Tema 7 Mecanica de Fluidos

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(1)

Mecánica de Fluidos

1. Introducción.

2. Conceptos de densidad y presión.

3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos.

a) Principio de Pascal.

b) Presión manométrica y presión atmosférica.

c) Principio de Arquímedes.

4. Movimiento de fluidos en régimen estacionario.

a) Ecuación de continuidad.

b) Ecuación de Bernouilli. Aplicaciones.

5. Flujo viscoso. Viscosidad.

6. Ley de Poiseuille.

(2)

1. Introducción.

A diferencia de los sólidos, en los que las fuerzas intermoleculares mantienen a los átomos formando una estructura rígida, los fluidos experimentan fuerzas intermoleculares débiles.

Un fluido es una sustancia que no puede mantener su propia forma y, por ello, fluye fácilmente bajo la influencia de fuerzas aplicadas. Los líquidos y los gases son fluidos.

En los líquidos, a diferencia de los sólidos, las fuerzas intermoleculares son lo

suficientemente fuertes para mantener a las moléculas en estrecho contacto, pero son demasiado débiles para impedirles moverse fácilmente unas sobre otras.

En los gases las fuerzas intermoleculares son casi despreciables, y el gas se

mantiene unido esencialmente por fuerzas externas. Estas fuerzas provienen de las paredes del recipiente o, en sistemas de tamaño astronómico, como las estrellas o atmósferas de planetas, por la gravedad. En el caso del almacenamiento de los gases en estado de plasma (gases de partículas cargadas) se utilizan fuerzas magnéticas.

Estudio de los Fluidos

Estática de Fluidos

(3)

2. Concepto de densidad y presión (I).

La densidad másica o, simplemente, densidad de un fluido, que es uno de los factores que determinan su comportamiento, (ρ), se define como la masa por unidad de volumen.

m

V

ρ

=

=

=

=

La densidad en un punto concreto del fluido se define como:

dm

dV

ρ

=

=

=

=

De acuerdo a su densidad los fluidos se pueden clasificar en compresibles e incompresibles.

Un fluido compresible puede variar su volumen al ser sometido a fuerzas externas y,

consecuentemente, su densidad.

Un fluido incompresible no varía su volumen cuando se le somete a fuerzas externas y,

por tanto, su densidad no varía.

Los líquidos son fluidos prácticamente incompresibles, no así los gases cuya densidad puede ser alterada fácilmente por simple compresión (No obstante si ∆p es muy pequeña,

(4)

2. Concepto de densidad y presión (II).

Se define la presión media

p

m como la fuerza normal (

F

) por unidad de área (

A

) que el fluido ejerce sobre las paredes del recipiente que lo contiene o sobre una región

adyacente de fluido.

m

F

p

A

=

=

=

=

Se define la presión

p

del fluido en un punto específico como:

0

lim

A

F

dF

p

A

dA

→ → → →

=

=

=

=

=

=

=

=

La unidad de presión en el Sistema Internacional es el Pascal (1 Pa = 1 N/m2). En el

sistema CGS la unidad se llama baria (1 baria = 1 dina/cm2). Otras unidades de presión

son:

- El Bar o megabaria (Bar): 1 Bar = 106 barias = 105 Pa

- El milibar (mb): 1 mb = 10-3 Bar = 103 barias = 100 Pa

- La atmósfera (atm): 1 atm = 1,013·105 Pa = 1013 mb

- El mm de Hg (Torr): 760 Torr = 1 atm - El kgf/cm2: 1 kgf/cm2 = 9,8 104 Pa 1 Bar

(5)

3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos (I).

Si un fluido se encuentra en reposo la fuerza neta que se ejerce sobre él debe ser cero. Cuando un fluido cumple esta condición, se dice que se halla en equilibrio hidrostático.

Supongamos un fluido en equilibrio hidrostático sometido a la acción de la gravedad. Consideremos una porción del mismo de forma cilíndrica. Este cilindro se encontrará en equilibrio bajo la acción de las diferentes fuerzas provenientes del resto del fluido y del campo gravitatorio. Por tanto:*

0

0

0

F

=

=

=

=

F

+

+

+

+

P

+

+

+

+

F

=

=

=

=

O bien:

p A m g

0

+

+

+

+

p A

=

=

=

=

0

m g

=

=

=

=

((((

p

0

p A

))))

Ya que:

m

=

=

=

=

ρ

V

=

=

=

=

ρ

A z

Podemos escribir que:

A

ρ

g z

=

=

=

=

((((

p

0

p A

))))

{{{{

p

=

=

=

=

p

p

0

}}}}

p

= −

= −

= −

= −

ρ

g z

∆z

O bien:

p

g

z

ρ

= −

= −

= −

= −

Si ∆z tiende a cero se verifica

dp

g

dz

= −

= −

= −

= −

ρ

x

(6)

3. Ecuación fundamental de la estática de fluidos (II).

La ecuación anterior se considera la ecuación fundamental de la estática de fluidos.

Téngase en cuenta que hemos considerado positivo el eje Z en el sentido de aumento de altura (o de disminución de profundidad). Así, efectivamente, al aumentar la altura (o disminuir la profundidad) la presión disminuye.

Si ρ es constante, como en el caso de los líquidos que son prácticamente incompresibles,

la integración de la ecuación fundamental de la estática de fluidos conduce a:

Cte

p

= −

= −

= −

= −

ρ

g z

+

+

+

+

La constante de integración dependerá de las condiciones iniciales. Así, considerando

z

= 0 en la superficie del líquido (ver Figura), tendremos que Cte =

p

0, siendo

p

0 la presión sobre la superficie libre, que, normalmente, será la atmosférica.

0

p

=

=

=

=

p

ρ

g z

Si llamamos

p

=

=

=

=

p p

0

p

ρ

g z

= −

= −

= −

= −

(7)

Ejemplo 1.

Calcular la altura de la atmósfera si la densidad del aire: a) fuese constante e igual a la densidad a nivel del mar (ρ0), b) decreciera linealmente con la altura hasta llegar a cero.

Considérese la temperatura constante. DATOS:

ρ

0 = 1,29 kg/m3, p

atm= 1,023·105 Pa (a nivel del mar).

a) Densidad del aire constante. Consideremos la ecuación:

dp

g

dz

= −

= −

= −

= −

ρ

atm

0

0 atm 0

0

h

p

dp

=

ρ

g dz

p

= −

ρ

g h

Sustituyendo valores:

1, 013 10

5

=

1,29 9,8

h

h

=

8.013 m

b) Si la densidad decrece linealmente con la altura hasta llegar a cero, tenemos que:

0

k z

ρ

=

ρ

Donde la constante

k

debe tener un valor tal que se cumpla:

Para

0

0

Para

0

z

z

h

ρ

ρ

ρ

=

=

=

=

Es decir:

k

0

h

ρ

=

Por tanto:

atm

2 0

0

0 atm 0 atm 0

0 0

h h

p

h

dp

g dz

p

z g dz

p

g

h

h

ρ

ρ

ρ

ρ

=

= −

=

2

h

5 atm 0

1

1

1, 013 10

1,29 9,8

16.026 m

(8)

3a. Principio de Pascal.

De la ecuación fundamental de la hidrostática se deduce que todos los puntos que se

hallen en el mismo plano horizontal en un fluido incompresible están sometidos a la misma presión. Así, si

p

0 aumenta por cualquier causa (por ejemplo la acción de un émbolo), la presión en cualquier punto de la masa del líquido aumentará también en esa misma

cantidad. Este hecho fue reconocido por vez primera por Blaise Pascal (1.623-1.662) y se conoce como el Principio de Pascal:

La presión ejercida sobre un punto de un fluido

incompresible encerrado se transmite sin disminución alguna a todo punto del fluido y a

todas las paredes del recipiente que lo contiene

.

Una importante aplicación del principio de Pascal es la prensa hidráulica. Aplicando una fuerza

F

1 al émbolo pequeño de área

A

1, como la presión debe ser la misma

a ambos lados (por estar en la misma horizontal), se cumplirá que:

2

1 2

2 1

1 2 1

A

F

F

p

F

F

A

A

A

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Así la fuerza

F

2 es mayor que

F

1 en un factor

A

2 /

A

1.

(9)

3b.

Presión manométrica y presión atmosférica.

Manómetro de tubo abierto: es un medidor de presión simple que está constituido por un tubo en forma de U que está abierto por una de las partes y, por tanto, a la presión atmosférica

p

atm. La otra parte del tubo se encuentra a la presión

p

que se desea medir.

La diferencia entre la presión absoluta

p

, que se quiere medir, y la atmosférica,

p

atm, se denomina presión manométrica.

manometrica atm

p

=

=

=

=

p

+

+

+

+

p

manometrica atm

p

=

=

=

=

p

p

=

=

=

=

ρ

g h

Barómetro de tubo en U: se utiliza para medir la

presión atmosférica. Consta de una parte cerrada y en la que se ha hecho el vacío de forma que la presión en su interior es nula. El otro extremo se encuentra abierto y a la presión atmosférica,

p

atm. En este caso:

atm

(10)

3c.

Principio de Arquímedes (I).

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza de

empuje vertical y ascendente, cuya magnitud es igual al peso del fluido desalojado y cuya línea de acción pasa por el centro de gravedad de dicho líquido desalojado.

Consideremos una cierta porción de fluido limitada por una superficie cerrada. Si el fluido está en equilibrio, la porción considerada también lo estará. Como consecuencia el peso de la porción de fluido debe verse compensado por el resultado de las presiones que ejercidas sobre la superficie considerada, las cuales dan lugar a la denominada fuerza de empuje,

E

. Obsérvese que esta fuerza surge debido a que la presión en la parte inferior de la porción considerada será algo mayor que en la superior (ecuación fundamental de la hidrostática).

(11)

3c.

Principio de Arquímedes (II).

De acuerdo con el Principio de Arquímedes, el empuje

E

viene dado por:

0

E

=

=

=

=

ρ

g V

Siendo ρ0 la densidad del fluido. El peso aparente del cuerpo será:

((((

0

))))

aparente

P

=

=

=

=

P E

=

=

=

=

ρ

ρ

g V

Así, pueden presentarse tres casos:

0 0

0

Si

El cuerpo se hunde

Si

El cuerpo queda en Equilibrio

Si

El cuerpo asciende

P

E

P

E

P

E

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

>

>

>

>

>

>

>

>

=

=

=

=

=

=

=

=

<

<

<

<

<

<

<

<

(12)

12

Ejemplo 2.

Una barra uniforme AB, de 3,6 m de longitud y 12 kg de masa está sujeta en el extremo B por una cuerda y lastrada en el extremo A con una masa puntual de 6 kg. La barra flota como se indica en la figura, con la mitad de su longitud sumergida en el agua. Despreciando el empuje sobre el lastre, calcular: a) la tensión de la cuerda y b) el volumen total de la barra. A B A B

P

T

E

P

A

θ

a) Aplicando las condiciones de equilibrio:

A

0

0

120 60

3

0

cos

4

B

F

T

E

P

P

E T

M

E

L

θ

=

+

=

+

=

+

=

120

cos

2

L

θ

60

L

cos

θ

=

0

E

=

160 N

20 N

T

=

b) Como conocemos el empuje, tenemos que: S

donde

S TOTAL

2

V

E

=

ρ

g V

V

=

Por tanto: TOTAL 3

TOTAL

160 1000

10

0, 032 m

2

V

V

(13)

Ejemplo 3.

El cuerpo A de la figura está suspendido de un dinamómetro, y se encuentra sumergido en un líquido contenido en la vasija B. La masa de la vasija es de 1 kg y la del líquido de 3 kg. El conjunto descansa sobre una balanza C que marca 5 kg. Si el dinamómetro marca 4 kg y el volumen del cuerpo A es de 1 dm3, determinar: a) la densidad del líquido, y b) ¿qué marcará tanto el dinamómetro como la balanza C si se saca el cuerpo A del líquido?

a) La fuerza sobre el dinamómetro,

T

, vendrá dada por:

A

T

=

m g E

Y sobre la balanza:

F

=

m g m g E

B

+

liq

+

donde

E

=

ρ

liq

V g

A

Luego:

50 1 10 3 10

= ⋅

+

+

E

E

=

10 N

Por tanto: 3 3

liq 3

A

10

10 kg/m

1 10 10

E

V g

ρ

=

=

=

b) De la ecuación del dinamómetro obtenemos el valor de la masa de A.

A A

40

=

m

10 10

m

=

5 kg

(14)

4. Movimiento de fluidos en régimen estacionario

.

Nos referiremos sólo el movimiento de fluidos ideales en estado estacionario.

• Fluidos ideales: son fluidos incompresibles (densidad constante) y no viscosos (fluyen

sin disipación de energía mecánica).

Flujo estacionario: la velocidad de las partículas de fluido en cualquier punto no varía

con el tiempo.

Dos conceptos a tener en cuenta:

1. Línea de corriente: línea imaginaria tal que la velocidad del fluido en cualquier punto

de ella es tangente a la misma. Si el flujo es estacionario las líneas de corriente no pueden cortarse.

2. Tubo de corriente: región tubular cuyas paredes tabulares están constituidas por

(15)

4a. Ecuación de continuidad

.

Establece el principio de conservación de la masa de un fluido en régimen estacionario.

Supongamos un fluido ideal en el interior de un tubo de corriente, de sección no uniforme, en régimen estacionario. En un intervalo de tiempo

dt

el fluido habrá avanzado una

distancia

dx

1 en la parte baja de la tubería y una distancia

dx

2 en la parte alta. Tal que:

1 1

2 2

dx

v dt

dx

v dt



=

=

=

=



=

=

=

=



Las masas elementales que en ese tiempo atraviesan las secciones

A

1 y

A

2 serán:

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

dm

A dx

A v dt

dm

A dx

A v dt

ρ

ρ

ρ

ρ

=

=

=

=

=

=

=

=





=

=

=

=

=

=

=

=



Al ser el flujo estacionario la masa debe conservarse y, por tanto:

1

A v

1 1 2

A v

2 2

ρ

=

=

=

=

ρ

Además, por tratarse de un fluido incompresible la ρ es constante, quedando finalmente:

1 1 2 2

Constante

(16)

4b. Ecuación de Bernouilli

.

Establece el principio de conservación de la energía de un fluido en movimiento.

Supongamos un fluido ideal en régimen estacionario en el interior de un tubo de

corriente, de sección no uniforme, como indica la figura. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía, el trabajo realizado sobre el fluido para pasar desde la posición 1 a la posición 2 vendrá dado por:

((((

1

2

))))

c

dW

=

=

=

=

dE

Donde:

((((

1

2

))))

((((

1

2

))))

((((

1

2

))))

g p

dW

=

=

=

=

dW

+

+

+

+

dW

Es decir:

((((

1

2

))))

((((

1 2

))))

g g

dW

= −

= −

= −

= −

dU

=

=

=

=

g h h dm

((((

1

2

)))) ((((

1 2

))))

p

dW

=

=

=

=

p

p dV

Además, por otra parte:

((((

2 2

))))

2 1

1

2

c

dE

=

=

=

=

v

v dm

Sustituyendo en la primera ecuación, se obtiene:

2 2

1 1 1 2 2 2

1

1

2

2

(17)

Ejemplo 4.

Por un tubo vertical de diámetro D sale un líquido incompresible. A 75 cm por debajo de la salida del tubo la vena líquida tiene un diámetro D/2. Calcular la velocidad con la que sale el líquido del tubo. Tome g = 10 m/s2.

0,75 m

1

2

Apliquemos la ecuación de Bernouilli entre los puntos 1 y 2, como muestra la figura adjunta.

2 2

1 1 1 2 2 2

1

1

2

2

p

+

+

+

+

ρ

g h

+

+

+

+

ρ

v

=

=

=

=

p

+

+

+

+

ρ

g h

+

+

+

+

ρ

v

Ya que: , la ecuación anterior queda como:

p

1 ====

p

2 ====

p

atm

ρ

((((

1 2

))))

1

2

g h h

−−−− ====

ρ

((((

v

22 −−−−

v

12

))))

2 2

1 1 2 2 1 2 2

4

1

2

4

D

D

A v

=

=

=

=

A v

π

v

=

=

=

=

π

v

v

=

=

=

=

v

De acuerdo con la ecuación de continuidad tenemos que:

Sustituyendo en la ecuación de Bernouilli.

((((

))))

((((

2 2

))))

2

1 2 1 1 1 1

1 1

16 10 0 75 15 1

2 , 2 m/s

(18)

Algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernouilli (I)

.

Efecto Venturi: Consideremos una tubería con un estrechamiento, como muestra la figura.

Si aplicamos Bernouilli entre los punto 1 y 2, que se encuentran a la misma altura:

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2

p

++++

ρ

v

====

p

++++

ρ

v

Haciendo uso de la ecuación de continuidad entre esos mismos dos puntos: se deduce que, al ser A1 > A2, se cumple que v1 < v2. En consecuencia, en un estrechamiento aumenta la velocidad del fluido pero disminuye la presión.

1 1 2 2

A v

====

A v

O bien:

((((

2 2

))))

1 2 2 1

1

2

p

====

p

++++

ρ

v

−−−−

v

Cuando aumenta la velocidad de un fluido, disminuye su presión

El Venturímetro o Medidor Venturi, que se utiliza para medir el gasto o caudal en una tubería, hace uso de este principio.

Compruebe que el caudal Q de la tubería viene dado por:

((((

))))

((((

))))

1 2 1 2 2 2 1 2 2 L

p

p

Q

A A

(19)

Algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernouilli (II)

.

El pulverizador: Apretando el bulbo de la izquierda se obliga al aire a atravesar el estrechamiento del tubo a mayor velocidad pero con la presión reducida respecto a la presión atmosférica. Debido a la diferencia de

presiones que resulta, el líquido contenido en el vaso se ve forzado a introducirse en la corriente de aire a través del tubo vertical y emerge por la boquilla. Un efecto análogo tiene lugar en el carburador de un motor de gasolina.

Aviación: La base de la sustentación dinámica del ala de un avión está también en la ecuación de Bernouilli. Debido a la forma del ala, el aire fluirá a mayor

(20)

Algunas aplicaciones de la Ecuación de Bernouilli (III)

.

El Teorema de Torricelli: Consideremos un tanque lleno de un fluido ideal, abierto por arriba, con un pequeño orificio a una altura ∆h por debajo de la superficie del líquido, por donde fluirá este hacia el exterior.

Si aplicamos la ecuación de Bernouilli entre los puntos a (superficie) y b (orificio), considerando que la velocidad en la superficie es prácticamente nula, tenemos que:

2

1

2

a a b b b

p

+

+

+

+

ρ

g h

=

=

=

=

p

+

+

+

+

ρ

g h

+

+

+

+

ρ

v

Además, la presión en los puntos a y b será la propia presión atmosférica, ya que ambos puntos están abiertos al aire, por tanto:

2

1

2

a b b

g h

g h

v

ρ

=

=

=

=

ρ

+

+

+

+

ρ

Despejando la velocidad, se obtiene:

((((

))))

2

2 2 2

b a b b

v

====

g h

−−−−

h

====

g h

∆ ⇒⇒⇒⇒

v

====

g h

(21)

5. Flujo viscoso

. Viscosidad (I).

Si un fluido ideal fluye por una tubería de sección transversal constante, de acuerdo con el Teorema de Bernouilli, la presión se mantiene constante a lo largo de la tubería. En la práctica, sin embargo, se observa una caída de presión a medida que nos desplazamos por la tubería. Esto se debe al hecho de que en los fluidos reales tiene lugar una fuerza de resistencia al desplazamiento del fluido sobre las paredes de la tubería y también entre las láminas adyacentes del fluido.

Estas fuerzas de resistencia se denominan Fuerzas viscosas. El resultado es que cuando un fluido real (viscoso) fluye por una tubería, su velocidad es mayor en el centro del

fluido que en las regiones más exteriores.

V

V

(22)

5. Flujo viscoso

. Viscosidad (II).

Viscosidad: Consideremos un fluido confinado entre dos placas, cada una de ellas de área

A

y separadas una distancia

z.

Manteniendo la placa inferior en reposo, se tira de la placa superior con una fuerza

F

de forma que aquella se mueva con una velocidad constante

v

. Se observa que la tensión de cizalladura,

F

/

A

, es proporcional al gradiente de velocidad del fluido entre las láminas, es decir:

F

dv

A

dz

Que puede convertirse en igualdad a través de una constante de proporcionalidad, η, denominada

coeficiente de viscosidad o simplemente

viscosidad.

F

dv

A

=

=

=

=

η

dz

La unidad de viscosidad en el S.I. es el Pascal por segundo (Pa·s), mientras que en el sistema cegesimal (C.G.S.) es el poise (P), siendo la equivalencia:

1

Pa s

=

=

=

=

10

P

(23)

6. Ley de Poiseuille

.

Cuando un fluido viscoso fluye por una tubería, su velocidad es mayor en el centro de la misma.

Próximo a las paredes de la tubería el fluido tiende a permanecer en reposo.

Se observa que la diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2, separados una distancia

L

(siguiendo la dirección de la corriente) resulta ser

proporcional al caudal (

Q

), es decir:

1 2

p

p

p

K Q

=

=

=

=

=

=

=

=

La constante de proporcionalidad

K

da una medida de la resistencia al flujo del líquido y depende de la longitud

L

, del radio de la tubería y de la viscosidad del fluido.

Puede demostrarse que el valor de

K

para un flujo estacionario

en un tubo de sección circular de radio

r

viene dado por: 4

8

L

K

r

η

π

=

=

=

=

Que combinada con la ecuación anterior de la pérdida de presión conduce a:

4

8

L

p

Q

r

η

π

=

=

=

=

(24)

7. Movimiento de sólidos en el seno de fluidos

. Ley de Stokes.

Analizaremos tan sólo el caso de un objeto esférico de radio

R

en un fluido de viscosidad η. Las fuerzas que actúan sobre este cuerpo serán la fuerza peso, el empuje, según el principio de Arquímedes, y la fuerza viscosa.

P

E

F

v

El módulo de la fuerza viscosa que actúa sobre un sólido esférico de radio

R

viene dado por la ecuación de Stokes:

6

v

F

=

=

=

=

π η

v R

Donde

v

es la velocidad del cuerpo en el seno del fluido. Significa, por tanto, que la fuerza viscosa que actúa sobre el objeto irá aumentando a medida que aumenta la

velocidad. Llegará un momento, sin embargo, en que la suma de fuerzas sea cero, en cuyo caso el cuerpo deja de

acelerar y mantendrá una determinada velocidad que se conoce como

velocidad límite.

Es decir:

0

6

0

lim

v L

P

+

+

+

+

E

+

+

+

+

F

=

=

=

=

m g m g

π

v

η

R

=

=

=

=

((((

))))

2

3 3

2

4

4

6

3

L

3

lim lim

9

L

R g

R g

R g

v

R

v

ρ

π

ρ

π

π

η

ρ

ρ

η

=

=

=

=

=

=

=

=

donde

m

es la masa del objeto y

m

L la del líquido desalojado. En consecuencia.

Figure

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Referencias

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