Ejercicios de Geometría Analítica 2

(1)

1

Geometría analítica

Ejercicio nº 1.-

a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2). b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2).

a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) con respecto al punto B(3, 2). b Halla el simétrico de A(2, 5) con respecto al punto C(1, 4).

a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5). b Halla el simétrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).

Considera los puntos A1, 3), B2, 6) y C x , y). Halla los valores de x e y para que C sea: a El punto medio del segmento de extremos A y B.

b El simétrico de A con respecto a B.

Dados los puntos A(2, 1), B3, 4) y C0, 8):

a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B. b Halla el simétrico de B con respecto a C.

El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A, sabiendo que B(3, 2).

Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que A, B y C estén alineados.

Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1, 2), B(3, 1) y C(1, 3).

(2)

2

Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos .

PB AP B

A(2, 4) y (1, 3) endospartestalesque 3

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(3, 1) y es paralela a la recta:

  

   

t y

t x

s

4 3 2 :

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(1, 4).

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta paralela a 2x  y + 3 = 0 y que pasa por el punto P(4, 3).

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x  2y + 1 = 0.

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P(1, 3) y Q(2, 8).

Dadas las rectas:

  

 

   

 

  

 

t y

t x

s t

y t x r

6 2

3 1 :

2 2 1 :

averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte:

Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):

  

  

  

 

  

 

t y

t x

s t

y

t x

r

2 1

8 3 : 2

(3)

3

Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:

               t y t x x t y t x r 3 5 : 3 2 2 1 :

               t y t x s t y t x r 8 2 2 4 : 4 6 2 :

averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).

Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:

               t y t x s t y t x r 4 3 5 : 2 1 4 :

Averigua el ángulo formado por las rectas:

                  t y t x s t y t x r 2 1 2 : 3 1 4 2 :

Determina el ángulo que forman las rectas:

                t y t x : s t y t x r 2 1 2 4 3 1 :

Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:

                t y t x s t y t x r 5 2 4 : 4 4 2 2 :

Halla el ángulo que forman las rectas:

(4)

4

Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:

  

  

  

 

 

 

t y

t x

s t

y t x r

6 2

4 3 : 3

1 2 1 :

Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos P(3, 1) y Q(2, 4).

Solución:

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es



1,3



.

v ector al

paralela 



v

Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto P(1, 4).

Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto P(2, 2) y cuya pendiente es m = 3.

Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

  

 

  

t y

t x

r

3 1

2 3 :

Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y  3 = 0 que pasa por el punto P(1, 1).

¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas? x + 3y  2 = 0 kx + 2y + 3 = 0

(5)

5

Halla el valor de k para que las rectas 2x  3y + 4 = 0 3x + ky 1 = 0 sean perpendiculares.

0 1 :

0 3 4

: xy  s kxy  r

halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.

Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r : y = 2x  3.

Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo: P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3x  y + 6 = 0

Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r:2x + y  3 = 0; calcula la distancia: a) Entre P y Q.

b) De P a r.

Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:

  

 

  

t y

t x

r

4 1

2 3 :

Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta .

2 sea 0 3 : x  y   r

(6)

6

Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: 0

: 0

9 3 2 : 0

2

:xy  s x y  t x

r

Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.

Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y calcula el baricentro punto de intersección de las medianas.

Halla el área del triángulo de vértices: A(3, 1) B(6, 2) C(0, 4)

Soluciones Geometría analítica

a Averigua el punto simétrico de A5, 1) con respecto a B4, 2). b Halla el punto medio del segmento de extremos A5, 1) y B4, 2).

Solución:

a Llamamos A'x, y) al simétrico de A con respecto a B. El punto B es el punto medio del segmento que une A con A'. Entonces:



3, 3



' 3 3

2 2

1 4 2

5

 

         

  

 

A y

x y

x

(7)

7



          



    

2 3 , 2 9 2

2 1 , 2

4 5 M

a Halla el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2, 5) con respecto al punto B(3, 2). b Halla el simétrico de A(2, 5) con respecto al punto C(1, 4).

Solución:

a El punto medio es:

 

_

  

   

   



     

2 3 , 2

1 2

2 5 , 2

3 2 M

b Llamamos A'(x, y) al simétrico de A con respecto a C. Entonces C es el punto medio del segmento que une A con A'. Por tanto:



0, 3



' 3

0

4 2

5 1 2

2

 

   

  

    

  

 

A y

x

y x

a Halla el punto medio del segmento de extremos P3, 2) y Q1, 5). b Halla el simétrico del punto P3, 2) con respecto a Q1, 5).

Solución:

 

_

         



    



2 3 1 2

5 2 2

1 3

, ,

M

b Llamamos Px, y) al simétrico de P con respecto a Q. Q es el punto medio del segmento que une P y P. Entonces:



5,12



'

12 5

2 2

5 1

2 3

     

    

     

P y

y

x x

Considera los puntos A1, 3), B2, 6) y C x , y). Halla los valores de x e y para que C sea: a El punto medio del segmento de extremos A y B.

b El simétrico de A con respecto a B.

Solución:

(8)

8 



    

   

          



  

2 9 2 1

, 2 9 , 2 1 2

6 3 , 2

2 1

y x y

x

b B será el punto medio del segmento que une A y C, entonces:

 

5 9

9 5

6 2 3

2 2 1

6 2 2 3 2 1

, C y

x

y x

, y ,

x _

   

 

    

    

 

    

   



  

Dados los puntos A(2, 1), B3, 4) y C0, 8):

a Halla el punto medio del segmento de extremos A y B. b Halla el simétrico de B con respecto a C.

Solución:

 

_

  

      



     

2 3 , 2 1 2

4 1 , 2

3 2 M

b Llamamos B'(x, y) al simétrico de B con respecto a C. Si B' es simétrico de B respecto de C, tiene que cumplirse que:

' CB

BC









20

3 12

8 3 : Entonces 8

, 0 '

12 , 3

      

 

   

     

 

y x y

x y

x CB BC

Por tanto:

B'3, 20)

El punto medio del segmento AB es M(2, 1). Halla las coordenadas de A, sabiendo que B(3, 2).

(9)

9

Si llamamos A(x, y), tenemos que:

: decir es ,

MB

AM







 





2 , 1

 

5,3



1 2 , 2 3 1

, 2

   

       



y x



7, 4



: tanto Por 4 3

1

7 5

2 _

       

 y  y A

x x

Dados los puntos A(2, 3), B(1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que A, B y C estén alineados.

Solución:

: ales proporcion ser

de han de y de s coordenada las

alineados, estén

puntos tres los que

Para AB BC









7

4 7

7 3 1

7 1 3

1 , 1 7 ,

3 _ _ _ _ _ 

          

 

x x

BC AB

Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(1, 2), B(3, 1) y C(1, 3).

Solución:

Llamamos D(x, y) al cuarto vértice. Ha de cumplirse que:

: decir es ,

DC AB

 





3 3 0

3 1

4 3

1 3 4

  

   

        

y y

x x

y , x DC

, AB

Por tanto:

(10)

10

Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A(2, 3), B(4, 1) y C(1, 2).

Solución:

Llamamos G(x, y) al baricentro y M(a, b) al punto medio del lado AC. Sabemos que:

BG

GM

2 Hallamos M:

 

_

  



 _

    



    



2 1 2 1 2

2 3 2

1 2

, ,

M

Entonces:











1 2 , 1 2

 

4, 1



1 , 4 2

1 , 2 1 2 1

, 4

2 1 , 2 1

     

      



 _  _ 

   

  

   



 _ _ _ 

y x y x

y x BG

y x

GM

0 3

0 1

2 1

3 5 3

5 4

2 1

  

    

  

   

y y

x x

El baricentro es:

     

0 , 3 5 G

Averigua las coordenadas del punto P, que divide al segmento de extremos .

PB AP B

A(2, 4) y (1, 3) endospartestalesque 3

Solución:

Si llamamos (x, y) a las coordenadas de P, se ha de cumplir que:

: decir es , 3PB

(11)

11 

















x , y

 

x, y



y , x y

, x

y , x PB

y , x AP

3 9 3 3 4 2

3 1 3 4 2

3 1

4 2

 

  

     

    

   

  

4 5 5

4 3

9 4

4 1 1

4 3

3 2

    

 

      

  

y y

x x

Por tanto:

   

 

4 5 4 1

, P

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(3, 1) y es paralela a la recta:

  

   

t y

t x

s

4 3 2 :

Solución:









  

    

 

t y

t x

, , OP

1 3 3

: as paramétric Ecuaciones

1 3 : dirección Vector

1 3 : posición Vector

Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos A(2, 3) y B(1, 4).

Solución:









  

    

 

t y

t x

, AB

, OA

7 3

3 2

7 3 :

dirección Vector

(12)

12

Solución:

 





 

  

   

   

t y

t x

. ,

, y

x ,

, OP

2 3 4

2 1 vector el dirección vector

como

tomar podemos tanto,

por 0 3 2

a lar perpendicu es

1 2 vector El : dirección Vector

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(2, 1) y es perpendicular a la recta de ecuación 3x  2y + 1 = 0.

Solución:









  

    

    

t y

t x

y x ,

, OP

2 1

3 2

: son as paramétric ecuaciones

las tanto, Por

0 1 2 3 a lar perpendicu es

2 3 : dirección Vector

Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos P(1, 3) y Q(2, 8).

Solución:









  

   

 

t y

t x

, PQ

, OP

5 3

1

5 1 :

dirección Vector

3 1 :

posición Vector

  

 

   

 

  

 

t y

t x

s t

y t x r

6 2

3 1 :

2 2 1 :

averigua su posición relativa. Si se cortan, di cuál es el punto de corte:

Solución:

(13)

13

                k y k x s t y t x r 6 2 3 1 : 2 2 1 : Igualamos:



k



k k k k

k t k t k t 0 0 6 2 6 4 2 6 2 3 2 2 2 3 2 6 2 2 2 3 1 1                       

Infinitas soluciones  Se trata de la misma recta; r y s coinciden.

Averigua la posición relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qué punto):

                t y t x s t y t x r 2 1 8 3 : 2 4 2 : Solución:

Cambiamos el parámetro en la recta s:

                k y k x s t y t x r 2 1 8 3 : 2 4 2 : Igualamos: k t k t k t k t k t 2 1 2 1 8 4 1 2 1 2 8 3 4 2                       



1 2k



8k 1 4 8k 8k 5 0k

4

1          



No tiene solución  Las rectas son paralelas.

Determina la posición relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qué punto:

               t y t x x t y t x r 3 5 : 3 2 2 1 : Solución:

               k y k x s t y t x r 3 5 : 3 2 2 1 : Igualamos: 2 2 4 1 2 4 3 3 2 2 4 3 3 2 5 2 1                     k t t t t k k t k t

(14)

14  

3,-1.

punto el en cortan se rectas dos Las 1 3 2 3 2 1 _          y x

               t y t x s t y t x r 8 2 2 4 : 4 6 2 :

averigua su posición relativa (si se cortan, di en qué punto).

Solución:

               k y k x s t y t x r 8 2 2 4 : 4 6 2 : Igualamos:





k k k k k t k k t k t 0 0 8 2 8 8 6 8 2 2 2 4 6 2 2 8 2 4 6 2 4 2                       

Infinitas soluciones  Se trata de la misma recta; r y s coinciden.

Determina la posición relativa de las siguientes rectas. Si se cortan, averigua en qué punto:

               t y t x s t y t x r 4 3 5 : 2 1 4 : Solución:

(15)

15

Sustituimos t = 2 en las ecuaciones de r (o bien, k = 1 en las de s) para obtener el punto de corte de r y s:

). 3 (2, punto el en cortan se y 3

4 1

2 2

4 _ _

   

 

   

  

s r y

x

Averigua el ángulo formado por las rectas:

  

  

   

 

  

t y

t x

s t

y

t x

r

2 1 2 :

3 1

4 2 :

Solución:

Hallamos el ángulo que forman los vectores dirección de las dos rectas:

Vector dirección de r  (4, 3) Vector dirección de s  (1, 2)

  



' ' ' ,

, ,

cos 0179 79 4143

5 5

2 5 25

6 4

4 1 16 9

2 1 3

4 _

   

       

  



Determina el ángulo que forman las rectas:

  

  

  

 

 

  

t y

t x : s t

y

t x

r

2 1 2 4

3 1 :

Solución:

Vector dirección de r  (3, 1) Vector dirección de s  (1, 2)

Llamamos  al ángulo que forman r y s:



  

' ' 12 ' 52 81 141

, 0 2 5

1

5 10

2 3

4 1 1 9

2 , 1 1 ,

3 _

  

      

 

 



cos

Dadas las rectas r y s, determina el ángulo que forman:

  

 

   

 

 

  

t y

t x

s t

y

t x

r

5 2 4 :

4 4

2 2 :

(16)

16

Vector dirección de r  (2, 4)

Vector dirección de s  (2, 1)

Llamamos  al ángulo que forman r y s:

  





90 0

5 20

4 4 1 4 16 4

1 2 4 2

         

  

 , ,

cos

Es decir, las rectas son perpendiculares.

Halla el ángulo que forman las rectas:

  

     

 

   

t y

t x

: s t

y

t x

r

6 1

4 1 2

4 3 2 :

Solución:

El ángulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores dirección:

Vector dirección de r  (3, 2) Vector dirección de s  (4, 6)



 





90 0

52 13

12 12

36 16 4 9

6 , 4 2 , 3

        

   

 



cos

Es decir, r y s son perpendiculares.

Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el ángulo que forman:

  

  

  

 

 

 

t y

t x

s t

y t x r

6 2

4 3 : 3

1 2 1 :

Solución:

Vector dirección de r  (2, 3) Vector dirección de s  (4, 6)

Llamamos  al ángulo formado:



 



lares). perpendicu son

no (luego 0

1 26 26 13 2 13

26 52

13 18 8 36 16 9 4

6 4 3

2 _

     

       

   

 , ,

cos

Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por los puntos P(3, 1) y Q(2, 4).

(17)

17

La pendiente de la recta es:

 

3 1 3 1

1 4 3

2 1

4 _

   

   

   

m

La ecuación será:



3



1 3 9 3 10 0

3

1         



 x y x x y

y

Halla la ecuación implícita de la recta que pasa por P(2, 5) y es



1,3



.

v ector al

paralela 



v

Solución:

Las ecuaciones paramétricas son:

  

   

t y

t x

3 5

2

Multiplicamos por 3 la primera ecuación y sumamos:

1 3

3 5

3 6 3

  

 

  

y x

t y

t x

La ecuación implícita es 3x + y + 1 = 0.

Escribe la ecuación implícita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el punto P(1, 4).

Solución:

Escribimos la ecuación puntopendiente y operamos:



1



4 2 2 2 6 0

2

4         

 x y x x y

y

Averigua la ecuación implícita de la recta que pasa por el punto P(2, 2) y cuya pendiente es m = 3.

Solución:

Escribimos la ecuación puntopendiente y operamos:



2



2 3 6 3 4 0

3

2         



 x y x x y

(18)

18

Halla la ecuación implícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

  

 

  

t y

t x

r

3 1

2 3 :

Solución:

Multiplicamos por 3 la primera ecuación y por 2 la segunda, y sumamos:









7 2 3

6 2 2

6 9 3 3

1 2

2 3 3

  

          

y x

t y

t x

t y

t x

La ecuación implícita es 3x + 2y + 7 = 0.

Halla la ecuación implícita de la recta perpendicular a 2x + y  3 = 0 que pasa por el punto P(1, 1).

Solución:

Obtenemos la pendiente de la recta dada:

2 3

2 0

3

2xy   y x  pendiente

La pendiente de la perpendicular es:

2 1 2 1 _

 

La ecuación de la recta buscada será:



1



2 2 1 2 1 0

2 1

1         

 x y x x y

y

¿Cuál ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas? x + 3y  2 = 0 kx + 2y + 3 = 0

Solución:

Despejamos y en cada ecuación para obtener la pendiente de cada recta:

2 2

3 2 3

2 0

3 2

3 1 3

2 3

1 2

3 0

2 3

k pendiente x

k y kx

y y

kx

pendiente x

y x

y y

x

  

          

  

(19)

19

Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:

3 2 3

2 2

3

1__ _ _ __ _ _

 k k k

Escribe la ecuación implícita de la recta que pasa por P(1, 2) y es paralela a 3x  y + 4 = 0.

Solución:

Obtenemos la pendiente de la recta dada:

3 4

3 0

4

3xy   y x  pendiente

La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuación será:



1



2 3 3 3 5 0

3

2         

 x y x x y

y

Halla el valor de k para que las rectas 2x  3y + 4 = 0 3x + ky 1 = 0 sean perpendiculares.

Solución:

Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:

k pendiente k

x k y x

ky ky

x

pendiente x

y x

y y

x

3 1

3 0

1 3

3 2 3

4 3 2 4

2 3 0

4 3 2

 

         

 

        

Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:

2 2

3

3 2

1

3 _  _ _ __

k k

0 1 :

0 3 4

: xy  s kxy  r

(20)

20

Solución:

Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:

k pendiente kx

y y

kx

pendiente x

y y

x

 

    

       



1 0

1

4 3

4 0

3 4

Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:

4 1

 

k

Calcula la distancia del punto P(3, 5) a la recta r : y = 2x  3.

Solución:

Expresamos la recta en forma implícita:

0 3 2

: 3

2

:y x  r xy  r

Por tanto:

 

5 5 14

5 14

5 3 5 6

1 4

3 5 3 2

,      

     

r P dist

Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo: P(1, 1), Q(2, 3) y r: 3x  y + 6 = 0

Solución:



,



_ _ 32_

 

_22 _ 9_4_ 13

PQ Q P dist

 

   

5 10 2 10

10 4

10 6 1 3

1 9

6 1 1 3

,       

      

r P dist

Dados los puntos P(3, 2) y Q(2, 4), y la recta r:2x + y  3 = 0; calcula la distancia: a) Entre P y Q.

b) De P a r.

Solución:



,





5,2



25 4 29

a)dist PQ  PQ     

 

5

5 5 5

5 5

5 3 2 6

1 4

3 2 3 2 ,

b)      

    

(21)

21

Halla la distancia del punto P(2, 1) a la recta:

  

 

  

t y

t x

r

4 1

2 3 :

Solución:

Expresamos r en forma implícita:









14 2

4

8 2 2

8 12 4

4 1 2

2 3 4

  

      

       

y x

t y

t x

t y

t x

0 14 2

4x y 

Hallamos la distancia de P a r:

 

6 2

5 2 5 6 20

20 24

20 14 2 8

4 16

14 1 2 2 4

,        

      

r P dist

Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2, k) a la recta .

2 sea 0 3 : x  y   r

Solución:

 

2 5 2

2 5

1 1

3 2

,      

  

 k k k

r P dist

Hay dos posibilidades:

   

    

   

7 2

5

3 2

5

k k

Halla las coordenadas del punto simétrico de P(3, 4) respecto a la recta r : 3x + y + 2 = 0.

(22)

22

1.º) Hallamos la ecuación de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por P:

3 2

3 0

2 3

: xy   y x  pendiente

r

: tanto Por . 3

1 será de pendiente

La s 





0 9 3 :

3 12 3

3 3 1 4 :

  

        

y x s

x y

s

2.º) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:



3 2



9 0 3

2 3 0

9 3

0 2 3

   

          

x x

x y y

x y x

10 29 2 10

9 10

3 3 10

0 9 6 9

       

 

   

y x

x x x

. 10

29 , 10

3 es punto

El 

  

   M

3.º) Si llamamos P(x, y) al simétrico de P con respecto a r, M es el punto medio entre P y P. Por tanto:

. 5

9 , 5 18 ' es buscado punto

El

5 9 10

18 58

10 40 10

29 2

4

5 18 10

36 6

10 30 10

3 2 3

   



 

          

  

           

P

y y

y

x x

x

Calcula los vértices y el área del triángulo cuyos lados están sobre las rectas: 0

: 0

9 3 2 : 0

2

:xy  s x y  t x

r

Solución:

(23)

23

1.º Los vértices del triángulo son los puntos de corte de las rectas:



2



3 9 0

2 2 0

9 3 2

0 2

             

y y

y x y

x y x

1 5

5 0

9 3 4

2y  y   y   y 

3  x Punto B(3, 1)



0, 2



Punto 2

0 0

2 _

           

C y

x y x

 

0,3 Punto 3

0

0 9 3 2

A y

x y x

         

2.º Tomamos el lado AC como base del triángulo:

5

  AC base

3.º La altura es la distancia de B a la recta que pasa por A y por C que es el eje Y. Por tanto: altura  3

4.º El área del triángulo es:

2

u 5 , 7 2 15 2

3 5

   

Área

Halla el área del paralelogramo de vértices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0, 3.

Solución:

1.º Tomamos como base el lado AB:

17 1 16 

  AB base

2.º La altura es la distancia del vértice C o del D a la recta que pasa por A y B. Obtengamos la ecuación de dicha recta.

4 1 1 5

1

2 _

  

pendiente



1



4 4 1 4 3 0

4 1 1

(24)

24  

17 9

16 1

3 16 4

,   

    dist Cr altura

Así, el área es:

2

u 9 17 9 17 

 

base altura Área

Dado el triángulo de vértices A(1, 1), B(1, 4) y C(5, 2), halla las ecuaciones de sus tres medianas y calcula el baricentro punto de intersección de las medianas.

Solución:

1.º Hallamos los puntos medios de cada lado:





       

 

       

2 1 , 2

de

3 , 3

de

2 3 , 0

de

3 2 1

M AC

M BC

M AB

2.º Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:

 La que pasa por A y M2:

1 4 4_



pendiente



3



3 3 0

1 3

:y   x  y x  xy recta

 La que pasa por B y M3:

2 7 1

2 / 7 2 1

2 / 1

4 _

    

pendiente



1



2 8 7 7 7 2 15 0

2 7 4

:y  x  y  x  x y  recta

 La que pasa por C y M1:

10 1 5

2 / 1 0 5

2 / 3

2 _ _

  

pendiente



5



10 20 5 10 15 0

10 1 2

:y  x  y x  x y  recta

(25)

25

3

5 9 15 0

15 9 0

15 2 7 0 15 2 7

0

         

      

 

x x

y x

       

3 5 , 3 5 G Baricentro

Halla el área del triángulo de vértices: A(3, 1) B(6, 2) C(0, 4)

Solución

1.º) Tomamos el lado BC como base del triángulo:

40 4 36 

  BC base

2.º) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la ecuación de dicha recta:

0 12 3 : 12

3 3

1 4

3 1 6 2 6 0

2 4

        

 

 

  

  

y x r x

y x

y

pendiente

Por tanto:

 

10 12

9 1

12 3 3

, 

    dist Ar altura

3.º) El área del triángulo es:

2

u 12 2

10 12 40

2 

  

base altura