zorn . . . 77

B. Operadores 79

Ap´endice 79

B.1. Operadores . . . 79 B.2. Dimensi´on de un espacio vectorial . . . 83 B.2.1. Existencia de una base para un espacio vectorial . . . 83

C. Topolog´ıa 85

C.1. Compacidad y conjuntos cerrados . . . 85 C.2. Teoremas importantes . . . 87

D. Teor´ıa de la medida 89

D.1. Teor´ıa de la medida . . . 89

Espacios de Banach

“En las matem´aticas es en donde el esp´ıritu encuentra los elementos que m´as ans´ıa: la continuidad y la perseverancia.” Anatole France

1.1.

Nota Hist´

orica

Stephan Banach naci´o el 30 de marzo de 1892 en Cracovia, ciudad perteneciente al Imperio Austro-H´ungaro, actualmente Polonia y muri´o tras la Segunda Guerra Mundial de un c´ancer de pulm´on el 31 de agosto de 1945 en Lw´ow, actualmente Ucraina, fue un matem´atico destacado en la escuela de Matem´atica de Lw´ow [19].

En primavera de 1916, un encuentro casual con Hugo Steinhaus cambia su fu-turo. Steinhaus propone al joven Banach un problema en el que estaba trabajando sin ´exito. A los pocos d´ıas Banach ya ten´ıa la idea principal para la construcci´on del requerido contraejemplo y la publicaci´on de su primer trabajo conjunto. En su tesis doctoral de 1920 present´o la definici´on axiom´atica de los espacios que hoy llevan su nombre (dado por M. Fr´echet), momento en el que para muchos se marca el naci-miento del An´alisis Funcional moderno. En la Introducci´on, de su trabajo Banach afirma [4]:

“El objetivo de este trabajo es demostrar algunos teoremas que son ciertos para diferentes espacios de funcionales (champs fonctionneles). En lugar de probar los resultados para cada espacios de funcionales particular, he optado por un enfoque diferente: considero en general un conjunto de elementos abstractos, para los que postulo una serie de propiedades y demuestro los teoremas de esos conjuntos. En-tonces pruebo que los distintos espacios de funcionales particulares en los que estoy interesado, satisfacen los axiomas postulados...”

Los principales teoremas que aparecen en la tesis de Banach son el “principio de acotaci´on uniforme” (vea 4.3.3) y la forma general del “principio de contracci´on” en un espacio m´etrico completo. Estos teoremas le permiten obtener demostraciones simples y elegantes de varios resultados importantes. No obstante, probablemente la contribuci´on m´as importante que hace Banach en su tesis, es sacar a la luz la noci´on correcta de lo que hoy conocemos como espacio normado, que de modo m´as o menos impl´ıcito, estaba subyacente en gran parte de los art´ıculos previamente aparecidos sobre an´alisis abstracto o funcional.

A modo de curiosidad se˜nalamos su particular estilo de trabajo. Banach sol´ıa pasar horas y horas en los caf´es de Lw´ow, tanto en compa˜n´ıa de sus colaborado-res como en solitario. El ruido y la m´usica nunca perturbaban su concentraci´on. Adem´as, cuando los caf´es cerraban, ´el se marchaba a la estaci´on de tren donde la cafeter´ıa permanec´ıa abierta. All´ı, con un vaso de cerveza, continuaba pensando en sus problemas por un largo tiempo.

1.2.

Introducci´

on

En este primer cap´ıtulo comenzamos dando la definici´on de espacio normado. A partir de esto se busca dar algunos ejemplos de dichos espacios, con lo cual a su vez surge la necesidad de probar algunos resultados que nos ayudan a probar los axiomas de espacio de Banach, por lo cual se prueban las desigualdades de Young, H¨older y Monkowski.

Finalmente dedicamos una secci´on especial al estudio de los espacios `p(K) y Lp(X,S, µ) con 1≤p <∞; claros ejemplos de espacios de Banach.

1.3.

Espacios normados

En esta tesis _K denota al campo de los n´umeros reales _R o al campo de los n´umeros complejos _C y los espacios vectoriales que se consideren estar´an dados sobre _K.

Definici´on 1.3.1. Un espacio normado es un par (X,k · k) formado por un espacio vectorial X y una aplicaci´on k · k : X → _R, llamada norma, con las siguientes propiedades:

(i) Para cada x∈X, kxk ≥0.

(ii) Para toda x∈X,kxk= 0 implica x= 0.

(iii) Para cualesquiera α ∈_K y x∈X, kαxk=|α|kxk.

(iv) La desigualdad del tri´angulo. Para cada x, y ∈X,

kx+yk ≤ kxk+kyk.

Todo espacio normado (X,k · k) es a su vez un espacio m´etrico, pues d(x, y) =

kx−yk es una m´etrica en X. As´ı, todas las nociones de los espacios m´etricos son tambi´en definidas en los espacios normados. En general el rec´ıproco no es cierto.

Consid´erense algunos ejemplos de espacios normados.

Ejemplo 1.3.2. En el espacio de las sucesiones acotadas

`∞(K) = (xn)n∈N ∈KN: (xn)n∈N est´a acotado

la aplicaci´onk · k∞:X →_R, dada por

kxk∞ = sup{|xn|:n∈N}, x= (xn)n∈_N∈`∞(K);

Ejemplo 1.3.3. Sea (Ω, τ) un espacio topol´ogico. Considere el espacio

C(Ω) ={f : Ω→_K| f es continua sobre Ω}.

La aplicaci´on

kfk∞= sup{|f(w)|:w∈Ω}, f ∈C(Ω),

define una norma sobre el espacioC(Ω).

Ejemplo 1.3.4. Consid´erese el espacio _Kn_{. Las aplicaciones siguientes son normas}

para este espacio:

k(x1, x2, ..., xn)k1 =

n

X

k=1

|xk|,

k(x1, x2, ..., xn)k2 =

n

X

k=1

|xk|2

!1₂

,

k(x1, x2, ..., xn)k∞ = sup

1≤k≤n

|xk|.

M´as a´un, podemos ver que para p∈_R, con p > 1

k(x1, x2, ..., xn)kp = n

X

k=1

|xk|p

!1_p

es una norma sobre dicho espacio. Para verificar ´esto, es necesario hacer uso de las desigualdades de H¨older y Minkowski, las cuales se introducen y prueban a continuaci´on.

1.3.1.

Desigualdad de H¨

older y Minkowski

La desigualdad de H¨older, llamada as´ı debido a Otto Ludwing H¨older (1859−

1937) es una herramienta indispensable para el estudio de desigualdades entre inte-grales. H¨older trabaj´o en covergencia de series de Fourier y en 1884 descubri´o dicha desigualdad, ahora conocida con su nombre. Con la desigualdad de H¨older tambi´en se prueba la famosa desigualdad de Minkowski y cuya relevancia recae en el estudio de los espacios`p(K) yLp(X,S, µ) (vea [19]), pues con ella se prueba la desigualdad

triangular.

Para probar las desigualdades de H¨older y Minkowski haremos uso del siguiente lema (desigualdad de Young), el cual apareci´o cuando se buscaban otras maneras de normar al espacio vectorial _Rn.

Lema 1.3.5. (Desigualdad de Young) Si p, q ∈ _R son tales que p, q > 1 y

1

p +

1

q = 1, entonces

ab≤ a

p

p +

bq q,

Demostraci´on: Consid´erese la funci´on f : _R → _R, definida por f(x) = ex_{. Esta}

funci´on satisface que f00(x)>0, para toda x∈_R, entonces f es convexa en _R (vea [9]). Por lo tanto, para cualesquierax, y ∈_R y α≥0,β ≥0 tales que α+β = 1, se cumple:

f(αx+βy)≤αf(x) +βf(y),

esto es,

eαx+βy ≤αex+βey. (1.1)

Obs´ervese que si a= 0 o bien b = 0 la desigualdad es trivial. Sup´ongase as´ı que a >0 y b >0, llamemos

α= 1 p, β =

1

q, x=plog(a), e y=qlog(b).

Sustituyendo en el primer miembro de la desigualdad en (1.1) obtenemos

eloga+logb =elogaelogb =ab y en el segundo miembro se tiene:

1 pe

ploga₊1

qe

qlogb ₌ 1

pe

logap₊ 1

qe

logbq ₌ a p

p +

bq q.

Lo cual prueba que

ab≤ a

p

p +

bq

q,

obteniendose la conclusi´on del lema.

Al par de n´umeros p y q en la desigualdad de Young se llaman exponentes conjugados. Este lema nos sirve para demostrar la siguiente desigualdad.

Desigualdad de H¨older

Lema 1.3.6. (Desigualdad de H¨older) Sean p, q ∈ _R tales que p, q > 1 y

1

p +

1

q = 1. Si x= (x1, x2, x3, . . . , xn) e y = (y1, y2, y3, . . . , yn) son elementos de K n_,

entonces:

n

X

k=1

|xk||yk| ≤ n

X

k=1

|xk|p

!1_{p n} X

k=1

|yk|q

!1_q

.

Esto es,

n

X

k=1

|xk||yk| ≤ kxkpkykq.

Demostraci´on: Si kxkp = 0 o bien kykq = 0 la desigualdad es trivial.

Podemos suponer entonces quekxkp >0 ykykq >0, esto eskxkpkykq >0. Definimos

x0_k= xk kxkp ey

0

k = yk

kykq, para cada 1 ≤k≤n. Se tiene:

n

X

k=1

|x0_k|p

!1_p

=

n

X

k=1

|y_k0|q

!1_q

De la desigualdad de Young se sigue

|x0_k||y_k0| ≤ |x

0

k|p

p +

|y_k0|q

q , para toda 1≤k ≤n.

Luego, sumando sobre k y usando la hip´otesis, obtenemos:

n

X

k=1

|x0_k||y_k0| ≤

n

P

k=1

|x0_k|p

p +

n

P

k=1

|y_k0|q

q =

1 p +

1 q = 1.

Por lo tanto:

n

X

k=1

|xk||yk| ≤

xkpkykq

y la desigualdad se cumple.

Introducimos ahora la desigualdad de H¨older para el caso de las integrales, su demostraci´on es similar al lema anterior.

Teorema 1.3.7. (Desigualdad de H¨older para integrales). Sean(X,S, µ)un espacio de medida (vea definici´on D.1.4), y p, q ∈_R tales que p, q >1 y 1_p +1_q = 1. Si f, g :X →_K son funciones S-medibles, entonces

Z

X

|f g| dµ≤

Z

X

|f|p_dµ

1_pZ

X

|g|q_dµ

1_q

.

En el caso particularp=q= 2 la desigualdad de H¨older se conoce como desigualdad de Schwarz.

Demostraci´on: Llamemos a A = R_Xfpdµ 1

p _{y B =} R

Xg q_dµ1_q

. Se tienen los siguientes casos:

Caso (i): A= 0 o B = 0. Sup´ongase queA= 0. Dado que |f| ≥0, se tiene |f|p _{= 0}

c.t.p.1_{, de modo que |f|= 0 c.t.p., lo cual a su vez implica que |f g| = 0 c.t.p. As´ı}

R

X|f g|dµ= 0.

Caso(ii): A=∞o B =∞. Claramente R_X|f g|dµ≤ ∞.

Caso(iii): 0 < A, B < ∞. Debemos de probar que R_X|f g|dµ ≤ A·B, o de forma equivalente que: Z X f A · g

B dµ≤1. Aplicando la desigualdad de Young a

|f(x)|

A y

|g(x)|

B , para cada x∈X, se tiene que

|f(x)|

A ·

|g(x)|

B ≤

1 p·

|f(x)|p

Ap +

1 q ·

|g(x)|q

Bq , para todax∈X.

As´ı, integrando

Z

X

|f(x)|

A ·

|g(x)|

B dµ(x)≤

1 pAp·A

p

+ 1

qBq·B q

= 1.

Desigualdad de Minkowski

Lema 1.3.8.(Desigualdad de Minkowski)Sip∈_R,p > 1yx= (x1, x2, x3, ..., xn),

y= (y1, y2, y3, ..., yn) son vectores en Kn, entonces n

X

k=1

|xk+yk|p

!1_p

≤

n

X

k=1

|xk|p

!1_p

+

n

X

k=1

|yk|p

!_p1

,

es decir:

kx+ykp ≤ kxkp+kykp.

Demostraci´on: Estimando del siguiente modo obtenemos:

n

X

k=1

|xk+yk|p = n

X

k=1

|xk+yk||xk+yk|p−1

≤

n

X

k=1

(|xk|+|yk|)|xk+yk|p−1

=

n

X

k=1

|xk||xk+yk|p−1 + n

X

k=1

|yk||xk+yk|p−1.

De donde

n

X

k=1

|xk+yk|p ≤ n

X

k=1

|xk||xk+yk|p−1+ n

X

k=1

|yk||xk+yk|p−1.

Por otra parte, de esta desigualdad y de la desigualdad de H¨older paraq = _p−p₁, podemos escribir lo siguiente

n

X

k=1

|xk+yk|p ≤ n

X

k=1

|xk|p

!1_{p n} X

k=1

|xk+yk|(p−1)q

!1_q

+

n

X

k=1

|yk|p

!1_{p n} X

k=1

|xk+yk|(p−1)q

!1_q

=

n

X

k=1

|xk+yk|p

!1_q  

n

X

k=1

|xk|p

!1_p

+

n

X

k=1

|yk|p

!1_p .

Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que

n

X

k=1

|xk+yk|p >0. Despejando,

obtenemos:

n

X

k=1

|xk+yk|p

!1−1_q

≤

n

X

k=1

|xk|p

!1_p

+

n

X

k=1

|yk|p

!_p1

,

de modo que:

n

X

k=1

|xk+yk|p

!1_p

≤

n

X

k=1

|xk|p

!1_p

+

n

X

k=1

|yk|p

!1_p

Haciendo uso del lema 1.3.8, se puede ver que en efecto (_Kn_{,k · k}

p) es un espacio

normado para p >1.

Teorema 1.3.9. Para n ∈ _N, el espacio (_Kn,k · kp), es un espacio normado para

todo p∈_R yp > 1.

Demostraci´on: Las propiedades (i), (ii), (iii) de la definici´on 1.3.1 son inmediatas y la desigualdad triangular se sigue de la desigualdad de Minkowski.

Teorema 1.3.10. (Desigualdad de Minkowski para integrales). Sea(X,S, µ)

un espacio de medida y sea p ∈ _R tal que p > 1. Si f, g : X → _K son funciones S-medibles, entonces:

Z

X

|f+g|p dµ

1_p

≤

Z

X

|f|pdµ

1_p

+

Z

X

|g|pdµ

1_p

.

Demostraci´on: Observe que:

|f +g|p _{=|f +g||f +g|}p−1 _{≤ |f| · |f +g|}p−1_{+|g| · |f +g|}p−1_.

Aplicando la desigualdad de H¨older para integrales a cada uno de los sumandos que est´an a la derecha de la desigualdad anterior para q= _p−p₁, obtenemos:

Z

X

|f| · |f +g|p−1_dµ≤

Z

X

|f|p_dµ

1_pZ

X

|f +g|q(p−1)_dµ

1_q

,

Z

X

|g| · |f +g|p−1_dµ≤

Z

X

|g|p_dµ

1_p Z

X

|f+g|q(p−1)_dµ

1_q

.

De donde, podemos escribir lo siguiente:

Z

X

|f +g|p_dµ≤

" Z

X

|f|p_dµ

1_p

+

Z

X

|g|p_dµ

1_p#

·

Z

X

|f+g|p_dµ

1_q

.

Ahora, si llamamos C = (R_X |f+g|p_dµ)1q_{, se tienen los siguientes casos:}

Caso (i): C = 0. En este caso la desigualdad es trivial.

Caso(ii): C = ∞. Se tiene que R

X|f +g|

p_{dµ=∞. Por otra parte, como la funci´on}

yp _{es convexa sobre (0,∞), se sigue que para cada x∈X,}

|f(x)|

2 +

|g(x)|

2

p

≤ |f(x)|

p

2 +

|g(x)|p

2 ,

de donde:

1

2p|f(x) +g(x)| p _≤ 1

2(|f(x)|

p_+|g(x)|p₎

para todax∈X. Integrando obtenemos:

1 2p

Z

X

|f+g|p_dµ≤ 1

2

Z

X

|f|p_dµ+

Z

X

|g|p_dµ

.

As´ıR_X|f|p_{dµ=∞ o bien} R

X|g|

p_dµ=∞.

Caso (iii): 0< C <∞. Luego

Z

X

|f+g|p_dµ

1−1_q

≤

Z

X

|f|p_dµ

1_p

+

Z

X

|g|p_dµ

1_p

1.4.

Espacios de Banach

Se puede decir que la teor´ıa de los espacios de Banach comienza con la publicaci´on en 1922 de la tesis doctoral de Stefan Banach (vea [4]),“Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur application aux ´equations int´egrales” en Fundamenta Mathematicae, seguida por la publicaci´on del libro Th´eorie des op´erations lin´eares

(1932). Todo esto signific´o el comienzo del estudio de los espacios vectoriales que son dotados de una norma. Desde entonces muchos problemas han sido resueltos, ´

areas nuevas se han desarrollado y muchas otras ´areas en matem´aticas se han ido estableciendo (vea [7]).

Al preguntarnos qu´e consecuencias se pueden desprender del hecho de que un espacio vectorial sea dotado de una norma. Puede verse que si X es un espacio normado, entonces se puede definir una distancia en dicho espacio. Concretamente, podemos ver que la aplicaci´on d : X ×X → _R definida por d(x, y) := kx−yk

es una distancia enX (llamada distancia inducida por la norma). A partir de esta distancia dse puede definir conjuntos, por ejemplo, los que juegan un papel similar a los intervalos en_R, como es el caso de las bolas abiertas definidas como;

BX(x0, r) ={y∈X : ky−x0k< r},

con x0 ∈ X y r > 0. Con esta colecci´on de conjuntos podemos generar una

topo-log´ıa, llamada topolog´ıa de la norma. Sin embargo, cabe aclarar que en esta tesis nos referimos a la topolog´ıa de la norma como topolog´ıa fuerte, esto es debido a que de toda sucesi´on acotada se puede extraerse una subsucesi´on convergente si y s´olo si la dimensi´on del espacio es finita.

Para definir a los espacios de Banach, introducimos algunas definiciones necesa-rias de conocer (puede ver tambi´en [8]).

Definici´on 1.4.1. Un espacio normado (X,k · k) se dice que es completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente en X.

Definici´on 1.4.2. Sea Xun espacio vectorial normado. Diremos que (X,k · k) es un espacio de Banach si (X, d) es un espacio m´etrico completo, donde des la distancia inducida por la norma, es decir, d(x, y) =kx−yk.

Algunos ejemplos de espacios de Banach son:

1. _C con la norma usual.

2. _Rn ={(x1, x2, ..., xn) : xj ∈R, j = 1, ..., n} con la norma:

k(x1, x2, ..., xn)k= n

X

j=1

|xj|2

!1₂

.

3. _Rn con la norma

4. El espacio de las sucesiones acotadas sobre _K,

`∞(K) ={(xn)n∈N ∈KN : sup|xn|

n∈N

<∞}

con la norma

kxk∞= sup

n∈N

|xn|.

5. El espacio c={(xn)n∈_N : xn∈R y l´ımn→∞xn existe} considerando la norma

k · k∞.

6. El espacio c0 ={(xn)n∈N : xn ∈Ry l´ımn→∞xn= 0}con la norma k · k∞.

7. El espacio de las funciones continuasC([a, b]) ={f : [a, b]→_K|f es continua}, con la norma:

kfk∞ = sup

x∈[a,b]

|f(x)|.

Teorema 1.4.3. Sea p∈_R tal que p > 1. El espacio _Rn _{con la norma:}

k(x1, x2, ..., xn)kp = n

X

i=1

|xi|p

!1_p

es un espacio de Banach.

Demostraci´on: Por el teorema 1.3.9, k · kp es una norma para el espacio, as´ı s´olo

resta probar que _Rn es completo. Sean (xk)k∈N, donde xk= (xk1, ..., xkn), una

suce-si´on de Cauchy en X y ε >0. Existe N ∈_N tal que para cualesquierak, m≥N, se tiene:

kxk−xmkp < ε.

De esto se deduce:

|xki−xmi| ≤ kxk−xmkp < ε,

para cualesquiera k, m ≥ N e 1 ≤ i ≤ n. Dada la completitud de _R, existe yi ∈R tal que l´ımxki =yi para toda 1≤i≤n.

Si llamamos y = (y1, y2, ..., yn), resulta que l´ım

k→∞xk = y. En efecto, para cada

i = 1,· · · , n, existe Ni ∈ N tal que para cada k ≥ Ni, |xki −yi| < (_n)

1

p_{. Sean}

N = m´ax{N1,· · · , Nn} y k ≥N, luego:

kxk−ykpp = n

X

i=1

|xki−yi|p < n

ε n =ε.

Por lo tanto l´ım

k→∞xk =y.

1.5.

Los espacios

`

(

K

)

y

L

(

X,

S

, µ

)

1.5.1.

Nota hist´

orica

A finales del sigloXIX nacen los primeros espacios de funcionales “abstractos”. Entre 1904 y 1910, David Hilbert publica una serie de art´ıculos sobre ecuaciones integrales [14, 15] en el G¨ottingen Nachrichten (posteriormente recopilados en el libro Elementos de una teor´ıa general de las ecuaciones integrales lineales, 1912), motivados por los resultados de I. Fredholm. Estos trabajos, junto con la tesis doc-toral (1905) de su alumno E. Schmidt, suponen el nacimiento de la teor´ıa actual de espacios de Hilbert. En el transcurso del desarrollo de toda esta teor´ıa, el espacio de sucesiones de cuadrado sumable`2(R) (espacio que ser´a definido posteriormente) iba

quedando establecida de manera impl´ıcita [22]. Un aspecto importante que Hilbert not´o sobre `2(R) es que en este espacio no se cumple el an´alogo al teorema de la compacidad de Bolzano-Weierstrass en la bola cerrada unitaria [14], pues para que en toda sucesi´on acotada se pueda extraer una subsucesi´on convergente es necesario y suficiente que la dimensi´on del espacio sea finita (vea el cap´ıtulo 2 de esta tesis), lo cual no ocurre en el espacio de sucesiones`2(R). Esto hace que Hilbert considere

la noci´on de lo que actualmente se conoce como “topolog´ıa d´ebil” en `2(R).

Paralelamente a todo esto en 1906, M. Fr´echet desarrolla en su tesis doctoral las nociones de espacio m´etrico, completitud, compacidad y separabilidad. Sin embargo, no es hasta en 1908 que al aplicar estas ideas a los descubrimientos de Hilbert, E. Schmidt en un art´ıculo define expl´ıcitamente el espacio de dimensi´on infinita `2(R) [14], con las nociones actuales de distancia eucl´ıdea, norma, producto escalar,

ortogonalidad e incluso el lenguaje geom´etrico moderno, prob´andose el teorema de la proyecci´on ortogonal y el m´etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt. Otros dos j´ovenes matem´aticos, E. Fischer y F. Riesz descubren el llamado teorema de Riesz-Fischer, seg´un el cual el espacio m´etrico L2([a, b]) es completo (nosotros probamos

estos hechos en la subsecci´on 1.5.3). Esta ´ultima conclusi´on de isomorfismos entre los espacios permiti´o traspasar al ambiente de las funciones de cuadrado integrable (L2([a, b])) todos los resultados que hab´ıa encontrado Hilbert en los espacios`2(R),

permitiendo con ello resolver problemas sobre ecuaciones integrales [20].

En 1910 Riesz, como una generalizaci´on de L2([a, b]) y `2(R), introduce en su

libroLes Syst`emes d’´equations lin´eaires `a un infinit´e d’inconnues los espaciosLp(R)

y`p(R), parap∈[1,∞), con lap−normakfkp =

Rb

a|f|

p1/p_y||x|| p =

_∞

P

n=1

|xn|p

1_p

respectivamente, limit´andose al caso p ≥1 para poder aplicar las desigualdades de H¨older y Minkowski. M´as tarde se demuestra que el dual topol´ogico de `p(R) es

`q(R) con la relaci´on 1p +

1

q = 1, obteniendo con ello el primer ejemplo de espacio

reflexivo no isomorfo a su dual [6, 10, 22].

1.5.2.

Los espacios

`

(

K

)

Consideremos ahora un caso particular de los espacios de Banach. Considerando el espacio vectorial_KN_{, espacio cuyos elementos son sucesiones de escalares. Se define}

para cada p∈_R con p≥1 el siguiente conjunto

`p(K) =

(

(xn)n∈N ∈KN:

∞

X

i=1

|xi|p <∞

)

que se llama espacio de sucesiones. Para demostrar que estos conjuntos son espa-cios vectoriales necesitaremos de las desigualdad de Minkowski. De hecho, con esta desigualdad se prueba que la aplicaci´on k · kp :`p(K)→R dada por:

kxkp =

∞

X

n=1

|xn|p

!1_p

, dondex= (xn)n∈_N ∈`p(K),

es una norma sobre el espacio `p(K). Obs´ervese que para p = 1, `1(K) est´a

forma-do por las series absolutamente convergentes. De esta forma la prueba de que la aplicaci´on k · kp es una norma para p= 1 es inmediata.

Teorema 1.5.1. Sea p ∈ _R con p ≥ 1. El espacio de sucesiones en _K, `p(K), es

subespacio vectorial de _KN_.

Demostraci´on: Sean x= (xn)n∈_N e y = (yn)n∈_N dos elementos de `p(K) y α ∈ K.

Es claro que

∞

X

k=1

|αxk|p =

∞

X

k=1

|α|p_|x

k|p =|α|p

∞

X

k=1

|xk|p <∞,

por tanto αx∈`p(K). Ahora, por la desigualdad de Minkowski:

n

X

k=1

|xk+yk|p

!_p1

≤

n

X

k=1

|xk|p

!1_p

+

n

X

k=1

|yk|p

!1_p

(1.2)

para cada n∈_N. Sin embargo:

n

X

k=1

|xk|p

!_p1

≤ ∞

X

k=1

|xk|p

!_p1

<∞

y

n

X

k=1

|yk|p

!1_p

≤ ∞

X

k=1

|yk|p

!1_p

<∞.

Esto es, para cada n ∈ _N, la parte izquierda de la desigualdad en (1.2) est´a acotada por un n´umero fijo y, por tanto, cuando n → ∞obtenemos,

∞

X

k=1

|xk+yk|p <∞.

Luego x+y ∈`p(K), de esta forma, `p(K) es un subespacio vectorial de KN.

Teorema 1.5.2. Sea p ∈ _R con p ≥ 1, el espacio `p(K) con la aplicaci´on k · kp :

`p(K)→R, definida por:

kxkp =

∞

X

n=1

|xn|p

!1_p

, x= (xn)n∈_N∈`p(K),

Demostraci´on: Claramente se cumplen los axiomas (i) y (ii) de la definici´on de norma, definici´on 1.3.1. Demostremos que se cumplen los axiomas (iii) y (iv). Sean α∈_K y x= (xn)n∈N ey = (yn)n∈N en `p(K). Luego:

kαxkp =

∞

X

k=1

|αxk|p

!_p1

=

∞

X

k=1

|α|p_|x k|p

!1_p

= |α|p

∞

X

k=1

|xk|p

!_p1

=|α| ∞

X

k=1

|xk|p

!_p1

=|α|kxkp.

Por otra parte, por el teorema 1.5.1, x+y ∈ `p(K), as´ı

P∞

k=1|xk +yk|

p _{< ∞.}

Luego por la desigualdad de Minkowski:

kx+ykp =

∞

X

k=1

|xk+yk|p

!1_p

≤ ∞

X

k=1

|xk|p

!1_p

+

∞

X

k=1

|yk|p

!_p1

=kxkp+kykp.

Por lo tanto se afirma que `p(K) es un espacio normado.

Ahora, para ver que en efecto los espacios `p(K) con p > 1 son de espacios de

Banach s´olo resta probar la completitud.

Teorema 1.5.3. Para cada p ∈ _R con p > 1, el espacio `p(K) es completo y por

tanto de Banach.

Demostraci´on: Sea (xn)n∈_N una sucesi´on de Cauchy en `p(K). Expresemos cada

xn como xn = (xn1, xn2, xn3, ...). Para k ∈ N fijo y para cualesquiera xm, xn de la sucesi´on (xn)n∈N se tiene que:

|xnk −xmk| ≤ ∞

X

i=1

|xni −xmi|

p

!1_p

=kxn−xmkp.

As´ı, la sucesi´on (xnk)n∈N es de Cauchy en K y puesto que K es un espacio

completo, se tiene que la sucesi´on es convergente. Para cada k ∈ _N, definimos ak= l´ım

n→∞xnk y pongamos a = (a1, a2, a3,· · ·) la sucesi´on de los l´ımites. Hay que

probar que a est´a en `p(K) y adem´as que es el l´ımite de la sucesi´on dada. Al ser (xn)n∈_N de Cauchy, fijado ε >0, existe n0 ∈ N tal que para cualesquiera n, m≥n0

y para todoN ∈_N:

N

X

k=1

|xnk −xmk|

p _{≤ kx}

n−xmkpp < ε p_.

Por otro lado, podemos hacer que n→ ∞ en la suma finita y obtener:

N

X

k=1

|ak−xmk|

p = l´ım n→∞ N X k=1

|xnk −xmk|

p _≤

εp

para cualesquiera m≥n0 y N ∈N. Por tanto cuando N → ∞, obtenemos:

∞

X

k=1

|ak−xmk|

De esta forma, hemos probado que a−xm ∈ `p(K) cuando m ≥ n0. Pero dado

quexm ∈`p(K), tenemos quea∈`p(K). M´as a´un, de la desigualdad (1.3), se obtiene

queka−xmkp ≤ε.

Observaci´on 1.5.4. El espacio `p(K) es claramente una generalizaci´on del espa-cio (_Rn_{,k · k}

p). Una distinci´on principal entre estos espacios es que (Rn,k · kp) es

de dimensi´on finita (vea ap´endice B.2.3) y `p(K) de dimensi´on infinita. Para ver

este hecho, cabe notar que con ℵ0 nos referimos a la cardinalidad de los n´umeros

naturales.

En efecto, para cada n∈_N consid´erese la sucesi´on en= (δnk)k∈_N, donde

δnk =

(

1, sin =k

0, sin 6=k. (1.4)

Luego

S={en : n ∈N} (1.5)

es un subconjunto linealmente independiente de `p(K). As´ı por el teorema B.2.4,

existe una baseβ de`p(K) tal queS ⊆β. Por lo tanto,ℵ0 =|S| ≤ |β|= dim(`p(K)). El conjuntoS no es una base para `p(K), sin embargo, se cumple que para cada

x= (xn)n∈N ∈`p(K),

x=

∞

X

n=1

xnen.

Esta representaci´on es ´unica. En efecto, dado x = (xn)n∈N ∈ `p(K) y > 0, existe

n0 ∈N tal que para todon > n0, tenemos que

x− n X k=1

xkek

p p

= k(x1, x2, . . .)−(x1, . . . , xn, . . .)kpp

=

∞

X

k=n+1

|xk|p < ,

por tanto,x=

∞

X

n=1

xnen.

Ahora veamos que la representaci´on es ´unica. Supongamos que {βn}n∈N es otra

sucesi´on de escalares tal que x=

∞

X

n=1

βnen. As´ı, dado >0 existe N ∈N tal que

x− n X k=1

xkek

p < 2 y x− n X k=1

βkek

p < 2

siempre que n > N. Sumando estas desigualdades y tomando el l´ımite cuando n→ ∞ obtenemos

0≤ ∞

X

k=1

|xk−βk|p

!_p1

para cada >0, de donde, xk=βk para todo k ∈N.

Consideremos ahora una relaci´on que existe entre los espacios `p(K) para distin-tos valores dep, la cual se puede ver en el siguiente teorema.

Teorema 1.5.5. Si p, q ∈_R son tales que 1≤p < q, entonces

`1(K)⊂`p(K)⊂`q(K).

Adem´as, si x∈`1(K), entonces

kxkq≤ kxkp ≤ kxk1.

Demostraci´on:Seax= (xn)n∈_N∈`p(K), con la condici´on de quekxkp = 1. Luego,

para todon∈_N se cumple que |xn| ≤ kxkp = 1, con lo cual

|xn|q ≤ |xn|p.

Sumando sobre todon ∈_N,

∞

X

n=1

|xn|q ≤

∞

X

n=1

|xn|p,

as´ıx ∈ `q(K) y en consecuencia kxkq ≤ kxkp. Por otra parte, para el caso general

sup´ongase que x 6= 0. Pongamos la sucesi´on y = (yn)n∈_N, donde yn = _kx_xn_kp, y

aplicando lo anterior, es claro que:

kykq ≤ kykp,

esto es,

P∞

n=1|xn|

q

kxkqp

1_q

≤

P∞

n=1|xn|

p

kxkpp

1_p

,

equivalentemente:

(P∞

n=1|xn|

q₎1q kxkp

≤ (

P∞

n=1|xn|

p₎1p kxkp

.

Por lo tanto, kxkq ≤ kxkp.

Con la proposici´on anterior, se tiene que el espacio `p(K) con p≥1 se hace m´as

grande conforme el valor de p aumenta. Adem´as, cabe resaltar que la contenci´on contraria no se da, lo cual es claro de ver al considerar la sucesi´on{1

n

1

p_}

n∈N, que est´a

1.5.3.

Los espacios

L

(

X,

S

, µ

)

Los ejemplos m´as importantes de los espacios vectoriales normados en el contex-to de la teor´ıa de la medida y de la integral de Lebesgue son los que corresponden a los llamados espaciosLp(X,S, µ) (vea [11]) con 1≤p ≤ ∞. Estos espacios adem´as

dieron un gran impulso al desarrollo de la teor´ıa de espacios de Hilbert y espacios normados.

En esta subsecci´on supondremos que (X,S, µ) es un espacio de medida (vea ap´endice D.1.4). Para p∈_R con 1≤p < ∞, se define el conjunto

Lp(X,S, µ) =

f :X →_K f es S-medible y Z

X

|f|p_{dµ <∞}

,

el cual se le conoce como el espacio de funciones de m´odulo p−integrables. De las desigualdades de H¨older y Minkowski, se prueba el siguiente resultado.

Teorema 1.5.6. Si p ∈ _R con p≥ 1, entonces Lp(X,S, µ) es un espacio vectorial

sobre _K y la aplicaci´on k · kp definida por

kfkp =

Z

X

|f|p_dµ

1_p

,

cumple:

i) kf +gkp ≤ kfkp+kgkp, para cada f, g∈Lp(X,S, µ),

ii) kαfkp =|α|kfkp, para cada α∈K y f ∈Lp(X,S, µ).

Demostraci´on: Seanf, g ∈Lp(X,S, µ) y α∈K. Por la desigualdad de Minkowski

para integrales, teorema 1.3.10, se tiene que f +g ∈ Lp(X,S, µ) y kf +gkp ≤

kfkp+kgkp. Adem´as, paraα ∈Kse sigue que αf ∈Lp(X,S, µ) y

kαfkp =

Z

Ω

|αf|p

_p1

=

Z

Ω

|α|p_|f|p

_p1

=|α|kfkp.

De esta forma Lp(X,S, µ) es un espacio vectorial sobre K. En general, note que la aplicaci´on k · kp no es una norma dado que si kfkp = 0 entonces f = 0 c.t.p. (vea

definici´on D.1.8).

Observaci´on 1.5.7. Se denota porLp([a, b]) al espacioLp([a, b],M, m), dondeMy

mson respectivamente laσ-´algebra y la medida de Lebesgue. Claramente el espacio C([a, b]) = {f : [a, b] → _K | f es continua} est´a contenido en Lp([a, b]). De esta

forma, el espacio (C([a, b]),k·kp) tambi´en cumplei)yii)del teorema 1.5.6, pero m´as

a´un, siempre se cumple que sikfkp = 0 entonces,f = 0. Por lo tanto, (C([a, b]),k·kp)

es un espacio normado. No obstante, este ´ultimo espacio tiene una gran desventaja; no es completo. En efecto, si f, fn: [a, b]→K se definen como

fn(x) =

x−a b−a

n

, f(x) =

(

entonces para cadan ∈_N,fn ∈C([a, b]), y

kfn−fkpp =

Z b

a

|fn(x)−f(x)|pdm(x)

=

Z b

a

|fn(x)|pdm(x)

=

Z b

a

x−a b−a

np

dm(x)

= b−a np+ 1

n→∞ → 0,

Por lo tanto, l´ım

n→∞fn = f, de modo que (fn)n∈N es una sucesi´on de Cauchy en

(C([a, b]),k · kp) cuyo l´ımitef no est´a en C([a, b]).

Para obtener un espacio normado del espacio Lp(X,S, µ) se define la relaci´on

de equivalencia: dados f, g ∈ Lp(X,S, µ), f ∼ g si y s´olo si f = g c.t.p. El espacio

cociente Lp(X,S, µ)/∼ con la aplicaci´on

k[f]k=

Z

X

|f|pdµ

1_p

es un espacio normado. Este espacio cociente se puede identificar como el mismo Lp(X,S, µ) debido a que podemos pensar que dos funciones que son iguales salvo

en un conjunto de medida nula son la misma funci´on.

Por ´ultimo, al igual que en los espacios `p(K), se puede ver que tambi´en se da la completitud de los espacios reci´en definidos. Este resultado fue obtenido de forma simult´anea e independiente por F. Riesz y E. Fischer en 1907.

Teorema 1.5.8. (Riesz-Fischer). Si p ∈ _R con p ≥ 1, entonces el espacio

(Lp(X,S, µ), k · kp) es de Banach.

Demostraci´on: Sea (fn)n∈N una sucesi´on de Cauchy enLp(X,S, µ). Paraε= 1/2

i

con i∈_N, existe ni ∈N tal que para cualesquiera n, m≥ni, se tiene

kfn−fmkp <

1 2i

As´ı, ´esto nos permite extraer la subsucesi´on (fni)i∈N tal que

kfni+1−fnikp <

1 2i

para todai∈_N.

Llamemos, ahoragk = k

P

i=1

|fni+1−fni| yg = ∞

P

i=1

|fni+1−fni|. Dado que, para cada

i∈_N, |fni+1 −fni| ∈Lp(X,S, µ), se tiene que gk ∈Lp(X,S, µ). As´ı

kgkkp =

k X i=1

|fni+1−fni|

p ≤ k X i=1

kfni+1−fnikp

<

k

X

i=1

Por otro lado, como l´ım

k→∞gk = g, se tiene tambi´en que l´ımk→∞|gk|

p _{= |g|}p_{, con lo}

cual:

Z

X

|g|p_dµ=

Z

X

l´ım

k |gk|

p_{dµ≤l´ım´ınf} k

Z

X

|gk|pdµ≤1,

donde la pen´ultima desigualdad se debe al lema de Fatou (vea [11]). Luegoges finita

c.t.p. ´Esto nos indica que la serie

∞

P

i=1

(fni+1−fni) es absolutamente convergente c.t.p.,

es decir, existeA⊆Xconµ(A) = 0 tal que para cadax∈X\A,

∞

P

i=1

|fni+1(x)−fni(x)|

converge. Definamos la funci´on:

f(x) =

fn1(x) +

P∞

i=1(fni+1(x)−fni(x)), si x∈X\A;

0, si x∈A.

Obs´ervese que fn1+

k−1

P

i=1

(fni+1−fni) =fnk. Resulta que f(x) = l´ım

k→∞fnk(x) c.t.p.

Probemos quefn→f y que f ∈Lp(X,S, µ).

Dado ε > 0, exite N ∈ _N tal que para cualesquiera n, m ≥ N, se tiene que

kfn−fmkp < ε. Tomando m ≥N, se tiene

kf −fmkpp =

Z

X

|f −fm|pdµ=

Z

X

| l´ım

k→∞fnk −fm|

p

dµ=

Z

X

l´ım

k→∞|fnk−fm|

p

dµ

≤ l´ım´ınf

Z

X

|fnk −fm|

p_{dµ= l´ım´ınfkf}

nk−fmk

p p ≤ε

p_.

De esto, f−fm ∈Lp(X,S, µ) y en consecuencia f ∈Lp(X,S, µ). Por otro lado,

al tener kf−fmkp ≤ε, para toda m≥N, la sucesi´on dada originalmente converge

af.

Observaci´on 1.5.9. Al igual que los espacios `p(K), los espacios Lp(X,S, µ) son

de dimensi´on infinita (vea definici´on B.2.3).

Ejemplo 1.5.10. El espacioL2([a, b]) es de dimensi´on infinita. En efecto, considere

la familia de polinomiosS ={ x−a b−a

n

: n ∈_N}, el cual es un subconjunto

linealmen-te independienlinealmen-te de L2([a, b]), puesto que si p(x) =

k

P

n=1

αn x_b−−a_a

n

= 0, para k ∈ _N

entonces para cualquierl ∈_N

p(l)(a) = 0⇒ αl= 0

con este proceso se pude ver queαi = 0, para todoi= 1,2, . . . , k. As´ı, por el teorema

B.2.4, existe una baseβ de L2([a, b]) tal que S ⊆β. Por lo tanto, ℵ0 =|S| ≤ |β| =

Compacidad de la bola unitaria

cerrada en espacios normados de

dimensi´

on finita

“Era fr´ıa, es cierto, pero tambi´en era tranquila, maravillosamente tranquila y grande, como el tranquilo espacio fr´ıo en que se mueven las estrellas.” Hermann Hesse

La compacidad en espacios normados tiene consecuencias muy importantes. De hecho, que la dimensi´on del espacio sea finita da lugar a algunas caracter´ısticas especiales. Por ejemplo, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra que, en un espacio de dimensi´on finita X, cualquier bola cerrada BX[z, r] de X, es compacta.

Sin embargo, a la hora de tratar con espacios normados de dimensi´on infinita se encuentra con la dificultad de que la bola cerrada BX[z, r] nunca es compacta.

En este cap´ıtulo se prueba esta afirmaci´on. En primer lugar se enuncia uno de los teoremas m´as importantes del an´alisis, el teorema de Bolzano-Weierstrass. Poste-riormente, se dedica una secci´on a el teorema de F. Riesz sobre la compacidad de la bola cerrada, el cual asegura que, incluso dejando a´un lado la estructura del espacio vectorial, la topolog´ıa de un espacio normado es capaz por si sola de decirnos si el espacio tiene o no dimensi´on infinita. Con esto, se llega a establecer la equivalencia entre una propiedad puramente topol´ogica y una propiedad algebraica.

2.1.

El teorema de Bolzano-Weierstrass

Bernhard Placidus Johann Bolzano (1781−1848) era un solitario sacerdote en Bohemia, ´este fue uno de los matem´aticos m´as brillantes y profundos de su ´epoca y sin embargo, por su aislamiento, la mayor´ıa de sus resultados tuvieron que ser redescubiertos posteriormente, de hecho son muy pocos los teoremas que llevan su nombre. Pasaron alrededor de 50 a˜nos para que Weierstrass redescubriera el trabajo de Bolzano (teorema 2.1.2) como un lema en la demostraci´on del teorema de valor intermedio. El resultado fue identificado como significativo por derecho propio, y demostrado una vez m´as por Weierstrass, pasando a ser desde entonces un teorema fundamental del an´alisis, convirti´endose en el famoso teorema que lleva el nombre

de ambos hombres: el teorema de Bolzano-Weierstrass.

Se definen a continuaci´on algunos conjuntos que ser´an utilizados en la tesis.

Definici´on 2.1.1. Sean X un espacio normado, x0 ∈X un punto y r >0. La bola

cerrada con centro en x0 y radio r es:

B[x0, r] ={x∈X : kx0−xk ≤r}.

Cuandox0 = 0 denotamos B[x0, r] como

BX ={x∈X : kxk ≤1}.

Por otro lado, definimos tambi´en las bolas abiertas con centro en x0 y radio r

como sigue:

B(x0, r) = {x∈X : kx0−xk< r}.

Teorema 2.1.2. (Bolzano-Weierstrass)Todo subconjunto infinito y acotado de

K tiene alg´un punto de acumulaci´on.

El teorema de Bolzano-Weierstrass tiene una interesante consecuencia en t´ ermi-nos de sucesiones.

Teorema 2.1.3. (Bolzano-Weierstrass) Toda sucesi´on acotada (αn)n∈_N en K

tiene una subsucesi´on convergente en _K.

Este teorema se puede extender a espacios normados de dimensi´on finita, como mostramos a continuaci´on. Antes probaremos un lema que nos ser´a de ayuda en la prueba del teorema de Bolzano-Weierstrass para el caso de los espacios normados.

Lema 2.1.4.SeanX un espacio normado yn ∈_N. Si{e1, . . . , en}es un subconjunto

linealmente independiente de X, entonces existe c > 0 tal que para cualesquiera

α1, α2, . . . , αn ∈K, se tiene que:

c

n

X

i=1

|αi| ≤

n

X

i=1

αiei

. (2.1)

Demostraci´on: Sean α1, α2, . . . , αn∈K. Pongamos s=|α1|+|α2|+· · ·+|αn|.

Sis= 0, entoncesαi = 0, para todoi= 1,2, . . . , ny la desigualdad es cierta para

todo c. Supongamos que s > 0 y pongamos βi = αi/s para cada i ∈ {1,2, . . . , n}.

Probemos que existec > 0 tal quekβ1e1+β2e2+· · ·+βnenk ≥c, con n

P

i=1

βi = 1.

Supongamos que esto no ocurre, es decir,

kβ1e1+β2e2+· · ·+βnenk< c,

para cada c >0 y donde

n

P

i=1

βi = 1. As´ı, existe una sucesi´on (ym)m∈N de X tal que

l´ım

m→∞kymk= 0 y

ym =β

(m) 1 e1+β

(m)

2 e2+· · ·+βn(m)en con n

X

i=1

Por otra parte, note que las sucesiones (β_i(m))m∈_N para cada i ∈ {1,2, . . . , n}

est´an acotadas, puesto que |β_i(m)| ≤

n

P

i=1

|β_i(m)| = 1 para cada m ∈ _N. Tomemos la sucesi´on (β₁(m))m∈_N. Por el teorema de Bolzano-Weiertrass ´esta sucesi´on posee una

subsucesi´on convergente, digamos a β1, es decir l´ım

j1→∞ β(mj1)

1 =β1. Adem´as, note que

a esta subsucesi´on le corresponde la subsucesi´on (ymj₁)j1∈N de (ym)m.

De manera an´aloga, aplicando este mismo argumento a (ymj₁)j1∈N, por el teorema

de Bolzano-Weiertrass la sucesi´on (β(mj1)

2 )j1∈N posee una subsucesi´on convergente,

digamos (β(mj2)

2 )j2∈N, el cual converge a β2. A esta subsucesi´on le corresponde la

subsucesi´on (ymj2)j2∈N de (ymj1)j1∈N.

Por otra parte observe tambi´en que l´ım

j2→∞ β(mj2)

1 =β1 (puesto que cada

subsuce-si´on de una sucesi´on convergente, converge al mismo l´ımite). De modo que despu´es den pasos se obtiene una subsucesi´on (ymjn)jn∈N de (ym)m∈N tal que

ymjn =

n

X

k=1

β(mjn)

k ek, donde n

X

k=1

|β(mjn)

k |= 1,

y l´ım

jn→∞β

(mjn)

i =βi, para cada i∈ {1,2, . . . , n}. Con todo ´esto, observe que

l´ım

jn→∞

ymjn =

n

X

k=1

l´ım

jn→∞

β(mjn)

k

ek = n

X

k=1

βkek:=y, y

n

X

k=1

|βk| = n X k=1 l´ım

jn→∞β

(mjn)

k = l´ım jn→∞ n X k=1 β

(mjn)

k

= 1.

Esto es, para y =

n

P

k=1

βkek se tiene que n

P

k=1

|βk| = 1. As´ı, con esto ´ultimo, se

obtiene que no todos los βk = 0, al mismo tiempo y dado que los e1, e2, . . . , en son

linealmente independientes se tiene que y 6= 0 (pues de lo contrario βk = 0 para

todo k = 1,2, . . . , n). Por otra parte, como la norma es una aplicaci´on continua se sigue que

l´ım

jn→∞

kymjnk=kyk,

pero como l´ım

m→∞kymk= 0, se obtiene que l´ımjn→∞kymjnk= 0 y en consecuenciakyk= 0.

Por lo tantoy = 0, lo cual no puede ocurrir.

Teorema 2.1.5. (Bolzano-Weierstrass) Si X es un espacio normado de di-mensi´on finita, entonces toda sucesi´on acotada(xn)n∈N en X tiene una subsucesi´on

convergente en X.

Demostraci´on:Sean{e1, e2, . . . , ep}una base deX y (xn)n∈Nuna sucesi´on acotada

enX. Para cada n ∈ _N, sean α1n, α2n, . . . , αpn ∈K tales que xn =α1ne1 +α2ne2 +

· · ·+αpnep. Por el lema 2.1.4, existe c >0 tal que para cada n∈N:

c|αin| ≤c p

X

i=1

|αin| ≤

p X i=1

αinei

Esto implica que para cada i ∈ {1, . . . , p}, (αin)n∈_N es una sucesi´on acotada en

K. Por el teorema 2.1.3, para cadai∈ {1, . . . , p}, existen una subsucesi´on (αink)k∈N

de (αin)n∈N y αi ∈K tales que l´ım

k→∞αink =αi. Pongamosx=

Pp

i=1αiei, luego

kxnk −xk=

p

X

i=1

αinkei−

p

X

i=1

αiei

=

p

X

i=1

(αink −αi)ei

≤

p

X

i=1

|αink −αi|

k→∞ → 0.

Por lo tanto, (xnk)k∈N es una subsucesi´on convergente de (xn)n∈N.

Definici´on 2.1.6. Un subconjuntoAde un espacio topol´ogicoXes secuencialmente compacto, si toda sucesi´on de A contiene una subsucesi´on que converge a un punto deA.

Exiten diversos conjuntos que no son secuencialmente compactos, por ejem-plo, el intervalo (0,1) no es secuencialmente compacto si consideramos la sucesi´on

{1/n}n∈N.

Por otra parte, en espacios m´etricos, la compacidad es equivalente a la compaci-dad secuencial, como se muestra en el siguiente teorema.

Teorema 2.1.7. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A un subconjunto de X. Luego,

A es compacto si y solo si A es secuencialmente compacto.

Sabemos que en _Kn_{, un subconjunto A de}

Kn es compacto si y solo si A es cerrado y acotado. La generalizaci´on de esta proposici´on a espacios de dimensi´on finita sigue siendo v´alida.

Teorema 2.1.8. SeaX un espacio normado de dimensi´on finita. Luego un subcon-junto A de X es compacto si y solo si A es cerrado y acotado.

Demostraci´on: Se sabe que todo subconjunto compacto en un espacio m´etrico es cerrado y acotado, por tanto, s´olo queda probar que si A⊆X es cerrado y acotado entoncesA es compacto. En efecto, seaA⊆X cerrado y acotado, si (xn)n∈N es una

sucesi´on en A entonces (xn)n∈N es acotada y, por el teorema Bolzano-Weierstrass,

teorema 2.1.5, (xn)n∈_N tiene una subsucesi´on (xnk)k∈N convergente enX, digamos a

x. Dado que A es cerrado, x ∈ A. Por lo tanto, A es secuencialente compacto, as´ı

por el teorema 2.1.7,A es compacto.

Corolario 2.1.9. Si X es un espacio normado de dimensi´on finita, entonces el conjunto BX es compacto.

Ejemplo 2.1.10. En el espacio X =`p(K) el conjunto

BX ={x∈X : kxkp ≤1}

con p ≥ 1, es cerrado y acotado, pero no es compacto. En efecto, consideremos la

sucesi´on (xk)k∈N, donde para todo k ∈ N se tiene que xk = (0,0, . . . , k

z}|{

1 ,0, . . .). Claramente kxkkp = 1, luego (xk)k∈N es una sucesi´on en BX. Para cualesquiera

k, j∈_N con k 6=j, se tiene que:

kxk−xjkp = 2

1

p_{. (2.2)}

Supongamos queBX es compacto, luego por el teorema 2.1.7, BX es

secuencial-mente compacto. As´ı existe una subsucesi´on (xnk)k∈N de (xk)k∈N tal que (xnk)k∈N

converge en BX. Por lo tanto, al ser (xnk)k∈N convergente, se tiene que (xnk)k∈N

es una sucesi´on de Cauchy. Esto es, para ε = 1 existe n0 ∈ N tal que para cada

n, m≥n0, se tiene que:

kxn−xmkp <1,

lo cual paran 6=m con n, m≥n0 no puede ocurrir debido a (2.2).

2.2.

El teorema de F. Riesz sobre la compacidad

de la bola cerrada

Para introducirnos a la demostraci´on del teorema de Riesz, se enuncia y prueba el lema 2.2.1, que nos permitir´a verificar que en efecto en el caso de un espacio de dimensi´on infinita la bola unitaria cerrada nunca es compacta.

Lema 2.2.1. (Riesz) Sean X un espacio normado e Y un subespacio vectorial cerrado propio deX. Luego, para cadaθ ∈(0,1), existexθ ∈X\Y tal que kxθk= 1

y

θ ≤d(xθ, Y) = ´ınf{d(xθ, y) : y∈Y}= ´ınf{kxθ−yk: y∈Y} ≤1.

Demostraci´on: Sea v ∈X\Y. Llamemos:

a =d(v, Y) = ´ınf{d(v, y) : y∈Y}= ´ınf{kv−yk: y ∈Y}.

ComoY es cerrado, se tienea >0. Por definici´on de ´ınfimo, para cadaθ∈(0,1), existeyθ ∈Y tal que a ≤ kv −yθk< a_θ. Pongamos xθ = _kv_v−₋y_yθ

θk, luego xθ ∈ X\Y, kxθk= 1 y para cada y∈Y se cumple,

kxθ−yk =

v−yθ

kv−yθk

−y

= 1

kv−yθk

v−yθ− kv−yθky

= 1

kv−yθk

kv−y1k,

con y1 =yθ+kv−yθky. Por otra parte, como y1 ∈Y, se tiene:

con lo cual a su vez:

a

kv−yθk

≤ kv−y1k kv−yθk

=kxθ−yk.

Pero:

θ < a

kv−yθk

,

de donde θ <kxθ −yk para toda y ∈Y y, por tanto, θ ≤ d(xθ, Y). M´as a´un, note

quekxθ−yk=

kv−y1k

kv−yθk ≤

d(v,Y)

kv−yθk ≤1. As´ıd(xθ, Y)≤1.

Ahora consideremos el lema 2.2.1, para demostrar la siguiente caracterizaci´on de los espacios de dimensi´on finita.

Teorema 2.2.2. (F. Riesz)En un espacio normadoX, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) La bola unitaria cerrada BX es compacta.

ii) X tiene dimensi´on finita.

Demostraci´on: i) ⇒ ii). Supongamos que dimX es infinita. Sea x1 ∈ X tal

que kx1k = 1 y consideremos a M1 como el subespacio generado por x1, es decir,

M1 =gen({x1}). Se tiene que dimM1 = 1 y como dimX ≥ ℵ0 entonces M1 6=X.

Por el lema de Riesz, lema 2.2.1, existe x2 ∈X\M1 tal que

kx2k= 1 y d(x2, M1)≥

1 2. Luego {x1, x2} es un conjunto linealmente independiente y

kx2−x1k ≥

1 2.

Sea M2 =gen({x1, x2}). Se tiene que dimM2 = 2. Como dimX ≥ ℵ0, M2 6=X.

Por el lema de Riesz, existe x3 ∈X\M2 tal que

kx3k= 1 y d(x3, M2)≥

1 2.

Luego {x1, x2, x3} es un conjunto linealmente independiente y adem´as

kx3−x1k ≥

1

2 y kx3−x2k ≥ 1 2.

Continuando con este proceso se construye una sucesi´on (xn)n∈_N enBX tal que

kxm−xnk ≥

1 2,

si m ≥ n. Por lo tanto, (xn)n∈N no tiene alguna subsucesi´on convergente, de modo

queBX no es secuencialmente compacto, asi por teorema 2.1.7,BX no es compacto.

ii)⇒i) Esta implicaci´on corresponde al corolario 2.1.9.

El teorema de Hahn-Banach

Las proposiciones matem´aticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad. Albert Einstein (1879-1955)

3.1.

Nota Hist´

orica

Dados un espacio normadoX, un subespacio normado Y deX y una aplicaci´on lineal continua f : Y → _K, es natural preguntarse si existe la posibilidad de pro-longar a f de forma continua a todo el espacio vectorial X, es decir, si podemos encontrar un funcional lineal continuog :X →_K tal que

g(y) = f(y), para cada y∈Y.

M´as a´un, para un espacio normado abstracto X arbitrario, ¿se puede asegurar la existencia de funcionales lineales continuos no nulos?.

El famoso teorema sobre extensi´on de funcionales es el que hoy llamamos el teore-ma de Hahn-Banach (vea [12]), y el cual se debe independientemente al teore-matem´atico austr´ıaco Hans Hahn (1927) y al polon´es Stefan Banach (1929) (vea [17]), quien pr´acticamente con los mismos argumentos de Hahn, obtuvo una versi´on m´as general para un espacio vectorial real, demostrando que todo funcional lineal definido en un subespacio de un espacio vectorial real y dominado por un funcional sublineal, puede ser extendido sobre el espacio total, manteniendo la dominaci´on. Por otro lado, cabe resaltar que la versi´on compleja es debida a Bohnenblust y Sobczyck (1938).

Una de las consecuencias m´as significativas de dicho teorema es precisamente el teorema 3.4.2, que asegura la existencia funcionales lineales continuos en espacios normados no triviales 1. Este es un enunciando crucial en extensi´on de funcionales lineales pues han contribuido al desarrollo de la teor´ıa de la dualidad.

3.2.

Introducci´

on

Dedicamos este cap´ıtulo al estudio del primero de los llamados “Tres principios fundamentales del an´alisis funcional”, nos referimos al teorema de Hahn-Banach.

1_{La extensi´on no es ´unica y la demostraci´on, que utiliza el lema de Zorn, no da ning´un m´etodo}

para encontrar dicha extensi´on.

En este cap´ıtulo se enuncian y prueban las dos versiones anal´ıticas m´as comunes del teorema, el teorema de extensi´on mayorada que es el teorema 3.3.2 y el teorema de extensi´on equin´ormica 3.4.1. Ambos teoremas hacen referencia a la extensi´on de un funcional lineal definido sobre un subespacio de un espacio vectorial (en el segundo caso, de un espacio normado) a un funcional lineal definido sobre todo el espacio.

Tambi´en nos centramos en probar la interpretaci´on geom´etrica del teorema de Hahn-Banach, que consistir´a en encontrar condiciones suficientes para separar dos subconjuntos de un espacio vectorial, obteni´endose un teorema general de separaci´on de conjuntos convexos en espacios vectoriales. Finalmente, deducimos consecuencias interesantes que se desprenden tanto de la versi´on geom´etrica como de la versi´on anal´ıtica del teorema.

3.3.

Teorema de Hahn-Banach

Es necesario recordar un instrumento fundamental en la teor´ıa de conjuntos, el famoso lema de Zorn, lema A.1.8,el cual afirma que todo conjunto parcialmente ordenado no vac´ıo X en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior enX, contiene al menos un elemento maximal. Adem´as, se presentan algunas definiciones importantes antes de abordar el teorema principal.

Definici´on 3.3.1. Sea E un espacio vectorial sobre el campo _K.

1. Una funci´on p : E → _R es un funcional sublineal o subnorma sobre E, si es subaditiva:

p(x+y)≤p(x) +p(y), (3.1)

para cualesquiera x, y ∈E, y positivamente homog´enea si:

p(αx) = αp(x), (3.2)

para cada x∈E y para todo α∈_R+_.

2. Una funci´onp:E →_Res una seminorma sobre E, si es subaditiva (se cumple la desigualdad (3.1)), no negativa y absolutamente homog´enea si:

p(αx) = |α|p(x), (3.3)

para cada x∈E y para todo α∈_K.

3. Se dice que un funcional linealf :E →_R est´a dominado por p, si

f(x)≤p(x)

para cada x∈E.

Note que toda norma es una seminorma y toda seminorma es un funcional su-blineal. Presentamos a continuaci´on el teorema de Hahn-Banach para el caso real.

Teorema 3.3.2. (Hahn-Banach caso real) Sean E un espacio vectorial real,

p : E → _R un funcional sublineal sobre E, M un subespacio vectorial de E y