Libro Mtma 4ro Est Ed Santillana pdf

(1)

Matemática

T

EXTO DEL

E

STUDIANTE

4

º

Educación Media

ÁNGELAROSSANABAEZAPEÑA

PROFESORA DEEDUCACIÓNMEDIA ENMATEMÁTICA,

PONTIFICIAUNIVERSIDADCATÓLICA DECHILE

MAGÍSTER ENEDUCACIÓN MENCIÓNDIFICULTADES DELAPRENDIZAJE,

PONTIFICIAUNIVERSIDADCATÓLICADECHILE.

MARCIAROMINAVILLENARAMÍREZ PROFESORA DEEDUCACIÓNMEDIA ENMATEMÁTICA,

PONTIFICIAUNIVERSIDADCATÓLICA DECHILE.

PABLOALFONSOJORQUERAROZBACZYLO PROFESOR DEEDUCACIÓNMEDIA ENMATEMÁTICA,

JAVIERASETZMENA

LICENCIADO ENMATEMÁTICA CON MENCIÓN ENMATEMÁTICA,

LICENCIADA ENEDUCACIÓN,

PROFESORA DEMATEMÁTICA, EDUCACIÓNMEDIA,

Este libro pertenece a:

Nombre: Curso: Colegio:

Te lo ha hecho llegar gratuitamente el Ministerio de Educación a través del establecimiento educacional en el que estudias.

Es para tu uso personal tanto en tu colegio como en tu casa; cuídalo para que te sirva durante varios años. Si te cambias de colegio lo debes llevar contigo y al finalizar el año, guardarlo en tu casa.

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es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEPROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓNÁREAMATEMÁTICA:

Viviana López Fuster EDICIÓN:

Javiera Setz Mena AUTORES:

Ángela Baeza Peña Marcia Villena Ramírez Pablo Jorquera Rozbaczylo Javiera Setz Mena CORRECCIÓN DEESPECIALISTAS:

Sergio Muñoz Venegas Florencia Darrigrandi Navarro CORRECCIÓN DE ESTILO:

Isabel Spoerer Varela Gabriela Precht Rojas DOCUMENTACIÓN:

Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de

VERÓNICA ROJAS LUNA

con el siguiente equipo de especialistas: COORDINACIÓNGRÁFICA:

Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓNGRÁFICALICITACIÓN:

Xenia Venegas Zevallos JEFA DEDISEÑOÁREAMATEMÁTICA:

Mariela Pineda Gálvez DIAGRAMACIÓN:

Mariela Pineda Gálvez ILUSTRACIONES:

Antonio Ahumada Mora FOTOGRAFÍAS:

Archivo Santillana CUBIERTA:

La Práctica S.P.A. PRODUCCIÓN:

Germán Urrutia Garín

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

Inscripción N°: 197.993 Se terminó de imprimir esta 3a_{edición de}

182.600 ejemplares, en el mes de noviembre del año 2012. www.santillana.cl Referencias del Texto Educación Matemática 4,Educación Media y del TextoMatemática 4, Educación Media, Mineduc,

de los autores: Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Alejandro Pedreros Matta, Ángela Baeza Peña, Marcia Villena Ramírez, Pablo Jorquera Rozbaczylo, Gabriel Moreno Rioseco.

Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010.

(3)

A los alumnos y alumnas:

El Texto Matemática Cuarto Año Medio ha sido creado y diseñado pen-sando en la culminación de tu proceso escolar.

En cada una de las Unidades te invitamos a profundizar nuevos contenidos matemáticos, relacionando e integrando a través de una mirada retros-pectiva, los conocimientos adquiridos en años anteriores.

La construcción de modelos matemáticos, que ya has estudiado, se amplía al conocimiento de otro tipo de funciones que, entre otros aprendizajes, te facilitarán la comprensión de fenómenos sociales, naturales, químicos y físicos.

En el estudio de la Geometría, podrás dejar usar toda tu imaginación para profundizar en modelos vecto-riales, relacionados con el movimiento y la trayec-toria que describe una figura y con la generación de cuerpos geométricos mediante traslación y rotación, aplicando así tu creatividad y habili-dad en la resolución de problemas.

Te presentamos dos Unidades de Estadística cuyo estudio te aportará conceptos para el análisis e interpretación de la información en-tregada por los medios de comunicación y para manejar recursos objetivos para funda-mentar tus opiniones.

(4)

Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera al mundo que te rodea, y te invita a comprender que la Matemática es parte de él.

A través de sus seis Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

Estructura del Texto

•Mediante un esquema,

conocerás los contenidos y su vinculación con los principales aprendizajes que se espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

¿Cuánto sabes?

En esta sección te invitamos a resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a evaluar tus conocimientos y a recordar lo que aprendiste en años anteriores y que serán la base para el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes

recordar?

Podrás activar tus conocimientos previos a través de un resumen que incluye los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.

Conversemos de...

(5)

Páginas de desarrollo

Estructura del Texto

Actividades

Resolverás variadas actividades para ir construyendo los conceptos y reforzando así tu aprendizaje.

Analicemos...

Por medio de preguntas, trabajarás el razonamiento, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En resumen

Encontrarás explicaciones, formalizaciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.

Recuerda que...

(6)

Herramientas tecnológicas

Aprenderás a utilizar planillas de cálculo y programas computacionales.

Glosario

Te presentará nuevos términos matemáticos relacionados con el contenido que se está desarrollando.

Pon atención

(7)

Estructura del Texto

Páginas de cierre

Organizando lo aprendido

Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un mapa conceptual. Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones.

Mi progreso

Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

Cómo resolverlo

(8)

SÍntesis de la Unidad

Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual de todo lo trabajado en la Unidad a partir de algunos conceptos fundamentales. También responderás preguntas conceptuales para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.

Evaluación

En estas tres páginas podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en la Unidad. Incluye preguntas de verdadero o falso y actividades de desarrollo. Tomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba.

En terreno

(9)

Índice

¿Cuánto sabes? 64

Función exponencial 66

Herramientas tecnológicas 70

Función exponencial y logarítmica 72

Aproximándonos al número e 74

Organizando lo aprendido 76

Mi progreso 77

Ecuaciones exponenciales 78

Ecuaciones exponenciales con basee 80

Crecimiento exponencial 82

Decrecimiento exponencial 84

Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales 86

Mi progreso 89

Cómo resolverlo 90

En terreno 92

Síntesis de la Unidad 94

Evaluación 95

Índice

¿Cuánto sabes? 14

Funciones 16

Función inversa 18

Función potencia 20

Traslaciones verticales y horizontales 24

Mi progreso 27

Logaritmos 28

Propiedades de los logaritmos 32 Propiedades de las operaciones de los logaritmos 34 Demostraciones aplicando logaritmos 36

Mi progreso 39

Función logarítmica 40

Ecuaciones logarítmicas 46

Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas 50

Mi progreso 53

Cómo resolverlo 54

En terreno 56

Evaluación 59

Función potencia

y logarítmica

12

1 Función

exponencial

62

(10)

¿Cuánto sabes? 100

Vectores 102

Operatoria con vectores 104

Vectores en el plano cartesiano 106 Traslación de figuras planas 108

Producto por un escalar 110

Homotecia 112

Mi progreso 117

Producto punto 118

Ecuación vectorial de la recta en el plano 120 Ecuación vectorial de una recta

y su ecuación cartesiana 123

Producto cruz y vectores en el espacio 126

Ecuación vectorial de la recta en el espacio 132

Rectas y planos 134

Ecuación vectorial y ecuación cartesiana

de un plano en el espacio 136

Posición relativa entre planos 140 Intersección de una recta y un plano,

y entre dos planos 142

Cómo resolverlo 148

En terreno 150

Evaluación 153

Área y volumen 160

Proyecciones en el plano 162

Área de prismas y pirámides 164 Cuerpos generados por traslación 166

Volumen de un prisma 168

Volumen de pirámides 170

Cuerpos generados por rotación 174

Área de cilindros y conos 176

Volumen de cilindros 178

Volumen de conos 180

Volumen y área de la esfera 182

En terreno 188

Vectores

98

3 Áreas y volúmenes

156

(11)

Índice

Orígenes de la Estadística 198

Población y muestra 200

Ordenando la información 202

Análisis de gráficos 204

Medidas de tendencia central 208

En terreno 218

Medidas de dispersión 228

Correlación 232

Diagrama de tallo y hojas 234

Muestras al azar 236

Distribución normal 240

Medidas de posición 246

Aplicaciones de la Estadística 251

En terreno 258

5 Estadística I

194

6 Estadística II

224 Solucionario

264 Índice temático

284

(12)

Usar programas computacionales para graficar funciones. Analizar sus gráficas según las variaciones de sus coeficientes.

Obtener funciones inversas.

Resolver ecuaciones logarítmicas.

Resolver problemas en los que se utiliza logaritmos. Caracterizar las funciones: dominio, recorrido, crecimiento

y decrecimiento.

Función potencia

y logarítmica

1

Función logarítmica

Propiedades de los logaritmos Logaritmos

Función potencia Función inversa

Funciones

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Conversemos de...

La contaminación acústica afecta negativamente la calidad de vida de los individuos que están

expuestos a ella. Un informe de la Organización Mundial de la Salud (OMS) considera los 50 decibeles

(dB) como el límite superior de ruido tolerable. Los decibeles son la unidad de medida del nivel de

intensidad bde un sonido, que se calcula usando la expresión: b= 10 log

( )

, donde log es la

función logaritmo, I₀es la intensidad de referencia (el mínimo sonido que el oído humano puede

detectar corresponde a 10–12W/m2, donde W/m2 se lee watts por metro cuadrado y corresponde a

la unidad de medida de la intensidad del sonido) e Ies la intensidad del sonido dado, medida

tam-bién en W/m2.

Por ejemplo, el nivel de intensidad del estruendo de una explosión, como la de la imagen, es de 130 dB.

1. ¿Cuál es la diferencia entre sonido y ruido?, ¿cuándo un sonido se transforma en ruido? 2. ¿Cuáles son los ruidos cotidianos que más te molestan?, ¿por qué?

3. ¿Qué es la contaminación acústica?

4. ¿Qué problemas y trastornos puede provocar la contaminación acústica?

5. ¿Qué fuentes de contaminación acústica hay en el entorno de tu escuela?, ¿se podrían evitar? Comenta con tus compañeros y compañeras.

I I₀

La

ti

n

st

o

(14)

¿Cuánto sabes?

1. Grafica las siguientes funciones.

a. g(x) = 8x– 3 d. m(x) = 9 + 4x g. h(x) = –7x

b. h(x) = –2x2+ 1 e. k(x) = 3x2 h.

c.

f. g(x) = 5 i. h(x) = 6 – 5x

2

2. Determina para qué valores no están definidas las siguientes funciones reales. Explica cómo lo hiciste.

a. f(x) = f. p(x) =

b. m(x) = 4x2– (2x)2+ 5 g.

c.

h. q(x) =

d. g(x) = (x– 3) (x+ 8) i.

e. n(x) = x2+ 2ax+ a2 j.

3. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes. Explica el procedimiento que utilizaste.

a. u(x) = – (x+ 5)2 c. w(x) = 3 + (10 – x)2

b.

d. t(x) =

I

3x– 9

I

4. Una fábrica de botellas modeló el ingreso utilizando una función cuadrática. Si venden xunidades, el precio debe ser 21 – x, por unidad.

a. Encuentra el ingreso como una función de las ventas.

b. ¿Cuándo empiezan a decaer los ingresos?

c. ¿Cuál es el ingreso máximo de la industria por las ventas de este artículo? ¿Cuántas unidades de este artículo se deben producir para tener el ingreso máximo?

x + 2 x2+ 10x+ 25

1 –x2 x + 1 2

x2– 1

v x

( )

= −2 x+4

h x

x

( )

= + −

6 3

1

q x

( )

= x+ −6 2

f x

( )

= − x+4

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.

k x

( )

= x−a

u x

x b

( )

= − 1

2

(15)

5. Completa el siguiente cuadro, indicando a qué intervalo debe pertenecer xpara que la función sea negativa, cero o positiva.

Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

U

n

id

a

d

1

f(x)< 0 f(x)= 0 f(x)> 0

f(x) = x2– 10 f(x) = |x– 5|

f(x) = 1 – 4x2 f(x) = – 1

x – 3 1

x

f x

( )

= x+7

f x

( )

= 11−x

¿Qué debes recordar?

• Para los números racionales a, ny m, con a0, se cumplen las siguientes propiedades de las potencias y las raíces:

• am· an= am+ n • (am)n= am · n

• am : an= = am–n • , con n0

• Una función es una regla que asigna a cada elemento xde un conjunto Aun único elemento f(x) de un conjunto B.

• Una función f(x) es:

am a

n m

n = am

an

• creciente en un intervalo ]a, b[ si dados

xe y cualesquiera en ]a, b[, se cumple siempre quex< yﬁf(x) < f(y).

• decreciente en un intervalo ]a, b[ si dados

(16)

Funciones

Analicemos...

En la mayoría de los países, la escala de temperatura usada corres-ponde a la escala Celsius, en la cual el agua se congela a los 0 ºC y hierve a los 100 ºC. Sin embargo, en Estados Unidos, por ejemplo, se emplea la escala de temperatura Fahrenheit, en la cual el agua se congela a los 32 ºF y hierve a los 212 ºF.

Los grados Fahrenheit y Celsius se pueden relacionar por la siguiente expresión: 9C= 5 (F– 32).

Pero si se considera Ccomo la variable independiente y Fcomo la variable dependiente, es equivalente a la función afín o lineal afín:

f(x) = x+ 32. Observa su gráfica, que se muestra a la izquierda.

Así, por ejemplo, si queremos saber a cuántos grados Fahrenheit equi-valen 0 ºC, basta con remplazar este valor en la función lineal dada.

f(0) = · 0 + 32 = 32

Luego, 0 ºC equivalen a 32 ºF. De la misma forma, se puede obtener que –15 ºC equivalen a 5 ºF.

Observa que para esta función siempre se puede calcular el valor correspondiente de f(x) para algún valor de x, o, dicho de otro modo, no existe valor de xtal que no se pueda calcular su correspondiente

f(x). En casos como este, se dice que el dominio de f es R. 9

5 9

5

• La temperatura normal del ser humano es 37 ºC. ¿A cuántos grados Fahrenheit (ºF) corresponden?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Existe una expresión que permita convertir grados Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF)? Explica.

• Si así fuera, esta expresión (u otra equivalente) ¿correspondería a una función?, ¿por qué?

(17)

U

n

id

a

d

1

En cambio, si en una función existieran valores para los cuales no se

puede calcular el valor de la función, estos valores deben excluirse de

su dominio. Por ejemplo, en la función g(x) = , al intentar

calcular g(2) se obtiene 0 en el denominador; luego, la función g(x)

no está definida para x= 2. Entonces, se dice que dom (g) = IR– {2}.

De manera similar, se puede calcular el recorrido de la función, es decir, el conjunto de valores que la función puede tomar. General-mente, es más fácil observar los valores que la función no puede tomar y no considerarlos en el recorrido. Por ejemplo, en la función

f(x) = x2, por definición de x2, los valores de f(x) no pueden ser negativos, luego rec(f) = IR₀.

1 (x– 2)

No siempre una expresión algebraica es función. Gráficamente, se puede saber si una expresión es función o no trazando rectas imaginarias para-lelas al eje Y. Si alguna de ellas in-terseca a la gráfica en dos o más pun-tos, entonces noes función.

Pon atención

En resumen

• Una función es una regla que asigna a cada elemento xde un conjunto A, un único elemento y

de un conjunto B, donde Ase conoce como dominiodom(f), de la función y Bes el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido, rec(f). No siempre se cumple que el codominio y el recorrido de una función sean iguales.

1. Determina cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas es función. Justifica.

a. b. c.

2. Si xes un número natural, se define f(x) de la siguiente manera: Si x= 1 o x= 2, entonces f (x) = 1. Si x> 2, entonces f(x) = f (x– 1) + f (x– 2).

a. Calcula: f (1), f(2), f(3), f(4), f(5) y f (6).

b. Determina el dominio de la función.

3. Determina el dominio y recorrido de cada función. Explica cómo lo hiciste.

a. f(x) =

b. f(x) =

c.

d. f x x x

( )

= +

− 1 1

f x

( )

= x+ 2 1

x2+ 1 x

x– 1

(18)

(y– 32) = x

La expresión obtenida en el procedimiento anterior se conoce como la función inversa de f(x) y se escribe como f–1(x).

En este caso, f–1(x) = (x– 32). Observa que siempre se representa

en términos de x.

Luego, se tiene por ejemplo: f–1(–4) = (–4 – 32) = –20.

Además, f(–20) = (–20) + 32 = –4.

Entonces, f (f–1(–4)) = –4. 9 5

5 9 5

9 5

9

y– 32 = 9 x

5

Función inversa

Antonio estaba revisando noticias en Internet y se distrajo con el informe del tiempo. El pronóstico en Nueva York para ese día era de 91 ºF, la temperatura máxima y 68 ºF, la temperatura mínima.

y= f(x) = x+ 32 como xcorresponde a grados Celsius, se despeja en la ecuación

9 5

Analicemos...

• ¿En qué unidad está dada la temperatura que encontró Antonio en Internet?

• Si se aplica la función f(x) = x + 32, ¿cuáles son las

tempera-turas publicadas para Nueva York medidas en grados Celsius?

• ¿Cómo se podría obtener una función que permita convertir grados Fahrenheit a grados Celsius? Explica.

• ¿Qué relación hay entre esta última función y la anterior,

f(x) = 9 x + 32? Justifica. 5

9 5

No todas las funciones tienen in-versa. Gráficamente, se puede sa-ber si una función tiene o no tiene inversa trazando rectas imagina-rias paralelas al eje X. Si alguna de ellas interseca a la función en dos o más puntos, entonces la función no tiene inversa.

Pon atención

¿Qué?, ¿hay 91 grados de temperatura ambiente

en Nueva York? Ah… entonces, ¿cuál es la temperatura en Nueva York,

(19)

U

n

id

a

d

1

En resumen

• Dada una función f(x), se dice que f–1(x) es su función inversa si cuando f(a) = b, entonces se tiene que f–1(b) = apara todos los valores adel dom (f).

• Para determinar la representación algebraica de f –1(x), dada una función f(x), se despeja de esta expresión la variable x, y luego se intercambian los nombres de las variables.

• En un mismo gráfico, las gráficas de f(x) y f–1(x) son simétricas respecto de la recta y= x. Si la función inversa existe, esto siempre se cumple, es decir, para

todo xperteneciente a dom (f), se tiene que f–1[f(x)] = x, así como f[f–1(x)] = x.

Observa la gráfica de f–1(x) y compárala con la gráfica de la fun-ción f(x) presentada en la página 16. ¿Qué puedes concluir?

1. Determina, a partir de cada gráfico, cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Explica tu decisión.

a. b. c.

2. Encuentra la función inversa, si existe, para:

a. c. e. q(x) = 4 + 7x

b. d.

f.

3. Encuentra la función inversa de f(x) = , con x 3. Explica cómo lo hiciste.

a. ¿Cuál es el dominio de f–1_?_b._{¿Cuál es el recorrido de f}–1_?

x – 1 x – 3

h x

( )

= x+ 1

2

f x

( )

= 3x−5

10

g x

( )

= x−5

5

p x x

( )

= + 1

1

g x

( )

= +3 x−4

(20)

Función potencia

Sea xun número real:

• Si nes par, el valor de xn_es

siem-pre positivo.

• Si nes impar, el signo de xn_es

igual al signo de x.

Recuerda que...

f(x) = x2 f(x) = x4 f(x) = x3

Observa los siguientes gráficos de la función f(x) = axn, con a > 0.

Los gráficos anteriores son ejemplos de la función potencia.

Observa que no hay restricciones para los valores que puede tomar

x en la función potencia, es decir, la función está definida para todo R, luego: dom(f) = R. En cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distinguir qué sucede en los casos de

npar y nimpar. Observa.

Los valores de ycorrespondientes a la función f(x) = axn, para n par, con a> 0, por propiedades de las potencias y según el signo de a, son siempre positivos o cero. Luego: rec (f) = R₀+.

Analicemos...

• A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de f(x) para x= –2?, ¿para x= 0? Y ¿para x= 1?

• ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto?, ¿por qué?

• ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función, en cada caso?, ¿qué puedes concluir? Justifica.

• ¿En qué se parecen las gráficas de las funciones?, ¿en qué se diferencian?, ¿qué puedes concluir?

Glosario

(21)

U

n

id

a

d

1

Si a< 0 en la función y= axn, para nimpar.

En estos casos, la gráfica de la función f(x) = axn, para nimpar, a< 0, se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante.

Pero en el caso de f(x) = axn, para n impar, con a> 0, los valores deycorrespondientes dependen del signo de x, es decir, cuando

x> 0, se tiene y> 0; cuando x= 0, y= 0, y cuando x< 0, se tiene

y < 0, por propiedades de las potencias. Luego: rec(f) = IR.

En cuanto a las gráficas, se observa que, cuando nes par, tienen forma similar a la función cuadrática. Se encuentran en el primer y segundo cuadrante, y suvérticecorresponde al punto más bajo de la curva, aunque, en rigor, no son parábolas si n2. Por otra parte, si n es impar, cuando a> 0, las gráficas son siempre cre-cientes y se encuentran en el primer y tercer cuadrante. (En cada cuadrante, su forma es similar a la mitad de una parábola, pero no son parábolas).

Observa ahora qué sucede en la función f(x) = axn, para npar, si el valor de aes negativo.

En estos casos, la gráfica de la función f(x) tiene su vértice en el punto más alto de la curva y está en el tercer y cuarto cuadrante. Observa que tanto si a> 0 como cuando a< 0 la gráfica de la fun-ción f(x) = axn paranpar es simétrica respecto del eje Y.

Glosario

vértice: punto de una curva en que la curvatura tiene un máximo o un mínimo.

cuadrante: cuarta parte del plano cartesiano comprendida entre los dos ejes perpendiculares. Se numeran desde el eje Xpositivo y en direc-ción antihoraria.

f(x) = –x2 f(x) = –x4 f(x) = –x6

I

II

Y

X

IV III

y= – 3 x3

2 y= –3x

5

y= – 1 x7

(22)

En resumen

• Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde aes un número real, distinto de cero, y nes un número natural, distinto de uno.

• El dominio de una función potencia es IR.

• El recorrido de la función f(x) = axn, para a> 0, con npar, es R+₀; en cambio, si es nimpar, su recorrido es R.

• La gráfica de la función f(x) = axndepende de si nes par o impar y del signo de a.

a> 0 a< 0

nimpar

npar

1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f(x) = x2, g(x) = 4x2y h(x) = 4x2– 2. Luego, responde:

a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f(x) y g(x)?, ¿cuáles son sus diferencias?

b. ¿Y entre las gráficas de g(x) y h(x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias?

c. ¿Qué puedes concluir?

2. Dibuja en un mismo gráfico las funciones p(x) = x3, q(x) = –2x3y r(x) = –2x3+ 4. Luego, responde:

a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de p(x) y q(x)?, ¿cuáles son sus diferencias?

b. ¿Y entre las gráficas de q(x) y r(x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias?

c. ¿Qué puedes concluir?

(23)

U

n

id

a

d

1

Herramientas tecnológicas

GeoGebraes unsoftwarelibre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, es un sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores, rectas y funciones, y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de diversas funciones.

Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este softwaresin tener la necesidad de instalarlo en tu computador.

• Para graficar una función, se escribe directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se anotan a conti-nuación del símbolo ^. Por ejemplo, para graficar f(x) = x3 se escribe f(x) = x^3 y se presiona enter.

1. Utilizando GeoGebra, o bien un papel milimetrado o cuadriculado, grafica las siguientes funciones y responde.

a. y = x4 b. y= x6 c. y= x8 d. y= x10

• Las funciones dadas, ¿son simétricas?, ¿por qué?

• A medida que el exponente aumenta, ¿qué puedes observar en las gráficas de las funciones?

2. Grafica las siguientes funciones y contesta:

a. y = 0,05x4 c. y= 3x4 e. y= 0,8x3 g. y= 7x3

b. y= x4 d. y = 5x4 f. y= x3 h. y= 10x3

• ¿Qué sucede a medida que acrece?

(24)

Traslaciones verticales y horizontales

Observa los gráficos que se muestran a continuación, con f(x) = x3:

g(x) =x3 – 4 =f(x) – 4 h(x) = x3+ 3 =f(x) + 3 p(x) = x + f x

 

 = +

 

  1

2

1 2

3

q(x) = (x– 2)3 =f(x – 2)

En cada caso, la forma de la gráfica de la función polinomial es la misma que la de la función potencia f(x) = x3, pero está trasladada con relación a ella. Observa.

Sea (a, a3) un punto de la gráfica de f(x) = x3. El punto (a+ 2, a3) pertenece a la gráfica de q(x) = (x– 2)3, ya que para cualquier valor de a, se cumple que [(a+ 2) − 2]3= a3.

Observa que tal como el punto (a+ 2, a3) está dos unidades a la derecha de (a, a3), se cumple que toda la gráfica de q(x) = (x– 2)3 se desplaza dos unidades a la derecha respecto de la gráfica de

f(x) = x3.

De manera similar, la gráfica de p(x) = se desplaza media

unidad a la izquierda respecto de la gráfica de f(x) = x3.

Por otra parte, el punto (a, a3+ 3) pertenece a la gráfica de

h(x) = x3+ 3. Observa que el punto (a, a3 + 3) está tres unidades arriba de (a, a3); entonces, toda la gráfica de h(x) = x3+ 3 también se desplaza tres unidades arriba respecto de la gráfica de f(x) = x3. De manera similar, la gráfica de g(x) = x3− 4 se desplaza cuatro unidades hacia abajo respecto de la gráfica de f(x) = x3.

x +

 

 

1 2

3

Glosario

función polinomial: aquella que se puede formar sumando múltiplos de potencias de xcon exponentes en-teros positivos o cero; por ejemplo:

•f(x) = 2x4+ 6x3+ x – 7.

•g(x) = (x – 1)2 = x2– 2x + 1.

Analicemos...

• Si observamos la representación algebraica de las funciones ante-riores, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?

• ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las gráficas de cada función?

• ¿Cómo se relaciona el desplazamiento de la gráfica en el plano cartesiano con la diferencia en las expresiones algebraicas que las representan?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?

Para nombrar funciones se utilizan distintas letras para funciones dife-rentes. Por ejemplo, f(x), g(x) y h(x).

(25)

U

n

id

a

d

1

En resumen

• Si f(x) = axn, entonces:

1. Grafica las siguientes funciones.

a. f(x) = x4 d. p(x) = 2x3

b. g(x) = –(x+ 2)4 e. q(x) = 2(x– 1)3

c. h(x) = (x– 2)4 f. r(x) = –2(x+ 1)3

2. A partir de la gráfica de la función g(x) = x5, dibuja la gráfica de las siguientes funciones y responde.

a. t(x) = g(x)+ 4 c. u(x) = g(x) – 3

b. v(x) = g(x+ 1) d. w(x) = g(x – 2) + 5 • ¿Qué semejanzas encuentras?

• ¿En qué se diferencian las gráficas? Explica.

3. ¿Cómo se obtiene una función trasladada verticalmente con respecto af(x) = –3x2?

4. Construye una función polinomial que corresponda a una traslación horizontal y una que corresponda a una traslación vertical de su gráfica en cada caso. Dibuja sus gráficas.

a. f(x) = –3x3 b. g(x) = 5x4 c. h(x) = –5x5

• ¿Cualquier función polinomial se puede escribir de modo que corresponda a una traslación de una función potencia?, ¿por qué?

Actividades

• la gráfica de g(x) = a(x+ c)n_{es idéntica a}

la de f, pero trasladada en 冟c冟unidades hacia la izquierda si c> 0, o bien hacia la derecha si c< 0.

(26)

• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno.

1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué es el dominio de una función?, ¿y el recorrido?

3. ¿Cuál es la diferencia entre una función potencia de exponente par y una de exponente impar? Explica.

4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función potencia f(x) = xn, si nes impar? 5. La función potencia f(x) = xn, si nes par, ¿es simétrica?, ¿por qué?

6. ¿En qué casos una función potencia tiene un valor máximo?, ¿por qué? 7. ¿Qué es el vértice de una función potencia?, ¿siempre existe? Explica.

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

RECORRIDO

es cuando

f(x)= axn

Organizando lo aprendido

su se denota por

F

UNCIÓN POTENCIA

R+₀

nPAR

R

VÉRTICE

VALOR MÍNIMO

sia > 0 es

FUNCIÓN CRECIENTE

sia > 0 es una

FUNCIÓN DECRECIENTE

sia < 0 es una es

nIMPAR

su

está en el

R₀ –

VALOR MÁXIMO

su

DOMINIO

su

R

(27)

Mi progreso

U

n

id

a

d

1

1. Determina el dominio y el recorrido de cada función. Explica el procedimiento que usaste.

a. f(x) = x2+ 2 b. g(x) = 7x– 5 c. h(x) = 冟3x – 6冟

2. Determina la función inversa para:

a. p(x) = b. c. r(x) =

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. La función potencia f(x) = axn_{, con n}_{impar, es siempre creciente.}

b. El recorrido de una función potencia f(x) = axn es R.

c. El vértice de una función potencia f(x) = axn _{es el punto más bajo de la curva.}

d. La gráfica de la función potencia f(x) = axn, con nimpar, a< 0, se halla en el segundo y cuarto cuadrante.

4. La gráfica de g(x) = x3 + 5 se encuentra, respecto de la gráfica de f(x) = x3, trasladada:

A. 5 unidades hacia la izquierda.

B. 5 unidades hacia la derecha.

C. 5 unidades hacia abajo.

D. 5 unidades hacia arriba.

E. Ninguna de las anteriores.

3 – x x + 4 5x– 5

7 q x

( )

= −x

4 1

• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

¿Cómo voy?

CRITERIO

ÍTEM

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Determinar el dominio y recorrido de una función. 1 16 a 19

Calcular la función inversa de una función. 2 18 y 19

Reconocer características de la función potencia. 3 20 a 23

Relacionar el desplazamiento de la gráfica de una función potencia con la función polinomial asociada.

(28)

Logaritmos

Hasta hace casi 400 años, la tarea de un calculador podía ser agota-dora. Imagina calcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacar raíces, no solo de números enteros sino también de fracciones y números decimales sin tener una calculadora.

Observa las siguientes multiplicaciones:

Analicemos...

• Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usar calculadora y compara los resultados en tu curso. ¿Existen dife-rencias?, ¿por qué?

• ¿Hay alguna forma de simplificar estos cálculos sin calcula-dora? Explica.

• Observa la siguiente tabla. ¿Reconoces en ella algunos de los factores anteriores?, ¿y algunos de tus resultados?, ¿qué tienen en común?

• Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma de potencias. ¿Qué puedes concluir?

n 2n ₃n ₄n ₅n

1 2 3 4 5

2 4 9 16 25

3 8 27 64 125

4 16 81 256 625

5 32 243 1024 3125

6 64 729 4096 15 625

7 128 2187 16 384 78 125

8 256 6561 65 536 390 625

9 512 19 683 262 144 1 953 125

10 1024 59 049 1 048 576 9 765 625

11 2048 177 147 4 194 304 48 828 125

12 4096 531 441 16 777 216 244 140 625

(29)

Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anterior se ubican en la fila correspondiente a n= 11. Es decir, 11 es el ex-ponente al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 para lograr 177 147, por ejemplo.

Para referirnos al cálculo de este exponente, tal como al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, decimos que el logaritmo de 2048, en base 2, es 11 y lo denotamos:

log₂2048 = 11, pues 211= 2048

o que el logaritmo de 177 147, en base 3, es 11 y lo denotamos:

log₃177 147 = 11, pues 311_{= 177 147}

Y así sucesivamente.

Veamos ahora cómo se simplifica el cálculo de 625 · 78 125 uti-lizando la tabla.

Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan como potencias con igual base: 625 · 78 125 = 54_{· 5}7_{= 5}11_.

Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a 5n_{, su valor para}_n _{= 11. Este valor es 48 828 125, tal como} cuando resolviste la multiplicación mediante el algoritmo habitual.

De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, como divisiones; por ejemplo:

= 512 = 54 _{= 625} 58

244 140 625 390 625

U

nid

a

d

1

Glosario

logaritmode un número de una base dada: exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado.

Además, existe una propiedad , con la que se puede

determinar el resultado delog₂₇19 683.

A partir de la tabla se observa que 19 683 y 27 son ambos potencias de 3; luego, se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3 y ubicar los valores en la tabla. Observa.

log₂₇19 683 = = = 3. Es decir, 273= 19 683.

De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas, las divisiones en restas y las raíces en divisiones, con lo que se fa-cilita notablemente el cálculo, más aún cuando los números impli-cados son grandes y se cuenta, obviamente, con tablas apropiadas.

9 3

log₃19 683

log₃27

log B log B log b

b c

c =

• an· am= an + m

• = an –m con a ⫽0,

n, m 僆⺡

Recuerda que...

an am

A diferencia de la tabla de la página anterior, las tablas de logaritmos muestran los valores de n a partir de los valores de an_.

(30)

Volvamos a la definición de logaritmo: “Exponente al que es nece-sario elevar una cantidad positiva para que resulte un número de-terminado”. Si se escribiera como ecuación, log

b a, donde b es la base del logaritmo y aes su argumento, con ay bpositivos, corres-ponde a resolver bx= a.

Por ejemplo, calcular log₂16 equivale a resolver la ecuación 2x= 16, ya que la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 es el argumento, que corresponde al valor de la potencia. Y como 16 es una potencia de 2, de hecho, 24, esto equivale a 2x= 24; luego, igualando los exponentes, se obtiene que x= 4.

Ejemplo 1: Calcula el valor de log₇343.

log₇343 = x 7x= 343 = 73 x= 3 Luego, log₇343 = 3.

Ejemplo 2: Determina el valor de .

Al igual que en el caso de las raíces, no todos los logaritmos se pueden calcular. Esta es la razón de la condición de valores posi-tivos para a y b. Observa.

Ejemplo 3: Determina el valor de log₈–512.

log₈–512 = x

ﬁ

8x= –512

Pero ¿la potencia de un número positivo puede ser negativa? No, en ningún caso. Luego, log₈–512 no existe.

Ejemplo 4: Calcula el valor de log_(–2)8.

log_(–2)8 = x

ﬁ

(–2)x= 8 = 23

En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente es impar; luego, el valor de la potencia debiera ser negativo también. Como esto no se cumple, no existe log_(–2)8.

Ejemplo 5: ¿Cuánto resulta log₁5?

log₁5 = x

ﬁ

1x= 5

Ya que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1x sea igual a 5.

log₂ 8

= x

ﬁ

2x= 8

ﬁ

2x= (23) = 2

3 2 1 2 1

2

log₂ 8

Luego, log₂ 8 = .3 2

Glosario

argumento: número o expresión al que se le aplica logaritmo. Por ejem-plo, en la expresión log

ba, el

(31)

U

n

id

a

d

1

Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que el valor de la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos. En particular, la base tiene que ser distinta de 1.

En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizados como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Gracias a su uso se ahorró un increíble esfuerzo, pues se pudo trabajar con los pesados cálculos necesarios en las aplicaciones a la agrimensura, la astronomía y, particularmente, la navegación. Además, permitió realizar otros cálculos matemáticos que sin su invención no hu-bieran sido posibles.

Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo eran imprescindibles en cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadoras y computadores. Actualmente, los logaritmos ya no son necesarios para lo que fueron concebidos. Sin embargo, son fundamentales en la modelación matemática y en ciencias, por lo que han sobrevivido al desarrollo de las calculadoras electrónicas.

1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.

a. log₉243 d. log_0,70,343 g. log_a j. log m.log₁₆8

b. log₂128 e. log_aa9 h. log₆ k. log₈16 n. log_a

c. log₅625 f. log₁₂1 i. log₄1024 l. log₈0,125 o. log₂₇9

• Verifica con la calculadora los resultados obtenidos.

2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. Explica cómo lo hiciste.

a. log₂ x= 6 b. log x3 = –2 c. log_0,3x= 3 d. log_0,004x= –3

4

3 2 a8

Actividades

1 36

9 4

a2 5

En resumen

• Por definición, x= log_ba

ﬁ

bx= a, entonces se puede decir que el logaritmo es el exponente de la potencia en base bcuyo valor es a.

• La expresión log

base lee como: “logaritmo de aen base b”.

• El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresiónlog_ba, siempre, por definición, a僆 R+y b僆 R+– {1}.

Las calculadoras tienen teclas para calcular el logaritmo en base 10 (log) y el logaritmo natural (ln) en base e, pero no el logaritmo en una base cualquiera. En ese caso, se puede calcular usando la fórmula de cam-bio de base.

(32)

Propiedades de los logaritmos

Tomás, a partir de la definición y luego de comprobarlo con algunos valores, determinó las siguientes relaciones entre los valores de a, b

yc, con b1:

log

ba= c b

c₌_a_b ₌c _a

Las propiedades que se cumplen para los logaritmos, para cualquier valor adecuado de la base b, se pueden establecer y demostrar a partir de las propiedades de las potencias. Observa.

• Logaritmo de la unidad:

log_b1 = x € bx= 1

€bx= b0, ya que b> 0, b1 ﬁx= 0

Por propiedades de potencias, ya que el valor de la potencia es 1 cuando el exponente de la potencia es cero (pues la base es positiva y distinta de 1).

Luego, log_b1 = 0, con b1. Ejemplo: log₅1 = 0.

• Logaritmo de la base del sistema:

log_bb= x €bx= b €bx= b1

ﬁx = 1. Luego, log_bb= 1, conb1. Ejemplo: log₃3 = 1.

• Logaritmo de una potencia con igual base:

log_bba= x €bx= ba ﬁx= a

Luego, log_bba= a, con b 1, con a, número real. Ejemplo: log₆63= 3.

Analicemos...

• ¿Están correctas las relaciones que estableció Tomás? Comprué-balas remplazando con los valores correspondientes en cada caso.

• Tal como existen propiedades para las potencias y para las raíces, ¿se pueden establecer propiedades para los logaritmos? Justifica.

(33)

U n id a d 1

• Cambio de base:

log

bB= x€b

x₌_B

log

cb x ₌_log

cB

x· log

cb= logcB

Por lo tanto, para todo b, c, B> 0; b, c 1.

Ejemplo: log₂5 = = = 2,32192. log B log B

log b

b c

c =

Los logaritmos de base diez, es decir, log₁₀x, son llamados loga-ritmos decimales y los denotaremos como log x.

Pon atención

x log B log b

c

c =

log 5

log2

0,69897 0,30103

1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste.

a. log₂64 d. log₅1 g. log₁₆128 j. log

c. log_0,70,49 f. log₅57_i._log 66

3_l._log 5

2. Utilizando una calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones.

a. log₂5b. log₆7 c. log₇9 d. log₆11

3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.

a. log₄64 + log1000 + log₅125 d. 3 log 32 + 7log 125 – 6log 243

b. log – log + log10 000 e. 4 log + 2 log – 5log

c. 2 log₅25 – 3 log₇49 + 4log₈4096 f. 2log100 000 – 2 log₄256 + 4 log₂32

1 3 1 5 1 4 6 7 2 5 5 7 5 6 2 3 4 3

Actividades

16 9 1 25 25 49 8 125 216 343 4 9 125 216

En resumen

Los logaritmos cumplen, ya que la base bes positiva y distinta de 1, que:

• Logaritmo de la unidad: log_b 1 = 0.

• Logaritmo de la base del sistema: log_bb= 1.

• Logaritmo de una potencia con igual base: log_bba= a, con a僆IR.

• Cambio de base: log B log B para todob, c, B> 0; b, c1. log b

b c

c =

b. log₂₇243 e. log₃3 h. log₁₂₈1 k. log1128

2

se aplican logaritmos en una base c

(34)

Propiedades de las operaciones de los logaritmos

Al igual que para las potencias y las raíces, para los logaritmos tam-bién existen propiedades que permiten simplificar los cálculos. Para demostrarlas, los logaritmos se pueden escribir en forma exponen-cial y aplicar algunas de las propiedades de las potencias.

Por ejemplo, el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es decir,

log_b(a· c) = log_ba + log_bc.

Para comprobar con un ejemplo que esta propiedad se satisface, se puede resolver un logaritmo de dos maneras distintas: directamente y aplicando el logaritmo del producto. Observa:

log₂128 = x €2x_{= 128}

€2x= 27, luego x= 7. Por otra parte,

log₂128 = log₂(4 · 32) = log₂4 + log₂32 = 2 + 5 = 7.

Pero no basta con comprobar con un ejemplo para justificar que la propiedad está correcta. Es necesario demostrar que se cumple para cualquier valor positivo de a, bo c, con b1.

Considera que log

ba= y € b y₌_a log_bc= z € bz= c

log

b (a· c) = x €b

x₌_a_·_c

bx= by· bz

bx= by+ zﬁx=y+ z

log_b(a · c) = log_ba+ log_bc

De manera similar se pueden demostrar las siguientes propiedades:

• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los loga-ritmos del dividendo y el divisor.

log_b a = log_ba– log_bc

c

 

 

Analicemos...

• Considera valores positivos para a,b y c, con b1, y remplázalos en la expresión. ¿Efectivamente se satisface? Justifica.

• ¿Crees que también se cumplalog_b(a· c) = log_ba· log_bc? Justifica.

• A partir de esta propiedad, ¿se pueden obtener otras? Explica.

remplazando a· c

por propiedad de potencias

remplazando

Ejemplo: log₃ 81 = log₃81 – log₃243 = 4 – 5 = – 1.

243

 

(35)

En relación con las propiedades de los logaritmos se debe tener pre-sente que se cumple en general:

• log

b(p· q) logbp· logbq • log

b(p + q) logbp+ logbq • log

b(p– q) logbp– logbq

• U n id a d 1

• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente de dicha potencia por el logaritmo de su base.

log_bac= c· log_ba

Ejemplo: log₂43 _{= 3 ·}_log

24 = 3 · 2 = 6.

• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical, dividido por el índice de la raíz.

Ejemplo: log₄ = · log₄16 = · 2 = .

Pon atención

1. Si A= log₆2, B = log₆3 y C= log₆5, expresa en términos de A, ByClos siguientes logaritmos.

a. log₆5400 b. log₆90 c. d. log₆

2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a. log_m a – 2 log_m b+ log_m c– 3 log_m d e. 2 log_b3 + 3 log_b2

b. log

b(x

2 _{+ 1) + log}

b(x+ 1) + logb(x – 1) f. logbc– 6 logb a

c. log_p(x+ y+ z) – 4 log_p(x– y– z) g. log_ba– log_bc– log_bd+ log_be

d. log

p(x+ 3) – 4 logp(x– 2) h. logbc+ logba– 1

3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando las propiedades.

a. log

b(x

2_{– 9x}_{– 22)}_c._log

b(x

3_{+ y}3₎2

b. log

b(100x

8_{– 80x}7_{+ 16x}6₎_d.

8 3

1080 32 400

log₆ 216

log a b c d

p

2 4 5

2 log a log a

n

b

n ₌ b

1 6 1 6 1 3 16 6 log p log q p q b b ≠

En resumen

Sean a, b, cnúmeros racionales y positivos, con la base bdistinta de 1:

• Logaritmo de un producto: log

b(a· c) = logba+ logbc.

• Logaritmo de un cociente: log

b

( )

= logba– logbc.

• Logaritmo de una potencia: log

ba

c₌_c_·_log ba.

• Logaritmo de una raíz: log a . log a

n

b

n ₌ b

a c

(36)

Demostraciones aplicando logaritmos

Frecuentemente, en Matemática es necesario expresar la relación entre dos o más variables de diferentes formas. Por ejemplo, demuestra que si se cumple

u3 – v· w5v= uv+ 5· w3v, entonces también se cumple: v log

( )

w = log u.

u

Suponiendo que la primera igualdad se cumple para valores posi-tivos, observa cómo se demuestra que es equivalente a la segunda.

u3 – v· w5v= uv+ 5· w3v

(3 – v)log u+ 5v log w= (v+ 5) log u+ 3v log w

3 log u– v log u+ 5v log w= v log u+ 5 log u+ 3v log w

3 log u– v log u– v log u– 5 log u= 3v log w– 5v log w

–2v log u– 2 log u= –2v log w

–2 log u= –2v log w+ 2v log u log u= v log w– v log u log u= v(log w– log u)

log u= v log

Como se observa en este ejemplo, una de las ventajas de los loga-ritmos es que permiten transformar multiplicaciones en sumas, divi-siones en restas y potencias en productos, con lo que se facilitan mucho los cálculos y también las demostraciones.

Ejemplo 1

Considera la siguiente figura:

Demuestra que log_h q + log_hp= 2.

Analicemos...

• ¿Siempre se cumple la primera igualdad?, ¿y la segunda? Explica.

• ¿Los valores positivos de u, v y w que satisfacen la primera igualdad también lo hacen con la segunda? Explica.

h

p q

se aplican logaritmos

se reducen términos semejantes

dividiendo por –2

factorizando

queda demostrado

(37)

U n id a d 1 Solución

A partir de la figura, se puede aplicar claramente el teorema de Euclides:

p· q = h2 se aplican logaritmos

log(p· q) = log h2 log p+ log q = 2 log h

se realizan los cambios de base:

y .

Luego, log_h q + log_hp= 2, que es lo que se quería demostrar.

Ejemplo 2

Si , calcula log a en función de p.

Solución

Recuerda que .

log a = p ﬁ 1log a= p ﬁ log a= 3p

3 1

3 log 3a=p

2 5 log 3a =p

1. Demuestra las siguientes propiedades, para a, by xpositivos y b 1.

a. b. log_b + log_ba= 0

2. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas con a> 0, a 1. Justifica en cada caso.

a. log_au = log_av+ log_a c. log_a au = 1 + log_au

b. d.

3. Demuestra que: log_ab· log_bc·log_cd· … · log_mn· log_na= 1, para los números positivos a, b, c,…, n, distintos de 1.

1

a

( )

a =blog ab

log_a u= log u_a

Actividades

log p log q log h + =2 log p log h log q log h

+ =2

u v

log u log v log

u v a a a =

Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a. Luego, remplazando se tiene:

(38)

• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno.

1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuál es la definición de logaritmo?

3. ¿Cómo se relacionan los logaritmos con las potencias y las raíces enésimas? Explica. 4. ¿Cuál es la diferencia entre un logaritmo de base 2 y uno de base 10?

5. ¿Qué tipo de ecuaciones se pueden resolver utilizando logaritmos?, ¿por qué? 6. ¿En qué casos el logaritmo de 1 es 0? Justifica.

7. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de una suma corresponde a la suma de los logaritmos?, ¿por qué?

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

y

BASE:b

ARGUMENTO:a

log

ba= c

se corresponden con

Organizando lo aprendido

cuyos componentes son

se denotan por

hay propiedades para

POTENCIAS

bc= a

RAÍCES ENÉSIMAS

ECUACIONES

L

OGARITMOS

b= ca

permiten resolver

LOGARITMO DE LA UNIDAD

LOGARITMO DE LA BASE

LOGARITMO DE UN PRODUCTO

LOGARITMO DE UN COCIENTE

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

(39)

Mi progreso

1. Utilizando la tabla de la página 28, calcula los siguientes logaritmos.

a. log₄16 384 b. log₅1 953 125 c. log₁₆1 048 576 d. log₈2048

2. Calcula los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste.

a. log₆216 b. log₂1024 c. log₁₆16 d. log₉1

3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando propiedades.

a. b.

4. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a. log

ad– 3 logab+ loga5 – 3 logac c. logc(x+ 2y– z) – 3 logc(x– y+ 4z)

b. 2 · log_b(x2– 9) + log_b(x– 3) – log_b(x+ 3) d. 6 log_b5 + 4 log_b15

5. Decide si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. log

a(u+v) = logauv b. (loga b)(logba) = 1

6. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. Justifica tu decisión.

A. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo de la base de la potencia.

B. El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1.

C. La base de un logaritmo es un número real positivo.

D. Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo si sus argumentos son iguales.

E. Ninguna de las anteriores.

log_b 3 p2−q2 log p q r

s

b

2 3

4

• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

¿Cómo voy?

U

n

id

a

d

1

CRITERIO

ÍTEMS

PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias. 1 28 y 29

Calcular logaritmos. 2 30 a 33

Aplicar propiedades de los logaritmos. 3 y 4 32 a 35

Reconocer y demostrar propiedades de