Notas de clase
Teor´ıa De N´
umeros
Departamento de Matem´
aticas y Estad´ıstica
Universidad de Nari˜
no
Prof. John H. Castillo
´
Indice general
5. El Teorema de Fermat 5
5.1. M´etodo de Factorizaci´on de Fermat . . . 5
5.2. El Peque˜no Teorema de Fermat . . . 6
5.3. El Teorema de Wilson . . . 8
5.4. N´umeros de Carmichael . . . 10
5.4.1. Test de pseudoprimalidad . . . 10
5.5. Ejercicios . . . 17
6. Funciones Aritm´eticas (Funciones de Teor´ıa de N´umeros) 23 6.1. Las funciones τ y σ . . . 23
6.2. La f´ormula de inversi´on de M¨obius . . . 29
6.3. Ejercicios . . . 32
7. Generalizaci´on de Euler del Teorema de Fermat 39 7.1. Funci´onφ de Euler . . . 39
7.2. Teorema de Euler . . . 43
7.3. Ejercicios . . . 47
Cap´ıtulo 5
El Teorema de Fermat
5.1.
M´
etodo de Factorizaci´
on de Fermat
En un fragmento de una carta, dirigida probablemente al Padre Marin
Mersenne en 1643, Pierre Fermat (1601-1665) describi´o una t´ecnica para
factorizar n´umeros grandes. Este m´etodo es la primera mejora del m´etodo
cl´asico para encontrar un factor de n, que consiste en dividir a n por todos
los primos menores que √n.
El m´etodo de factorizaci´on de Fermat se basa en que la busqueda de
factores de un entero impar n (dado que se potencias de dos se reconocen
f´acilmente, se puede suponer que n es impar) es equivalente a obtener
solu-ciones enteras x y y de la ecuaci´on
n =x2−y2.
Sin es la diferencia de dos cuadrados, entonces se puede factorizar como
n =x2−y2 = (x−y)(x+y)
Reciprocamente, si n tiene la factorizaci´on, n =ab, con a≥b≥1, entonces
n=
a+b
2
2
−
a−b
2
2
Adem´as, como n es impar, entonces a y b deben ser impares, de aqu´ıa+b 2 y a−b
2 son enteros no negativos.
As´ı para factorizar n se comienza la busquedad de posibles x y y tales
que n=x2−y2, ´o lo que es lo mismo, la ecuaci´on x2−n =y2 . Primero se
determina el menor entero k tal que k2 ≥n. Entonces se mira la lista
k2−n,(k+ 1)2−n,(k+ 2)2−n, . . .
hasta que se encuentre un enterom≥√ntal quem2−nsea un cuadrado. El proceso no puede seguir indefinidamente, pues en cierto momento del proceso
se llega a
n+ 1 2
2
−n=
n−1 2
2
que corresponde a la factorizaci´on den= 1·n. Si hasta este momento no se
obtuvo una diferencia que sea un cuadrado, entoncesn no tiene m´as divisores
quen y 1; es decir n es primo.
Cuando se examinan ls diferenciask2−n en busca de posibles cuadrados se pueden excluir algunos n´umeros de tal lista observando los d´ıgitos finales.
Por ejemplo se sabe que un cuadrado debe terminar en 0,1,4,5,6,9. Los dos
´
ultimos d´ıgitos de un cuadrado deben ser
00 21 41 64 89
01 24 44 69 96
04 25 49 76
09 29 56 81
16 36 61 84
Ejercicio Pruebe que un cuadrado debe terminar en una de las parejas
de d´ıgitos anteriores. [Sugerencia: x2 ≡ (50 + x)2 m´od 100 y x2 ≡ (50 −
x)2 m´od 100, por lo tanto es duficiente con examinar los ´ultimos d´ıgitos de
x2, para 0≤x≤25.
5.2.
El Peque˜
no Teorema de Fermat
5.2 El Peque˜no Teorema de Fermat 7. Prof. John H. Castillo
Demostraci´on. Considerense los primeros p−1 m´ultiplos positivos de a
a,2a,3a, . . . ,(p−1)a.
Estos n´umeros son incongruentes m´odulo p, y ninguno es congruente con
0 m´odulo p. En efecto, si ra ≡ sa m´odp, con 1 ≤ r < s ≤ p−1, entonces
r≡s m´odp, lo que es imposible. As´ı el conjunto anterior debe ser congruente
m´odulo p al conjunto 1,2,3, . . . , p −1, en alg´un orden. Multiplicando los
elementos de cada uno de estos conjuntos se obtiene la siguiente congruencia
a·2a·3a· · ·(p−1)a ≡2·3· · ·(p−1) (m´od p)
de donde ap−1(p−1)! ≡(p−1)! m´odp, pero como p
-(p−1)! entonces
ap−1 ≡1 (m´od p).
Corolario 1. Sipes un primo, entoncesap ≡am´odp, para cualquier entero
a.
Demostraci´on. Si p|a, entonces ap ≡ a ≡ 0 m´odp. Si p - a, entonces del
teorema anterior ap−1 ≡1 m´odp, lo que implica que ap ≡am´odp.
Existe otra prueba de que ap ≡ am´odp para cualquier a, utilizando
inducci´on sobre a. Si a = 1, la afirmaci´on dice que 1p ≡ 1 m´odp, lo que es
claramente verdadero, como en el caso a = 0. Suponga que el resultado es
cierto para a, se debe probar que la afirmaci´on es verdadera para a+ 1. Por
el teorema del binomio,
(a+ 1)p =ap+
p
1
ap−1+· · ·+
p k
ap−k+· · ·+
p p−1
a+ 1,
donde el coeficiente
p k
est´a dado por
p k
= p!
k!(p−k)! =
La afirmaci´on se sigue de que
p k
≡ 0 m´odp, cuando 1 ≤k ≤ p−1. Para
ver esto note que
k!
p k
=p(p−1)· · ·(p−k+ 1)≡0 m´odp,
de dondepdivide k! ´o pdivide
p k
. Perop|k!, implica que p|j para alg´unj
con 1 ≤j ≤ k ≤p−1, lo que es absurdo. As´ı, p|
p k
de donde se tiene la
congruencia buscada. De esta forma
(a+ 1)p ≡ap+ 1≡a+ 1 m´odp.
As´ı la conclusi´on se tiene para todoa≥0. Si aes un entero negativo, no hay
problema: dado que a ≡ r m´odp para alg´un r, donde 0 ≤ r ≤ p−1, y de
esta formaap ≡rp ≡r≡am´odp.
Lema 5.2.2. Si p y q son primos distintos tales que ap ≡ am´odq y aq ≡
am´odp, entonces apq ≡am´odpq.
Demostraci´on. Del ´ultimo corolario se sabe que (aq)p ≡aqm´odp, mientras
que aq ≡ am´odp se tiene por hip´otesis. Combinando estas congruencias,
se tiene que apq ≡ am´odp, en otras palabras p|apq −a. De forma similar,
se puede mostrar que q|apq − a. Como p 6= q, pq|apq − a; es decir apq ≡
am´odpq.
5.3.
El Teorema de Wilson
En Meditaciones Algebraicae en 1770, el matem´atico ingl´esEdward
Wa-ring (1741-1793) anunci´o varios teoremas nuevos. El principal de estos era
una propiedad interesante de los primos reportada a ´el por uno de sus
an-tiguos estudiantes, John Wilson. La propiedad es la siguiente: Si p es un
n´umero primo, entonces p divide a (p −1)! + 1 . Al parecer Wilson
adi-vin´o este resultado a partir de algunos c´alculos, pero ni ´el ni Waring sabian
5.3 El Teorema de Wilson 9. Prof. John H. Castillo
en un art´ıculo que apareci´o en 1770 y adem´as not´o que el rec´ıproco tambi´en
se cumple.
Teorema 5.3.1 (Teorema de Wilson). Si p es un n´umero primo, entonces
(p−1)!≡ −1 (m´od p)
Demostraci´on. En el caso p= 2 y p= 3 el resultado se tiene pues (2−1)! =
1!≡ −1 m´od 2 y (3−1)! = 2≡ −1 m´od 3
Sup´ongase quep >3. Sea a uno de los p−1 enteros positivos
1,2,3, . . . , p−1
y considere la congruencia lineal
ax≡1(m´odp).
Como gcd(a, p) = 1, se tiene que la congruencia tiene una soluci´on ´unica
m´odulop; es decir, existe un entero ´unico 1≤a0 ≤p−1, tal que
aa0 ≡1(m´odp)
Como p es primo, a = a0 si y s´olo si a = 1 ´o a = p−1. En efecto, pues
la congruencia a2 ≡ 1 m´odp es equivalente con la congruencia a2 −1 ≡
(a−1)(a+ 1)≡0( m´odp). As´ı, a−1≡0( m´odp) ´oa+ 1≡0( m´odp). De esta
forma a = 0 ´o a = p−1. Al agrupar los enteros 2,3, . . . , p−2 en parejas
a, a0, tales que aa0 ≡1(m´odp), se tiene que
2·3· · ·(p−2)≡1(m´odp).
Es decir;
(p−2)!≡1(m´odp)
Y finalmente multiplicando por p −1 se tiene que (p −1)! ≡ (p −1) ≡
−1(m´odp).
Teorema 5.3.2. Si (n−1)! ≡ −1 m´odn, entonces n es un n´umero primo.
Demostraci´on. Por reducci´on al absurdo, sup´ongase que n no es primo,
en-tonces n tiene un divisor 1 < d < n. Como d ≤ n−1 entonces d debe ser
un factor de (n−1)! y de ah´ı qued|(n−1)!. Ahora, si (n−1)!≡ −1 m´odn,
entonces n|(n−1)! + 1. De donde d|(n−1)! + 1. Lo que implica que d|1, y
esto lleva a una contradicci´on. Por lo tanto n debe ser un n´umero primo
Uniendo entonces el teorema de Wilson y su reciproco se tiene una
con-dici´on necesaria y suficiente para determinar primalidad.
Teorema 5.3.3. Un enteron >1es primo si y s´olo si (n−1)! ≡ −1 m´odn.
Desafortunadamente este test es m´as de inter´es te´orico que pr´actico pues
el c´alculo de (n−1)! no es sencillo.
5.4.
Test de Pseudoprimalidad: Pseudoprimos
y N´
umeros de Carmichael
En teor´ıa el teorema de Wilson resuelve el problema de encontrar un test
de primalidad. Sin embargo, la dificultad de calcular factoriales hace que el
test sea muy ineficaz, incluso para enteros peque˜nos.
En muchos casos se puede mejorar el test de primalidad, utilizando el
contrarec´ıproco del teorema de Fermat que dice: dado un entero n > 1, si
existe un enteroa tal que an 6≡am´odn, entonces n es compuesto. Este test
es m´as f´acil de aplicar ya que en aritm´etica modular las potencias grandes
pueden calcularse utlizando el teorema de Fermat y otras propiedades de las
congruencias, lo que las hace m´as f´aciles de calcular que los factoriales.
5.4.1.
Test de pseudoprimalidad
El m´etodo es el siguiente: si se tiene un entero n y se quiere saber si es
5.4 N´umeros de Carmichael 11. Prof. John H. Castillo
test de pseudoprimalidad para la base asian≡a( m´od n) y que no lo supera
si an 6≡ (m´od n). Luego si n no supera el test de pseudoprimalidad para
alguna base a, se tiene entonces que n debe ser compuesto, mientras que si
n supera el test puede ser primo o compuesto.
Por simplicidad computacional, es sensato comenzar con a = 2. Si se
encuentra que 2n6≡2( m´od n), entonces n no supera el test de
pseudoprima-lidad para la base 2, por lo que n es compuesto. Por ejemplo, 26 6≡2 m´od 6
y por tanto 6 no supera el test para la base 2.
Los matem´aticos chinos conoc´ıan este test y conjeturaron hace 25 siglos
que el rec´ıproco tambi´en era cierto, es decir, que sin superaba el test para la
base 2, entonces n era considerado primo. Esto result´o ser falso, pero hasta
1819 no se encontr´o un contraejemplo; es decir, existen enteros que aunque
superan el test para la base 2 son compuestos.
Definici´on 1. Sea n un entero positivo compuesto. Se dice que n es
pseu-doprimo si 2n ≡ 2 m´odn. En otras palabras, n es pseudoprimo si supera el
test de pseudoprimalidad para la base 2.
El primer ejemplo de un pseudoprimo es n = 341. En efecto
210 = 1024≡1 m´od 341,
entonces
2341 = (2340)2≡2 m´od 341,
y as´ı 341 supera el test de pseudoprimalidad para la base 2. Sin embargo,
341 = 11·31, por lo que no es primo sino pseudoprimo.
Teorema 5.4.1. Existen infinitos pseudoprimos.
Demostraci´on. Para dar la prueba de la infinitud de los pseudprimos se
prue-ba que, sin es pseudoprimo entonces Mn = 2n−1, tambi´en lo es. As´ı
empe-zando con n= 341 se tiene una sucesi´on infinita de pseudoprimos.
En efecto, sea npseudoprimo entoncesnes compuesto lo que implica que
2n−1 es compuesto. Pues n =ab, 1< a < ny 1< b < n. Entonces de
Con x= 2a y m=b
2n−1 = 2ab−1 = (2a−1)(2a(b−1)+ 2a(b−2)+· · ·+ 2a+ 1)
Como 1<2a−1<2n−1, entonces 2n−1 es compuesto. Falta probar entonces
que 2Mn ≡ 2 m´odM
n. Como n es pseudoprimo, se tiene que 2n ≡ 2 m´odn,
de donde 2n = nk+ 2, para alg´un k ∈
Z+. Luego con x = 2n y m = k se
tiene que
2nk−1 = (2n−1)(2n(k−1)+ 2n(k−2)+· · ·+ 2n+ 1) As´ı 2n−1|2nk −1, esto es
2nk−1≡0 (m´od 2n−1)
2nk ≡1 (m´od 2n−1)
entonces 2nk+1 ≡ 2 (m´od 2n−1) ⇔ 22n−1
≡ 2 (m´od 2n−1) y por lo tanto
2Mn ≡2 m´odM
n.
Retornando a la idea de encontrar un test de primalidad, si n no supera
el test de pseudoprimalidad para la base 2, entonces n es compuesto. Sin
embargo, si n lo supera no se puede afirmar nada sobre su primalidad. En
general, se eval´ua n repetidamente utilizando cada vez un valor diferente
de a. Observese que si n supera el test para las bases a y b, por lo que
an ≡ am´odn y bn ≡ bm´odn, entonces n tambi´en supera el test para la
base ab, no aportando nada nuevo a la aplicaci´on de este test; por lo que
parace sensato restringir los valores dea a los sucesivos n´umeros primos.
Definici´on 2. Se dice que n es un pseudoprimo para la base a, si n es
compuesto y verifica que an≡am´odn.
Por ejemplo n = 341 no supera el test para la base 3; es decir, 3341 6≡
3 m´od 341.
Teorema 5.4.2. Dado un entero positivo a >1, existen infinitos
5.4 N´umeros de Carmichael 13. Prof. John H. Castillo
Demostraci´on. Escoja cualquier primo p que no divida a a(a2−1) y defina
m= (a
2p−1)
a2−1 .
m es divisible por a
p −1
a−1, entonces m es compuesto. Adem´as ´este m es dife-rente para cada escogencia de p, y ahora se prueba que
am−1 ≡1 m´odm.
De la expresi´on param se tiene que
(a2−1)(m−1) =a(ap−1−1)(ap+a)
Claramente ap +a es par y a2 −1 divide ap−1 −1 (ya que p−1 es par).
Adem´as del teorema de Fermat ap−1−1 es divisible porp, entonces se tiene
que 2p(a2−1) divide a (a2−1)(m−1) o lo que es lo mismo 2pdivide am−1.
Finalmente de la definici´on de m se tiene que a2p = 1 +m(a2−1); es decir,
a2p ≡1(m´odm)
De donde, como m −1 = (2p)q, para alg´un q ∈ Z, se tiene que am−1 ≡
1(m´odm), completando la prueba.
Si se encuentra, eventualmente, un entero a para el que n no supera el
test de pseudoprimalidad para la base a, entonces se tiene que n es
com-puesto. Es tentador conjeturar que si n es compuesto, no superar´a el test
de pseudoprimalidad para alguna base a, por lo que el m´etodo anterior lo
tendr´ıa que detectar. Desafortundamente (o afortunadamente), este no es el
caso; existen n´umeros compuestosnque superan el test de pseudoprimalidad
cualquiera que sea la base a, por lo que no es posible detectarlo mediante
este algoritmo. Estos n´umeros fueron introducidos primero por Korselt en
1899. Ellos fueron tambi´en estudiados porCarmichael en 1912, quien fue el
primero en estudiar sus propiedades.
Definici´on 3. Se dice que un n´umero compuesto n es un n´umero de
Carmi-chael (un pseudoprimo absoluto) si verifica que
para todo entero a1.
El ejemplo m´as peque˜no de un n´umero de Carmichael es n = 561 =
3·11·17. Evidentemente n es compuesto, por lo que para demostrar que es
un n´umero de Carmichael se debe probar que
a561≡am´od 561
para cualquier enteroa. Es suficiente probar que las congruencias
a561 ≡a(m´od3) , a561≡a(m´od11), a561 ≡a(m´od17) (5.1) se satisfacen para cualquier entero a. Note que, si gcd(a, n) > 1, entonces
gcd(a,3)>1 ´o gcd(a,11) >1 ´o gcd(a,17)>1. En cualquier caso la
respecti-va congruencia en (5.1) se satisface trivialmente. Por ejemplo, si gcd(a,17) >
1, implica que 17|ade dondea≡0 m´od 17 y evidentementea561 ≡am´od 17. Ahora, si gcd(a,561) implica que gcd(a,3) = gcd(a,11) = gcd(a,17) = 1.
Entonces del Teorema de Fermat, se tiene que:
a2 ≡1 m´od 3, a10≡1 m´od 11, a16≡1 m´od 17.
As´ı;
a560≡1 m´od 3, a560≡1 m´od 11, a560≡1 m´od 17.
De aqu´ı que a560 ≡ 1 m´od 561 implica que a561 ≡ a m´od 561 para cada entero a primo relativo con 561. Esto implica que a561 ≡ a(m´od561) para todo enteroa.
Teorema 5.4.3. Sea n un n´umero compuesto libre de cuadrados; es decir
n = p1p2· · ·pr donde los pi son primos distintos. Si pi−1|n−1, para i =
1,2,· · · , r, entonces n es un n´umero de Carmichael.
5.4 N´umeros de Carmichael 15. Prof. John H. Castillo
Demostraci´on. Sup´ongase queaes un entero tal que gcd(a, n) = 1, as´ı gcd(a, pi) =
1 para cada 1≤i≤n. Del Teorema de Fermat, se tiene que
api−1 ≡1 m´odp
i
Ahora comopi−1|n−1, es decir existe k∈Z tal quen−1 = (pi−1)k. As´ı,
an−1 = a(pi−1)k ≡ 1 m´odp
i para todo i. Entonces; an−1 ≡ 1 m´odn y esto
implica que an ≡am´odn, como se quer´ıa demostrar.
Durante esta exposici´on ya se mostr´o que existen infinitos primos,
infini-tos pseudoprimos e infiniinfini-tos pseudprimos para una baseadada. La pregunta
que salta a la escena es ¿existen infinitos n´umeros de Carmichael? La
res-puesta a esta pregunta es afirmativa y fue dada en un brillante art´ıculo de
Alford, Granville, y Pomerance en 1992. La demostraci´on de este resultado
escapa de los objetivos de este curso. Este resultado fue posible despu´es de
un entendimiento profundo de c´alculos de n´umeros de Carmichael hechos,
en los ´ultimos a˜nos, en particular por Alford quien calcul´o 2128 n´umeros de
Carmichael.
Se cierra este cap´ıtulo con una aplicaci´on del Teorema de Wilson en el
es-tudio de congruencias cuadr´aticas. Se entiende por una congruencia cuadr´
ati-ca una congruencia de la forma
ax2+bx+c≡0(m´odn)
con a6≡0 (m´od n).
Teorema 5.4.4. La congruencia cuadr´atica x2+ 1 ≡ 0 (m´od p), con p un
primo impar, tiene soluci´on si y s´olo si p≡1(m´od4).
Demostraci´on. Sea a una soluci´on de x2 + 1 ≡ 0 (m´odp), es decir a2 ≡
−1 m´odp. Como p-a, de lo contrarioa2 ≡0 m´odp y no ser´ıa una soluci´on,
del Teorema de Fermat, se tiene que 1≡ap−1 ≡(a2)p−21 ≡(−1)(p−1)/2 m´odp.
Sip= 4k+ 3, entonces
(−1)p−21 = (−1) 4k+2
por lo tantop debe ser de la forma 4k+ 1. Reciprocamente
(p−1)! = 1·2· · ·p−1
2 ·
p+ 1
2 · · ·(p−2)(p−1). (5.2)
Adem´as se tienen las congruencias
p−1≡ −1 m´odp,
p−2≡ −2 m´odp,
.. .
p+ 1
2 ≡ −
p−1
2 m´odp.
Reorganizando los factores de (5.2), se tiene que:
(p−1)!≡1·(−1)·2·(−2)· · ·
p−1 2
·
−p−1
2
(m´odp)
≡(−1)p−21
1·2· · ·p−1
2
2
(m´odp).
De aqu´ı y del Teorema de Wilson, (p−1)! ≡ −1 m´odp, se tiene que
−1≡(−1)(p−1)/2
p−1 2
!
2
(m´odp).
Ahora si pes de la forma 4k+ 1, entonces
(−1)p−21 = 1.
As´ı
−1≡
p−1 2
!
2
(m´odp)
y por lo tanto x =
p−1 2
! satisface la congruencia cuadr´atica x2+ 1 ≡
5.5 Ejercicios 17. Prof. John H. Castillo
5.5.
Ejercicios
Problemas 5.2 El pequeno Teorema de Fermat
1. Demuestre que 186 ≡1 m´od 7k para k = 1,2,3.
2. a) Si gcd(a,35) = 1, muestre que a12≡1 m´od 35.
b) Si gcd(a,42) = 1, muestre que 168 = 3·7·8 divide a6−1.
c) Si gcd(a,133) = gcd(b,133) = 1, muestre que 133|a18−b18.
3. Pruebe que existen infinitos n´umeros compuestos n tales que an−1 ≡
am´odn. [Sugerencia: Sean = 2p, dondep es un primo impar.]
4. Pruebe cada una de las siguientes congruencias
a) a21≡am´od 15 para todoa. [Sugerencia: Por el teorema de Fermat
a5 ≡am´od 5.]
b) a7 ≡am´od 42 para todoa.
c) a13≡a (m´od 3·7·13) para todoa.
d) a9 ≡am´od 30 para todoa.
5. Si gcd(a,30) = 1, muestre que 60 dividea4+ 59.
6. a) Encuentre los d´ıgitos de las unidades de 3100 usando el teorema
de Fermat.
b) Para cualquier enteroa, verifiquea5 ya tienen los mismos d´ıgitos en las unidades.
7. Si 7-a, pruebe que a3+ 1 ´o a3−1 es divisible por 7.
8. Las m´as recientes apariciones del cometa Halley fueron en 1835,1910
y 1986, la pr´oxima ser´a en 2061. Pruebe que
9. a) Sea p un primo y gcd(a, p) = 1. Use el teorema de Fermat para
probar que x ≡ ap−2bm´odb es una soluci´on de la congruencia
lineal ax≡b m´odp.
b) Por la partea), resuelva las congruencias lineales 2x≡1 m´od 31,
6x≡5 m´od 11, y 3x≡17 m´od 29.
10. Sup´ongase queaybson enteros no divisibles por un primop, demuestre
lo siguiente:
a) Si ap ≡bp m´odp, entoncesa≡b m´odp.
b) Si ap ≡bp m´odp, entoncesap ≡bp m´odp2.
11. Utilice el teorema de Fermat para demostrar que, si p es un primo
impar, entonces
a) 1p−1+ 2p−1+ 3p−1+· · ·+ (p−1)p−1 ≡ −1 m´odp
b) 1p + 2p + 3p+· · ·+ (p−1)p ≡ 0 m´odp. [Sugerencia 1 + 2 + 3 +
· · ·+ (p−1) = p(p−1)/2.]
12. Pruebe que sipes un primo impar ykes un entero tal que 1≤k≤p−1,
entonces el coeficiente binomial
p−1
k
≡(−1)k (m´od p).
13. Suponga que p y q son primos impares distintos tales que p−1|q−1.
Si gcd(a, pq) = 1, muestre queaq−1 ≡1 m´odpq.
14. Si p y q son primos distintos, pruebe que
pq−1+qp−1 ≡1 m´odpq.
15. a) Si el n´umeroMp = 2p−1 es compuesto, dondepes primo, entonces
5.5 Ejercicios 19. Prof. John H. Castillo
b) Todo n´umero Fn = 22
n
+ 1 es un pseudoprimo (n = 0,1,2, . . .)
[Sugerencia: 2n+1|222n
implica que 22n+1
−1|222n
−1; peroFn|22
n+1 −
1.]
16. Verifique si los siguientes enteros son n´umeros de Carmichael:
a) 1387 = 19·73,
b) 2821 = 7·13·31,
c) 1905 = 3·5·127.
17. Muestre que el pseudoprimo 341 no es un n´umero de Carmichael,
mos-trando que 113416≡11 m´od 341 [Sugerencia: 31
-1134−11.]
18. a) Cuando n = 2p, donde p es un primo impar, pruebe que an−1 ≡
a m´odn para cualquier entero a.
b) Para n = 195 = 3·5·15, demuestre que an−2 ≡ a m´odn para cualquier entero a.
19. Pruebe que todo entero de la forma
n= (6k+ 1)(12k+ 1)(18k+ 1)
es un n´umero de Carmichael si todo los factores son primos; de ah´ı que
1729 = 7·13·19 es un n´umero de Carmichael.
Problemas 5.3 El Teorema de Wilson
1. a) Pruebe que un enteron >1 es primo si y s´olo si (n−2)! ≡1 m´odn.
b) Sin es un entero compuesto, muestre que que (n−1)! ≡0 m´odn,
excepto cuando n= 4.
2. De un n´umero primop, tal que
3. Si p es un primo, pruebe que
p|ap+ (p−1)!a y p|(p−1)!ap+a
para cualquier entero a. [Sugerencia: Por el teorema de Wilson ap +
(p−1)!a≡ap−am´odp.]
4. Encuentre los primos impares p≤13, tales que (p−1)! ≡ −1 m´odp2.
5. Use el teorema de Wilson, para probar que
12·32·52· · ·(p−2)2 ≡(−1)(p+1)/2 m´odp
para cualquier primo imparp. [Sugerencia: Dado quek≡ −(p−k) m´od
p, se sigue que 2·4·6· · ·(p−1)≡(−1)(p−1)/21·3·5· · ·(p−2) m´odp.]
6. a) Para un primop de la forma 4k+ 3, pruebe que
p−1 2
!≡1 m´odp ´o
p−1 2
!≡ −1 m´odp;
de donde, [(p−1)/2]! satisface la congruencia cuadr´atica
x2 ≡1 m´odp.
b) Use la partea) para mostrar que sip= 4k+ 3 es primo, entonces
el producto de todos los enteros pares menores quepes congruente
m´odulo pcon 1 ´o −1. [Sugerencia: el Teorema de Fermat implica
que 2(p−1)/2 ≡ ±1 m´odp.]
7. Muestre que si p = 4k + 3 es primo y a2 +b2 ≡ 0 m´odp, entonces
a ≡ b ≡ 0 m´odp. [Sugerencia: si a 6≡ 0 m´odp, entonces existe un
entero ctal que ac≡1 m´odp.]
8. Pruebe que los divisores primos del enteron2+ 1 son de la forma 4k+ 1.
9. Pruebe que 4(29!) + 5! es divisible por 31.
10. Para un primo p y 0 ≤ k ≤ p−1, muestre que k!(p−k −1)! ≡
5.5 Ejercicios 21. Prof. John H. Castillo
11. Sip y q son primos distintos, pruebe que
pq|apq −ap−aq+a,
para cualquier entero a.
12. Pruebe que sip y p+ 2 son primos gemelos, entonces
Cap´ıtulo 6
Funciones Aritm´
eticas
(Funciones de Teor´ıa de
N´
umeros)
6.1.
Las funciones
τ
y
σ
Cualquier funci´on cuyo dominio de definici´on es el conjunto de los enteros
positivos se dice que es una funci´on aritm´etica o una funci´on de teor´ıa de
n´umeros.
Aunque el valor de una funci´on aritm´etica no tiene que ser un entero postivo,
o a´un m´as no tiene por que ser un entero, muchas de las funciones que se
analizan aqu´ı son de valores enteros.
Definici´on 4. Dado un entero positivon,τ(n)denota el n´umero de divisores
positivos de n y σ(n) denota la suma de estos divisores.
Por ejemplo, sea n= 12. Dado que los divisores de 12 , son 1,2,3,4,6,12
se tiene que τ(12) = 6 yσ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. A partir de la
definici´on deτ y σ se tiene que
τ(n) = 2 si y s´olo si n es primo
σ(n) =n+ 1 si y s´olo si n es primo.
Notaci´on: Con
X
d|n
f(d)
se denota la suma de todos losf(d) cuandodrecorre el conjunto los divisores
positivos de n. Por ejemplo
X
d|20
f(d) = f(1) +f(2) +f(4) +f(5) +f(10) +f(20).
Con esta notaci´on, τ y σ se pueden escribir como sigue:
τ(n) =X
d|n
1 y σ(n) = X
d|n
d.
En consecuencia,τ(10) =P
d|n1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, mientras que, σ(10) =
P
d|10d = 1 + 2 + 5 + 10 = 18. El primer teorema de este cap´ıtulo presenta
una forma f´acil para determinar los divisores positivos de un entero una vez
se conozca su factorizaci´on prima.
Teorema 6.1.1. Si n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima de n > 1,
entonces los divisores positivos de n son precisamente aquellos enteros d de
la forma
d =pa1
1 p
a2
2 · · ·p
ar
r
donde 0≤ai ≤ki, para i= 1,2, . . . , r.
Demostraci´on. Note que d = 1 se obtiene cuando a1 = a2 =· · · =ar = 0 y
que d=n se obtiene cuando a1 =k1, a2 =k2, . . . , ar =kr. Sup´ongase qued
es un divisor den, cond 6= 1 y d6=n; es decir,n =dd0, donde 1< d, d0 < n.
Expresandod y d0 como producto de primos (no necesariamente diferentes)
d=q1q2· · ·qs, d0 =t1t2· · ·tm
Entonces pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr = q1q2· · ·qst1t2· · ·tm son dos factorizaciones primas
paran. Por la unicidad de la factorizaci´on prima, cada primo qi debe ser uno
de los pj. Reorganizando se tiene que d = pa11p
a2
2 · · ·parr, con la posibilidad
6.1 Las funciones τ y σ 25. Prof. John H. Castillo
Reciprocamente, todo n´umerod=pa1
1 p
a2
2 · · ·parr, con 0≤ai ≤ki es un divisor
den. Pues
n=pk1
1 p
k2
2 · · ·p
kr
r = (p a1
1 p
a2
2 · · ·p
ar
r )p k1−a1
1 p
k2−a2
2 · · ·p
kr−ar
r
Teorema 6.1.2. Si n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima de n > 1,
entonces
1. τ(n) = (k1+ 1)(k2 + 1)· · ·(kr+ 1) y
2. σ(n) = p
k1+1
1 −1
p1−1
pk2+1
2 −1
p2−1
· · ·p
kr+1
r −1
pr−1
.
Demostraci´on. De acuerdo al Teorema 6.1.1 los divisores de n son precisa-mente aquellos enteros d = pa1
1 · · ·parr donde 0 ≤ ai ≤ ki. Existen entonces
k1+ 1 posibilidades para el exponente a1, k2+ 1 posibilidades para el
expo-nente a2, . . ., kr+ 1 posibilidades para el exponente ar, por lo tanto, existen
(k1+ 1)(k2+ 1)· · ·(kr+ 1) divisores de n.
Para calcular σ(n), considere el producto
(1 +p1+p21+· · ·+p
k1
1 )(1 +p2+p22+· · ·+p
k2
2 )· · ·(1 +pr+p2r+· · ·+p kr
r ) (6.1)
Cada divisor positivo de n aparece una y s´olo una vez como t´ermino en
la expansi´on del producto en (6.1), de esta forma
σ(n) = (1+p1+p21+· · ·+p
k1
1 )(1+p2+p22+· · ·+p
k2
2 )· · ·(1+pr+p2r+· · ·+p kr
r ).
Aplicando la f´ormula para la suma de una serie geom´etrica finita al i-´esimo
factor en el producto anterior se tiene que
1 +pi+p2i +· · ·+p ki
i =
pki+1
i −1
pi−1
.
As´ı se tiene que
σ(n) = p
k1+1
1 −1
p1−1
pk2+1
2 −1
p2−1
· · ·p
kr+1
r −1
pr−1
Utilizando la notaci´on para el producto se tiene que
τ(n) = Y
1≤i≤r
(ki+ 1) = r
Y
i=1
(ki+ 1)
σ(n) = Y
1≤i≤r
pki+1
i −1
pi−1
=
r
Y
i=1
pki+1
i −1
pi−1
Una de las propiedades m´as interesantes de la funci´on τ es que el producto
de los divisores positivos de un enteron >1 es igual anτ(n)/2. En efecto; sea
d un divisor arbitrario de n, entonces
n=dd0 (6.2)
para alg´und0. Cuando se recorre todos los τ(n) divisores den, se tienenτ(n)
ecuaciones de la forma (6.2). Multiplicando estas ecuaciones se tiene que
nτ(n) =Y
d|n
d·Y
d0|n
d0
Pero cuandodrecorre todos los divisores de n,d0 tambi´en lo hace, de ah´ı que
Y
d|n
d=Y
d0|n
d0.
Entonces
nτ(n)=
Y d|n d 2
Por lo tanto,
nτ(n)/2 =Y
d|n
d. (6.3)
No es obvio ver que en la ecuaci´on (6.3), el lado izquierdo siempre es un entero. Siτ(n) es par, no hay ning´un problema, puesτ(n) = 2ky as´ınτ(n)/2 =
nk ∈
Z. Adem´as se puede probar lo siguiente: τ(n) es impar si y s´olo si n es
un cuadrado perfecto. Es decir que si n es impar entonces existe un entero
6.1 Las funciones τ y σ 27. Prof. John H. Castillo
Definici´on 5. Se dice que una funci´on aritm´etica f es multiplicativa si
f(mn) =f(m)f(n)
cuando gcd(m, n) = 1.
Para ejemplo sencillos de funciones multiplicativas, considere h(n) = 1 y
g(n) = n para todo n≥1.
Por inducci´on se tiene que si f es multiplicativa y n1, n2, . . . , nr son
enteros positivos primos relativos por parejas, entonces f(n1n2· · ·nr) =
f(n1)f(n2)· · ·f(nr). Las funciones multiplicativas tienen una ventaja: est´an
completamente determinadas una vez se conozcan sus valores en las potencias
de primos. En efecto, sea n > 1 un entero dado, tal que n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr.
Dado que las potencias pki
i son primos relativos dos a dos, la propiedad
mul-tiplicativa afirma que f(n) =f(pk1
1 )f(p
k2
2 )· · ·f(pkrr).
Si f es una funci´on multiplicativa diferente de la funci´on nula, entonces
existe un entero n tal que f(n)6= 0. De dondef(n) = f(n·1) =f(n)·f(1),
de donde f(1) = 1.
Teorema 6.1.3. Las funciones τ y σ son funciones multiplicativas.
Demostraci´on. Sean m y n enteros primos relativos entre s´ı. Como el
resul-tado es verdadero si alguno de los dos es igual a 1, se puede suponer que
m > 1 y n > 1. Si m = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr y n = q j1
1 q
j2
2 · · ·qsjs son las
factoriza-ciones primas de m y n, entonces, dado que gcd(m, n) = 1, se tiene que la
factorizaci´on prima de mn es
mn=pk1
1 p
k2
2 · · ·p
kr
r q j1
1 q
j2
2 · · ·q
js
s .
Del Teorema 6.1.2, se tiene que
τ(mn) = (k1 + 1)· · ·(kr+ 1)
| {z }
τ(m)
(j1+ 1)· · ·(js+ 1)
| {z }
τ(n)
=τ(m)τ(n).
Igualmente del Teorema 6.1.2
σ(mn) =
pk1+1
1 −1
p1 −1
· · ·p
kr+1
r −1
pr−1
"
qj1+1
1 −1
q1−1
· · ·q
js+1
s −1
qs−1
#
Lema 6.1.4. Sigcd(m, n) = 1, entonces el conjunto de los divisores positivos
de mnconsiste de todos los productos d1d2, donde d1|n, d2|m y gcd(d1, d2) =
1; adem´as estos productos son diferentes.
Demostraci´on. Sin perdida de generalidad, se puede suponer que m > 1 y
n >1, sea m=pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr y n =q j1
1 q
j2
2 · · ·qsjs las factorizaciones de m y n
respectivamente. Como gcd(m, n) = 1 entonces los primosp1, . . . , pr, q1, . . . , qs
son distintos y la factorizaci´on prima de mnes
mn=pk1
1 p
k2
2 · · ·p
kr
r q j1
1 q
j2
2 · · ·q
js
s
de aqu´ı cualquier divisor positivo d de mn estar´a unicamente representado
en la forma
d=pa1
1 p
a2
2 · · ·parrq b1
1 q
b2
2 · · ·qbss
con 0≤ ai ≤ ki y 0 ≤bi ≤ji. As´ıd=d1d2, donde d1 = pa11p
a2
2 · · ·parr divide
a m y d2 =q1b1q
b2
2 · · ·qbss divide a n. Dado que pi 6=qj para toda pareja i, j,
se tiene que gcd(d1, d2) = 1
El siguiente resultado se utilizar´a en las siguientes secciones.
Teorema 6.1.5. Si f es una funci´on multiplicativa y F se define por
F(n) =X
d|n
f(d),
entonces F tambi´en es multiplicativa.
Demostraci´on. Seanm, nenteros positivos primos relativos entre s´ı. Entonces
F(mn) = X
d|mn
f(d) = X
d1|m, d2|n
f(d1d2).
Como gcd(d1, d2) = 1, entonces f(d1d2) =f(d1)f(d2). As´ı,
F(mn) = X
d1|m, d2|n
f(d1)f(d2) =
X
d1|m
f(d1)
X
d2|n
f(d2)
6.2 La f´ormula de inversi´on de M¨obius 29. Prof. John H. Castillo
Del Teorema 6.1.5 se puede dar otra prueba del Teorema 6.1.3.
Corolario 2. Las funciones τ y σ son funciones multiplicativas.
Demostraci´on. Como f(n) = 1 y f(n) = n son funciones multiplicativas, se
tiene entonces queτ y σ son multiplicativas, dado que
τ(n) =X
d|n
1 y σ(n) = X
d|n
d
6.2.
La f´
ormula de inversi´
on de M¨
obius
A continuaci´on se define otra funci´on que tiene como dominio el conjunto
de los enteros positivos, la funci´on de M¨obius.
Definici´on 6. Para un entero positivo n, se define µ por
µ(n) =
1 si n= 1
0 si p2|n para alg´un primo p
(−1)r si n=p
1p2· · ·pr, donde los pi son primos distintos
En otras palabras; µ(n) = 0 si n no es un entero libre de cuadrados,
mientras queµ(n) = (−1)r sines un entero libre de cuadrados conr factores
primos. Por ejemplo;µ(30) =µ(2·3·5) = (−1)3 =−1. Los primeros valores de µ son µ(1) = 1, µ(2) = −1, µ(3) = −1, µ(4) = 0, µ(5) = −1, µ(6) = 1.
Adem´as, si p es primo entonces µ(p) = −1 y tambi´enµ(pk) = 0 si k ≥2.
Teorema 6.2.1. La funci´on µ es una funci´on multiplicativa.
Demostraci´on. Se desea probar que µ(mn) =µ(m)µ(n), simynson enteros
positivos primos relativos entre s´ı. Si p2|m ´o p2|n, con p primo, entonces
p2|mn, de ah´ı que µ(mn) = 0 = µ(m)µ(n), y entonces se tiene el resultado
trivialmente. Ahora si m y n son enteros libres de cuadrado; es decir m =
primos diferentes. Adem´as, se tiene que qj 6=pi pues gcd(m, n) = 1. De esta
forma, µ(mn) =µ(p1· · ·prq1· · ·qs) = (−1)r+s= (−1)r(−1)s =µ(m)µ(n), lo
que completa la prueba.
Ahora se analiza que pasa si µ(d) se eval´ua para todos los divisores
posi-tivosd de un enterony se suman los resultados. Cuando n = 1, la respuesta
es f´acil,
X
d|1
µ(d) = µ(1) = 1.
Suponga quen >1 y seaF(n) =P
d|nµ(d). Para preparar el terreno, primero
se calcula F(n) para potencias de un primo, es decir se considera el caso
n =pk, cuando p es un n´umero primo. Los divisores positivos de pk son los
k+ 1 enteros 1, p, p2, . . . , pk, entonces
F(pk) =X
d|pk
µ(pk) = µ(1) +µ(p) +µ(p2) +· · ·+µ(pk) =µ(1) +µ(p) = 0
Comoµes una funci´on multiplicativa , entonces del teorema6.1.5la funci´on
F es multiplicativa. As´ı; si la factorizaci´on prima de n es n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr,
entonces F(n) =F(pk1
1 )· · ·F(pkrr) = 0. El an´alisis anterior lleva al siguiente
resultado.
Teorema 6.2.2. Para cada entero positivo n ≥1,
X
d|n
µ(d) =
1 sin = 1
0 sin > 1
cuando d recorre todos lo divisores primos den.
La importancia de la funci´on de M¨obius aparece en el siguiente teorema
Teorema 6.2.3(F´ormula de Inversi´on de M¨obius).SeanF yf dos funciones
aritm´eticas tales que
F(n) = X
d|n
f(d)
Entonces
f(n) = X
d|n
µ(d)F(n/d) = X
d|n
6.2 La f´ormula de inversi´on de M¨obius 31. Prof. John H. Castillo
Demostraci´on. Las dos sumas que se mencionan en la conclusi´on del teorema
son la misma reemplazando el ´ındice d y d0 = n/d, pues cuando d recorre
todos los divisores positivos de n, d0 tambi´en lo hace.
Se tiene entonces que
X
d|n
µ(d)F(n/d) =X
d|n
µ(d) X
c|(n/d)
f(c)
= X d|n X
c|(n/d)
µ(d)f(c)
puesµ(d) no depende dec. Ahora comod|nyc|(n/d) si y s´olo sic|nyd|(n/c)
se tiene que
X
d|n
X
c|(n/d)
µ(d)f(c)
= X c|n X
d|(n/c)
f(c)µ(d)
=
X
c|n
f(c) X
d|(n/c)
µ(d)
Ahora del teorema 6.2.2
X
d|(n/c)
µ(d) =
1 si n=c
0 de otra forma
As´ı
X
d|n
µ(d)F(n/d) =X
c=n
f(c)·1 =f(n).
Para ver como funciona la inversi´on de M¨obius, en un caso particular, ya
que las funciones τ y σ pueden escribirse como
τ(n) =X
d|n
1 y σ(n) =X
d|n
d
El teorema 6.2.3 dice entonces que
1 =X
d|n
µ(n/d)τ(d) y n =X
d|n
µ(n/d)σ(d)
para todo n ≥1. El teorema 6.1.5, afirma que si f es una funci´on multipli-cativa, entoncesF(n) = P
d|nf(d) tambi´en lo es. Mirando la situaci´on, en la
otra direcci´on, podr´ıa preguntarse cuando la naturaleza multiplicativa de F
Teorema 6.2.4. Si F es una funci´on multiplicativa y
F(n) =X
d|n
f(d),
entonces f tambi´en es multiplicativa.
Demostraci´on. Sean m y n enteros primos relativos. Cualquier divisor d de
mn se puede escribir en forma ´unica como d = d1d2, donde d1|m y d2|n, y
gcd(d1, d2) = 1. As´ı por la f´ormula de inversi´on de M¨obius,
f(mn) = X
d|mn
µ(d)F mn d
= X
d1|m,d2|n
µ(d1d2)F
mn d1d2
= X
d1|m,d2|n
µ(d1)µ(d2)F
m d1 F n d2 = X
d1|m
µ(d1)F
m d1 X
d2|n
µ(d2)F
n d2
=f(m)f(n).
6.3.
Ejercicios
Problemas 6.1
1. a) Verifique queτ(n) =τ(n+ 1) =τ(n+ 2) =τ(n+ 3) se tiene para
n = 3655 y 4503.
b) Cuando n= 14,206, y 957, muestre que σ(n) =σ(n+ 1).
2. Para cualquier n≥1, demuestre la desigualdadτ(n)≤2√n.
[Sugeren-cia: sid|n, entonces d on/d son menores o iguales que √n.]
3. Pruebe que
6.3 Ejercicios 33. Prof. John H. Castillo
b) σ(n) es un entero impar si y s´olo si n es un cuadrado perfecto
o dos veces un cuadrado perfecto.[Sugerencia: Si p es un primo
impar, entonces 1 +p+p2+· · ·+pk es impar solamente cuando
k es par.]
4. Muestre que P
d|n1/d=σ(n)/n para todo entero positivo n.
5. Si n es un entero libre de cuadrados, pruebe que τ(n) = 2r, donde r es
el n´umero de divisores primos de n.
6. Demuestre las siguientes afirmaciones:
a) Si n=pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima den >1, entonces
1> n σ(n) >
1− 1
p1
1− 1
p2
· · ·
1− 1
pr
b) Para cualquier entero positivo n,
σ(n!)/n!≥1 + 1/2 + 1/3 +· · ·+ 1/n.
[Sugerencia: ver problema 4.]
c) Si n > 1 es un n´umero compuesto, entonces σ(n) > n + 1√n.
[Sugerencia: Sea d|n, donde 1 < d < n, entonces 1< n/d < n. Si
d ≤√n, entoncesn/d ≥√n.]
7. Dado un entero positivo k >1, muestre que existen infinitos n´umeros
enteros tales que τ(n) =k, pero a lo m´as un n´umero finito de enteros
n tales que σ(n) =k.[Sugerencia: utilice el problema 6(a).]
8. a) Encuentre la forma de todos los enteros positivos n tales que
τ(n) = 10. ¿Cu´al es el menor entero positivo para el que esto
es verdad?
b) Muestre que no existen enteros positivos n tales que σ(n) = 10.
9. Pruebe que existen infinitas parejas de enterosmyntales queσ(m2) =
σ(n2). [Sugerencia escojaktal que gcd(k,10) = 1 y considere los enteros
m= 5k, n= 4k.]
10. Para k ≥2, muestre lo siguiente:
a) n = 2k−1 satisface la ecuaci´on σ(n) = 2n−1.
b) Si 2k−1 es primo, entonces n= 2k−1(2k−1) satisface la ecuaci´on
σ(n) = 2n;
c) Si 2k−2 es primo, entonces n= 2k−1(2k−3) satisface la ecuaci´on
σ(n) = 2n+ 2.
No se sabe si existen enteros tales que σ(n) = 2n+ 1.
11. Sinyn+ 2 son dos primos gemelos, demuestre queσ(n+ 2) =σ(n) + 2;
esto tambi´en para n= 434 y 8575.
12. Para un entero fijo k, muestre que la funci´onf definida por f(n) =nk
es multiplicativa.
13. Sean f y g funciones multiplicativas tales que f(pk) = g(pk) para cada
primop y k ≥1. Pruebe quef =g.
14. Pruebe que si f y g son funciones multiplicativas, entonces f g y f /g
tambi´en son funciones multiplicativas (siempre y cuando estas
funcio-nes esten definidas).
15. Seaρla funci´on tal queρ(1) = 1 yρ(n) = 2r, si la factorizaci´on prima de
n >1 es n=pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr; por ejemplo ρ(8) = 2 y ρ(10) =ρ(36) = 22.
a) Pruebe queρ es una funci´on multiplicativa.
b) Encuentre un f´ormula para F(n) = P
d|nρ(d) en t´erminos de la
6.3 Ejercicios 35. Prof. John H. Castillo
16. Para cualquier entero positivon, pruebe queP
d|nτ(d)
3 = (P
d|nτ(d))
2.
[Sugerencia: los dos lados de la ecuaci´on en cuesti´on son fucniones
mul-tiplicativas den, entonces es suficiente considerar el cason=pk, donde
p es primo.]
17. Dado n ≥ 0, σt(n) denota la suma de las t- ´esimas potencias de los
divisores positivos de n, esto es
σt(n) =
X
d|n
dt.
Demuestre lo siguiente:
a) σ0 =τ y σ1 =σ.
b) σt es una funci´on multiplicativa.[Sugerencia: la funci´onf definida
por f(n) = nt es multilplicativa.]
c) Si n=pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr es la factorizaci´on prima den, entonces
σt(n) =
pt(k1+1)
1 −1
pt
1−1
!
· · · p
t(k1+1)
1 −1
pt
1−1
!
18. Para cualquier entero positivon, muestre que
a) P
d|nσ(d) =
P
d|nτ(d), y
b) P
d|n
n
dσ(d) =
P
d|ndτ(d) [Sugerencia: Dado que las funciones
F(n = P
d|nσ(d) y G(n) =
P
d|n(n/d)τ(d) son multiplicativas,
es suficiente probar que F(pk) = G(pk) para cualquier primo p.]
Problemas 6.2
1. a) Para cada entero positivon, muestre que
µ(n)µ(n+ 1)µ(n+ 2)µ(n+ 3) = 0
b) Para cualquier entero n≥3, muestre que Pn
2. La funci´on de Mangoldt Λ se define por
Λ(n) =
log(p) sin =pk, dondep es un primo impar yk ≥1
0 en otro caso
Pruebe que Λ(n) =P
d|nµ(n/d) logd=−
P
d|nµ(d) logd. [Sugerencia:
Primero muestre que PΛ
d|n(n) = logn y luego utilice la f´ormula de
inversi´on de M¨obius.]
3. Sea n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr la factorizaci´on prima del entero n > 1. Si f es
una funci´on multiplicativa, pruebe que
X
d|n
µ(d)f(d) = (1−f(p1))(1−f(p2))· · ·(1−f(pr))
[Sugerencia: La funci´on F definida por F(n) = P
d|nµ(d)f(d) es
mul-tiplicativa; de ah´ı queF(n) es el producto de los F(pki
i ).]
4. Si el entero n >1 tiene la factorizaci´on prima n =pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr use el
problema 3 para demostrar lo siguiente:
a) P
d|nµ(d)τ(d) = (−1)r;
b) P
d|nµ(d)σ(d) = (−1)rp1p2· · ·pr;
c) P
d|nµ(d)/d= (1−1/p1)(1−1/p2)· · ·(1−1/pr);
d) P
d|ndµ(d) = (1−p1)(1−p2)· · ·(1−pr).
5. Por S(n) se denota el n´umero de divisores libres de cuadrados de n.
Demuestre que
S(n) =X
d|n
|µ(d)|= 2ω(n)
dondeω(n) es el n´umero de divisores primos diferentes de n.
6. Encuentre f´ormulas para P
d|nµ2(d)/τ(d) y
P
d|nµ2(d)/σ(d) en t´
6.3 Ejercicios 37. Prof. John H. Castillo
7. La funci´on λ de Liouville se define por
λ(n) =
1 si n= 1
(−1)k1+k2+···+kr si n =pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr
Por ejemplo, λ(360) =λ(23·32·5) = (−1)3+2+1= (−1)6 = 1.
a) Pruebe queλ es una funci´on multiplicativa.
b) Dado un entero positivo n, verifique que
X
d|n
λ(d) =
1 sin =m2 para alg´un entero m
0 en otro caso
8. Si el entero n > 1 tiene la factorizaci´on prima n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr,
de-muestre queP
Cap´ıtulo 7
Generalizaci´
on de Euler del
Teorema de Fermat
7.1.
Funci´
on
φ
de Euler
Definici´on 7. Para n un entero mayor que1, porφ(n) se denota el n´umero
de enteros positivos menores o iguales que n que son primos relativos con n.
Por ejemplo φ(30) = 8, pues entre los enteros positivos menores que
30, hay ocho que son primos relativos con 30 (i.e 1,7,11,13,17,19,23,29).
Adem´as, se puede ver que φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(5) = 4, φ(6) =
2, φ(7) = 6, . . ..
Note que φ(1) = 1, pues gcd(1,1) = 1. Mientras que si n > 1, entonces
gcd(n, n) = n 6= 1, entonces φ(n) se puede caracterizar como el n´umero de
enteros menores que n y primos relativos con n. La funci´on φ se denomina
la Funci´on φ de Euler (algunas veces se le denomina funci´on indicatriz) por
su creador; sin embargo la notaci´on funcional φ(n) se debe a Gauss.
Si n es un n´umero primo, entonces todo entero menor que n es primo
relativo con ´el; de ah´ı que φ(n) = n − 1. Por otra parte , si n > 1 es
compuesto , entonces n tiene un divisor d tal que 1< d < n. Luego existen
por lo menos dos enteros entre 1,2, . . . , nque no son primos relativos conn;
es decir, d y n mismo. Por lo tanto φ(n) ≤ n−2. Esto prueba la siguiente
afirmaci´on: Sea n un entero positivo mayor que 1, entonces
φ(n) =n−1 si y s´olo sin es primo.
El primer objetivo es encontrar una f´ormula que permita calcular el valor de
φ(n) directamente a partir de la factorizaci´on prima den.
Teorema 7.1.1. Si p es primo y k >0, entonces
φ(pk) =pk−pk−1 =pk
1−1
p
.
Demostraci´on. Es claro que gcd(n, pk) = 1 si y s´olo sipno divide an. Existen
pk−1 enteros entre 1 ypk que son divisibles por p, es decir, p,2p, . . . ,(pk−1)p.
As´ı el conjunto {1,2, . . . , pk} tiene exactamente pk −pk−1 enteros que son primos relativos con pk y entonces, de la definici´on de la funci´onφ, se tiene
que
φ(pk) =pk−pk−1.
El teorema anterior da una forma de calcular el valor de la funci´onφpara
potencias de primos, y el objetivo es obtener una f´ormula paraφ(n) a partir de
la factorizaci´on den como un producto de primos. El puente faltante en esta
cadena de ideas es obvio: falta demostrar queφes una funci´on multiplicativa.
Lema 7.1.2.Seana, b, centeros tales quegcd(a, bc) = 1si y s´olo sigcd(a, b) =
1 y gcd(a, c) = 1.
Demostraci´on. Sup´ongase primero que gcd(a, bc) = 1 y sea d = gcd(a, b).
Entonces d|a y d|b, de ah´ı que d|a y d|bc, esto implica que d≤ gcd(a, bc) =
1, de donde d = 1. Un razonamiento similar muestra que gcd(a, c) = 1.
Reciprocamente, sea gcd(a, b) = 1 = gcd(a, c) y sup´ongase que gcd(a, bc) =
d1 >1. Entonces d1 debe tener un divisor primo p. Dado que d1|bc, se sigue
entonces que p|bc, y en consecuencia p|b o p|c. Si p|b, (como p|a) entonces,
gcd(a, b)≥p, lo que es una contradicci´on. Y si p|c, entonces gcd(a, c)≥p, lo
7.1 Funci´on φ de Euler 41. Prof. John H. Castillo
Teorema 7.1.3. La funci´on phi es una funci´on multiplicativa.
Demostraci´on. Es necesario mostrar que φ(mn) = φ(m)φ(n), cuando m y n
son primos relativos. Dado que φ(1) = 1, el resultado se tiene si alguno de
los enteros es igual a 1. As´ı, se puede suponer quem >1 yn >1. Se ordenan
los enteros desde 1 hasta mn en m columnas de n enteros cada una, como
sigue
1 2 · · · r · · · m
m+ 1 m+ 2 · · · m+r · · · 2m
2m+ 1 2m+ 2 · · · 2m+r · · · 3m
..
. ... ... ... ... ...
(n−1)m+ 1 (n−1)m+ 2 · · · (n−1)m+r · · · nm
Se sabe que φ(mn) es igual al n´umero de entradas en el arreglo anterior que
son primos relativos con mn; en virtud del lema anterior, este es el mismo
n´umero de enteros que son primos relativos con m y n.
Antes de entrar en los detalles; es ´util decir cual ser´a la t´actica a seguir:
dado que gcd(qm+r, m) = gcd(r, m), los n´umeros en lar-´esima columna son
primos relativos conmsi y s´olo sir es primo relativo conm. As´ı, ´unicamente
φ(m) columnas son primos relativos con m. El problema ahora es mostrar
que cada una de estasφ(m) columnas hay exactamenteφ(n) enteros que son
primos relativos con n, entonces se tendr´a que existenφ(m)φ(n) n´umeros en
el arreglo que son primos relativos con m y n.
Ahora las entradas en la r-´esima columna (donde gcd(r, m) = 1) son
r, m+r,2m+r, . . . ,(n−1)m+r.
Existen n enteros es esta sucesi´on y ninguno de estos congruentes m´odulon.
En efecto, sea
km+r≡jm+r (m´od n),
con 0 ≤ k < j < n, se tendr´ıa entonces que km ≡ jm(m´odn) y como
gcd(m, n) = 1, entonces k ≡ j(m´odn), lo que es claramente una
0,1,2, . . . , n−1, en alg´un orden. Pero sis≡t( m´odn), entonces gcd(s, n) = 1
si y s´olo si gcd(t, n) = 1. Esto implica que la r-´esima columna contiene el
mismo n´umero de enteros que son primos relativos con n que el conjunto
{0,1,2, . . . , n−1}, es decirφ(n) enteros. As´ı, el n´umero total de entradas en
el arreglo que son primos relativos am y n son φ(m)φ(n).
Teorema 7.1.4. Si el enteron > 1tiene la factorizaci´on priman=pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr,
entonces
φ(n) =
r
Y
i=1
(pki
i −p ki−1
i ) =n r
Y
i=1
1− 1
pi
.
Demostraci´on. Como n = pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr y φ es una multiplicativa, se tiene
que
n =φ(pk1
1 p
k2
2 · · ·p
kr
r ) =φ(p k1
1 )φ(p
k2
2 )· · ·φ(p
kr
r )
=(pk2
1 −p
k1−1
1 )(p
k2
2 −p
k2−1
2 )· · ·(pkrr −pkr −1
r ) = r
Y
i=1
(pki
i −p ki−1
i )
=pk1
1
1− 1
p1
pk2
2
1− 1
p2
· · ·pkr
1
1− 1
pr
=n
1− 1
p1
· · ·
1− 1
pr =n r Y i=1
1− 1
pi
Por ejemplo 360 = 23·32·5, entonces φ(30) = 360(1−1/2)(1−1/3)(1−
1/5) = 8·3·4 = 96. Hasta ahora en todos los ejemplos que se han hecho hay
una constante, el valos dephi(excepto para n= 1,2) ha sido par; esto no es
casualidad y se demuestra en el siguiente teorema.
Teorema 7.1.5. Para n >2, φ(n) es un entero par.
Demostraci´on. Primero sup´ongase que n es una potencia de 2, es decir que
n= 2k, con k ≥2. Por el teorema anterior
φ(n) = φ(2k) = 2k
1− 1
2
7.2 Teorema de Euler 43. Prof. John H. Castillo
es un entero par. Si n no es una potencia de 2, entonces n es divisible por
un primo impar; as´ı se puede escribir a n como n = pkm, donde k ≥ 1 y
gcd(pk, m) = 1. A partir de la naturaleza multiplicativa de φ, se tiene que
φ(n) =φ(pk)φ(m) = pk−1(p−1)φ(m)
que es de nuevo un n´umero par, ya que 2|p−1.
Adem´as se puede dar otra demostraci´on delTeorema de Euclides sobre la
infinitud de los n´umeros primos, utilizando la funci´onφen la siguiente forma:
Sup´ongase que existe un n´umero finito de primos. Sean estos p1, p2, . . . , pr y
sea n = p1p2· · ·pr. Entonces si 1 < a ≤ n, se tiene que gcd(a, n) 6= 1. Esto
se tiene porque como a es mayor que 1, debe tener un divisor primo q, que
debe ser uno de lospi, pues se supone que el conjunto de n´umeros primos es
finito. De ah´ı que q|n; en otras palabras gcd(a, n)≥ q. As´ıφ(n) = 1, lo que
contradice el teorema anterior.
7.2.
Teorema de Euler
Como se dijo antes, la primera prueba del Teorema de Fermat fua dada
por Euler. En 1760, generaliz´o el Teorema de Fermat de un primo p a un
entero arbitrario n. Este memorable resultado dice que: si gcd(a, n) = 1,
en-tonces aφ(n) ≡ 1(m´odn). Antes de presentar la prueba de la Generalizaci´on
de Euler del teorema de Fermat, se presenta un lema preliminar
Lema 7.2.1. Sea n > 1 y gcd(a, n) = 1. Si a1, a2, . . . , aφ(n) son los enteros
positivos menores queny primos relativos conn, entoncesaa1, aa2, . . . , aaφ(n)
son congruentes m´odulo n a, a1, a2, . . . , aφ(n) en alg´un orden.
Demostraci´on. Observe que los enteros aa1, aa2, . . . , aaφ(n) son incroguentes
m´odulo n dos a dos. En efecto; si aai ≡ aaj(m´odn), con 1 ≤ i < j ≤ φ(n),
entonces como gcd(a, n) = 1, ai ≡ aj(m´odn) lo que es un contradicci´on.
uno de los aai es primo relativo a n. En particular, para aai, existe un
en-tero ´unico b, donde 0 ≤ b < n, tal que aai ≡ b(m´odn). Como gcd(b, n) =
gcd(aai, n) = 1,b debe ser uno de los enterosai. Esto prueba que los n´umeros
aa1, aa2, . . . , aaφ(n) y los n´umeros a1, a2, . . . , aφ(n) son congruentes m´odulo n
en alg´un orden.
Teorema 7.2.2. Si n es un entero positivo y gcd(a, n) = 1, entonces
aφ(n)≡1(m´odn).
Demostraci´on. Sin perdida de generalidad se puede suponer que n es un
entero mayor que 1. Sean a1, a2, . . . , aφ(n) los enteros menores que n y
pri-mos relativos con n. Como gcd(a, n) = 1, se sigue del lema que loos enteros
aa1, aa2, . . . , aaφ(n)son congruentes en alg´un orden aa1, a2, . . . , aφ(n).
Enton-ces
(aa1)(aa2)· · ·(aaφ(n))≡a1a2· · ·aφ(n)(m´odn)
de donde
aφ(n)(a1a2· · ·aφ(n))≡a1a2· · ·aφ(n)(m´odn)
Como gcd(ai, n) = 1 para cadai, entonces gcd(a1a2· · ·aφ(n), n) = 1, de donde
aφ(n)≡1(m´odn).
Adem´as, este teorema generaliza el teorema de Fermat. En efecto, sip es
primo, entoncesφ(p) = p−1; de aqu´ı, cuando gcd(a, p) = 1, se tiene que
ap−1 ≡aφ(p) ≡1(m´odp).
Corolario 3 (Fermat). Si p es un n´umero primo y p - a, entonces ap−1 ≡
1(m´odp).
Ejemplo 1. El teorema de Euler es ´util al reducir potencias grandes m´odulo
n. Por ejemplo, si se desea encontrar las dos ´ultimas cifras de3256 es
7.2 Teorema de Euler 45. Prof. John H. Castillo
100. Dado que gcd(3,100) = 1 y φ(100) = 40. Por el teorema de Euler se
tiene que
340 ≡1(m´od100)
Adem´as como 256 = 6·40 + 16 se tiene que
3256 = 36·40+16 = (340)6316 ≡316 ≡(81)4 ≡(−19)4 ≡(361)2 ≡(61)2 ≡21( m´od 100).
Existe otra prueba del teorema de Euler, en la que se utiliza el teorema
de Fermat.
Segunda demostraci´on del Teorema de Euler. Para empezar, se
prue-ba (por inducci´on) que: sea pun n´umero primo, tal que p-a , entonces
aφ(pk)≡1(m´odpk) k >0.
Cuandok = 1, entonces se tiene el teorema de Fermat. Sup´ongase que
aφ(pk) ≡1(m´odpk) k > 0 (7.1)
y a continuaci´on se prueba que la ecuci´on (7.1) se cumple cuando se reemplaza a k por k+ 1. De (7.1) se tiene que aφ(pk)
= 1 +qpk, para alg´un q ∈
Z y
adem´as
aφ(pk+1) =pk+1−pk=p(pk−pk−1) =pφ(pk).
Entonces
aφ(pk+1)=apφ(pk) = (1 +qpk)p =1 +
p
1
(qpk) +
p
2
(qpk)2 +· · ·+
p p−1
(qpk)p−1+ (qpk)p
≡1 +
p
1
(qpk) (m´od pk+1)≡1 +qpk+1 (m´od pk+1)
≡1 (m´od pk+1)
Ahora sea gcd(a, n) = 1 y quentiene la factorizaci´on priman=pk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr.
Entonces
aφ(piki) ≡1(m´odp
para cada i. Adem´as comoφ(n) es divisible por φ(piki), se tiene queaφ(n) ≡
1(m´odpk1
1 p
k2
2 · · ·pkrr, o lo que es lo mismo
aφ(n)≡1 (m´od n).
El teorema de Euler, adem´as sirve para dar otra prueba del Teorema
Chino de los Restos (ver teorema??). Si gcd(ni, nj) = 1, parai6=j, entonces
el sistema de congruencias lineales
x≡ai(m´odnj)
tiene soluci´on. Sea n = n1n2· · ·nr y sea Ni = n/ni para i = 1,2, . . . , r.
Entonces el entero
x=a1N1φ(n1)+a2N2φ(n2)+· · ·+arNrφ(nr)
satisface el sistema de congruencias. Note que
Nj ≡0 (m´od ni) si i6=j
De aqu´ı x ≡ aiNiφ(ni)(m´odni), pero como gcd(Ni, ni) = 1, se tiene que
Nφ(ni)
i ≡1(m´odni) y entoncesx≡ai(m´odni) para cadai.
Otra aplicaci´on del teorema de Euler, es que permite demostrar que sin
es un entero impar, que no es m´ultiplo de 5, entoncesndivide un entero cuyos
d´ıgitos son iguales a 1 (7|111111). Dado que gcd(n,10) = 1 y gcd(9,10) = 1,
se tiene que gcd(9n,10) = 1. Entonces del teorema de Euler,
10φ(9n)≡1 (m´od 9)n.
Es decir; 10φ(9n)−1 = 9nk para alg´un enterok, esto es
kn= 10
φ(9n)−1
9
7.3 Ejercicios 47. Prof. John H. Castillo
7.3.
Ejercicios
Problemas 7.1
1. Calcule φ(1001), φ(5040), yφ(36000).
2. Verifique que la igualdad φ(n) = φ(n+ 1) =φ(n+ 2) se tiene cuando
n= 5186.
3. Muestre que los enteros m = 3k · 568 y n = 3k ·638, donde k ≥ 0
satisfacen simultaneamente
τ(m) =τ(n), σ(m) =σ(n), φ(m) =φ(n).
4. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:
a) Si n es un entero impar, entonces φ(2n) = φ(n).
b) Si n es un entero par, entonces φ(2n) = 2φ(n).
c) φ(3n) = 3φ(n) si y s´olo si 3|n.
d) φ(3n) = 2φ(n) si y s´olo si 3-n.
e) φ(n) = n/2 si y s´olo si n = 2k para alg´un k ≥ 1. [Sugerencia:
Escriban = 2kN, dondeN es impar, y use la condici´onφ(n) = n/2
para mostrar que N = 1.]
5. Pruebe que la ecuaci´onφ(n) =φ(n+ 2) se satisface paran = 2(2p−1)
cuandop y 2p−1 son primos impares.
6. Muestre que existen infinitos enteros n tales que φ(n) es un cuadrado
perfecto. [Sugerencia: considere los enterosn = 22k+1parak= 1,2, . . ..] 7. Verifique lo siguiente:
a) Para cualquier enteron, 12√n≤φ(n)≤n. [Sugerencia: Haga n= 2k0pk1
1 · · ·pkrr, entoncesφ(n) = 2k0
−1pk1−1
1 · · ·pkr
−1
r (p1−1)· · ·(pr−
1). Ahora use las desigualdades p−1> √p y k− 1
2 ≥ k/2, para
obtener φ(n)≥2k0−1pk1/2
1 · · ·p
kr/2
b) Si el entero n > 1 tiene r factores primos distintos, entonces
φ(n)≥n/2r.
c) Si n > 1 es un n´umero compuesto, entonces φ(n) ≤ n −√n.
[Sugerencia: sea p el menor divisor primo den, entoncesp≤√n.
Entonces φ(n)≤n(1−1/p).]
8. Pruebe que si el entero n tiene r factores primos impares diferentes,
entonces 2r|φ(n).
9. Pruebe que:
a) Si n y n+ 2 son un par de primos gemelos, entonces φ(n+ 2) =
φ(n) + 2; adem´as esto tambi´en se tiene para n= 12,14, y 20.
b) Si p y 2p+ 1 son primos, entonces n = 4p satisface φ(n + 2) =
φ(n) + 2.
10. Si cada entero primo que divide n tambi´en divide a m, demuestre que
φ(mn) =nφ(m); en particularφ(n2) =nφ(n) para cada entero positivo
n.
11. a) Siφ(n)|n−1, pruebe quen es un entero libre de cuadrados.
[Suge-rencia: Suponga que n tiene la factorizaci´on priman=pk1
1 · · ·pkrr,
donde ki ≥2. Entonces p1|φ(n), de donde p1|n−1, lo que lleva a
una contradicci´on.]
b) Muestre que sin = 2ko 2k3j, conkyj enteros positivos, entonces,
φ(n)|n.
12. Si n =pk1
1 · · ·pkrr, demuestre las desigualdades:
a) σ(n)φ(n)≥n2(1−1/p21)· · ·(1−1/p2r), y
b) τ(n)φ(n)≥n. [Sugerencia: muestre que τ(n)φ(n)≥2r·n(1/2)r.]
13. Suponga que d|n, pruebe queφ(d)|φ(n). [Sugerencia: utilice la
