Sol 10 Campo Magnético I

(1)

1 Fco Javier Corral 2011-2012

01. Un electrón penetra perpendicularmente en un campo magnético de 2,7 T con una velocidad de 2500 km/s. Calcular:

a) el radio de la órbita que describe b) la frecuencia del movimiento

El radio es

31 6

6 19

mv

9,1·10 ·2,5·10

R

5,27·10 m

qB

1,6·10 ·2,7



 



el periodo del movimiento es

T

2 R

1,32·10 s

11

v







y la frecuencia

f

1 7,58·10 Hz

10

T



02. Un electrón tiene una energía cinética de 3,7 keV sigue una trayectoria circular en un campo magnético B = 2 T. Calcula:

a) el radio de la trayectoria

b) el número de vueltas que da en un minuto.

La energía cinética es

19

3 16

C

1,6·10 J

E

3,7·10 eV

5,92·10 J

1eV





, y de aquí sacamos la velocidad

que lleva el electrón 2 C 7 1

C

2E

1 E

mv

v

3,61·10 ms

2 m





 



El radio de la órbita que describe es

31 7

4 19

mv

9,1·10 ·3,61·10

R

1,026·10 m

qB

1,6·10 ·2



 



la frecuencia es

7

11 4

3,61·10

v

f

3,66·10 Hz

2 R

2 ·1,026·10







y en un minuto da 60·3,66·1011 _vueltas.

03. Un electrón que se mueve con una velocidad de 107_{m/s entra en una zona en la que hay un}

campo magnético uniforme. El electrón describe una trayectoria semicircular de 0,05 m de radio dentro esa zona y sale en dirección paralela a la de entrada en sentido opuesto. Sabiendo que la relación carga/masa del electrón es 1,76·1011_{C/kg, calcular el vector campo magnético.}

11 12

q

m

1,76·10

5,68·10

m

q









El radio de la órbita es:

7

12 3

mv

m

v

10 R

B

5,68·10

1,1·10 T

qB

q R

0,05

 



 



El campo B es perpendicular al papel y sale de él.

04. Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 350 V y penetra en una zona en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular al plano del papel y dirigido hacia dentro de intensidad 1,5·10-4_{T. La anchura de la región es de 3 cm. Calcular:}

a) La trayectoria descrita

(2)

El trabajo que hace el campo eléctrico se convierte en energía cinética:

19

2 7 1

31

2qV

2·1,6·10 ·350

1 qV

mv

v

1,11·10 ms

2 m

9,1·10



 



 



cuando entra en el campo magnético describe una trayectoria

circular de radio

31 7

19 4

mv

9,1·10 ·1,11·10

R

0,42m

qB

1,6·10 ·1,5·10



 



se sale de la zona de campo magnético, y sigue en línea recta.

En la figura

sen

0,03

0,071

4,096

cos

0,997

0,42

 



  



 

luego la desviación vertical d es:

d 0,42 0,42cos

_

_

_

1,26·10 m

2

05. Un electrón se mueve con una velocidad de 3·106_{m/s en el interior de un condensador de 20}

cm de longitud y 10 cm de separación entre placas entre las que hay una diferencia de potencial de 150 V. Calcular la intensidad y dirección de un campo magnético que superpuesto al eléctrico haga que el electrón no se desvíe.

Para que no se desvíe los efectos de los dos campos se anulan.

4

E M 6

E

V

150 F

F

Eq qvB

B

5·10 T

v

v d

3·10 ·0,1







 



la dirección es perpendicular al papel y saliendo (e-₎

06. En un mismo punto de un campo magnético B dejamos en libertad un protón y un electrón. Los dos tienen la misma velocidad, perpendicular a las líneas del campo. Calcular la relación entre los radios de las órbitas descritas y entre los periodos de las mismas. Dato: mp= 1850 me

Las órbitas se describen en sentidos contrarios con un radio P P

E E

R

m

mv

R

1850

qB

R

m







y como el periodo es P P

E E

T

R

2 R

T

1850

v

T

R









07. Una partícula alfa entra con una velocidad v en una zona de 0,1m de anchura en la que hay un campo magnético uniforme perpendicular de 1,5 T. Calcular:

a) la velocidad mínima para que sea capaz de atravesar toda la zona. b) el radio descrito por un electrón que entre con la misma velocidad.

Para que pueda salir de la zona de campo magnético, el radio de la órbita que describe tiene que ser mayor que 0,1 m

19

6 1 27

mv

R qB

0,1·3,2·10 ·1,5

R

v

7,06·10 ms

qB

m

6,8·10



 



 



Para el caso del electrón:

31 6

5 19

mv

9,1·10 ·7,06·10

R

2,68·10 m

qB

1,6·10 ·1,5



 



0,03m

d



0,42m

B

FM

B

_F

E

0,1 m

(3)

08. Dos partículas con la misma carga pero signo contrario se lanzan con velocidades diferentes, paralelas entre sí y en el mismo sentido, perpendiculares a un campo magnético. Las dos partículas chocan después de que la primera gire 90º y la segunda 150º. Calcular:

a) Relación entre los radio de las órbitas descritas. b) Relación entre las velocidades.

c) Relación entre sus masas.

d) Relación entre sus momentos lineales.

La relación entre radios es muy sencilla, si se hace el dibujo:

2 1 2

1

R

R sen30

2 R







Una partícula recorre

R

1

2 

y la otra

15 R

₂

18 

en el mismo tiempo,

luego 2 2 2 2

1 1 ₁ 1

15 18 1 2

R

v

e

5 R

10 v

e

_R

3 R

3 





Recordando que 2 2 2 2

1 1 1 1

R

m v

p

mv

R

2 qB

R

m v

p







Utilizando la última expresión 2 2 2 1

1 1 1 2

m v

m

v

3

2

2 m v

 

m



v



5

09. Tenemos un triangulo de catetos 4 y 3 m en el plano del papel por el que circula una intensidad de 3A. Un campo magnético de 3 T es perpendicular al plano papel y entra en él. Calcular la fuerza total que actúa sobre cada lado y sobre el triángulo.

La fuerza del campo sobre cada hilo es

F I·L B





3 4 5

F

3·3·3 27 T

F

3·4·3 36 T

F

3·5·3 45 T



En la figura,

sen

3 ,

cos

4

5

5  

 

Las componentes de la fuerza total son

X 5 4

Y 5 3

4 F

F cos

F

45 36 0

5 _{F 0}

3 F

F sen

F

45 27 0

5 



 





_{ }

 







 









10. Un protón pasa por una región del espacio sin sufrir ninguna desviación. ¿Puede de ello deducirse que no existen allí campos electromagnéticos? Razona la respuesta.

Si no se desvía, la fuerza del campo magnético es cero. La fuerza

F qv B





es cero si no hay

campo magnético o si la velocidad y el campo son paralelos. Si el campo eléctrico va en la misma dirección que la velocidad, la carga se acelera o se frena, pero no se desvía.

R2

B R₁

F3

F4

F5

I

I I

 F5

F3

F4

(4)

Y además puede ocurrir que los efectos de los dos campos se compensen.

11. Dos partículas cargadas describen trayectorias circulares de igual radio en una región en la que existe un campo magnético uniforme. ¿Puede asegurarse que ambas partículas tienen la misma masa? ¿Tienen que ser iguales sus velocidades? Razonar las respuestas.

El radio de la trayectoria que describen es

R

mv

qB



para que el radio sea igual en las dos

partículas, tiene que ser igual el cociente

m v

q

Las velocidades sólo son iguales si las dos partículas tienen la misma relación carga/masa. 12. Un protón penetra en una zona con un campo magnético uniforme de 10-3_{T y lleva una}

velocidad de 500 m/s perpendicular al campo magnético. Determine las siguientes magnitudes del protón en la zona con campo magnético:

a) Módulo de la fuerza y aceleración que experimenta.

b) Potencial eléctrico producido por el protón en el centro de la órbita que describe. c) Velocidad angular y momento angular.

La fuerza es la del campo magnético

_{F qv B 1,6·10 ·500·10}

_

_{ }

19 3

_

_{8·10 N}

18

La aceleración es la centrípeta

19 3 2

7 2

CP 27

v qB

500·1,6·10 ·10

v

a

4,79·10 m·s

R

m

1,67·10

 



El radio de la órbita es

R

mv

5,22·10 m

9

qB





y el potencial

V k

q

0,276 v

R



La velocidad angular

v

_{9,58·10 rad·s}

10 1

R



 



y el momento

_{L r mv}

_{ }

_

_{4,36·10 kg·m ·s}

33 2 1

13. Para caracterizar el campo magnético uniforme que existe en una región se utiliza un haz de protones con una velocidad de 5·105_{m/s. Si se lanza el haz en la dirección del eje X, la}

trayectoria de los protones es rectilínea, pero si se lanza en el sentido positivo del eje Z, actúa sobre los protones una fuerza de 10-14_{N dirigida en el sentido positivo del eje Y.}

a) Determine, razonadamente, el campo magnético (módulo, dirección y sentido).

b) Describa, sin necesidad de hacer cálculos, cómo se modificaría la fuerza magnética y la trayectoria de las partículas si se lanzaran electrones con la misma velocidad.

La fuerza del campo magnético es

F qv B





luego

14 19 5

F

10 B

0,125 T

qv

1,6·10 ·5·10

 



Si se lanzan electrones, describen circunferencias de radio más pequeño (1850 veces) en el plano YZ, en la parte negativa del eje OY. La fuerza del campo magnético es la misma pero va en sentido contrario.

B

F

v

(5)

14. En una región del espacio existe un campo magnético uniforme en el sentido negativo del eje Z. Indique, con la ayuda de un esquema, la dirección y sentido de la fuerza magnética en los siguientes casos:

a) un electrón que se mueve en el sentido positivo del eje X describe la trayectoria indicada. Electrón carga negativa.

b) una partícula alfa que se mueve en el sentido positivo del eje Z, no se desvía porque v y B forman un ángulo de 180

F qv B





15. Un ion Na+_{penetra en un campo magnético de 0,6 T, con una velocidad de 3·10}3_m/s,

perpendicular a la dirección del campo.

a) Dibujar la fuerza que el campo ejerce sobre el catión Na+_{y calcular su valor.}

b) Dibujar la trayectoria que sigue el ion Na+_{y calcular el radio de la trayectoria.}

Dato: mNa+ = 3,8·10-26 kg ; e = 1,6·10-19 C

La fuerza del campo magnético es:

19 3 16

F qvB 1,6·10 ·3·10 ·0,6 2,88·10

_



_



N

y el radio descrito:

26 3

3 19

mv

3,8·10 ·3·10

R

1,19·10 m

qB

1,6·10 ·0,6



 



16. Un protón, un deuterón y una partícula alfa, acelerados desde el reposo por una misma diferencia de potencial V, penetran en una región en la que hay un campo magnético uniforme, B, perpendicular a la velocidad de las partículas.

a) ¿Qué relación existe entre las energías cinéticas del deuterón y del protón? ¿Y entre las de la partícula alfa y del protón?

b) Si el radio de la trayectoria del protón es de 0,01 m, calcule los radios de las trayectorias del deuterón y de la partícula alfa.

Dato: malfa = 2 mdeuterón = 4 mprotón

El protón y el deuterón tienen carga +1 y la partícula alfa +2. La energía cinética que adquieren en el campo eléctrico es:

PRO DEU 2

C E

ALF PRO

C PRO

PRO DEU PRO ALF PRO

PRO

E

1 E

mv

W

qV

E

2E

2 2E

2E

2

2 v

v

m

2

2 





_{ }



















B

F

ve

v_alfa

R F

Na+

(6)

El radio de la trayectoria descrita en el campo magnético es:

PRO PRO PRO PRO

DEU PRO ALF PRO

PRO PRO

2 2

2m

v

4m

v

mv

R

2 R

R

2 R

qB

q

B

2q

B











17. Una cámara de niebla es un dispositivo para observar trayectorias de partículas cargadas. Al aplicar un campo magnético uniforme, se observa que las trayectorias seguidas por un protón y un electrón son circunferencias.

a) Explique por qué las trayectorias son circulares y represente en un esquema el campo y las trayectorias de ambas partículas.

b) Si la velocidad angular del protón es ωp = 106 rad/s, determine la velocidad angular del

electrón y la intensidad del campo magnético.

La trayectoria es circular porque la fuerza que hace el campo magnético sobre la carga es siempre perpendicular a la velocidad.