Números racionales e irracionales

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13

EJERCICIOS

Los conjuntos numéricos.

1. (3º ESO)¿Cuáles de los números siguientes son racionales? ¿e irracionales? Pon en forma de fracción los que sea posible:

a) 0,018 b) 25,3 c) 1,212112111.... d) π e) 7,03232.... f) g) 0,3212121.... h) 1,9

2. (3º ESO) Sitúa cada uno de los números siguientes en las casillas correspondientes. Cada una puede estar en más de una casilla: 24; 0,71; 0,71; −5;

5 3

; 7 ; − 9; 7 28

; π− 1

Naturales, ℕ

Enteros,

Fraccionarios

Racionales,

Irracionales

3. (3º ESO) Sitúa los números siguientes en la parte correspondiente del diagrama:

1,4; 5 4

; −2; 9; 36; 71,; 0,25; 3 15 −

4. (3º ESO) Clasifica los números siguientes según sean naturales, enteros, racionales o irracionales:

107; 3,95; ; −7; 20; 9 36

; 9 4

; − 36; 3 7

; π− 3; −4,9

5. a) ¿Cuáles de los números siguientes no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? −2; 1,7; 3; 24,

; 3,75 

− ; 3π; −2 5 b) Expresa como fracción aquellos que sea posible.

c) ¿Cuáles son racionales?

6. a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números:

2

3

; 0,87; − 4; 3 7

;

2 1

; 2π b) Ordénalos de menor a mayor

c) ¿Cuáles son números reales? 0,23

ℚ ℤ

(2)

14 7. Sitúa los números siguientes en el diagrama adjunto:

1; 7,23; 1− 2; 9 ; 3,5; 91,; 9 11

; 4 1

; − 9; 4

π

; − 104; 6 ; 3

8

− ; 1,010010001....

8. Indica el menor conjunto numérico entre ℕ, ℤ, ℚ y ℝ, al que pertenece cada uno de los siguientes números: −4;

6 13

; 5 ; −2,7; 6 18

; π; 2

3 1+

; 1,23434....

Representación gráfica de los números reales ()

9. Representa los siguientes números en la recta real de forma exacta:

7 5

; 7 5 − ;

7 19

; 5 37

− ; 0,666.... ; − 0,333.... ; 5; 13; 17; 3

Intervalos y semirrectas

10. Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:

a) Comprendidos entre −1 y 3, ambos incluidos. b) Mayores que 7.

c) Menores o iguales que −5. d) Mayores que 2 y menores que 7. 11. Escribe en forma de intervalo y representa:

a) {x∈ℝ/ 3≤ x < 5} b) {x∈ℝ / x ≥ 0} c) {x ∈ℝ/ −3< x < 1} d) {x ∈ℝ / x < 8} 12. Escribe en forma de desigualdad y representa:

a) ]−1, 4] b) [0, 5] c) ]−∞, −4[ d) [9, +∞[

13. Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados:

a) b)

c) d)

14. Representa en una misma recta las semirrectas A = ]−∞, 2] y B = [−2, +∞[.

¿Cuáles son los números que pertenecen a A y a B (A∩B)? Exprésalo como un intervalo.

Potencias y Raíces

15. (1º ESO) a) Calcula 23, 15, 2

3 , 0 ,

3

3 5      

, 0

7 , 4

0 ,

( )

4

2

− , 24,

( )

5

1 − , 4

10 , 10

5

b) Halla los cuadrados y los cubos perfectos menores de 200. c) Pasa a notación científica los números 570400000 y 0,000021 d) Pasa a notación decimal los números 3

10 7 ,

2 ⋅ − y 5 10 1402 ,

3 ⋅

e) Tenemos una finca cuadrada cuyo lado mide 23 m. ¿Cuál es el precio de venta si cada m2 vale 20 €? f) Calcula el volumen de un cubo de 4 m de arista.

ℕ ℤ

ℚ ℝ

−1 • 0 3 • 1 ∘ 5 •

(3)

15 16. (2º ESO) a) Escribe como fracción:

a1) 2

3− ; a2) 3

2− ; a3) 3

) 2

(− − ; a4) 2

) 3

(− − ; a5) 2

10− ; a6)

3 3 2      

; a7)

3 3 2     

− ; a8)

3 3 2 −       ; a9) 3 3 2 −      −

b) Escribe en forma de potencia siendo la base un número primo: b1) 2

5 1 b2) 16 1 b3) 81 1

17. (2º ESO) Efectúa las siguientes operaciones:

a) 2−3⋅53+05 b) 2−3+5−1+20−1−45620 −(−1)3 c) 1−231−22⋅(−3)−4 d) (−2,5)−2 18. (1º ESO) a) Expresa el resultado en forma de una única potencia.

a1) 37⋅32 a2) 26:22 a3)

( )

2 3

5 a4) 34⋅24 a5) 65:25 a6)

( )

2 4 5 2 :x x xb) ¿Qué expresiones son ciertas y cuáles son falsas?

b1) 73 =7⋅3 b2)

( )

−53 =−53 b3)

( )

2⋅3 2 =22⋅32 b4)

(

2+3

)

2 =22 +32 b5)

(

2+3

)

2 =52 19. (2º ESO) Escribe el resultado en forma de una sola potencia aplicando las propiedades de las potencias:

a) 52⋅54 b) 3

9

5 5

c) 9

3

5 5

d)

( )

53 2 e) 53⋅73 f) 4

4

7 5

g) 9

3 8

5 5 5 ⋅

20. (2º ESO) Sustituye cada uno de los recuadros □ por el signo = o ≠ en las siguientes expresiones: a) 72□14 b) (−3)2□−32 c) (−3)3□−33 d) (2+3)2□52

e) (5−3)2□52−32 f) (2⋅3)2□22⋅32 g)

2 2 5       2 2 2 5

h)

( )

32 3□35

21. (2º ESO) Escribe el resultado en forma de una sola potencia de base un número primo o fracción irreducible, aplicando las propiedades de las potencias:

a) 3 3 5 3 6 5       ⋅       b) 2 2 5 6 : 100 3            

c) 3

3

4 12

d) 4

4 10 5 e) 3 3 4 3 ) 4 (       ⋅

f) 4 3

22. (2º ESO) Escribe como una única potencia de base un número primo:

a) 43⋅23 b)165:85 c) 34⋅3−6 d) 512 :5−8 e) (23)−4 f)7−5:7−4 g)(23)4⋅8−3:4 23. (2º ESO) Simplifica y calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a) 5

( )

2

4 3 4 2 2 2 2 ⋅ ⋅

b)

( ) ( )

2 2

4 3 2 4 a a a a a ⋅ ⋅ ⋅

c)

( )

( )

2 3

2 4 2 b a a b b b a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − d) 27 3 2 81 4 2 4 4 2 3 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −

e) 4 2 1

2 5 6 4 2 3 9 8 2 − − − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

24. (3º ESO) Calcula las siguientes potencias:

a) (−3)3 b) (−2)4 c) (−2)−3 d) −32 e) −4−1 f) (−1)−2 g)

3 2 1 −       h) 2 2 1 −     

− i)

0 3 4      

25. (3º ESO) Expresa como una potencia de base 2 o 3: a) 64 b) 243 c)

(4)

19 59. Efectúa: a)

3 3

3 · 2 2

3 · 2 2

b)

5 2 3

3 15 10

27 3

9 3 81

⋅      

⋅ ⋅

c)

3

2 3 5 4

5

16 2 64

4 

     ⋅ ⋅

60. Efectúa:

a) 18+ 50− 2− 8 b) 48− 12+ 3 c) 381−3 24

d) 2 8− 7 + 6 3 e) 3 5 4+3 2 f)

3 20 45

2 −

g)

4 7 28 12 2

108− − + h)

36 80 5 4 45 9

20 +

i)

225 18 49

8 3 32 5 3

4 6

3

4 + − ⋅ +

61. Efectúa: a) (2+ 3)(2− 3) b) 2

) 2 2 3

( +

c) 2

) 3 5 2

( − d) ( 5−2 3)( 5+2 3)

Racionalización de denominadores

62. Racionaliza y simplifica si es posible: a)

2 1

b)

7 5

c) 3 2

1

d) 5 2 3 2

e) 3 3

f) 2

3 2

g)

15 3

h) 12 4

i) 6 2

3

j)

7 144

5 10

63. Racionaliza y simplifica si es posible: a)

2 3

4

+ b) 2 3

3

− c) 1 3 3

+ d) 3 2 14

− e) 1 2

2 1

− +

f)

3 5 2

11

+ g) 2 2 3

2

− h) 2 3 2 1 0

− i) 3 2 3

+ j) 5 3 3 5

+ −

Notación Científica

64. (3º ESO) Escribe los números siguientes con todas sus cifras: a) 4·107 b) 5·10−4 c) 9,73·108 d) 8,5·10−6 e) 3,8·1010 f) 1,5·10−5 65. (3º ESO) Escribe estos números en notación científica:

a) 13 800 000 b) 0,000005 c) 4 800 000 000 d) 0,0000173 66. (3º ESO) Expresa en notación científica:

a) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km. b) Caudal de una cascada: 1 200 000 l/s . c) Velocidad de la luz: 300 000 000 m/s.

d) Emisión de CO2 en un año en España: 54 900 000 000 kg.

(5)

20 68. (3º ESO) Calcula las siguientes operaciones con notación científica:

a) (4,73·107) · (7,5·105) b) (3,214·10−5) · (7,2·1015) c) (3,25·107) · (9,35·10−15)

d) 5

7

1 0 · 5 , 7

1 0 · 7 3 , 4

e) 1 5

5

1 0 · 2 , 7

1 0 · 2 1 4 ,

3 −

f) 3 12

10 · 5 , 2

10 · 8 , 4

69. (3º ESO) Efectúa las siguientes operaciones con notación científica:

a) 3,2·108 + 7,3·1010 b) 4,73·107− 7,5·106 c) 5,73·104− 3,2·105 d) 3,6·1012− 4·1011 e) 5·109 + 8,1·1010 f) 2·10−5 + 1,8·10−6 g) 8·10−8− 5·10−9 h) 5,32·10−4 + 8·10−6

70. (3º ESO) Expresa en notación científica y calcula:

a) 2 5 00 0 0·0,0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 · 0 0 0 5 4 ,

0

b)

0011 , 0 · 000002 ,

0

000 25 · 000 320 1

c) 12 5 00 0 0·6 0 00 0 0 0 0 ,

0 ·

0 0 0 0 1 5 ,

0

71. (3º ESO) Calcula expresando el resultado en notación científica y comprueba con la calculadora: a) (3·105) · (2·106) b) (2·10−8) · (1,5·1012) c) (4·108) + (5·107)

d) (4·10−3) − (5·10−4) e) (8·1011) : (5·103) f) (8,5·10−6) : (2·104)

72. (3º ESO) El diámetro de un virus es 5·10−4 mm. ¿Cuántos de estos virus son necesarios para rodear la Tierra?

(Radio medio de la Tierra: 6 370 km)

73. (3º ESO) La velocidad de la luz es 3·108 m/s aproximadamente. a) ¿Qué distancia recurre la luz del Sol en un año?

b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? (Distancia Del Sol a Plutón: 5,914·106 km)

74. (3º ESO) La estrella Alfa Centauri está a 4,3 años luz de la Tierra. Expresa en kilómetros y en notación científica esta distancia. (Año luz: distancia recorrida por la luz en un año a 300 000 km/s)

75. (3º ESO) Nuestro sistema solar se encuentra situado a 27 700 años luz del centro de la galaxia. Expresa en kilómetros y en notación científica esta distancia.

76. (3º ESO) El radio del Universo observable es 2,5·1010 años luz. ¿Cuántas veces hay que viajar entre la Tierra y El Sol para cubrir la longitud del radio del Universo observable? (La distancia de la Tierra al Sol es 1,5·108 km)

77. Escribe en notación científica:

a) 752 000 000 b) 0,0000512 c) 0,000007 d) 15 000 000 000 78. Expresa en notación científica:

a) 32·105 b) 75·10−4 c) 843·107 d) 458·10−7 e) 0,03·106 f) 0,0025·10−5 79. Calcula mentalmente:

a) (1,5·107)·(2·105) b) (3·106):(2·1011) c) (4·10−7):(2·10−12) d) 4·108 80. Efectúa a mano utilizando la notación científica y comprueba después con la calculadora:

a) (3,5·107)·(4·108) b) (5·10−8)·(2,5·105) c) 6 7

10 · 5

10 · 2 , 1

d) 1 2 5

1 0 · 2 , 6

1 0 · 8 , 2

− −

e) (6·10−7)2 f)

(

9

)

3 6

1 0 · 3 , 5

1 0 · 2 , 7

Figure

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