Funci ´on logar´ıtmica real

(1)

Funciones elementales b´asicas

3.1 INTRODUCCI ´ON

La familiaridad que hemos llegado a tener con funciones como la exponencial, el logaritmo, las funciones trigonométricas, pueden habernos hecho olvidar que en realidad nunca hemos establecido una definición ‘anal´ıtica’ rigurosa de ellas. Mediante consideraciones gráficas, en algunos casos, o confiando en la autoridad de turno en otros, hemos aceptado ciertas propiedades (entre ellas, nada menos que su existencia), de las que hemos ido deduciendo las demás.

Con nuestros conocimientos actuales, este es un buen momento y un buen lugar para ofrecer esa definición rigurosa mediante series de potencias en el campo complejo y mostrar cómo de la definición van saliendo las propiedades que nos son tan ‘conocidas’. No es ésta, desde luego, la única via de construcción posible (pueden introducirse también mediante integrales indefinidas, o como soluciones de ciertas ecuaciones —o sistemas de ecuaciones— diferenciales), pero indudable-mente es la más adecuada al presente curso.

3.2 FUNCI ´ON EXPONENCIAL

Funci´on exponencial

La serie de potencias +∞

n=0

zn

n! tiene radio de convergencia+∞, por lo que podemos

definir en todo C una funci´on como suma de tal serie.

Definici´on 3.1. Se llama funci´on exponencial a la definida por

exp : z ∈C →exp(z) =

+∞

n=0

zn

n! ∈C.

El n´umero exp(1) se denota por e, y suele escribirse ez en lugar de exp(z)

(2)

Propiedades de la exponencial compleja.

(1.1) La funci´on exponencial es derivable (indefinidamente) y su derivada es ella misma: para cada z ∈C,

exp(z) = exp(z).

(1.2) exp(0) =1.

(1.3) Para cada z ∈C,

exp(−z) = 1

exp(z)

con lo que, en particular, exp(z) = 0. Adem´as, para cualesquiera z,w ∈C, exp(z +w) = exp(z) exp(w).

(1.4) Dados n ∈ Ny z ∈ C, exp(nz)es el producto de n factores iguales a exp(z), exp(nz) = exp(z) · · ·n exp(z);

en particular, exp(n) =e · · ·n e.

(1.5) Para cada x ∈ R, tambi´en exp(x) ∈R.

Demostración. (1.1) Basta aplicar la regla de derivación de una función definida

mediante una serie de potencias. (1.2) Obvio.

(1.3) Puede verse directamente a partir de la definición y de la multiplicación de series de potencias. Otra demostración que usa sólo las ‘propiedades diferenciales’ de la exponencial es la siguiente:

Para unw cualquiera en C previamente fijado, definamos

f : z ∈C → f(z) = exp(−z) exp(z +w) ∈ C. Derivando de acuerdo con (1.1),

f(z) = −exp(−z) exp(z +w)+exp(−z) exp(z +w) = 0, luego como C es conexo, f toma constantemente el valor f(0) = exp(w).

Si el w elegido es 0, esto significa que exp(−z) exp(z) = 1 cualquiera que sea z ∈ C. Por consiguiente, volviendo al caso general, de exp(−z) exp(z+w) =

f(0) = exp(w)podemos despejar

exp(z +w) = exp(z) exp(w). (1.4) Se prueba por inducci´on sobre n utilizando (1.3).

(3)

Propiedades de la exponencial real.

(1.6) Para cada x ∈ R,

Exp(x) > 0.

(1.7) La funci´on exponencial real es estrictamente creciente y convexa. En particu-lar, es inyectiva.

(1.8) Se tiene

lim

x→+∞Exp(x) = +∞ , x→−∞lim Exp(x) = 0.

En consecuencia, el conjunto imagen de la funci´on exponencial real es(0,+∞).

Demostraci´on. (1.6) Exp(x) = (Exp(x/2))2 ≥ 0 y Exp(x) = 0.

(1.7) La derivada primera y la derivada segunda de la funci´on exponencial real (que son iguales a ella misma) son estrictamente positivas.

(1.8) Puesto que la funci´on exponencial real es estrictamente creciente,

e = Exp(1) >Exp(0) = 1, luego lim

n Exp(n) = +∞. Nuevamente por la monoton´ıa de la funci´on exponencial,

esto basta para probar que

lim

x→+∞Exp(x) = +∞.

Finalmente, lim

x→−∞Exp(x) = y→+∞lim Exp(−y) = y→+∞lim

1

Exp(y) =0.

Aplicando el teorema de los valores intermedios (Darboux) se sigue que la funci´on exponencial aplica R sobre(0,+∞).

Obsérvese que, según la exposición anterior, todas las propiedades básicas de la función exponencial se deducen realmente de (1.1) y (1.2), que en este sentido pueden ser consideradas sus propiedades “fundamentales”. Esto no es tan sorpren-dente sin pensamos en la unicidad de solución de la ecuación diferencial y = y

con la condici´on inicial y(0) =1.

En lo que sigue volveremos ya a la notaci´on tradicional, ez, para la exponencial de z.

Funci ´on logar´ıtmica real

(4)

Definici´on 3.2. La funci´on logar´ıtmica real

ln : x ∈(0,+∞) →ln x ∈R

es la inversa de la funci´on exponencial, de modo que ln x = y si y s´olo si ey = x.

Por tanto, est´a caracterizada por cumplir

ln(ex) = x cualquiera que sea x ∈R y

eln x = x cualquiera que sea x ∈ (0,+∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial. Propiedades del logaritmo real.

(2.1) La funci´on logar´ıtmica real es derivable indefinidamente, y su derivada es la funci´on 1/x.

(2.2) ln 1 = 0, ln e =1.

(2.3) Para cada x ∈ (0,+∞),

ln 1

x = −ln x .

(2.4) Dados x, y ∈ (0,+∞),

ln(x y) =ln x +ln y .

(2.5) Dados n ∈ Ny x ∈(0,+∞),

ln(xn) =n ln x .

(2.6) El conjunto imagen de la funci´on logar´ıtmica real es R.

(2.7) La funci´on logar´ıtmica real es estrictamente creciente y c´oncava. En particular, es inyectiva.

(2.8) Se tiene

lim

x→+∞ln x = +∞, xlim→0+ln x = −∞.

Demostraci´on. Recordar las propiedades de la funci´on inversa estudiadas para

(5)

3.3 FUNCIONES SENO Y COSENO

Funciones complejas seno y coseno

Definición 3.3. La función seno está definida por

sen : z ∈ C→ sen z = ∞

n=0

(−1)nz2n+1

(2n +1)! ∈C ,

y la funci´on coseno por

cos : z ∈C →cos z = ∞

n=0

(−1)nz2n

(2n)! ∈C .

Estas funciones están bien definidas, pues las series de potencias que figuran en las fórmulas tienen radio de convergencia+∞. Recordando la definición de la función exponencial, las relaciones siguientes son inmediatas:

sen z = e

i z ₋_e−i z

2i , cos z =

ei z +e−i z

2

para cada z ∈ C, con lo que la función exponencial aparece como “más elemental” que el seno y el coseno, en el sentido de que éstas son combinaciones lineales de exponenciales.

Propiedades del seno y coseno complejos.

(3.1) El seno y el coseno son funciones derivables indefinidamente y se cumple para todo z ∈C

sen(z) =cos z, cos(z) = −sen z.

(3.2) El seno es una funci´on impar, mientras que el coseno es una funci´on par: es decir, cualquiera que sea z ∈ Cse tiene

sen(−z) = −sen z, cos(−z) = cos z .

(3.3) Para todos z, w ∈ C,

(6)

(3.4) Para cada z ∈Ces

sen2z +cos2z =1 .

Demostraci´on. (3.1), (3.2), (3.3)

Se siguen directamente de la definición mediante series de potencias o a partir de la expresión en términos de exponenciales.

(3.4)

Se deduce de(3.2) y(3.3), tomando w = −z.

Es instructivo ver cómo también puede probarse esta identidad usando derivación: definiendo f : z ∈ C→ f(z) = sen2z +cos2z ∈ C, a partir de(3.1) obtenemos

f(z) = 2 sen z cos z−2 cos z sen z =0 para todo z de C, luego f toma constantemente el valor f(0) = 1.

De las f´ormulas anteriores se deducen mediante los c´alculos de costumbre otras muchas frecuentemente utilizadas; por ejemplo, las que se recogen en el siguiente ejercicio.

Ejercicio. Dados z, w ∈ C, comprobar que

sen(z −w) =sen z cosw−cos z senw; cos(z −w) =cos z cosw+sen z senw; sen z cosw = 1

2[sen(z +w) +sen(z −w)]; sen z senw = −1

2[cos(z +w)−cos(z −w)]; cos z cosw = 1

2[cos(z +w) +cos(z −w)]; sen 2z =2 sen z cos z;

cos 2z =cos2z −sen2z = 2 cos2z −1; sen 3z =3 sen z −4 sen3z;

cos 3z =4 cos3z −3 cos z

y cualquier otra de las relaciones conocidas sobre las funciones seno y coseno. Funciones seno y coseno reales

(7)

Propiedades del seno y coseno reales.

(4.1) La funci´on seno tiene ceros reales positivos, es decir,

{x >0 : sen x = 0} = ∅ .

Este conjunto posee un elemento m´ınimo, que denotaremos porπ:

π def

= min{x > 0 : sen x =0} .

En el intervalo (0, π), el seno toma valores estrictamente positivos.

(4.2) cosπ = −1; cos π

2 = 0; sen

π

2 = 1.

(4.3) Para conocer la funci´on seno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π

2

. En concreto,

(4.3.1) para cada x ∈ Res

sen(π −x) = sen x = −sen(x +π);

(4.3.2) para cualesquiera x ∈ Ry k ∈Z,

sen(x +2kπ) = sen x,

es decir, el seno real es una funci´on peri´odica de periodo 2π.

(4.4) Para conocer la funci´on coseno en R es suficiente conocerla en el intervalo 0, π

2

. En concreto,

(4.4.1) para cada x ∈ Res

cos(π −x) = −cos x = cos(x +π);

(4.4.2) para cualesquiera x ∈ Ry k ∈Z,

cos(x +2kπ) = cos x,

es decir, el coseno real es una funci´on peri´odica de periodo 2π.

(4.5) La restricci´on de la funci´on seno al intervalo

−π

2,

π

2

es una aplicaci´on estrictamente creciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1,1].

(4.6) La restricción de la función coseno al intervalo [0, π] es una aplicación es-trictamente decreciente (en particular, inyectiva) sobre el intervalo [−1,1].

(8)

(4.8) Dado x ∈ R, se verifica cos x = 0si y s´olo si para alg´un k ∈ Zes x = π

2 +kπ.

Demostraci´on. (4.1) Agrupando sumandos convenientemente, es claro que

sen x > x − x

3

3! > 0 siempre que 0< x ≤ 1 y que

sen 4 <4− 4 3 3! + 45 5! − 47 7! + 49 9! <0,

de donde se deduce que el seno no se anula en(0,1] pero que, según el teorema de Bolzano, debe anularse al menos en un punto comprendido entre 1 y 4. Por tanto, está perfectamente determinado el número real

π =inf{x > 0 : sen x = 0}

y es mayor o igual que 1 (luego> 0). Para asegurar queπ es el m´ınimo del conjunto, o sea, que pertenece a ´el, basta tener en cuenta que es punto adherente del conjunto y emplear la continuidad del seno.

As´ı sen x = 0 para todo x ∈(0, π) y por continuidad el seno debe mantener el signo en todo este intervalo. De acuerdo con la primera desigualdad que hemos escrito, debe ser estrictamente positivo en ´el.

(4.2) Como sen2π + cos2π = 1, se deduce que cos2π = 1 y por tanto cosπ = 1 o cosπ = −1. Pero si cosπ = 1, como cos 0 = 1, el teorema de Rolle dar´ıa la existencia de alg´un punto t ∈ (0, π) en el que se anular´ıa la derivada del coseno, con lo cual ser´ıa sen t =0 contra lo que acabamos de probar.

Puesto que cosπ = 2 cos2 π

2 −1, debe ser cos

π

2 = 0, lo que obliga a que sen2 π

2 = 1. Como 0 <

π

2 < π, sen

π

2 debe ser positivo y por tanto igual a 1.

(4.3)Las igualdades de(4.3.1)son consecuencia de las fórmulas de adición y de los valores previamente calculados. La de (4.3.2)se comprueba por inducción.

Con esto, conociendo los valores del seno en el intervalo

0, π 2

, podemos obtener los valores en el intervalo

_π

2, π

usando que sen x = sen(π −x); por ser el seno impar, pasamos entonces a todo el intervalo [−π, π] y ya por periodicidad a todo R.

(4.4)Similar al apartado anterior.

(4.5)Para cada x ∈ R la igualdad sen2x+cos2x = 1 asegura que|sen x| ≤ 1,

|cos x| ≤ 1. Como sen π

2 = 1 y por tanto sen

−π

2

= −1, la continuidad del seno y la propiedad de Darboux dan como conjunto imagen de

(9)

Para demostrar que el seno (que es continua) es estrictamente creciente en −π 2, π 2

, usamos que es estrictamente positiva en (0, π). En consecuencia, el coseno (que en cada punto x tiene por derivada −sen x) ser´a estrictamente decre-ciente en [0, π], lo que permite afirmar que los valores que alcanza en el intervalo

0, π 2

son estrictamente mayores que cos π

2 = 0; como el coseno es par, lo mismo vale en −π 2, π 2

; y finalmente, como el coseno es la derivada del seno, vemos que ´este ´ultimo es estrictamente creciente en

−π 2, π 2 .

(4.6)Repasar la demostraci´on anterior.

(4.7) Es inmediato que si para alg´un k ∈ Z es x = kπ, se verifica que sen x = 0.

Rec´ıprocamente, sea x ∈R tal que sen x =0. Para un k ∈Z ser´a

x ∈

k− 1

2

π,

k + 1

2

π

. Entonces t = x −kπ ∈ −π 2, π 2

y sen t = sen x cos kπ −cos x sen kπ =0, luego forzosamente t = 0 y x = kπ.

(4.8)Similar a la anterior.

Funciones trigonom´etricas y Trigonometr´ıa

Tenemos ahora dos versiones de las funciones seno y coseno: la ‘versión anal´ıtica’ que venimos explorando y la ‘versión geométrica’ de la Trigonometr´ıa (=medida de

´angulos). La coherencia entre ambas versiones la prueba la siguiente proposici´on,

que a su vez justifica las afirmaciones que hicimos al definir los argumentos de un n´umero complejo no nulo.

Proposici´on. Dados x, y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modo que

cosα = x, senα = y .

Adem´as, para que unβ ∈Rcumpla igualmente que cosβ = x, senβ = y,

es necesario y suficiente que exista un k ∈ Z tal queβ =α +2kπ.

Demostraci´on. Como x ∈ [−1,1], existe al menos un t ∈ R tal que cos t = x.

Entonces sen2t = y2, de donde o bien sen t = y, y tomar´ıamos α = t, o bien

sen t = −y, y bastar´ıa tomar α = −t .

Por periodicidad, igualmente cos(α+2kπ) = x, sen(α+2kπ) = y para todo k ∈Z.

Supongamos ahora que encontramosβ ∈R para el que cosβ = x, senβ = y.

Entonces

(10)

luego por (4.7) existir´a un m ∈ Z tal que β − α = mπ. Si m fuese de la forma 2k +1, k ∈ Z, resultar´ıa cos(β −α) = −1, mientras que

cos(β −α) = x x + y y = x2 + y2 = 1,

por lo que debe ser m = 2k para alg´un k ∈ Z y finalmenteβ = α +2kπ.

Gráficamente, esta proposición significa que para cada punto sobre la circun-ferencia T de centro el origen y radio unidad, hay un número real que mide el ángulo que forma el radio correspondiente al punto con el eje de abscisas, y que dicho número está un´ıvocamente determinado salvo múltiplos enteros de 2π. Una interpretación algebraica nos dir´ıa que la aplicación t ∈ R → ei t ∈ T (que es un homomorfismo entre el grupo aditivo R y el grupo multiplicativo T) es suprayectiva y tiene por núcleo el semigrupo 2πZ, de modo que T es isomorfo al grupo cociente R/2πZ (para este enfoque, ver Cartan, H.: Théorie élémentaire des fonctions

analytiques d’une ou plusieurs variables complexes. Hermann, Paris (1961).)

3.4 DETERMINACIONES DEL ARGUMENTO Y DEL LOGARITMO.

Querr´ıamos definir la función logaritmo como la inversa de la función exponencial. Pero nos encontramos con el problema, a diferencia de R, de que la función expo-nencial no es inyectiva en C. Puesto que el logaritmo es una potente herramienta en la teor´ıa de funciones de variable compleja, vamos a estudiarlo en todo detalle. Valores de la exponencial compleja

Proposici´on.

(5.1) Dado z ∈C, sea x = e z, y = m z. Entonces

ez =ex+i y =ex(cos y +i sen y)

(5.2) Para cada z ∈C

e ez =e e z cos(m z), m ez= e e z sen(m z),

ez = e e z, m z ∈ arg ez.

(5.3) La exponencial compleja no es inyectiva: es periódica de periodo 2πi. Con mayor precisión, dados z,w ∈C, se tiene ez = ew si y sólo si z =w+2kπi

para alg´un k ∈ Z.

(5.4) El conjunto imagen de C mediante la exponencial es C\ {0}. Adem´as, para cada w ∈ C\ {0}, ez =w si y s´olo si

(11)

Demostración. (5.1) Según la fórmula de adición

ez = exei y,

y las f´ormulas que ligan seno y coseno con exponenciales dan cos y +i sen y =ei y.

(5.2)Aplicar lo anterior.

(5.3)Si z = w+2kπi para alg´un k ∈Z, ez = ewe2kπi =ew. Rec´ıprocamente, sea ez = ew. Tomando m´odulos,

e e z =ez = |ew| = e ew,

luego por la inyectividad de la exponencial real e z = ew. Pero entonces

cos(m z)+i sen(m z) = cos(mw)+i sen(mw), o sea

cos(m z) =cos(mw), sen(m z) = sen(mw),

lo que, según hemos visto en la proposición anterior, sólo es posible si m z =

mw+2kπ para alg´un k ∈ Z.

(5.4)Dadow ∈ C\ {0}, sea φ ∈ argw y

z = ln|w| +iφ.

Obviamente ez = w, y cualquier otro complejo cuya exponencial coincida con w ser´a de la forma z +2kπi para alg´un k ∈ Z por lo que acabamos de probar en

(5.3).

Esta informaci´on engloba asimismo informaci´on sobre el comportamiento de otras funciones. Por ejemplo:

Corolario. Los ´unicos ceros del seno y el coseno son sus ceros reales. Expresado de otro modo, si z ∈ C,

sen z = 0 ⇐⇒ z =kπ, k ∈ Z, cos z =0 ⇐⇒ z = π

2 +kπ, k ∈ Z.

Demostraci´on. N´otese que

sen z = 0 ⇐⇒ ei z = e−i z ⇐⇒ e2i z =1 = e0,

cos z = 0 ⇐⇒ ei z = −e−i z ⇐⇒ e2i z = −1 =eiπ.

Determinaciones del argumento y del logaritmo.

(12)

Definición. Dado 0 = z ∈C, diremos quewes un logaritmo de z si expw = z. Por tanto, un número complejo tiene infinitos logaritmos, pero sabemos a qué fórmula responden: misma parte real (el logaritmo real de |z|) y como parte imaginaria un argumento de z,

expw = z ⇐⇒ w = ln|z| +i(φ +2kπ), k ∈ Z, φ ∈ arg z.

Podr´ıamos definir el conjunto

log z = {w : expw = z}

y se tendr´a la igualdad entre conjuntos,

log z = ln|z| +i arg z

Cuando queramos tener una función logaritmo, bastará fijar una ‘función argu-mento’. Por ejemplo, si tomamos el argumento principal, tendr´ıamos la función logaritmo principal. Sin embargo, necesitamos conceptos más flexibles.

Definici´on. Sea ∅ = regi´on, tal que 0∈/ .

1. Diremos queφ : −→ Res una determinaci´on del argumento ensi: i) φ es continua en.

ii) φ(z) ∈ arg z, ∀z ∈, (i.e., eiφ(z) = z

|z|).

2. Diremos que f : −→ Ces una determinaci´on del logaritmo ensi: i) f es continua en.

ii) f(z) ∈ log z, ∀z ∈ , (i.e., ef(z) = z).

Estos dos conceptos están muy relacionados. En efecto, Proposición 1. Sea∅ = región, tal que 0∈/ . Entonces,

φ es una determinaci´on del argumento ⇐⇒ f(z) = ln|z| +iφ(z)es una determi-naci´on del logaritmo.

Demostraci´on.

⇒) Si φ es continua, es claro que f(z) =ln|z| +iφ(z) es continua, y

(13)

⇐) Si f es una determinaci´on del logaritmo, en cada z ∈ , su parte real debe ser ln|z| y su parte imaginaria φ(z) = f(z)−ln|z|

i es una determinaci´on del

argumento, pues es continua y

eiφ(z) = ef(z)e−ln|z| = z/|z|.

Proposici´on 2. Sea∅ = regi´on, tal que 0∈/ .

i) Siφ1, φ2 son dos determinaciones del argumento, entonces

∃k ∈Z, φ1(z) =φ2(z)+2kπ, ∀z ∈.

ii) Si f1, f2 son dos determinaciones del logaritmo, entonces

∃k ∈Z, f₁(z) = f₂(z)+2kπi, ∀z ∈.

Demostraci´on. i) Si φ1(z), φ2(z) ∈ arg z entonces, para cada z ∈ , φ1(z) −

φ2(z) = 2k(z)π, con k(z)entero. La funci´on k : −→ Z es continua, y como es regi´on, su rango debe ser conexo y subconjunto de Z, luego solo puede ser un punto. Es decir, k(z) ≡ k es constante.

ii) Consecuencia de i), o directamente de forma similar.

Ejemplos.

1. El ejemplo más aparente es Arg z, que es una determinación del argumento en la región C\(−∞,0].

La correspondiente determinaci´on del logaritmo en C\(−∞,0] Log z = ln|z| +i Arg z

se llama funci´on logaritmo principal.

Nótese que el dominio de definición de esta función es C \ {0}, pero sólo es continua en C\(−∞,0]. Su restricción a(0,+∞) es el logaritmo real. 2. Análogamente, fijadoα ∈ R, la función Arg_[_α,α₊₂_π) es una determinación del

argumento en C \ {r eiα : r ≥ 0}. Y, la correspondiente determinaci´on del logaritmo es Log_[_α,α₊₂_π)z =ln|z| +i Arg_[_α,α₊₂_π).

(14)

Ω

=

Α∪Β

Α

Β

γ

Β

Α

Β

La funci´on φ : −→ R, definida por

φ(z) =Arg z, si z ∈ A,

φ(z) =Arg z +2π, si z ∈ B,

(el segmento de R− lo debemos incluir en A), es continua eny, en cada punto,

φ(z) ∈arg z. Por tanto, es una determi-naci´on del argumento en .

4.

Sea = C\γ, (γ une continuamente 0 e∞).

La funci´on φ : −→ R, definida por

φ(z) =Arg z, si z ∈ A,

φ(z) =Arg z +2π, si z ∈ B,

es una determinaci´on del argumento en

. 5.

Sea = D(0;2) \ D(0;1). En no existe determinación continua del argu-mento. Supongamos que φ : −→ R lo es. En la región ∗ = \ R−, φ y Arg z son dos determinaciones del ar-gumento y, por tanto, para algún k ∈ Z

φ(z) =Arg z +2kπ, z ∈ ∗.

Pero entonces,φno puede ser continua enporque si z₀ ∈ (−2,−1), los l´ımites de

φ(z)para z → z₀ a trav´es de{z ∈ : m z > 0}o a trav´es de{z ∈ : m z <0} difieren en 2π.

Proposición. Si f es una determinación del logaritmo en entonces f es holo-morfa en. Además,

f(z) = 1

z, ∀z ∈.

Demostraci´on. Fijemos un punto z0 ∈ . Como la derivada de la funci´on expo-nencial es 1 en el punto 0, se tiene

lim

w→0

ew −1

(15)

A partir de aqu´ı, deducimos,

∀ε > 0, ∃δ > 0 |w| < δ ⇒ w

ew −1 −1

< ε|z0|.

Por otro lado, como f es continua en z0, se tiene,

∃δ1 >0 |h| < δ1 ⇒ |f(z0+h)− f(z0)| < δ.

Juntando estos dos hechos, y usando que ef(z) = z, si|h| < δ₁,

f(z0+h)− f(z0)

h −

1

z₀

= f(z0 +h)− f(z0)

ef(z0+h) −ef(z0) −

1

ef(z0)

= 1

|z₀|

f(z0+h)− f(z0)

ef(z0+h)−f(z0)−1 −1

< ε.

Luego, f es derivable en z₀ con derivada 1/z₀. Todav´ıa tenemos mucho m´as.

Proposici´on. Si f es una determinaci´on del logaritmo enentonces f es anal´ıtica en .

Demostraci´on. Sea z0 ∈ . Se verifica 1

z =

1

z₀

1 1+ z −z0

z₀

= ∞ n=0

(−1)n(z −z0)

n

zn₀+1 , |z −z0| < |z0|.

Por tanto, la serie de potencias “primitiva t´ermino a t´ermino” de la anterior ∞

n=0

(−1)n (z −z0)

n+1

(n +1)zn₀+1

es derivable en D(z₀; |z₀|)y su derivada es 1/z. Como ´este tambi´en es el caso de f en un entorno (conexo) de z0, tendremos

f(z) = C +

∞

n=0

(−1)n (z −z0)

n+1

(n +1)zn₀+1

(16)

Observaci´on.

La función Log(1 + z) es holomorfa (y anal´ıtica) en C \ (−∞,−1], por composición. Por cambios de variable, o bien, repitiendo la demostración anterior, obtenemos que el desarrollo en un entorno de 0 es:

Log(1+z) =C +

∞

n=0

(−1)n z

n+1

n+1, |z| < 1

Evaluando la igualdad en z = 0, vemos que el valor de la constante es C = Log 1 = 0.

Finalmente, cambiando el par´ametro de sumaci´on,

Log(1+z) =

∞

n=1

(−1)n+1z

n

n , |z| < 1.

El criterio de Dirichlet garantiza la convergencia de la serie tambi´en para

|z| = 1, z = −1. La suma en tales puntos sigue siendo Log(1+z) (¿por qu´e?). Observaci´on.

En la práctica, convendrá tener cuidado con el siguiente aspecto. Es claro que si φ ∈ arg z, ψ ∈ argw, entonces φ +ψ ∈ arg(zw), pero al particularizar a determinaciones concretas del argumento no siempre se traduce ésto en una igualdad. As´ı, en general,

Arg z +Argw = Arg(zw).

De forma an´aloga, en general,

Log z +Logw = Log(zw),

por ejemplo Log(−1)+Log(−1) = 2πi = 0= Log (−1)(−1), aunque siempre ocurre que

Log z +Logw ∈log(zw).

3.5 EXPONENCIALES Y POTENCIAS ARBITRARIAS

(17)

Definici´on. Dados u, v ∈ C, con u = 0, se define el conjunto

uv = {exp(vα) : α ∈log u}

Podr´ıamos poner brevemente (igualdad entre conjuntos),

uv =exp(vlog u) Los elementos del conjunto uv son, por tanto,

exp{v(ln|u| +i Arg u +2kπi)}, k ∈ Z.

Este conjunto consta, en general, de infinitos elementos. Pero, debido a la periodici-dad de la funci´on exponencial, estos elementos podr´ıan repetirse y dar un conjunto finito. De hecho, es muy f´acil probar que:

i) Si n ∈ N, un consta de un solo elemento. Precisamente, u.u. . . .n)u.

ii) u0 =1.

iii) Si n ∈ Z−, un = 1

u−n.

iv) Si n ∈N, u1/n consta de n elementos, justamente las n ra´ıces n-ésimas de u. Ahora, bastará precisar la elección de logaritmos para tener funciones expo-nenciales y potenciales

1. Dado a =0, la funci´on

f(z) = az = exp(z Log a)

es la función exponencial de base a. Es decir, a no ser que se indique lo contrario, la expresión azindicará que estamos tomando el logaritmo principal. Es claro que es una función entera (de hecho, anal´ıtica en C), pues sólo se diferencia de la exponencial por el factor constante Log a.

2. Dado α ∈ C, también usaremos la notación zα para indicar la elección del logaritmo principal.

f(z) = zα =exp(αLog z), z ∈C\ {0}.

(18)

Cuando el parámetro α es entero, es claro que, de hecho zα es holomorfa en C\ {0}. Y si es natural, es holomorfa en C (definiéndola como 0 en 0). En cualquier otro caso, no puede ser holomorfa más allá de C\R−, pues es fácil ver que en los puntos de R− no es cont´ınua.

Desarrollo de (1+z)α en serie de potencias centrada en 0.

Por razones obvias, se considera(1+z)α(y no zα) para desarrollar en potencias de z. En todo caso, es claro que simples cambios de variable llevan la informaci´on de una funci´on a otra.

Denotemos

f(z) = (1+z)α = exp(αLog(1+z)),z = −1.

Esta función es anal´ıtica en C\(−∞,−1] (por composición de anal´ıticas) y, por tanto, es anal´ıtica en 0. Esto, teóricamente, nos dice que existe una serie de potencias centrada en 0 con radio R > 0, tal que

f(z) =

∞

n=0

anzn

en un entorno de 0. Si derivamos por la regla de la cadena,

f(z) = αf(z)

1+z

y, as´ı, se debe cumplir la ecuaci´on

(1+z)f(z)−αf(z) = 0. (1)

Por otra parte, la derivada de f es

f(z) =

∞

n=1

a_nnzn−1

Entonces, la ecuaci´on (1) queda ∞

n=1

a_nnzn−1 +

∞

n=1

a_nnzn −α

∞

n=0

a_nzn

= (a1 −αa0)+ ∞

n=1

(19)

en un entorno del origen. Luego todos los coeficientes deben ser 0, o sea,

(n+1)an+1 = (α −n)an, n = 0,1,2, . . .

Empezando con a₀ = f(0) =1, es f´acil comprobar por inducci´on que

a_n = α(α −1) . . . (α −n+1) n!

Llamaremos a esta ´ultima cantidad n ´umero combinatorio generalizado y deno-taremos (paraα ∈ C)

α

n

= α(α −1) . . . (α −n+1)

n! , n ∈ N;

α

0

= 1.

Por tanto, hemos obtenido

(1+z)α =

∞

n=0

α

n

zn, (2)

en un entorno del origen.

Por último, observemos que siα es un número natural, α_n= 0 si n > α y la ecuación (2) no es otra cosa que la fórmula del binomio de Newton.

En otro caso, es f´acil ver que la serie en (2) tiene radio R = 1. Tanto f como la serie son anal´ıticas en D(0;1) y coinciden en un entorno del origen. Entonces, por el P.P.A. tendremos

(1+z)α =

∞

n=0

α

n

zn, |z| < 1.

Ra´ız cuadrada principal.

Cuando se particulariza lo anterior para el exponente α = 1/2, obtenemos el conjunto de las ra´ıces cuadradas y la ra´ız cuadrada principal. Nos encontramos ahora con un buen l´ıo de notación: ¿qué significa z1/2? ¿qué significa √z? Los

(20)

En todo lo que sigue, salvo que se diga expresamente otra cosa, pondremos: (i) ±√z para el conjunto de las ra´ıces cuadradas de z, es decir,

±√z def= {w ∈ C : w2 = z}.

(Ojo: no es una notaci´on est´andar). Tiene sentido para todo z ∈ C, incluido

z = 0.

(ii) √z o z12 para la ra´ız cuadrada principal de z, es decir,

√

z def= z12 def= e(1/2)Log z.

Tiene sentido para todo z ∈C\ {0}, aunque por comodidad puede ser conve-niente a veces escribir tambi´en√0= 012 = 0.

(ii.1) Seg´un este convenio, para todo z ∈ C es

±√z = {√z,−√z} = {z12,−z 1 2}.

(ii.2) Cuando z sea un n´umero real no negativo, z ∈ [0,+∞), como z = 0 o Arg z = 0 se obtiene como ra´ız cuadrada principal de z justamente su ra´ız cuadrada real no negativa, con lo cual las notaciones introducidas son consistentes con las que empleamos para n´umeros reales.

Por lo que a desarrollos en serie de potencias respecta, bien repitiendo el proceso visto anteriormente o bien calculando

1/2

n

=(−1)n−11·3·5· · ·(2n−3)

2·4·6· · ·(2n) , n ≥ 2, que suele abreviarse mediante factoriales dobles en

1/2

n

=(−1)n−1(2n −3)!!

(2n)!! ,

queda, incluso si|z| = 1 (los coeficientes son del tama˜no de n−3/2),

√

1+z = 1+ 1 2 z +

∞

n=2

(−1)n−1(2n−3)!!

(2n)!! z

n

= 1+ 1 2z −

1 8z

2 ₊ 1 16z

3₋ 5 128z

(21)

Otro desarrollo importante, correspondiente aα = −1 2, es 1

√

1+z = 1+

∞

n=1

(−1)n(2n−1)!!

(2n)!! z

n

= 1− 1 2z +

3 8z

2₋ 5 16z

3 ₊_{. . . ,} _|_z_| _<₁_.

Del criterio de Dirichlet y el teorema del l´ımite de Abel se sigue que el desarrollo es v´alido siempre que|z| ≤ 1, z = −1.

3.6 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES

Funciones trigonom´etricas e hiperb ´olicas complejas.

Funciones trigonométricas como la tangente, cotangente, secante y cosecante, as´ı como las funciones hiperbólicas, se pueden definir en C usando las fórmulas que las definen en R. Las funciones obtenidas son las únicas extensiones anal´ıticas al dominio correspondiente de las funciones reales del mismo nombre. De entre las muchas relaciones y propiedades que podemos deducir fácilmente, nos limitamos a señalar un par de ellas que ligan funciones de distinto ‘grupo’.

Proposici´on. Dado z ∈ C,

Sh z = −i sen(i z), Ch z = cos(i z).

Otras funciones inversas

La funci´on arco tangente compleja.

Para su definición, de nuevo tendremos que tomar precauciones, porque la función tangente en C no es inyectiva. Tendremos que empezar por resolver la ecuación

tanw = z

para z ∈ C fijado. Aplicando la definici´on

tanw = z ⇐⇒   

eiw +e−iw = 0

eiw −e−iw eiw +_e−iw = i z

⇐⇒   

e2iw = −1

e2iw −1

e2iw +₁ = i z

⇐⇒ (1−i z)e2iw=∗ 1+i z ⇐⇒

_z ₌_i_,₋_i

e2iw = 1+i z

(22)

Observamos en ∗ que si z = i ´o z = −i no puede haber soluci´on. Si z no es uno

de estos valores, las solucionesw son tales que

2iw ∈log

1+i z

1−i z

⇔ w ∈ 1

2i log

1+i z

1−i z

Hemos demostrado con ´esto que la funci´on tangente

tan : C\ {π

2 +kπ : k ∈ Z} −→ C\ {i,−i} es suprayectiva, y dado z ∈C\ {i,−i},

tanw = z ⇔ w ∈ 1

2i log

1+i z

1−i z

As´ı, podr´ıamos escribir, para z ∈C\ {i,−i}, el conjunto

arctan z = 1 2i log

1+i z

1−i z

y, para tener una función, elegimos algún logaritmo. Por supuesto, lo más lógico es trabajar (casi siempre) con el principal. As´ı, la función arco tangente principal, que escribiremos Arctan z, será

Arctan z = 1 2i Log

1+i z

1−i z

, z = i,−i.

El dominio de definición es C\{i,−i}. Veamos dónde es anal´ıtica. Por composición de anal´ıticas lo será en todos los puntos, salvo a lo más en aquéllos en que

1+i z

1−i z ∈ R

−_.

Hallemos estos z’s:

1+i z

1−i z = λ⇐⇒ z = i

1−λ 1+λ.

Cuandoλrecorre los n´umeros reales negativos, z recorre el conjunto

I = {i x : x ∈ (−∞,−1)∪[1,+∞)}.

Por tanto, la funci´on Arctan z es anal´ıtica en el abierto = C\ I . (Que no lo es

(23)

I i -i O

.

Notemos que, en particular, es anal´ıtica en el disco unidad. Vamos a hallar su desarrollo en serie de potencias de z. Por la regla de la cadena, es f´acil llegar a que

Arctan(z) = 1

1+z2, z ∈ . Si tenemos en cuenta que

1 1+z2 =

∞

n=0

(−1)nz2n, |z| < 1, por igualdad de derivadas en D(0;1)(conexo),

Arctan z = ∞

n=0

(−1)n z 2n+1

2n+1, |z| < 1, salvo la adici´on de una constante C, de valor C =Arctan 0 = 0.

La función Arctan es una extensión anal´ıtica (la única posible en ) de la función arco tangente real arc tg, inversa de la restricción de la tangente al intervalo

(−π/2, π/2). (¿Por qu´e?)

Argumento principal y arco tangente real.

Para ciertos cálculos que efectuaremos posteriormente conviene disponer de expresiones del argumento principal más manejables que su definición. Para cada

z = 0 se tiene

x = e z = |z| cos(Arg z), y = m z = |z| sen(Arg z),

luego tg(Arg z) = y/x si x = 0. Examinando los rangos de Arg y Arctan, se sigue

Arg(x +i y) =              Arctan y

x si x > 0;

Arctan y

x +π si x < 0, y ≥ 0;

Arctan y

x −π si x < 0, y < 0;

en esquema, repartido por cuadrantes,

Arg(x +i y) = Arg(x +i y) =

Arctan y

x + π Arctan y x

Arg(x +i y) = Arg(x +i y) =

Arctan y

(24)

La funci´on arco seno compleja.

Fijado z ∈ C, tenemos que resolver la ecuaci´on senw = z. Con nuestra

notaci´on

senw = z ⇔ eiw −e−iw = 2i z ⇔ (eiw)2−2i zeiw −1= 0

⇔ eiw ∈i z ±1−z2. (₁)

N´otese que ±√1−z2 _{representa dos valores (los dos que elevados al cuadrado} nos dan 1−z2).

Sea cual sea z ∈ C, ninguno de los dos valores de i z ±√1−z2 _{es 0, ya que}

i z ∈ ±1−z2 ⇐⇒ −_z2 = ₁−_z2.

Por tanto, la ecuaci´on (1) siempre tiene soluci´on, a saber, aquellosw tales que

w ∈ 1

i log(i z±

1−z2).

Hemos demostrado entonces que

sen : C −→ C

es suprayectiva, y adem´as, para cada z ∈ C, podemos definir el conjunto

arcsen z = 1

i log(i z ±

1−z2)

donde, insistimos, por cada uno de los valores de z hay dos de√1−z2_.

Si queremos una funci´on Arcsen z, elegiremos las ramas principales, tanto en el logaritmo, como en la raiz interior.

Arcsen z = 1

i Log(i z +

1−z2), _z ∈_C.

El dominio de esta funci´on es todo C (si z = ±1, entendemos √0 = 0).

Veamos dónde es anal´ıtica. Empezamos por la ra´ız interior. Será anal´ıtica, excepto a lo más en los z’s tales que

(25)

Por tanto, la determinaci´on principal de 1−z2 _{es anal´ıtica en C}\ (_[1,+∞) ∪

(−∞,−1]).

Ahora, en lo que respecta al logaritmo exterior, debemos quitar los z’s tales que i z +√1−z2 ∈ _R−_{. Pero,}

i z+1−z2 = λ ∈_R− ⇔ ₁−_z2 = λ−_{i z} (₂) De aqu´ı, tiene que ser

1−z2 = (λ−i z)2 ⇒ z =i

1−λ2 2λ

. (3)

Al elevar al cuadrado, se pueden a˜nadir soluciones. Entonces, tenemos que llevar la expresi´on (3) a (2) y tenemos

1+ (1−λ 2)2

4λ2 = λ+

1−λ2 2λ ⇒

(1+λ2)2 4λ2 =

1+λ2 2λ .

Pero, comprobamos que la raiz principal de este n´umero es el n´umero positivo

(1+λ2)/2|λ|, de donde

(1+λ2) 2|λ| =

1+λ2

2λ ⇒ λ = |λ| = −λ.

Este argumento ha demostrado que nunca sucede i z +√1−z2 ∈ _R−_{. Por tanto,} la ´unica limitaci´on es la del principio, y concluimos que:

La funci´on Arcsen es anal´ıtica en C\([1,+∞)∪(−∞,−1]).

En particular, lo es en D(0;1). Para hallar el correspondiente desarrollo en serie, primero, comprobamos por la regla de la cadena que

Arcsen(z) = √ 1

1−z2, z ∈ C\([1,+∞)∪ (−∞,−1]). Por otro lado,

1

√

1−z2 = (1−z

2₎−1/2 ₌ ∞

n=0

−1/2

n

(−1)nz2n, |z| < 1.

Integrando, (de nuevo la constante es C =Arcsen 0 =0),

Arcsen z = ∞

n=0

−1/2

n

(−1)n z 2n+1