Notas de clase Teor´ıa De N´

Texto completo

(1)

Notas de clase

Teor´ıa De N´

umeros

Departamento de Matem´

aticas y Estad´ıstica

Universidad de Nari˜

no

Prof. John H. Castillo

(2)
(3)

´

Indice general

5. El Teorema de Fermat 5

5.1. M´etodo de Factorizaci´on de Fermat . . . 5

5.2. El Peque˜no Teorema de Fermat . . . 6

5.3. El Teorema de Wilson . . . 8

5.4. N´umeros de Carmichael . . . 10

5.4.1. Test de pseudoprimalidad . . . 10

5.5. Ejercicios . . . 17

6. Funciones Aritm´eticas (Funciones de Teor´ıa de N´umeros) 23 6.1. Las funciones τ y σ . . . 23

6.2. La f´ormula de inversi´on de M¨obius . . . 29

6.3. Ejercicios . . . 32

7. Generalizaci´on de Euler del Teorema de Fermat 39 7.1. Funci´onφ de Euler . . . 39

7.2. Teorema de Euler . . . 43

7.3. Ejercicios . . . 47

(4)
(5)

Cap´ıtulo 5

El Teorema de Fermat

5.1.

etodo de Factorizaci´

on de Fermat

En un fragmento de una carta, dirigida probablemente al Padre Marin

Mersenne en 1643, Pierre Fermat (1601-1665) describi´o una t´ecnica para

factorizar n´umeros grandes. Este m´etodo es la primera mejora del m´etodo

cl´asico para encontrar un factor de n, que consiste en dividir a n por todos

los primos menores que √n.

El m´etodo de factorizaci´on de Fermat se basa en que la busqueda de

factores de un entero impar n (dado que se potencias de dos se reconocen

f´acilmente, se puede suponer que n es impar) es equivalente a obtener

solu-ciones enteras x y y de la ecuaci´on

n =x2−y2.

Sin es la diferencia de dos cuadrados, entonces se puede factorizar como

n =x2−y2 = (x−y)(x+y)

Reciprocamente, si n tiene la factorizaci´on, n =ab, con a≥b≥1, entonces

n=

a+b

2

2

a−b

2

2

(6)

Adem´as, como n es impar, entonces a y b deben ser impares, de aqu´ıa+b 2 y a−b

2 son enteros no negativos.

As´ı para factorizar n se comienza la busquedad de posibles x y y tales

que n=x2y2, ´o lo que es lo mismo, la ecuaci´on x2n =y2 . Primero se

determina el menor entero k tal que k2 n. Entonces se mira la lista

k2−n,(k+ 1)2−n,(k+ 2)2−n, . . .

hasta que se encuentre un enterom≥√ntal quem2−nsea un cuadrado. El proceso no puede seguir indefinidamente, pues en cierto momento del proceso

se llega a

n+ 1 2

2

−n=

n−1 2

2

que corresponde a la factorizaci´on den= 1·n. Si hasta este momento no se

obtuvo una diferencia que sea un cuadrado, entoncesn no tiene m´as divisores

quen y 1; es decir n es primo.

Cuando se examinan ls diferenciask2−n en busca de posibles cuadrados se pueden excluir algunos n´umeros de tal lista observando los d´ıgitos finales.

Por ejemplo se sabe que un cuadrado debe terminar en 0,1,4,5,6,9. Los dos

´

ultimos d´ıgitos de un cuadrado deben ser

00 21 41 64 89

01 24 44 69 96

04 25 49 76

09 29 56 81

16 36 61 84

Ejercicio Pruebe que un cuadrado debe terminar en una de las parejas

de d´ıgitos anteriores. [Sugerencia: x2 (50 + x)2 od 100 y x2 (50

x)2 od 100, por lo tanto es duficiente con examinar los ´ultimos d´ıgitos de

x2, para 0x25.

5.2.

El Peque˜

no Teorema de Fermat

(7)

5.2 El Peque˜no Teorema de Fermat 7. Prof. John H. Castillo

Demostraci´on. Considerense los primeros p−1 m´ultiplos positivos de a

a,2a,3a, . . . ,(p−1)a.

Estos n´umeros son incongruentes m´odulo p, y ninguno es congruente con

0 m´odulo p. En efecto, si ra ≡ sa m´odp, con 1 ≤ r < s ≤ p−1, entonces

r≡s m´odp, lo que es imposible. As´ı el conjunto anterior debe ser congruente

m´odulo p al conjunto 1,2,3, . . . , p −1, en alg´un orden. Multiplicando los

elementos de cada uno de estos conjuntos se obtiene la siguiente congruencia

a·2a·3a· · ·(p−1)a ≡2·3· · ·(p−1) (m´od p)

de donde ap−1(p1)! (p1)! m´odp, pero como p

-(p−1)! entonces

ap−1 ≡1 (m´od p).

Corolario 1. Sipes un primo, entoncesap aodp, para cualquier entero

a.

Demostraci´on. Si p|a, entonces ap ≡ a ≡ 0 m´odp. Si p - a, entonces del

teorema anterior ap−1 ≡1 m´odp, lo que implica que ap ≡am´odp.

Existe otra prueba de que ap aodp para cualquier a, utilizando

inducci´on sobre a. Si a = 1, la afirmaci´on dice que 1p ≡ 1 m´odp, lo que es

claramente verdadero, como en el caso a = 0. Suponga que el resultado es

cierto para a, se debe probar que la afirmaci´on es verdadera para a+ 1. Por

el teorema del binomio,

(a+ 1)p =ap+

p

1

ap−1+· · ·+

p k

ap−k+· · ·+

p p−1

a+ 1,

donde el coeficiente

p k

est´a dado por

p k

= p!

k!(p−k)! =

(8)

La afirmaci´on se sigue de que

p k

≡ 0 m´odp, cuando 1 ≤k ≤ p−1. Para

ver esto note que

k!

p k

=p(p−1)· · ·(p−k+ 1)≡0 m´odp,

de dondepdivide k! ´o pdivide

p k

. Perop|k!, implica que p|j para alg´unj

con 1 ≤j ≤ k ≤p−1, lo que es absurdo. As´ı, p|

p k

de donde se tiene la

congruencia buscada. De esta forma

(a+ 1)p ≡ap+ 1≡a+ 1 m´odp.

As´ı la conclusi´on se tiene para todoa≥0. Si aes un entero negativo, no hay

problema: dado que a ≡ r m´odp para alg´un r, donde 0 ≤ r ≤ p−1, y de

esta formaap rp raodp.

Lema 5.2.2. Si p y q son primos distintos tales que ap ≡ am´odq y aq ≡

am´odp, entonces apq aodpq.

Demostraci´on. Del ´ultimo corolario se sabe que (aq)p ≡aqm´odp, mientras

que aq ≡ am´odp se tiene por hip´otesis. Combinando estas congruencias,

se tiene que apq aodp, en otras palabras p|apq a. De forma similar,

se puede mostrar que q|apq a. Como p 6= q, pq|apq a; es decir apq

am´odpq.

5.3.

El Teorema de Wilson

En Meditaciones Algebraicae en 1770, el matem´atico ingl´esEdward

Wa-ring (1741-1793) anunci´o varios teoremas nuevos. El principal de estos era

una propiedad interesante de los primos reportada a ´el por uno de sus

an-tiguos estudiantes, John Wilson. La propiedad es la siguiente: Si p es un

n´umero primo, entonces p divide a (p −1)! + 1 . Al parecer Wilson

adi-vin´o este resultado a partir de algunos c´alculos, pero ni ´el ni Waring sabian

(9)

5.3 El Teorema de Wilson 9. Prof. John H. Castillo

en un art´ıculo que apareci´o en 1770 y adem´as not´o que el rec´ıproco tambi´en

se cumple.

Teorema 5.3.1 (Teorema de Wilson). Si p es un n´umero primo, entonces

(p−1)!≡ −1 (m´od p)

Demostraci´on. En el caso p= 2 y p= 3 el resultado se tiene pues (2−1)! =

1!≡ −1 m´od 2 y (3−1)! = 2≡ −1 m´od 3

Sup´ongase quep >3. Sea a uno de los p−1 enteros positivos

1,2,3, . . . , p−1

y considere la congruencia lineal

ax≡1(m´odp).

Como gcd(a, p) = 1, se tiene que la congruencia tiene una soluci´on ´unica

m´odulop; es decir, existe un entero ´unico 1≤a0 ≤p−1, tal que

aa0 ≡1(m´odp)

Como p es primo, a = a0 si y s´olo si a = 1 ´o a = p−1. En efecto, pues

la congruencia a2 1 m´odp es equivalente con la congruencia a2 1

(a−1)(a+ 1)≡0( m´odp). As´ı, a−1≡0( m´odp) ´oa+ 1≡0( m´odp). De esta

forma a = 0 ´o a = p−1. Al agrupar los enteros 2,3, . . . , p−2 en parejas

a, a0, tales que aa0 ≡1(m´odp), se tiene que

2·3· · ·(p−2)≡1(m´odp).

Es decir;

(p−2)!≡1(m´odp)

Y finalmente multiplicando por p −1 se tiene que (p −1)! ≡ (p −1) ≡

−1(m´odp).

(10)

Teorema 5.3.2. Si (n−1)! ≡ −1 m´odn, entonces n es un n´umero primo.

Demostraci´on. Por reducci´on al absurdo, sup´ongase que n no es primo,

en-tonces n tiene un divisor 1 < d < n. Como d ≤ n−1 entonces d debe ser

un factor de (n−1)! y de ah´ı qued|(n−1)!. Ahora, si (n−1)!≡ −1 m´odn,

entonces n|(n−1)! + 1. De donde d|(n−1)! + 1. Lo que implica que d|1, y

esto lleva a una contradicci´on. Por lo tanto n debe ser un n´umero primo

Uniendo entonces el teorema de Wilson y su reciproco se tiene una

con-dici´on necesaria y suficiente para determinar primalidad.

Teorema 5.3.3. Un enteron >1es primo si y s´olo si (n−1)! ≡ −1 m´odn.

Desafortunadamente este test es m´as de inter´es te´orico que pr´actico pues

el c´alculo de (n−1)! no es sencillo.

5.4.

Test de Pseudoprimalidad: Pseudoprimos

y N´

umeros de Carmichael

En teor´ıa el teorema de Wilson resuelve el problema de encontrar un test

de primalidad. Sin embargo, la dificultad de calcular factoriales hace que el

test sea muy ineficaz, incluso para enteros peque˜nos.

En muchos casos se puede mejorar el test de primalidad, utilizando el

contrarec´ıproco del teorema de Fermat que dice: dado un entero n > 1, si

existe un enteroa tal que an 6≡aodn, entonces n es compuesto. Este test

es m´as f´acil de aplicar ya que en aritm´etica modular las potencias grandes

pueden calcularse utlizando el teorema de Fermat y otras propiedades de las

congruencias, lo que las hace m´as f´aciles de calcular que los factoriales.

5.4.1.

Test de pseudoprimalidad

El m´etodo es el siguiente: si se tiene un entero n y se quiere saber si es

(11)

5.4 N´umeros de Carmichael 11. Prof. John H. Castillo

test de pseudoprimalidad para la base asian≡a( m´od n) y que no lo supera

si an 6≡ (m´od n). Luego si n no supera el test de pseudoprimalidad para

alguna base a, se tiene entonces que n debe ser compuesto, mientras que si

n supera el test puede ser primo o compuesto.

Por simplicidad computacional, es sensato comenzar con a = 2. Si se

encuentra que 2n6≡2( m´od n), entonces n no supera el test de

pseudoprima-lidad para la base 2, por lo que n es compuesto. Por ejemplo, 26 6≡2 m´od 6

y por tanto 6 no supera el test para la base 2.

Los matem´aticos chinos conoc´ıan este test y conjeturaron hace 25 siglos

que el rec´ıproco tambi´en era cierto, es decir, que sin superaba el test para la

base 2, entonces n era considerado primo. Esto result´o ser falso, pero hasta

1819 no se encontr´o un contraejemplo; es decir, existen enteros que aunque

superan el test para la base 2 son compuestos.

Definici´on 1. Sea n un entero positivo compuesto. Se dice que n es

pseu-doprimo si 2n ≡ 2 m´odn. En otras palabras, n es pseudoprimo si supera el

test de pseudoprimalidad para la base 2.

El primer ejemplo de un pseudoprimo es n = 341. En efecto

210 = 1024≡1 m´od 341,

entonces

2341 = (2340)2≡2 m´od 341,

y as´ı 341 supera el test de pseudoprimalidad para la base 2. Sin embargo,

341 = 11·31, por lo que no es primo sino pseudoprimo.

Teorema 5.4.1. Existen infinitos pseudoprimos.

Demostraci´on. Para dar la prueba de la infinitud de los pseudprimos se

prue-ba que, sin es pseudoprimo entonces Mn = 2n−1, tambi´en lo es. As´ı

empe-zando con n= 341 se tiene una sucesi´on infinita de pseudoprimos.

En efecto, sea npseudoprimo entoncesnes compuesto lo que implica que

2n1 es compuesto. Pues n =ab, 1< a < ny 1< b < n. Entonces de

(12)

Con x= 2a y m=b

2n−1 = 2ab−1 = (2a−1)(2a(b−1)+ 2a(b−2)+· · ·+ 2a+ 1)

Como 1<2a1<2n1, entonces 2n1 es compuesto. Falta probar entonces

que 2Mn 2 m´odM

n. Como n es pseudoprimo, se tiene que 2n ≡ 2 m´odn,

de donde 2n = nk+ 2, para alg´un k

Z+. Luego con x = 2n y m = k se

tiene que

2nk−1 = (2n−1)(2n(k−1)+ 2n(k−2)+· · ·+ 2n+ 1) As´ı 2n1|2nk 1, esto es

2nk−1≡0 (m´od 2n−1)

2nk ≡1 (m´od 2n−1)

entonces 2nk+1 2 (m´od 2n1) 22n1

≡ 2 (m´od 2n1) y por lo tanto

2Mn ≡2 m´odM

n.

Retornando a la idea de encontrar un test de primalidad, si n no supera

el test de pseudoprimalidad para la base 2, entonces n es compuesto. Sin

embargo, si n lo supera no se puede afirmar nada sobre su primalidad. En

general, se eval´ua n repetidamente utilizando cada vez un valor diferente

de a. Observese que si n supera el test para las bases a y b, por lo que

an aodn y bn bodn, entonces n tambi´en supera el test para la

base ab, no aportando nada nuevo a la aplicaci´on de este test; por lo que

parace sensato restringir los valores dea a los sucesivos n´umeros primos.

Definici´on 2. Se dice que n es un pseudoprimo para la base a, si n es

compuesto y verifica que anaodn.

Por ejemplo n = 341 no supera el test para la base 3; es decir, 3341 6≡

3 m´od 341.

Teorema 5.4.2. Dado un entero positivo a >1, existen infinitos

(13)

5.4 N´umeros de Carmichael 13. Prof. John H. Castillo

Demostraci´on. Escoja cualquier primo p que no divida a a(a2−1) y defina

m= (a

2p1)

a21 .

m es divisible por a

p 1

a−1, entonces m es compuesto. Adem´as ´este m es dife-rente para cada escogencia de p, y ahora se prueba que

am−1 ≡1 m´odm.

De la expresi´on param se tiene que

(a2−1)(m−1) =a(ap−1−1)(ap+a)

Claramente ap +a es par y a2 1 divide ap−1 1 (ya que p1 es par).

Adem´as del teorema de Fermat ap−11 es divisible porp, entonces se tiene

que 2p(a21) divide a (a21)(m1) o lo que es lo mismo 2pdivide am1.

Finalmente de la definici´on de m se tiene que a2p = 1 +m(a21); es decir,

a2p ≡1(m´odm)

De donde, como m −1 = (2p)q, para alg´un q ∈ Z, se tiene que am−1 ≡

1(m´odm), completando la prueba.

Si se encuentra, eventualmente, un entero a para el que n no supera el

test de pseudoprimalidad para la base a, entonces se tiene que n es

com-puesto. Es tentador conjeturar que si n es compuesto, no superar´a el test

de pseudoprimalidad para alguna base a, por lo que el m´etodo anterior lo

tendr´ıa que detectar. Desafortundamente (o afortunadamente), este no es el

caso; existen n´umeros compuestosnque superan el test de pseudoprimalidad

cualquiera que sea la base a, por lo que no es posible detectarlo mediante

este algoritmo. Estos n´umeros fueron introducidos primero por Korselt en

1899. Ellos fueron tambi´en estudiados porCarmichael en 1912, quien fue el

primero en estudiar sus propiedades.

Definici´on 3. Se dice que un n´umero compuesto n es un n´umero de

Carmi-chael (un pseudoprimo absoluto) si verifica que

(14)

para todo entero a1.

El ejemplo m´as peque˜no de un n´umero de Carmichael es n = 561 =

3·11·17. Evidentemente n es compuesto, por lo que para demostrar que es

un n´umero de Carmichael se debe probar que

a561≡am´od 561

para cualquier enteroa. Es suficiente probar que las congruencias

a561 ≡a(m´od3) , a561≡a(m´od11), a561 ≡a(m´od17) (5.1) se satisfacen para cualquier entero a. Note que, si gcd(a, n) > 1, entonces

gcd(a,3)>1 ´o gcd(a,11) >1 ´o gcd(a,17)>1. En cualquier caso la

respecti-va congruencia en (5.1) se satisface trivialmente. Por ejemplo, si gcd(a,17) >

1, implica que 17|ade dondea≡0 m´od 17 y evidentementea561 ≡am´od 17. Ahora, si gcd(a,561) implica que gcd(a,3) = gcd(a,11) = gcd(a,17) = 1.

Entonces del Teorema de Fermat, se tiene que:

a2 ≡1 m´od 3, a10≡1 m´od 11, a16≡1 m´od 17.

As´ı;

a560≡1 m´od 3, a560≡1 m´od 11, a560≡1 m´od 17.

De aqu´ı que a560 ≡ 1 m´od 561 implica que a561 ≡ a m´od 561 para cada entero a primo relativo con 561. Esto implica que a561 ≡ a(m´od561) para todo enteroa.

Teorema 5.4.3. Sea n un n´umero compuesto libre de cuadrados; es decir

n = p1p2· · ·pr donde los pi son primos distintos. Si pi−1|n−1, para i =

1,2,· · · , r, entonces n es un n´umero de Carmichael.

(15)

5.4 N´umeros de Carmichael 15. Prof. John H. Castillo

Demostraci´on. Sup´ongase queaes un entero tal que gcd(a, n) = 1, as´ı gcd(a, pi) =

1 para cada 1≤i≤n. Del Teorema de Fermat, se tiene que

api−1 1 m´odp

i

Ahora comopi−1|n−1, es decir existe k∈Z tal quen−1 = (pi−1)k. As´ı,

an−1 = a(pi−1)k 1 m´odp

i para todo i. Entonces; an−1 ≡ 1 m´odn y esto

implica que an ≡am´odn, como se quer´ıa demostrar.

Durante esta exposici´on ya se mostr´o que existen infinitos primos,

infini-tos pseudoprimos e infiniinfini-tos pseudprimos para una baseadada. La pregunta

que salta a la escena es ¿existen infinitos n´umeros de Carmichael? La

res-puesta a esta pregunta es afirmativa y fue dada en un brillante art´ıculo de

Alford, Granville, y Pomerance en 1992. La demostraci´on de este resultado

escapa de los objetivos de este curso. Este resultado fue posible despu´es de

un entendimiento profundo de c´alculos de n´umeros de Carmichael hechos,

en los ´ultimos a˜nos, en particular por Alford quien calcul´o 2128 umeros de

Carmichael.

Se cierra este cap´ıtulo con una aplicaci´on del Teorema de Wilson en el

es-tudio de congruencias cuadr´aticas. Se entiende por una congruencia cuadr´

ati-ca una congruencia de la forma

ax2+bx+c≡0(m´odn)

con a6≡0 (m´od n).

Teorema 5.4.4. La congruencia cuadr´atica x2+ 1 0 (m´od p), con p un

primo impar, tiene soluci´on si y s´olo si p≡1(m´od4).

Demostraci´on. Sea a una soluci´on de x2 + 1 0 (m´odp), es decir a2

−1 m´odp. Como p-a, de lo contrarioa2 0 m´odp y no ser´ıa una soluci´on,

del Teorema de Fermat, se tiene que 1≡ap−1 (a2)p−21 (1)(p−1)/2 odp.

Sip= 4k+ 3, entonces

(−1)p−21 = (−1) 4k+2

(16)

por lo tantop debe ser de la forma 4k+ 1. Reciprocamente

(p−1)! = 1·2· · ·p−1

2 ·

p+ 1

2 · · ·(p−2)(p−1). (5.2)

Adem´as se tienen las congruencias

p−1≡ −1 m´odp,

p−2≡ −2 m´odp,

.. .

p+ 1

2 ≡ −

p−1

2 m´odp.

Reorganizando los factores de (5.2), se tiene que:

(p−1)!≡1·(−1)·2·(−2)· · ·

p−1 2

·

−p−1

2

(m´odp)

≡(−1)p−21

1·2· · ·p−1

2

2

(m´odp).

De aqu´ı y del Teorema de Wilson, (p−1)! ≡ −1 m´odp, se tiene que

−1≡(−1)(p−1)/2

p−1 2

!

2

(m´odp).

Ahora si pes de la forma 4k+ 1, entonces

(−1)p−21 = 1.

As´ı

−1≡

p−1 2

!

2

(m´odp)

y por lo tanto x =

p−1 2

! satisface la congruencia cuadr´atica x2+ 1 ≡

(17)

5.5 Ejercicios 17. Prof. John H. Castillo

5.5.

Ejercicios

Problemas 5.2 El pequeno Teorema de Fermat

1. Demuestre que 186 1 m´od 7k para k = 1,2,3.

2. a) Si gcd(a,35) = 1, muestre que a121 m´od 35.

b) Si gcd(a,42) = 1, muestre que 168 = 3·7·8 divide a61.

c) Si gcd(a,133) = gcd(b,133) = 1, muestre que 133|a18b18.

3. Pruebe que existen infinitos n´umeros compuestos n tales que an−1 ≡

am´odn. [Sugerencia: Sean = 2p, dondep es un primo impar.]

4. Pruebe cada una de las siguientes congruencias

a) a21≡am´od 15 para todoa. [Sugerencia: Por el teorema de Fermat

a5 ≡am´od 5.]

b) a7 aod 42 para todoa.

c) a13≡a (m´od 3·7·13) para todoa.

d) a9 aod 30 para todoa.

5. Si gcd(a,30) = 1, muestre que 60 dividea4+ 59.

6. a) Encuentre los d´ıgitos de las unidades de 3100 usando el teorema

de Fermat.

b) Para cualquier enteroa, verifiquea5 ya tienen los mismos d´ıgitos en las unidades.

7. Si 7-a, pruebe que a3+ 1 ´o a31 es divisible por 7.

8. Las m´as recientes apariciones del cometa Halley fueron en 1835,1910

y 1986, la pr´oxima ser´a en 2061. Pruebe que

(18)

9. a) Sea p un primo y gcd(a, p) = 1. Use el teorema de Fermat para

probar que x ≡ ap−2bodb es una soluci´on de la congruencia

lineal ax≡b m´odp.

b) Por la partea), resuelva las congruencias lineales 2x≡1 m´od 31,

6x≡5 m´od 11, y 3x≡17 m´od 29.

10. Sup´ongase queaybson enteros no divisibles por un primop, demuestre

lo siguiente:

a) Si ap bp odp, entoncesab odp.

b) Si ap ≡bp m´odp, entoncesap ≡bp m´odp2.

11. Utilice el teorema de Fermat para demostrar que, si p es un primo

impar, entonces

a) 1p−1+ 2p−1+ 3p−1+· · ·+ (p−1)p−1 ≡ −1 m´odp

b) 1p + 2p + 3p+· · ·+ (p1)p 0 m´odp. [Sugerencia 1 + 2 + 3 +

· · ·+ (p−1) = p(p−1)/2.]

12. Pruebe que sipes un primo impar ykes un entero tal que 1≤k≤p−1,

entonces el coeficiente binomial

p−1

k

≡(−1)k (m´od p).

13. Suponga que p y q son primos impares distintos tales que p−1|q−1.

Si gcd(a, pq) = 1, muestre queaq−1 1 m´odpq.

14. Si p y q son primos distintos, pruebe que

pq−1+qp−1 ≡1 m´odpq.

15. a) Si el n´umeroMp = 2p−1 es compuesto, dondepes primo, entonces

(19)

5.5 Ejercicios 19. Prof. John H. Castillo

b) Todo n´umero Fn = 22

n

+ 1 es un pseudoprimo (n = 0,1,2, . . .)

[Sugerencia: 2n+1|222n

implica que 22n+1

−1|222n

−1; peroFn|22

n+1 −

1.]

16. Verifique si los siguientes enteros son n´umeros de Carmichael:

a) 1387 = 19·73,

b) 2821 = 7·13·31,

c) 1905 = 3·5·127.

17. Muestre que el pseudoprimo 341 no es un n´umero de Carmichael,

mos-trando que 113416≡11 m´od 341 [Sugerencia: 31

-1134−11.]

18. a) Cuando n = 2p, donde p es un primo impar, pruebe que an−1 ≡

a m´odn para cualquier entero a.

b) Para n = 195 = 3·5·15, demuestre que an−2 ≡ a m´odn para cualquier entero a.

19. Pruebe que todo entero de la forma

n= (6k+ 1)(12k+ 1)(18k+ 1)

es un n´umero de Carmichael si todo los factores son primos; de ah´ı que

1729 = 7·13·19 es un n´umero de Carmichael.

Problemas 5.3 El Teorema de Wilson

1. a) Pruebe que un enteron >1 es primo si y s´olo si (n−2)! ≡1 m´odn.

b) Sin es un entero compuesto, muestre que que (n−1)! ≡0 m´odn,

excepto cuando n= 4.

2. De un n´umero primop, tal que

(20)

3. Si p es un primo, pruebe que

p|ap+ (p−1)!a y p|(p−1)!ap+a

para cualquier entero a. [Sugerencia: Por el teorema de Wilson ap +

(p−1)!a≡apaodp.]

4. Encuentre los primos impares p≤13, tales que (p−1)! ≡ −1 m´odp2.

5. Use el teorema de Wilson, para probar que

12·32·52· · ·(p−2)2 ≡(−1)(p+1)/2 m´odp

para cualquier primo imparp. [Sugerencia: Dado quek≡ −(p−k) m´od

p, se sigue que 2·4·6· · ·(p−1)≡(−1)(p−1)/21·3·5· · ·(p2) m´odp.]

6. a) Para un primop de la forma 4k+ 3, pruebe que

p−1 2

!≡1 m´odp ´o

p−1 2

!≡ −1 m´odp;

de donde, [(p−1)/2]! satisface la congruencia cuadr´atica

x2 1 m´odp.

b) Use la partea) para mostrar que sip= 4k+ 3 es primo, entonces

el producto de todos los enteros pares menores quepes congruente

m´odulo pcon 1 ´o −1. [Sugerencia: el Teorema de Fermat implica

que 2(p−1)/2 ≡ ±1 m´odp.]

7. Muestre que si p = 4k + 3 es primo y a2 +b2 ≡ 0 m´odp, entonces

a ≡ b ≡ 0 m´odp. [Sugerencia: si a 6≡ 0 m´odp, entonces existe un

entero ctal que ac≡1 m´odp.]

8. Pruebe que los divisores primos del enteron2+ 1 son de la forma 4k+ 1.

9. Pruebe que 4(29!) + 5! es divisible por 31.

10. Para un primo p y 0 ≤ k ≤ p−1, muestre que k!(p−k −1)! ≡

(21)

5.5 Ejercicios 21. Prof. John H. Castillo

11. Sip y q son primos distintos, pruebe que

pq|apq −ap−aq+a,

para cualquier entero a.

12. Pruebe que sip y p+ 2 son primos gemelos, entonces

(22)
(23)

Cap´ıtulo 6

Funciones Aritm´

eticas

(Funciones de Teor´ıa de

umeros)

6.1.

Las funciones

τ

y

σ

Cualquier funci´on cuyo dominio de definici´on es el conjunto de los enteros

positivos se dice que es una funci´on aritm´etica o una funci´on de teor´ıa de

n´umeros.

Aunque el valor de una funci´on aritm´etica no tiene que ser un entero postivo,

o a´un m´as no tiene por que ser un entero, muchas de las funciones que se

analizan aqu´ı son de valores enteros.

Definici´on 4. Dado un entero positivon,τ(n)denota el n´umero de divisores

positivos de n y σ(n) denota la suma de estos divisores.

Por ejemplo, sea n= 12. Dado que los divisores de 12 , son 1,2,3,4,6,12

se tiene que τ(12) = 6 yσ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. A partir de la

definici´on deτ y σ se tiene que

τ(n) = 2 si y s´olo si n es primo

σ(n) =n+ 1 si y s´olo si n es primo.

(24)

Notaci´on: Con

X

d|n

f(d)

se denota la suma de todos losf(d) cuandodrecorre el conjunto los divisores

positivos de n. Por ejemplo

X

d|20

f(d) = f(1) +f(2) +f(4) +f(5) +f(10) +f(20).

Con esta notaci´on, τ y σ se pueden escribir como sigue:

τ(n) =X

d|n

1 y σ(n) = X

d|n

d.

En consecuencia,τ(10) =P

d|n1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, mientras que, σ(10) =

P

d|10d = 1 + 2 + 5 + 10 = 18. El primer teorema de este cap´ıtulo presenta

una forma f´acil para determinar los divisores positivos de un entero una vez

se conozca su factorizaci´on prima.

Teorema 6.1.1. Si n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima de n > 1,

entonces los divisores positivos de n son precisamente aquellos enteros d de

la forma

d =pa1

1 p

a2

2 · · ·p

ar

r

donde 0≤ai ≤ki, para i= 1,2, . . . , r.

Demostraci´on. Note que d = 1 se obtiene cuando a1 = a2 =· · · =ar = 0 y

que d=n se obtiene cuando a1 =k1, a2 =k2, . . . , ar =kr. Sup´ongase qued

es un divisor den, cond 6= 1 y d6=n; es decir,n =dd0, donde 1< d, d0 < n.

Expresandod y d0 como producto de primos (no necesariamente diferentes)

d=q1q2· · ·qs, d0 =t1t2· · ·tm

Entonces pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr = q1q2· · ·qst1t2· · ·tm son dos factorizaciones primas

paran. Por la unicidad de la factorizaci´on prima, cada primo qi debe ser uno

de los pj. Reorganizando se tiene que d = pa11p

a2

2 · · ·parr, con la posibilidad

(25)

6.1 Las funciones τ y σ 25. Prof. John H. Castillo

Reciprocamente, todo n´umerod=pa1

1 p

a2

2 · · ·parr, con 0≤ai ≤ki es un divisor

den. Pues

n=pk1

1 p

k2

2 · · ·p

kr

r = (p a1

1 p

a2

2 · · ·p

ar

r )p k1−a1

1 p

k2−a2

2 · · ·p

kr−ar

r

Teorema 6.1.2. Si n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima de n > 1,

entonces

1. τ(n) = (k1+ 1)(k2 + 1)· · ·(kr+ 1) y

2. σ(n) = p

k1+1

1 −1

p1−1

pk2+1

2 −1

p2−1

· · ·p

kr+1

r −1

pr−1

.

Demostraci´on. De acuerdo al Teorema 6.1.1 los divisores de n son precisa-mente aquellos enteros d = pa1

1 · · ·parr donde 0 ≤ ai ≤ ki. Existen entonces

k1+ 1 posibilidades para el exponente a1, k2+ 1 posibilidades para el

expo-nente a2, . . ., kr+ 1 posibilidades para el exponente ar, por lo tanto, existen

(k1+ 1)(k2+ 1)· · ·(kr+ 1) divisores de n.

Para calcular σ(n), considere el producto

(1 +p1+p21+· · ·+p

k1

1 )(1 +p2+p22+· · ·+p

k2

2 )· · ·(1 +pr+p2r+· · ·+p kr

r ) (6.1)

Cada divisor positivo de n aparece una y s´olo una vez como t´ermino en

la expansi´on del producto en (6.1), de esta forma

σ(n) = (1+p1+p21+· · ·+p

k1

1 )(1+p2+p22+· · ·+p

k2

2 )· · ·(1+pr+p2r+· · ·+p kr

r ).

Aplicando la f´ormula para la suma de una serie geom´etrica finita al i-´esimo

factor en el producto anterior se tiene que

1 +pi+p2i +· · ·+p ki

i =

pki+1

i −1

pi−1

.

As´ı se tiene que

σ(n) = p

k1+1

1 −1

p1−1

pk2+1

2 −1

p2−1

· · ·p

kr+1

r −1

pr−1

(26)

Utilizando la notaci´on para el producto se tiene que

τ(n) = Y

1≤i≤r

(ki+ 1) = r

Y

i=1

(ki+ 1)

σ(n) = Y

1≤i≤r

pki+1

i −1

pi−1

=

r

Y

i=1

pki+1

i −1

pi−1

Una de las propiedades m´as interesantes de la funci´on τ es que el producto

de los divisores positivos de un enteron >1 es igual anτ(n)/2. En efecto; sea

d un divisor arbitrario de n, entonces

n=dd0 (6.2)

para alg´und0. Cuando se recorre todos los τ(n) divisores den, se tienenτ(n)

ecuaciones de la forma (6.2). Multiplicando estas ecuaciones se tiene que

nτ(n) =Y

d|n

d·Y

d0|n

d0

Pero cuandodrecorre todos los divisores de n,d0 tambi´en lo hace, de ah´ı que

Y

d|n

d=Y

d0|n

d0.

Entonces

nτ(n)=

  Y d|n d   2

Por lo tanto,

nτ(n)/2 =Y

d|n

d. (6.3)

No es obvio ver que en la ecuaci´on (6.3), el lado izquierdo siempre es un entero. Siτ(n) es par, no hay ning´un problema, puesτ(n) = 2ky as´ınτ(n)/2 =

nk

Z. Adem´as se puede probar lo siguiente: τ(n) es impar si y s´olo si n es

un cuadrado perfecto. Es decir que si n es impar entonces existe un entero

(27)

6.1 Las funciones τ y σ 27. Prof. John H. Castillo

Definici´on 5. Se dice que una funci´on aritm´etica f es multiplicativa si

f(mn) =f(m)f(n)

cuando gcd(m, n) = 1.

Para ejemplo sencillos de funciones multiplicativas, considere h(n) = 1 y

g(n) = n para todo n≥1.

Por inducci´on se tiene que si f es multiplicativa y n1, n2, . . . , nr son

enteros positivos primos relativos por parejas, entonces f(n1n2· · ·nr) =

f(n1)f(n2)· · ·f(nr). Las funciones multiplicativas tienen una ventaja: est´an

completamente determinadas una vez se conozcan sus valores en las potencias

de primos. En efecto, sea n > 1 un entero dado, tal que n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr.

Dado que las potencias pki

i son primos relativos dos a dos, la propiedad

mul-tiplicativa afirma que f(n) =f(pk1

1 )f(p

k2

2 )· · ·f(pkrr).

Si f es una funci´on multiplicativa diferente de la funci´on nula, entonces

existe un entero n tal que f(n)6= 0. De dondef(n) = f(n·1) =f(n)·f(1),

de donde f(1) = 1.

Teorema 6.1.3. Las funciones τ y σ son funciones multiplicativas.

Demostraci´on. Sean m y n enteros primos relativos entre s´ı. Como el

resul-tado es verdadero si alguno de los dos es igual a 1, se puede suponer que

m > 1 y n > 1. Si m = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr y n = q j1

1 q

j2

2 · · ·qsjs son las

factoriza-ciones primas de m y n, entonces, dado que gcd(m, n) = 1, se tiene que la

factorizaci´on prima de mn es

mn=pk1

1 p

k2

2 · · ·p

kr

r q j1

1 q

j2

2 · · ·q

js

s .

Del Teorema 6.1.2, se tiene que

τ(mn) = (k1 + 1)· · ·(kr+ 1)

| {z }

τ(m)

(j1+ 1)· · ·(js+ 1)

| {z }

τ(n)

=τ(m)τ(n).

Igualmente del Teorema 6.1.2

σ(mn) =

pk1+1

1 −1

p1 −1

· · ·p

kr+1

r −1

pr−1

"

qj1+1

1 −1

q1−1

· · ·q

js+1

s −1

qs−1

#

(28)

Lema 6.1.4. Sigcd(m, n) = 1, entonces el conjunto de los divisores positivos

de mnconsiste de todos los productos d1d2, donde d1|n, d2|m y gcd(d1, d2) =

1; adem´as estos productos son diferentes.

Demostraci´on. Sin perdida de generalidad, se puede suponer que m > 1 y

n >1, sea m=pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr y n =q j1

1 q

j2

2 · · ·qsjs las factorizaciones de m y n

respectivamente. Como gcd(m, n) = 1 entonces los primosp1, . . . , pr, q1, . . . , qs

son distintos y la factorizaci´on prima de mnes

mn=pk1

1 p

k2

2 · · ·p

kr

r q j1

1 q

j2

2 · · ·q

js

s

de aqu´ı cualquier divisor positivo d de mn estar´a unicamente representado

en la forma

d=pa1

1 p

a2

2 · · ·parrq b1

1 q

b2

2 · · ·qbss

con 0≤ ai ≤ ki y 0 ≤bi ≤ji. As´ıd=d1d2, donde d1 = pa11p

a2

2 · · ·parr divide

a m y d2 =q1b1q

b2

2 · · ·qbss divide a n. Dado que pi 6=qj para toda pareja i, j,

se tiene que gcd(d1, d2) = 1

El siguiente resultado se utilizar´a en las siguientes secciones.

Teorema 6.1.5. Si f es una funci´on multiplicativa y F se define por

F(n) =X

d|n

f(d),

entonces F tambi´en es multiplicativa.

Demostraci´on. Seanm, nenteros positivos primos relativos entre s´ı. Entonces

F(mn) = X

d|mn

f(d) = X

d1|m, d2|n

f(d1d2).

Como gcd(d1, d2) = 1, entonces f(d1d2) =f(d1)f(d2). As´ı,

F(mn) = X

d1|m, d2|n

f(d1)f(d2) =

 X

d1|m

f(d1)

 

 X

d2|n

f(d2)

(29)

6.2 La f´ormula de inversi´on de M¨obius 29. Prof. John H. Castillo

Del Teorema 6.1.5 se puede dar otra prueba del Teorema 6.1.3.

Corolario 2. Las funciones τ y σ son funciones multiplicativas.

Demostraci´on. Como f(n) = 1 y f(n) = n son funciones multiplicativas, se

tiene entonces queτ y σ son multiplicativas, dado que

τ(n) =X

d|n

1 y σ(n) = X

d|n

d

6.2.

La f´

ormula de inversi´

on de M¨

obius

A continuaci´on se define otra funci´on que tiene como dominio el conjunto

de los enteros positivos, la funci´on de M¨obius.

Definici´on 6. Para un entero positivo n, se define µ por

µ(n) =

    

   

1 si n= 1

0 si p2|n para alg´un primo p

(−1)r si n=p

1p2· · ·pr, donde los pi son primos distintos

En otras palabras; µ(n) = 0 si n no es un entero libre de cuadrados,

mientras queµ(n) = (−1)r sines un entero libre de cuadrados conr factores

primos. Por ejemplo;µ(30) =µ(2·3·5) = (−1)3 =−1. Los primeros valores de µ son µ(1) = 1, µ(2) = −1, µ(3) = −1, µ(4) = 0, µ(5) = −1, µ(6) = 1.

Adem´as, si p es primo entonces µ(p) = −1 y tambi´enµ(pk) = 0 si k 2.

Teorema 6.2.1. La funci´on µ es una funci´on multiplicativa.

Demostraci´on. Se desea probar que µ(mn) =µ(m)µ(n), simynson enteros

positivos primos relativos entre s´ı. Si p2|m ´o p2|n, con p primo, entonces

p2|mn, de ah´ı que µ(mn) = 0 = µ(m)µ(n), y entonces se tiene el resultado

trivialmente. Ahora si m y n son enteros libres de cuadrado; es decir m =

(30)

primos diferentes. Adem´as, se tiene que qj 6=pi pues gcd(m, n) = 1. De esta

forma, µ(mn) =µ(p1· · ·prq1· · ·qs) = (−1)r+s= (−1)r(−1)s =µ(m)µ(n), lo

que completa la prueba.

Ahora se analiza que pasa si µ(d) se eval´ua para todos los divisores

posi-tivosd de un enterony se suman los resultados. Cuando n = 1, la respuesta

es f´acil,

X

d|1

µ(d) = µ(1) = 1.

Suponga quen >1 y seaF(n) =P

d|nµ(d). Para preparar el terreno, primero

se calcula F(n) para potencias de un primo, es decir se considera el caso

n =pk, cuando p es un n´umero primo. Los divisores positivos de pk son los

k+ 1 enteros 1, p, p2, . . . , pk, entonces

F(pk) =X

d|pk

µ(pk) = µ(1) +µ(p) +µ(p2) +· · ·+µ(pk) =µ(1) +µ(p) = 0

Comoµes una funci´on multiplicativa , entonces del teorema6.1.5la funci´on

F es multiplicativa. As´ı; si la factorizaci´on prima de n es n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr,

entonces F(n) =F(pk1

1 )· · ·F(pkrr) = 0. El an´alisis anterior lleva al siguiente

resultado.

Teorema 6.2.2. Para cada entero positivo n ≥1,

X

d|n

µ(d) =

 

1 sin = 1

0 sin > 1

cuando d recorre todos lo divisores primos den.

La importancia de la funci´on de M¨obius aparece en el siguiente teorema

Teorema 6.2.3(F´ormula de Inversi´on de M¨obius).SeanF yf dos funciones

aritm´eticas tales que

F(n) = X

d|n

f(d)

Entonces

f(n) = X

d|n

µ(d)F(n/d) = X

d|n

(31)

6.2 La f´ormula de inversi´on de M¨obius 31. Prof. John H. Castillo

Demostraci´on. Las dos sumas que se mencionan en la conclusi´on del teorema

son la misma reemplazando el ´ındice d y d0 = n/d, pues cuando d recorre

todos los divisores positivos de n, d0 tambi´en lo hace.

Se tiene entonces que

X

d|n

µ(d)F(n/d) =X

d|n

µ(d) X

c|(n/d)

f(c)

 = X d|n   X

c|(n/d)

µ(d)f(c)

puesµ(d) no depende dec. Ahora comod|nyc|(n/d) si y s´olo sic|nyd|(n/c)

se tiene que

X

d|n

 X

c|(n/d)

µ(d)f(c)

 = X c|n   X

d|(n/c)

f(c)µ(d)

=

X

c|n

f(c) X

d|(n/c)

µ(d)

Ahora del teorema 6.2.2

X

d|(n/c)

µ(d) =

 

1 si n=c

0 de otra forma

As´ı

X

d|n

µ(d)F(n/d) =X

c=n

f(c)·1 =f(n).

Para ver como funciona la inversi´on de M¨obius, en un caso particular, ya

que las funciones τ y σ pueden escribirse como

τ(n) =X

d|n

1 y σ(n) =X

d|n

d

El teorema 6.2.3 dice entonces que

1 =X

d|n

µ(n/d)τ(d) y n =X

d|n

µ(n/d)σ(d)

para todo n ≥1. El teorema 6.1.5, afirma que si f es una funci´on multipli-cativa, entoncesF(n) = P

d|nf(d) tambi´en lo es. Mirando la situaci´on, en la

otra direcci´on, podr´ıa preguntarse cuando la naturaleza multiplicativa de F

(32)

Teorema 6.2.4. Si F es una funci´on multiplicativa y

F(n) =X

d|n

f(d),

entonces f tambi´en es multiplicativa.

Demostraci´on. Sean m y n enteros primos relativos. Cualquier divisor d de

mn se puede escribir en forma ´unica como d = d1d2, donde d1|m y d2|n, y

gcd(d1, d2) = 1. As´ı por la f´ormula de inversi´on de M¨obius,

f(mn) = X

d|mn

µ(d)F mn d

= X

d1|m,d2|n

µ(d1d2)F

mn d1d2

= X

d1|m,d2|n

µ(d1)µ(d2)F

m d1 F n d2 =   X

d1|m

µ(d1)F

m d1     X

d2|n

µ(d2)F

n d2

=f(m)f(n).

6.3.

Ejercicios

Problemas 6.1

1. a) Verifique queτ(n) =τ(n+ 1) =τ(n+ 2) =τ(n+ 3) se tiene para

n = 3655 y 4503.

b) Cuando n= 14,206, y 957, muestre que σ(n) =σ(n+ 1).

2. Para cualquier n≥1, demuestre la desigualdadτ(n)≤2√n.

[Sugeren-cia: sid|n, entonces d on/d son menores o iguales que √n.]

3. Pruebe que

(33)

6.3 Ejercicios 33. Prof. John H. Castillo

b) σ(n) es un entero impar si y s´olo si n es un cuadrado perfecto

o dos veces un cuadrado perfecto.[Sugerencia: Si p es un primo

impar, entonces 1 +p+p2+· · ·+pk es impar solamente cuando

k es par.]

4. Muestre que P

d|n1/d=σ(n)/n para todo entero positivo n.

5. Si n es un entero libre de cuadrados, pruebe que τ(n) = 2r, donde r es

el n´umero de divisores primos de n.

6. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) Si n=pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima den >1, entonces

1> n σ(n) >

1− 1

p1

1− 1

p2

· · ·

1− 1

pr

b) Para cualquier entero positivo n,

σ(n!)/n!≥1 + 1/2 + 1/3 +· · ·+ 1/n.

[Sugerencia: ver problema 4.]

c) Si n > 1 es un n´umero compuesto, entonces σ(n) > n + 1√n.

[Sugerencia: Sea d|n, donde 1 < d < n, entonces 1< n/d < n. Si

d ≤√n, entoncesn/d ≥√n.]

7. Dado un entero positivo k >1, muestre que existen infinitos n´umeros

enteros tales que τ(n) =k, pero a lo m´as un n´umero finito de enteros

n tales que σ(n) =k.[Sugerencia: utilice el problema 6(a).]

8. a) Encuentre la forma de todos los enteros positivos n tales que

τ(n) = 10. ¿Cu´al es el menor entero positivo para el que esto

es verdad?

b) Muestre que no existen enteros positivos n tales que σ(n) = 10.

(34)

9. Pruebe que existen infinitas parejas de enterosmyntales queσ(m2) =

σ(n2). [Sugerencia escojaktal que gcd(k,10) = 1 y considere los enteros

m= 5k, n= 4k.]

10. Para k ≥2, muestre lo siguiente:

a) n = 2k−1 satisface la ecuaci´on σ(n) = 2n1.

b) Si 2k1 es primo, entonces n= 2k−1(2k1) satisface la ecuaci´on

σ(n) = 2n;

c) Si 2k2 es primo, entonces n= 2k−1(2k3) satisface la ecuaci´on

σ(n) = 2n+ 2.

No se sabe si existen enteros tales que σ(n) = 2n+ 1.

11. Sinyn+ 2 son dos primos gemelos, demuestre queσ(n+ 2) =σ(n) + 2;

esto tambi´en para n= 434 y 8575.

12. Para un entero fijo k, muestre que la funci´onf definida por f(n) =nk

es multiplicativa.

13. Sean f y g funciones multiplicativas tales que f(pk) = g(pk) para cada

primop y k ≥1. Pruebe quef =g.

14. Pruebe que si f y g son funciones multiplicativas, entonces f g y f /g

tambi´en son funciones multiplicativas (siempre y cuando estas

funcio-nes esten definidas).

15. Seaρla funci´on tal queρ(1) = 1 yρ(n) = 2r, si la factorizaci´on prima de

n >1 es n=pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr; por ejemplo ρ(8) = 2 y ρ(10) =ρ(36) = 22.

a) Pruebe queρ es una funci´on multiplicativa.

b) Encuentre un f´ormula para F(n) = P

d|nρ(d) en t´erminos de la

(35)

6.3 Ejercicios 35. Prof. John H. Castillo

16. Para cualquier entero positivon, pruebe queP

d|nτ(d)

3 = (P

d|nτ(d))

2.

[Sugerencia: los dos lados de la ecuaci´on en cuesti´on son fucniones

mul-tiplicativas den, entonces es suficiente considerar el cason=pk, donde

p es primo.]

17. Dado n ≥ 0, σt(n) denota la suma de las t- ´esimas potencias de los

divisores positivos de n, esto es

σt(n) =

X

d|n

dt.

Demuestre lo siguiente:

a) σ0 =τ y σ1 =σ.

b) σt es una funci´on multiplicativa.[Sugerencia: la funci´onf definida

por f(n) = nt es multilplicativa.]

c) Si n=pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima den, entonces

σt(n) =

pt(k1+1)

1 −1

pt

1−1

!

· · · p

t(k1+1)

1 −1

pt

1−1

!

18. Para cualquier entero positivon, muestre que

a) P

d|nσ(d) =

P

d|nτ(d), y

b) P

d|n

n

dσ(d) =

P

d|ndτ(d) [Sugerencia: Dado que las funciones

F(n = P

d|nσ(d) y G(n) =

P

d|n(n/d)τ(d) son multiplicativas,

es suficiente probar que F(pk) = G(pk) para cualquier primo p.]

Problemas 6.2

1. a) Para cada entero positivon, muestre que

µ(n)µ(n+ 1)µ(n+ 2)µ(n+ 3) = 0

b) Para cualquier entero n≥3, muestre que Pn

(36)

2. La funci´on de Mangoldt Λ se define por

Λ(n) =

 

log(p) sin =pk, dondep es un primo impar yk ≥1

0 en otro caso

Pruebe que Λ(n) =P

d|nµ(n/d) logd=−

P

d|nµ(d) logd. [Sugerencia:

Primero muestre que PΛ

d|n(n) = logn y luego utilice la f´ormula de

inversi´on de M¨obius.]

3. Sea n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr la factorizaci´on prima del entero n > 1. Si f es

una funci´on multiplicativa, pruebe que

X

d|n

µ(d)f(d) = (1−f(p1))(1−f(p2))· · ·(1−f(pr))

[Sugerencia: La funci´on F definida por F(n) = P

d|nµ(d)f(d) es

mul-tiplicativa; de ah´ı queF(n) es el producto de los F(pki

i ).]

4. Si el entero n >1 tiene la factorizaci´on prima n =pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr use el

problema 3 para demostrar lo siguiente:

a) P

d|nµ(d)τ(d) = (−1)r;

b) P

d|nµ(d)σ(d) = (−1)rp1p2· · ·pr;

c) P

d|nµ(d)/d= (1−1/p1)(1−1/p2)· · ·(1−1/pr);

d) P

d|ndµ(d) = (1−p1)(1−p2)· · ·(1−pr).

5. Por S(n) se denota el n´umero de divisores libres de cuadrados de n.

Demuestre que

S(n) =X

d|n

|µ(d)|= 2ω(n)

dondeω(n) es el n´umero de divisores primos diferentes de n.

6. Encuentre f´ormulas para P

d|nµ2(d)/τ(d) y

P

d|nµ2(d)/σ(d) en t´

(37)

6.3 Ejercicios 37. Prof. John H. Castillo

7. La funci´on λ de Liouville se define por

λ(n) =

 

1 si n= 1

(−1)k1+k2+···+kr si n =pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr

Por ejemplo, λ(360) =λ(23·32·5) = (1)3+2+1= (1)6 = 1.

a) Pruebe queλ es una funci´on multiplicativa.

b) Dado un entero positivo n, verifique que

X

d|n

λ(d) =

 

1 sin =m2 para alg´un entero m

0 en otro caso

8. Si el entero n > 1 tiene la factorizaci´on prima n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr,

de-muestre queP

(38)
(39)

Cap´ıtulo 7

Generalizaci´

on de Euler del

Teorema de Fermat

7.1.

Funci´

on

φ

de Euler

Definici´on 7. Para n un entero mayor que1, porφ(n) se denota el n´umero

de enteros positivos menores o iguales que n que son primos relativos con n.

Por ejemplo φ(30) = 8, pues entre los enteros positivos menores que

30, hay ocho que son primos relativos con 30 (i.e 1,7,11,13,17,19,23,29).

Adem´as, se puede ver que φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(5) = 4, φ(6) =

2, φ(7) = 6, . . ..

Note que φ(1) = 1, pues gcd(1,1) = 1. Mientras que si n > 1, entonces

gcd(n, n) = n 6= 1, entonces φ(n) se puede caracterizar como el n´umero de

enteros menores que n y primos relativos con n. La funci´on φ se denomina

la Funci´on φ de Euler (algunas veces se le denomina funci´on indicatriz) por

su creador; sin embargo la notaci´on funcional φ(n) se debe a Gauss.

Si n es un n´umero primo, entonces todo entero menor que n es primo

relativo con ´el; de ah´ı que φ(n) = n − 1. Por otra parte , si n > 1 es

compuesto , entonces n tiene un divisor d tal que 1< d < n. Luego existen

por lo menos dos enteros entre 1,2, . . . , nque no son primos relativos conn;

es decir, d y n mismo. Por lo tanto φ(n) ≤ n−2. Esto prueba la siguiente

(40)

afirmaci´on: Sea n un entero positivo mayor que 1, entonces

φ(n) =n−1 si y s´olo sin es primo.

El primer objetivo es encontrar una f´ormula que permita calcular el valor de

φ(n) directamente a partir de la factorizaci´on prima den.

Teorema 7.1.1. Si p es primo y k >0, entonces

φ(pk) =pk−pk−1 =pk

1−1

p

.

Demostraci´on. Es claro que gcd(n, pk) = 1 si y s´olo sipno divide an. Existen

pk−1 enteros entre 1 ypk que son divisibles por p, es decir, p,2p, . . . ,(pk−1)p.

As´ı el conjunto {1,2, . . . , pk} tiene exactamente pk −pk−1 enteros que son primos relativos con pk y entonces, de la definici´on de la funci´onφ, se tiene

que

φ(pk) =pk−pk−1.

El teorema anterior da una forma de calcular el valor de la funci´onφpara

potencias de primos, y el objetivo es obtener una f´ormula paraφ(n) a partir de

la factorizaci´on den como un producto de primos. El puente faltante en esta

cadena de ideas es obvio: falta demostrar queφes una funci´on multiplicativa.

Lema 7.1.2.Seana, b, centeros tales quegcd(a, bc) = 1si y s´olo sigcd(a, b) =

1 y gcd(a, c) = 1.

Demostraci´on. Sup´ongase primero que gcd(a, bc) = 1 y sea d = gcd(a, b).

Entonces d|a y d|b, de ah´ı que d|a y d|bc, esto implica que d≤ gcd(a, bc) =

1, de donde d = 1. Un razonamiento similar muestra que gcd(a, c) = 1.

Reciprocamente, sea gcd(a, b) = 1 = gcd(a, c) y sup´ongase que gcd(a, bc) =

d1 >1. Entonces d1 debe tener un divisor primo p. Dado que d1|bc, se sigue

entonces que p|bc, y en consecuencia p|b o p|c. Si p|b, (como p|a) entonces,

gcd(a, b)≥p, lo que es una contradicci´on. Y si p|c, entonces gcd(a, c)≥p, lo

(41)

7.1 Funci´on φ de Euler 41. Prof. John H. Castillo

Teorema 7.1.3. La funci´on phi es una funci´on multiplicativa.

Demostraci´on. Es necesario mostrar que φ(mn) = φ(m)φ(n), cuando m y n

son primos relativos. Dado que φ(1) = 1, el resultado se tiene si alguno de

los enteros es igual a 1. As´ı, se puede suponer quem >1 yn >1. Se ordenan

los enteros desde 1 hasta mn en m columnas de n enteros cada una, como

sigue

1 2 · · · r · · · m

m+ 1 m+ 2 · · · m+r · · · 2m

2m+ 1 2m+ 2 · · · 2m+r · · · 3m

..

. ... ... ... ... ...

(n−1)m+ 1 (n−1)m+ 2 · · · (n−1)m+r · · · nm

Se sabe que φ(mn) es igual al n´umero de entradas en el arreglo anterior que

son primos relativos con mn; en virtud del lema anterior, este es el mismo

n´umero de enteros que son primos relativos con m y n.

Antes de entrar en los detalles; es ´util decir cual ser´a la t´actica a seguir:

dado que gcd(qm+r, m) = gcd(r, m), los n´umeros en lar-´esima columna son

primos relativos conmsi y s´olo sir es primo relativo conm. As´ı, ´unicamente

φ(m) columnas son primos relativos con m. El problema ahora es mostrar

que cada una de estasφ(m) columnas hay exactamenteφ(n) enteros que son

primos relativos con n, entonces se tendr´a que existenφ(m)φ(n) n´umeros en

el arreglo que son primos relativos con m y n.

Ahora las entradas en la r-´esima columna (donde gcd(r, m) = 1) son

r, m+r,2m+r, . . . ,(n−1)m+r.

Existen n enteros es esta sucesi´on y ninguno de estos congruentes m´odulon.

En efecto, sea

km+r≡jm+r (m´od n),

con 0 ≤ k < j < n, se tendr´ıa entonces que km ≡ jm(m´odn) y como

gcd(m, n) = 1, entonces k ≡ j(m´odn), lo que es claramente una

(42)

0,1,2, . . . , n−1, en alg´un orden. Pero sis≡t( m´odn), entonces gcd(s, n) = 1

si y s´olo si gcd(t, n) = 1. Esto implica que la r-´esima columna contiene el

mismo n´umero de enteros que son primos relativos con n que el conjunto

{0,1,2, . . . , n−1}, es decirφ(n) enteros. As´ı, el n´umero total de entradas en

el arreglo que son primos relativos am y n son φ(m)φ(n).

Teorema 7.1.4. Si el enteron > 1tiene la factorizaci´on priman=pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr,

entonces

φ(n) =

r

Y

i=1

(pki

i −p ki−1

i ) =n r

Y

i=1

1− 1

pi

.

Demostraci´on. Como n = pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr y φ es una multiplicativa, se tiene

que

n =φ(pk1

1 p

k2

2 · · ·p

kr

r ) =φ(p k1

1 )φ(p

k2

2 )· · ·φ(p

kr

r )

=(pk2

1 −p

k1−1

1 )(p

k2

2 −p

k2−1

2 )· · ·(pkrr −pkr −1

r ) = r

Y

i=1

(pki

i −p ki−1

i )

=pk1

1

1− 1

p1

pk2

2

1− 1

p2

· · ·pkr

1

1− 1

pr

=n

1− 1

p1

· · ·

1− 1

pr =n r Y i=1

1− 1

pi

Por ejemplo 360 = 23·32·5, entonces φ(30) = 360(11/2)(11/3)(1

1/5) = 8·3·4 = 96. Hasta ahora en todos los ejemplos que se han hecho hay

una constante, el valos dephi(excepto para n= 1,2) ha sido par; esto no es

casualidad y se demuestra en el siguiente teorema.

Teorema 7.1.5. Para n >2, φ(n) es un entero par.

Demostraci´on. Primero sup´ongase que n es una potencia de 2, es decir que

n= 2k, con k 2. Por el teorema anterior

φ(n) = φ(2k) = 2k

1− 1

2

(43)

7.2 Teorema de Euler 43. Prof. John H. Castillo

es un entero par. Si n no es una potencia de 2, entonces n es divisible por

un primo impar; as´ı se puede escribir a n como n = pkm, donde k 1 y

gcd(pk, m) = 1. A partir de la naturaleza multiplicativa de φ, se tiene que

φ(n) =φ(pk)φ(m) = pk−1(p−1)φ(m)

que es de nuevo un n´umero par, ya que 2|p−1.

Adem´as se puede dar otra demostraci´on delTeorema de Euclides sobre la

infinitud de los n´umeros primos, utilizando la funci´onφen la siguiente forma:

Sup´ongase que existe un n´umero finito de primos. Sean estos p1, p2, . . . , pr y

sea n = p1p2· · ·pr. Entonces si 1 < a ≤ n, se tiene que gcd(a, n) 6= 1. Esto

se tiene porque como a es mayor que 1, debe tener un divisor primo q, que

debe ser uno de lospi, pues se supone que el conjunto de n´umeros primos es

finito. De ah´ı que q|n; en otras palabras gcd(a, n)≥ q. As´ıφ(n) = 1, lo que

contradice el teorema anterior.

7.2.

Teorema de Euler

Como se dijo antes, la primera prueba del Teorema de Fermat fua dada

por Euler. En 1760, generaliz´o el Teorema de Fermat de un primo p a un

entero arbitrario n. Este memorable resultado dice que: si gcd(a, n) = 1,

en-tonces aφ(n) 1(m´odn). Antes de presentar la prueba de la Generalizaci´on

de Euler del teorema de Fermat, se presenta un lema preliminar

Lema 7.2.1. Sea n > 1 y gcd(a, n) = 1. Si a1, a2, . . . , aφ(n) son los enteros

positivos menores queny primos relativos conn, entoncesaa1, aa2, . . . , aaφ(n)

son congruentes m´odulo n a, a1, a2, . . . , aφ(n) en alg´un orden.

Demostraci´on. Observe que los enteros aa1, aa2, . . . , aaφ(n) son incroguentes

m´odulo n dos a dos. En efecto; si aai ≡ aaj(m´odn), con 1 ≤ i < j ≤ φ(n),

entonces como gcd(a, n) = 1, ai ≡ aj(m´odn) lo que es un contradicci´on.

(44)

uno de los aai es primo relativo a n. En particular, para aai, existe un

en-tero ´unico b, donde 0 ≤ b < n, tal que aai ≡ b(m´odn). Como gcd(b, n) =

gcd(aai, n) = 1,b debe ser uno de los enterosai. Esto prueba que los n´umeros

aa1, aa2, . . . , aaφ(n) y los n´umeros a1, a2, . . . , aφ(n) son congruentes m´odulo n

en alg´un orden.

Teorema 7.2.2. Si n es un entero positivo y gcd(a, n) = 1, entonces

aφ(n)≡1(m´odn).

Demostraci´on. Sin perdida de generalidad se puede suponer que n es un

entero mayor que 1. Sean a1, a2, . . . , aφ(n) los enteros menores que n y

pri-mos relativos con n. Como gcd(a, n) = 1, se sigue del lema que loos enteros

aa1, aa2, . . . , aaφ(n)son congruentes en alg´un orden aa1, a2, . . . , aφ(n).

Enton-ces

(aa1)(aa2)· · ·(aaφ(n))≡a1a2· · ·aφ(n)(m´odn)

de donde

aφ(n)(a1a2· · ·aφ(n))≡a1a2· · ·aφ(n)(m´odn)

Como gcd(ai, n) = 1 para cadai, entonces gcd(a1a2· · ·aφ(n), n) = 1, de donde

aφ(n)≡1(m´odn).

Adem´as, este teorema generaliza el teorema de Fermat. En efecto, sip es

primo, entoncesφ(p) = p−1; de aqu´ı, cuando gcd(a, p) = 1, se tiene que

ap−1 ≡aφ(p) ≡1(m´odp).

Corolario 3 (Fermat). Si p es un n´umero primo y p - a, entonces ap−1 ≡

1(m´odp).

Ejemplo 1. El teorema de Euler es ´util al reducir potencias grandes m´odulo

n. Por ejemplo, si se desea encontrar las dos ´ultimas cifras de3256 es

(45)

7.2 Teorema de Euler 45. Prof. John H. Castillo

100. Dado que gcd(3,100) = 1 y φ(100) = 40. Por el teorema de Euler se

tiene que

340 ≡1(m´od100)

Adem´as como 256 = 6·40 + 16 se tiene que

3256 = 36·40+16 = (340)6316 ≡316 ≡(81)4 ≡(−19)4 ≡(361)2 ≡(61)2 ≡21( m´od 100).

Existe otra prueba del teorema de Euler, en la que se utiliza el teorema

de Fermat.

Segunda demostraci´on del Teorema de Euler. Para empezar, se

prue-ba (por inducci´on) que: sea pun n´umero primo, tal que p-a , entonces

aφ(pk)≡1(m´odpk) k >0.

Cuandok = 1, entonces se tiene el teorema de Fermat. Sup´ongase que

aφ(pk) ≡1(m´odpk) k > 0 (7.1)

y a continuaci´on se prueba que la ecuci´on (7.1) se cumple cuando se reemplaza a k por k+ 1. De (7.1) se tiene que aφ(pk)

= 1 +qpk, para alg´un q

Z y

adem´as

aφ(pk+1) =pk+1−pk=p(pk−pk−1) =pφ(pk).

Entonces

aφ(pk+1)=apφ(pk) = (1 +qpk)p =1 +

p

1

(qpk) +

p

2

(qpk)2 +· · ·+

p p−1

(qpk)p−1+ (qpk)p

≡1 +

p

1

(qpk) (m´od pk+1)≡1 +qpk+1 (m´od pk+1)

≡1 (m´od pk+1)

Ahora sea gcd(a, n) = 1 y quentiene la factorizaci´on priman=pk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr.

Entonces

aφ(piki) 1(m´odp

(46)

para cada i. Adem´as comoφ(n) es divisible por φ(piki), se tiene queaφ(n) ≡

1(m´odpk1

1 p

k2

2 · · ·pkrr, o lo que es lo mismo

aφ(n)≡1 (m´od n).

El teorema de Euler, adem´as sirve para dar otra prueba del Teorema

Chino de los Restos (ver teorema??). Si gcd(ni, nj) = 1, parai6=j, entonces

el sistema de congruencias lineales

x≡ai(m´odnj)

tiene soluci´on. Sea n = n1n2· · ·nr y sea Ni = n/ni para i = 1,2, . . . , r.

Entonces el entero

x=a1N1φ(n1)+a2N2φ(n2)+· · ·+arNrφ(nr)

satisface el sistema de congruencias. Note que

Nj ≡0 (m´od ni) si i6=j

De aqu´ı x ≡ aiNiφ(ni)(m´odni), pero como gcd(Ni, ni) = 1, se tiene que

Nφ(ni)

i ≡1(m´odni) y entoncesx≡ai(m´odni) para cadai.

Otra aplicaci´on del teorema de Euler, es que permite demostrar que sin

es un entero impar, que no es m´ultiplo de 5, entoncesndivide un entero cuyos

d´ıgitos son iguales a 1 (7|111111). Dado que gcd(n,10) = 1 y gcd(9,10) = 1,

se tiene que gcd(9n,10) = 1. Entonces del teorema de Euler,

10φ(9n)≡1 (m´od 9)n.

Es decir; 10φ(9n)1 = 9nk para alg´un enterok, esto es

kn= 10

φ(9n)1

9

(47)

7.3 Ejercicios 47. Prof. John H. Castillo

7.3.

Ejercicios

Problemas 7.1

1. Calcule φ(1001), φ(5040), yφ(36000).

2. Verifique que la igualdad φ(n) = φ(n+ 1) =φ(n+ 2) se tiene cuando

n= 5186.

3. Muestre que los enteros m = 3k · 568 y n = 3k ·638, donde k ≥ 0

satisfacen simultaneamente

τ(m) =τ(n), σ(m) =σ(n), φ(m) =φ(n).

4. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si n es un entero impar, entonces φ(2n) = φ(n).

b) Si n es un entero par, entonces φ(2n) = 2φ(n).

c) φ(3n) = 3φ(n) si y s´olo si 3|n.

d) φ(3n) = 2φ(n) si y s´olo si 3-n.

e) φ(n) = n/2 si y s´olo si n = 2k para alg´un k ≥ 1. [Sugerencia:

Escriban = 2kN, dondeN es impar, y use la condici´onφ(n) = n/2

para mostrar que N = 1.]

5. Pruebe que la ecuaci´onφ(n) =φ(n+ 2) se satisface paran = 2(2p−1)

cuandop y 2p−1 son primos impares.

6. Muestre que existen infinitos enteros n tales que φ(n) es un cuadrado

perfecto. [Sugerencia: considere los enterosn = 22k+1parak= 1,2, . . ..] 7. Verifique lo siguiente:

a) Para cualquier enteron, 12√n≤φ(n)≤n. [Sugerencia: Haga n= 2k0pk1

1 · · ·pkrr, entoncesφ(n) = 2k0

−1pk1−1

1 · · ·pkr

−1

r (p1−1)· · ·(pr−

1). Ahora use las desigualdades p−1> √p y k− 1

2 ≥ k/2, para

obtener φ(n)≥2k0−1pk1/2

1 · · ·p

kr/2

(48)

b) Si el entero n > 1 tiene r factores primos distintos, entonces

φ(n)≥n/2r.

c) Si n > 1 es un n´umero compuesto, entonces φ(n) ≤ n −√n.

[Sugerencia: sea p el menor divisor primo den, entoncesp≤√n.

Entonces φ(n)≤n(1−1/p).]

8. Pruebe que si el entero n tiene r factores primos impares diferentes,

entonces 2r|φ(n).

9. Pruebe que:

a) Si n y n+ 2 son un par de primos gemelos, entonces φ(n+ 2) =

φ(n) + 2; adem´as esto tambi´en se tiene para n= 12,14, y 20.

b) Si p y 2p+ 1 son primos, entonces n = 4p satisface φ(n + 2) =

φ(n) + 2.

10. Si cada entero primo que divide n tambi´en divide a m, demuestre que

φ(mn) =nφ(m); en particularφ(n2) =(n) para cada entero positivo

n.

11. a) Siφ(n)|n−1, pruebe quen es un entero libre de cuadrados.

[Suge-rencia: Suponga que n tiene la factorizaci´on priman=pk1

1 · · ·pkrr,

donde ki ≥2. Entonces p1|φ(n), de donde p1|n−1, lo que lleva a

una contradicci´on.]

b) Muestre que sin = 2ko 2k3j, conkyj enteros positivos, entonces,

φ(n)|n.

12. Si n =pk1

1 · · ·pkrr, demuestre las desigualdades:

a) σ(n)φ(n)≥n2(1−1/p21)· · ·(1−1/p2r), y

b) τ(n)φ(n)≥n. [Sugerencia: muestre que τ(n)φ(n)≥2r·n(1/2)r.]

13. Suponga que d|n, pruebe queφ(d)|φ(n). [Sugerencia: utilice la

Figure

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Referencias

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