Apuntes del curso (Actualizado el 03/01/2012)

(1)

Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica (?)

This is Sparta!!... oh wait... C´

alculo III!!!

Mat´ıas L´opez Abukalil Juan Pablo Vigneaux Arizt´ıa David Cozmar Ram´ırez

(2)

Cada cap´ıtulo presenta la materia correspondiente, seguida luego de ejercicios resueltos. Los ejercicios son de dificultad variable; algunos, para nada sencillos. No se desanime si hay cosas que no salen en el primer intento (o en eln-´esimo).

Obviamente, nosotros no reclamamos la autor´ıa de todo lo que aparece en las páginas de este documento. Una gran parte de lo que encontrará en estos apuntes se basa en nuestras propias notas sobre el curso, tomadas en las clases de los profesores Mariel Sáez, Ángel Carocca, Martin Chuaqui y Manuel Elgueta. A la vez, varios ejercicios han sido tomados de pruebas, gu´ıas o ayudant´ıas antiguas tanto de esta universidad como dela otra. Esperamos que se nos perdone no tener un sistema de citas del todo riguroso. No obstante lo anterior, toda equivocación o imprecisión es de nuestra responsabilidad.

El documento completo se encuentra en pleno desarrollo y probablemente contiene muchos errores (“typos”, signos, etc.) que esperamos ir arreglando con su ayuda. Luego, si detecta alguno, favor informar [email protected]

[email protected].

Queremos remarcar de forma categ´orica que estos apuntes son absolutamente complementarios a las clases —esto no es “La Biblia” ni mucho menos— y, por lo tanto, no las reemplazan deninguna forma.

Finalmente, queremos decirle al lector que, al igual que con todo libro de problemas resueltos, leerlo no le sirve para nada. Debe ensuciarse las manos y zambullirse en los mares de diversi´on.

Actualizaciones

Enero 2011: Nos encontramos en una dura batalla contra nuestra flojera, cuya victoria nos llevar´a a tener todos los vectores con flechitas arriba.

~

(3)

Indice general

1. Topolog´ıa de _Rn ₅

1.1. Introducci´on. . . 5

1.2. Normas enRn. . . 6

1.3. Abiertos y Cerrados . . . 8

1.4. Acumulaci´on, Frontera y Clausura . . . 10

1.5. Un par de definiciones geom´etricas . . . 12

1.6. Problemas Resueltos . . . 12

2. C´alculo Diferencial de Funciones Escalares en Varias Variables 17 2.1. Funciones Escalares de Varias Variables . . . 17

2.2. L´ımites . . . 23

2.3. Continuidad . . . 26

2.4. Derivadas Parciales y Direccionales . . . 28

2.5. Diferenciabilidad . . . 32

2.6. Plano Tangente . . . 34

2.7. Gradiente . . . 35

3. Aplicaciones 61 3.1. Teorema de Taylor . . . 61

3.2. M´ınimos y M´aximos . . . 64

3.3. Multiplicadores de Lagrange . . . 67

4. C´alculo Diferencial de Funciones Vectoriales en Varias Variables 81 4.1. Funciones Vectoriales de Varias Variables . . . 81

4.2. L´ımites . . . 82

4.3. Continuidad . . . 84

4.4. Diferenciabilidad . . . 84

4.5. Matriz Jacobiana . . . 88

4.6. Cambios de Coordenadas . . . 88

(4)

5.1. Teorema de la Funci´on Impl´ıcita . . . 93

5.2. Teorema de la Funci´on Inversa . . . 96

6. Integrales M´ultiples 105 6.1. Integrales Dobles . . . 105

6.2. Integrales Triples . . . 112

6.3. Integralesn-´esimas . . . 113

6.4. Teorema del cambio de variable . . . 113

6.5. Aplicaciones . . . 116

7. Integrales de L´ınea 133 7.1. Integrales de campos escalares sobre curvas . . . 133

7.2. Integrales de campos vectoriales sobre curvas . . . 134

7.3. Campos conservativos . . . 135

7.4. Teorema de Green . . . 139

8. Integrales de Superficie 151 8.1. Introducci´on a las superficies . . . 151

8.2. Integrales sobre superficies. . . 153

8.3. Divergencia y rotor . . . 155

8.4. Teorema de Stokes . . . 156

8.5. Teorema de la Divergencia . . . 158

A. Conceptos de ´Algebra Lineal 169 A.1. Formas cuadr´aticas . . . 169

B. Funciones Gamma y Beta 171 B.1. Definici´on . . . 171

(5)

Topolog´ıa de

_R

n

“A nuevos conceptos corresponden, necesariamente, nuevos signos.”

- David Hilbert1.1

El lector ya se habrá dado cuenta que el Cálculo en una Variable en la mayor´ıa de las ocasiones se queda corto a la hora de modelar la realidad. La razón, por muy filosófica que quiera presentarse, es simple: los fenómenos dependen de más que una variable. De hecho, dependen de muchas más de las que somos capaces de darnos cuenta.

Levante la vista y mire a su alrededor. ¿Cuántas libertades de movimiento posee? ¿Le parece que tiene algún sentido modelar esto como si fuese la recta real? Probablemente no (si la respuesta fue “s´ı”, entonces mire de nuevo hasta que se convenza).Al menos necesitar´ıamos un par de coordenadas extra, digamos dos:y, z. Con este simple ejercicio, acabamos de cambiar nuestra percepción de la realidad y llevar nuestro primitivo pero a la vez familiar mundo de Cálculo I, a uno donde las coordenadas espaciales serán (x, y, z), lo que se conoce comoR3.

Ahora, si Ud. cree que con eso se acabó toda la historia, no se precipite. ¿Aparenta ser suficiente desenvolverse enR3? Imagine que en este instante suena su teléfono (oiPhone si es que le da asquito tener algo tan poco PUC) y lo llama un ex-compañero del colegio, el cual no ve hace cinco años, para juntarse a tomar algo. Acuerdan juntarse en el Budapest. ¿No siente que falta algo? Cuando es necesario precisar un punto de reunión, no sólo fijamos el lugar espacial donde este se llevará a cabo, sino que también fijamos el momento en el que volveremos a ver a nuestro ex-compañero. De esta forma,R3 también es un mundo que nos queda chico, y nos volvemos a ver obligados agregar una nueva variable:t, lo cual nos obliga a trabajar enR4.

De esta forma, el lector puede apreciar que sin importar cuánto se esfuerce, una nueva variable nunca está de más. Por lo tanto, antes de entrar al Cálculo propiamente tal, nos interesa describir de una forma más exactaen qué mundo trabajaremos.

Adelantamos que esta sección puede ser un pocodensa, as´ı que aconsejamos leerla con calma y más de una vez si fuese necesario (probablemente lo será).

1.1. Introducci´

on

1.1 Definici´on. Definimos el conjunto den-tuplas de n´umeros reales como

Rn:={(x1, x2, . . . , xn) :xi∈R, i= 1, . . . , n}=R×R×. . .×R.

1.1_{David Hilbert (1862 - 1943) fue un matem´}_{atico alem´}_{an, reconocido como uno de los m´}_{as influyentes del siglo XIX y principios del}

(6)

Como sabemos de Álgebra Lineal (s´ı, por esto y un par de cosas más, es un pre-requisito de este curso),_Rn_{es un} espacio vectorial sobre_R. Sin embargo, antes de empezar a trabajar con él, es necesario recordar una operación que nos será muy útil.

1.2 Definici´on. Diremos que una funci´onh·,·i:_Rn_×

Rn→Res unproducto internosi satisface que

(a) hx,xi ≥0,∀x∈Rn.

(b) hx,xi= 0 ⇐⇒ x=0.

(c) hx,yi=hy,xi,∀x,y∈Rn.

(d) hx, αyi=αhx,yi,∀x,y∈Rn, α∈R.

(e) hx+y,zi=hx,zi+hy,zi,∀x,y,z∈Rn.

1.3 Observaci´on. Six,y,z∈Rn yα∈R, entonces

hαx,yi=hy, αxi=αhy,xi=αhx,yi

y

hx+z,yi=hy,x+zi=hy,xi+hy,zi=hx,yi+hz,yi.

Es decir, la simetr´ıa del producto interno nos permite obtener, a partir de la linealidad en una sola de las componentes, la linealidad en ambas. Es por esta razón que se dice que el producto interno es una forma bilineal simétrica definida positiva: bilineal pues es lineal en cada variable, simétrica por la propiedad (c) y definida positiva por (a) y (b).

1.4 Observaci´on. Six,y∈Rn, entonces

hx+y,x+yi=hx,x+yi+hy,x+yi=hx+y,xi+hx+y,yi=hx,xi+hy,xi+hx,yi+hy,yi,

es decir,

hx+y,x+yi=hx,xi+ 2hx,yi+hy,yi.

Esto nos garantiza la existencia de un “cuadrado de binomio”

1.5 Ejercicio. Muestre queh0,xi= 0,∀x∈Rn.

1.6 Ejemplo. Por lo general, en Rn se trabaja con el producto can´onicooproducto puntodefinido como

x·y:=hx,yi= n

X

i=1

xiyi. (1.1)

1.7 Ejercicio. Pruebe que el producto punto es realmente un producto interno, es decir, que se satisfacen las condiciones de la definici´on del producto interno.

1.2. Normas en

_R

n

Ahora queremos definir una forma de medir.1.2 Partiremos definiendo axiomaticamente el concepto de “norma” de un vector. Se supone que el lector est´a familiarizado con algunas normas, como lanorma euclidiana en_R2_:

k(x, y)k=px2₊_y2

o el m´odulo enC:

|z|=√zz.¯

Estas normas las asociábamos al “largo del vector”. Con esta idea en mente, pero de forma un poco más abstracta y formal, introducimos la siguiente definición.

1.2_{Este es un deseo que, por siglos, ha llevado a los matem´}_{aticos a definir toda clase de cosas horrosamente complejas (partiendo}

(7)

1.8 Definici´on. Diremos que una funci´onk·k:_Rn_→

Res unanormasi satisface que

(a) kxk ≥0,∀x∈Rn.

(b) kxk= 0 ⇐⇒ x=0.

(c) kαxk=|α| kxk,∀x∈Rn, α∈R.

(d) kx+yk ≤ kxk+kyk,∀x,y∈Rn. (Desigualdad triangular)

As´ı, (Rn,k·k) se dice unespacio vectorial normado (e.v.n).

1.9 Ejemplo. Generalmente enRn se trabaja con la norma euclidianadefinida como

kxk₂:= n

X

i=1

|xi|2

!12

. (1.2)

Esta norma es un caso particular de lanormap, dada por

kxk_p:= n

X

i=1

|xi|p

!p1

, (1.3)

conp≥1.

1.10 Ejercicio. Pruebe quek·k₂ es realmente una norma.1.3

1.11 Observaci´on. Si n= 1, es decir, en_R, todas las normas pson iguales.

Notemos que que

kxk₂=√x·x.

Esto no es una casualidad. Existe una ´ıntima relación (bordeado en lo porno) entre la norma euclidiana y el producto canónico, pero antes de describirla, es necesario probar un lema que nos será muy útil.

1.12 Lema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky). Seanx,y∈_Rn_{, entonces}

hx,yi2≤ hx,xihy,yi.

Demostraci´on. Notemos que

0≤ hαx+y, αx+yi=hαx, αxi+ 2hαx,yi+hy,yi=α2hx,xi+ 2αhx,yi+hy,yi, ∀α∈R.

Luego, de la condici´on para el discriminante de la cuadr´atica enα, conclu´ımos que

(2hx,yi)2−4hx,xihy,yi ≤0 ⇐⇒ hx,yi2_{≤ h}_x,_x_ih_y,_y_i_.

1.13 Observación. El poder escribir una norma en términos de un producto punto es sumamente útil pero no siempre es posible.1.4 Por ejemplo, es posible mostrar que parap6= 2, la normak·k_p no proviene de un producto interno.

1.14 Teorema. Seah·,·iun producto interno deRn. Entonces, la funci´onk·k=ph·,·ies una norma.

Demostraci´on. Seanx,y∈Rn yα∈R.

1.3_{Es posible probar que}_k·k

pes realmente una norma pero mostrar la desigualdad triangular en este caso requiere much´ısimo trabajo pues antes se debe probar la famosadesigualdad de H¨older que generaliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky.

1.4_{Para este tipo de normas se ha desarrollado una enorme teor´ıa conocida como los}_{espacios de Hilbert}_{, un caso particular de los}

(8)

(a) Comohx,xi ≥0 con la igualdad si y s´olo six=0, se tiene quekxk=phx,xi ≥0 con la igualdad si y s´olo six=0.

(b) Comohαx, αxi=α2hx,xi, se tiene que

kαxk=phαx, αxi=pα2_h_x,_x_i₌_|_α_{| h}_x,_x_i₌_|_α_{| k}_x_k_.

(c) Notemos que kx+yk = phx+y,x+yi = phx,xi+ 2hx,yi+hy,yi =

q

kxk2+ 2hx,yi+kyk2. Pero, por el Lema1.12, sabemos que hx,yi ≤ kxk kyk, de lo cual sigue que

kx+yk ≤

q

kxk2+ 2kxk kyk+kyk2=

q

(kxk+kyk)2=kxk+kyk.

1.15 Ejercicio(Ley del Paralelogramo). Seak·kla norma inducida por un producto interno en_Rn_{. Muestre que}

kx+yk2+kx−yk2= 2kxk2+kyk2. (1.4)

Como hemos adelantado, la norma nos entrega una forma de medir. Recordemos que dadosx,y∈Rn, el vector x−y representa segmento que unexey. Luego, al igual que como se hizo enR, diremos que ladistanciaentre xey est´a dada por

d(x,y) :=kx−yk. (1.5)

Queremos destacar que la introducción de una noción de distancia es sumamente importante para desarrollar el Cálculo, pues permite definir qué es estar cerca, i.e. las definiciones conyδcon las que el lector fue atormentado en su pasado (y en su futuro cercano).

1.16 Observaci´on. Seanx,y,z∈Rn, entonces

kx−yk=kx−z+z−yk=k(x−z) + (z−y)k ≤ kx−zk+kz−yk,

es decir,

d(x,y)≤d(x,z) +d(z,y). (1.6)

1.3. Abiertos y Cerrados

De ahora en adelante, (_R,k·k) ser´a un e.v.n. donde k·krepresenta a la norma euclidiana definida en (1.2). 1.17 Definici´on. Seax0∈Rn yr >0. Definimos labola abiertade centrox0 y radiorcomo

B(x0, r) :={x∈Rn:kx−x0k< r}.

1.18 Ejemplo. Miremos algunas bolas variando la dimensi´on del espacio.

(a) Sin= 1, entoncesB(x0, r) ={x∈R:|x−x0|< r}=]x0−r, x0+r[.

(b) Sin = 2, entonces B(x0, r) = n(x, y)∈R2:p(x−x0)2+ (y−y0)2< r

o

, es decir, el disco de radio r y centrox0= (x0, y0) (sin incluir el borde).

(c) Si n= 3, entonces B(x0, r) =

n

(x, y, z)∈_R3_:p

(x−x0)2+ (y−y0)2+ (z−z0)2< r

o

, es decir, la esfera

de radiory centro enx0= (x0, y0, z0) (sin incluir el casquete).

1.19 Ejercicio. Interprete la bolaB(x0, r) con la normak·kp definida en (1.3) parap= 1 yp=∞enR

2_{, donde}

k·k_∞es la norma definida en el Problema 1.1.

(9)

La siguiente definici´on nos entrega una forma alternativa de definir los conjuntos abiertos.

1.21 Definici´on. SeaA⊆Rn. Diremos quex∈Aes unpunto interiordeAsi exister >0 tal queB(x, r)⊆A.

A partir de esto, se define elinteriordeA, denotado porAo, como el conjunto de todos sus puntos interiores, es decir,

Ao:={x∈A:∃r >0, B(x, r)⊆A}.

De esta forma,Aes un conjunto abierto si y s´olo si todo punto deAes un punto interior, es decir, siA=Ao_.

1.22 Ejemplo. Tenemos que

(a) ]a, b[ es un abierto enR.

(b) (x, y)∈R2:y >0 es un abierto enR2.

(c)

(x, y, z)∈R3:x2+y2+z2<1 es un abierto enR3.

(d) Rn,∅son trivialmente abiertos enRn.

1.23 Observación. Como ya se dijo, ]a, b[ es un abierto deR. Sin embargo, el conjunto(x, y)∈R2:a < x < b, y= 0 no es un abierto enR2 pues cualquier bola centrada en algún punto de dicho conjunto contendrá elementos del semiplano superior y estos no pertenecen al conjunto en cuestión.

1.24 Definici´on. SeaV ⊆Rn. Diremos queV es un conjuntocerrado siVc=R rV es abierto.

1.25 Ejemplo. Como espera el lector, el intervalo cerrado [a, b] es cerrado en_Rpues [a, b]c_=]_{− ∞}_{, a[}_∪_]b,_∞_{[ es} abierto (¡Pru´ebelo!).

1.26 Ejercicio. Interprete los conjuntos cerrados obtenidos al tomar complemento en el Ejemplo1.22.

1.27 Observación. Ser cerrado no implica no ser abierto, ni viceversa. Por ejemplo, comoRnes abierto, se tiene que (Rn)c=∅es cerrado. Sin embargo,∅también es abierto y por ende, también∅c =Rn es cerrado. Es decir, Rn y∅son conjuntos cerrados y abiertos a la vez.

Sin embargo, es posible probar que los únicos conjuntos que cumplen esta propiedad en (Rn,k·k) son justa-menteRn y∅. Esto se debe a queRn posee una propiedad llamadaconexidad (que no tenemos ninguna intención de profundizar ya que escapa ampliamente de los objetivos de esta sección).

1.28 Observaci´on. Un conjunto puede no ser cerrado ni abierto a la vez. Por ejemplo, [a, b[⊆Rno es ni abierto ni cerrado.

1.29 Proposici´on. Sea x∈_Rn _y_{r >}_{0, entonces la bola abierta}_B_{(x, r) es abierta.}

Demostraci´on. Seay∈B(x, r). Debemos probar que existery>0 tal queB(y, ry)⊆B(x, r). Llamemos

r1=ky−xk< r

y tomemosry=r−r1>0. De esta forma, dadoz∈B(y, ry), se tiene que

kz−xk ≤ kz−yk+kx−yk< ry+r1=r,

es decir,z∈B(x, r).

Luego, comozera arbitrario,B(y, ry)⊆B(x, r) y por lo tanto, la bola B(x, r) es abierta.

1.30 Ejercicio. Muestre que labola perforada

B◦(x0, r) :=B(x0, r)r{x0}={x∈Rn: 0<kx−x0k< r}

(10)

1.31 Ejercicio. Muestre que labola cerrada

B(x0, r) :={x∈Rn :kx−x0k ≤r}

es cerrada.

1.32 Lema. SeanU1, U2⊆Rn dos abiertos, entoncesU1∪U2yU1∩U2tambi´en son abiertos.

Demostración. Seax∈U1∪U2entonces x∈U1 óx∈U2. Sin pérdida de generalidad, supongamos quex∈U1. Como U1 es abierto, existe r > 0 tal que B(x, r)⊆ U1 ⊆U1∪U2. Luego, comox era arbitrario, tenemos que U1∪U2 es abierto.

Por otro lado, seax∈U1∩U2 entonces x∈U1 yx∈U2. Luego, como U1, U2 son abiertos, existenr1, r2 tales queB(x, ri)⊆Ui, i= 1,2. Escojamosr= m´ın{r1, r2}>0, entonces se tiene queB(x, r)⊆B(x, ri)⊆Uiy sigue queB(x, r)⊆U1∩U2. As´ı, comoxera nuevamente arbitrario, tenemos queU1∩U2es abierto.

1.33 Observaci´on. SiV1, V2⊆Rn son cerrados, entoncesV1c, V2c son abiertos. Luego, del Lema1.32, se extrae queV1c∪V2c es abierto y por lo tanto, (V1c∪V2c)

c

=V1∩V2 es cerrado. Es decir, la ´ıntersecci´on de cerrados es cerrada.

De la misma forma, se prueba queV1∪V2tambi´en es cerrado.

1.34 Observaci´on. Es posible mostrar que si (Uλ)_λ_∈_Λes una familia de abiertos y Λ es un conjunto de ´ındices de cualquier cardinalidad, entonces

U = [ λ∈Λ

Uλ

tambi´en es abierto. Sin embargo, una intersecci´on cualquiera de abiertos no es necesariamente abierta, por ejemplo

{0}= \ n∈N

−1

n, 1 n

.

También es posible emular la Observación1.33y tomar complementos para concluir que una intersección cual-quiera de cerrados también es cerrada.

Sin embargo, estos resultados también van más allá de los objetivos de esta sección y sólo se muestran como

cultura general.

1.4. Acumulaci´

on, Frontera y Clausura

1.35 Definici´on. Sea (xn)n∈N una sucesi´on de puntos en R

n_{. Diremos que} _x

n converge a p∈Rn (o que pes ell´ımite dexn) si para cada >0 existen0>0 tal que

kxn−pk< , ∀n≥n0,

o equivalentemente,xn ∈B(p, ),∀n≥n0. En tal caso diremos quexn →pcuando n→ ∞.

1.36 Definici´on. Sea A ⊆ _Rn_{, no vac´ıo y} _p_∈

Rn. Diremos que p es un punto de acumulaci´on o punto l´ımitedeAsi para todor >0 se tiene queBo_{(p, r)}_∩_A₆₌

∅.

A partir de esto, se define laacumulaci´ondeA, denotada porA0_{, como el conjunto de los puntos de acumulaci´}_on

deA, es decir,

A0:={p∈_Rn_:_∀_{r >}_{0, B}o_{(p, r)}_∩_A₆₌ ∅}.

1.37 Observaci´on. Si pes un punto l´ımite de A, entonces para cada n∈Nse tiene que B(p,1/n)∩A 6=∅. Luego, de cada uno de esos conjuntos podemos extraer un elemento y con ello construir una sucesi´on (xn)n∈N⊆A

tal quexn→pcuandon→ ∞.

Con esto hemos probado la siguiente proposici´on.

1.38 Proposici´on. Sea A ⊆_Rn_{. Si} _p_∈_A0 _{entonces existe una sucesi´}_{on (x}

n)n∈N⊆A tal quexn → pcuando

(11)

1.39 Ejemplo. Usemos la Proposici´on1.38para mirar algunos ejemplos de acumulaci´on: (a) A=Q×Q⊆_R2_⇒_A0₌

R2.

(b) A= 1 n,

1 n2,

1 n3

:n∈_N ⊆_R3_⇒_A0₌_{_(0,_0,₀₎_}_.

(c) A={(2n,3n) :n∈_N} ⊆_R2_⇒_A0₌

∅.

El siguiente teorema es muy importante porque nos entrega una manera de identificar si es que un conjunto es cerrado sin tener que analizar si su complemento es abierto.

1.40 Teorema. SeaV ⊆_Rn _{no vac´ıo.}_V _{es cerrado si y s´}_{olo si}_V0_⊆_V_.

Demostraci´on. Como es costumbre, mostraremos cada implicancia por separado. LlamemosU al complemento deV, es decir,U =RnrV.

(=⇒). Supongamos queV es cerrado. Por definici´on tenemos queU es abierto. Seax∈U, entonces existe r >0 tal queB(x, r)⊆U y por lo tanto,B(x, r)∩V =∅. Es decir,xno es un punto l´ımite deV. Luego, comoxera arbitrario, se tiene queV0 ⊆V.

(⇐=). Supongamos que V0 ⊆ V. Sea x ∈ U, entonces existe r > 0 tal que B(x, r)∩V = _∅ y por lo tanto, B(x, r)⊆Vc ₌_U_{. Con esto tenemos que}_x_{es un punto interior de} _U _{y como era arbitrario, concluimos que}_U es abierto. As´ı, por definici´on,Uc_{= (V}c₎c

=V es cerrado.

1.41 Definici´on. Sea A⊆Rn yq∈Rn. Diremos queqes unpunto fronteradeAsi para todor >0 se tiene queB(q, r)∩A6=∅yB(q, r)∩Ac6=∅.

A partir de lo anterior, definimos la frontera de A, denotada por ∂A como el conjunto de todos los puntos frontera, es decir,

∂A={q∈_Rn_:_∀_{r >}_{0, B}_{(q, r)}_∩_A₆₌

∅, B(q, r)∩Ac6=∅}. 1.42 Ejemplo. Miremos algunas fronteras.

(a) A=]a, b[⇒∂A={a, b}.

(b) ∂B(0, r) ={x∈_Rn_:_k_x_k₌_r_}_.

(c) A=

(x, y)∈_R2_:_{x, y}_≥₀ _⇒_∂A₌

(x, y)∈_R2_:_{x, y}_≥_{0, xy}_{= 0} _.

1.43 Observaci´on. ∂A=∂(Ac).

1.44 Observaci´on. Si A∩∂A6=∅, es decir, si Acontiene a alguno de sus puntos frontera,Ano es abierto.

1.45 Definici´on. SeaA⊆_Rn_{. Se define la}_clausura_de_A_como

A:=Ao∪∂A.

1.46 Ejercicio. Sea A⊆Rn arbitrario.

(a) Muestre queA=A∪A0 y concluya que

Ao⊆A⊆A.

(b) Muestre queAes un conjunto cerrado.

(c) Muestre que si Aes cerrado, entonces∂A⊆A.

(d) Concluya queAes cerrado si y s´olo siA=A.

1.47 Ejercicio. Muestre que la bola cerrada definida en el Ejercicio1.31es efectivamente la clausura de la bola abierta.

1.48 Definici´on. SeaA⊆Rn. Diremos queAes un conjuntoacotadosi existe r >0 tal queA⊆B(0, r).

1.49 Observaci´on. Toda bola abierta es acotada.

1.50 Definici´on. SeaA⊆_Rn_{. Diremos que}_A_{es un conjunto}_compacto_{si es cerrado y acotado.}

(12)

1.5. Un par de definiciones geom´

etricas

1.52 Definici´on. Seanx,y∈Rn. Elsegmentode la recta con punto inicialxy punto finalyes el conjunto

xy={z∈Rn :∃t∈[0,1],z=x+t(y−x)}.

1.53 Observaci´on. Notemos que

z=x+t(y−x) = (1−t)x+ty.

Luego,xycorresponde al conjunto de todas las combinaciones lineales convexas entrexyy.

1.54 Definici´on. SeaA⊆Rn. Diremos queAes un conjuntoconvexosi para cualquier par de puntosx,y∈A se cumple quexy⊆A.

1.55 Definición. Dada una colección de puntosx1, . . . ,xm∈Rn, lapoligonalque une dichos puntos es la unión de los segmentos de rectas con punto inicialxi y punto final xi+1, con i= 1, . . . , m−1. Es decir, la poligonal está dada por

m−1

[

i=1

xixi+1.

1.56 Definici´on. SeaD ⊆Rn un conjunto abierto. Diremos queD es unaregi´onenRn si todo par de puntos deDse puede unir mediante una poligonal contenida enD.

Intuitivamente, una región es un conjunto que no está compuesto por la unión de dos conjuntos disjuntos. Notar que una región puede tener “agujeros”.

1.6. Problemas Resueltos

1.1 Problema. Para cadax∈_Rn _{se define la}_{norma del m´}_aximo_como

kxk_∞:= m´ax

i=1,...,n|xi|. (1.7)

(a) Muestre que (1.7) define una norma en_Rn_. (b) Muestre que

kxk_∞= l´ım p→∞kxkp.

Soluci´on:

(a) Debemos probar que se satisfacen todas las propiedades de la Definici´on1.8. En efecto, todas son evidentes, excepto la Desigualdad Triangular. Dados x,y ∈ Rn, por la desigualdad triangular del valor absoluto, se tiene que

|xi+yi| ≤ |xi|+|yi|, ∀i= 1, . . . , n.

Luego, tomando m´aximo a ambos lados, se tiene que

m´ax

i=1,...,n|xi+yi| ≤i=1,...,nm´ax (|xi|+|yi|).

Pero maximizar una suma de elementos es menos eficiente que maximizar cada elemento por separado y luego sumarlos, es decir,

m´ax

i=1,...,n(|xi|+|yi|)≤i=1,...,nm´ax |xi|+ m´i=1,...,nax |yi| y por ende,

(13)

(b) SeaM = m´ax

i=1,...,n|xi|. Tenemos que

kxk_p= n

X

i=1

|xi|p

!1p

≤

n

X

i=1 Mp

!1p

=M n1p_.

Adem´as, es claro que

M ≤ kxk_p.

Finalmente, tomando el l´ımite cuandop→ ∞, se tiene que

M ≤ l´ım

p→∞kxkp≤pl´ım→∞M n

1

p =M.

As´ı, por el Teorema del Sandwich, se concluye lo pedido.

1.2 Problema. Seax∈Rn yk·k una norma enRn. Considerey,z∈Rn yδ >0 tales que

kz−xk< δ y ky−xk ≥2δ.

Muestre quekz−yk> δ.

Soluci´on:Usando la Observaci´on1.16, tenemos que

2δ≤ ky−xk ≤ kz−xk+kz−yk< δ+kz−yk,

es decir,

δ <kz−yk.

1.3 Problema. Seak·kuna norma en_Rn_{. Muestre que para todo par}_x,_y_∈

Rn, se cumple que

|kxk − kyk| ≤ kx−yk.

Soluci´on:Comok·kes una norma, satisface la Desigualdad Triangular. Luego, tenemos que

kxk=k(x−y) +yk ≤ kx−yk+kyk,

de donde escribimos

kxk − kyk ≤ kx−yk.

De forma totalmente an´aloga, intercambiando los papeles dexey, se muestra que

kyk − kxk ≤ kx−yk.

Juntando ambas desigualdades, obtenemos

− kx−yk ≤ kxk − kyk ≤ kx−yk,

lo cual puede ser reescrito como

|kxk − kyk| ≤ kx−yk.

1.4 Problema. Muestre queA={x∈Rn :kxk> r}es un abierto deRn. Soluci´on: Notemos que Ac ₌ _{_x_∈

(14)

1.5 Problema. SeaA⊆Rn un abierto y x∈A. Muestre queAr{x}tambi´en es abierto.

Soluci´on:Seay∈A tal quey6=x. Entonces, si definimos

r1:=kx−yk,

se tiene quer1>0. Por otro lado, comoAes abierto, exister2>0 tal queB(y, r2)⊆A. Luego, tomando

r= m´ax{r1, r2},

tenemos queB(y, r)⊆A_r{x}y por lo tanto, A_r{x}es abierto.

1.6 Problema. SeaA⊆Rn. Muestre que∂Aes un cerrado deRn.

Soluci´on: Mostraremos que (∂A)0 ⊆ ∂A. Sea p ∈ Rn un punto l´ımite de ∂A. Para cada > 0 se tiene que Bo_{(p, )}_∩_∂A₆₌

∅, es decir, existen elementos de∂Adentro deBo(p, ). Seay∈Bo(p, )∩∂A, entonces, como la bola perforada es abierta, exister >0 tal que

B(y, r)⊆Bo(p, ). (1.8)

Luego, dado que y ∈ ∂A, se tiene que B(y, r)∩A 6= ∅ y B(y, r)∩Ac 6= ∅. As´ı, por (1.8), se tiene que Bo(p, )∩A6=∅yBo(p, )∩Ac6=∅, es decir,p∈∂A.

Finalmente, como p era arbitrario, concluimos que ∂A contiene a todos sus puntos l´ımites y por lo tanto, es cerrada.

1.7 Problema. SeaIun intervalo abierto de_RyJ ⊆Iun subintervalo cerrado. Demuestre queI_rJ es abierto.

Soluci´on: Como J es cerrado, se tiene que Jc es abierto. Luego, como I es abierto y la intersecci´on finita de abiertos es abierta, se tiene queI−J=I∩Jc _{es abierto.}

1.8 Problema. Determine si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados o ninguno de los dos en su espacio caracter´ıstico.

(a) {0}

(b) N

(c) Q

(d) {(x, y)∈R2:y=x2}

(e) {(x, y)∈R2:x >0, y= 0}

Soluci´on:Explotaremos el Teorema1.40y la Observaci´on1.44.

(a) Es cerrado pues su ´unico punto l´ımite es 0. No es abierto pues su complemento no es cerrado.

(b) Es cerrado pues∂_N=_N. Por lo mismo, no es abierto.

(c) No es abierto pues∂Q=R. Por lo mismo, no es cerrado.

(d) Es cerrado pues su complemento es abierto. No es abierto pues su complemento no es cerrado.

(15)

Fuente:http://abstrusegoose.com/strips/math_text.JPG1.5

1.5_{Se dice que}_P _⊆

Rn esperfectosi es igual al conjunto de sus puntos l´ımites. Si el lector est´amuyaburrido, puede tratar de

(16)

(17)

C´

alculo Diferencial de Funciones

Escalares en Varias Variables

“I recoil with dismay and horror at this lamentable plague of functions which do not have derivatives.”

- Charles Hermite2.1

Ahora que nuestra visión se ha ampliadocorrectamente, nos gustar´ıa poder asociarle a cada punto deRnuna nueva “variable”. Las comillas se deben a que tan variable no es, pues ya no será independiente, sino que dependerá del punto en cuestión. Por ejemplo, si estamos viajando en el metro durante el verano, nos gustar´ıa saber cuál es el lugar de menor temperatura para as´ı ubicarnos all´ı. Es decir, nos gustar´ıa a cada tr´ıo (x, y, z) asociarle un número, digamos T, que mida la temperatura. (El lector ya puede sentirlo: ¡han vuelto, y esta vez dependen de más variables!). Necesitamos una funciónT =T(x, y, z).

De ahora en adelante y a menos que se indique lo contrario, usaremos la siguiente convención paraU, V, D⊆Rn: U será un abierto,V será un cerrado yD será una región.

2.1. Funciones Escalares de Varias Variables

2.1 Definición (Función escalar de varias variables). Una aplicación f : A ⊆ _Rn _→

R se denominafunci´on escalar de varias variables,funci´on escalar de variable vectorialo simplemente,campo escalar.

2.2 Ejemplo. Son funciones escalares de varias variables:

(a) f(x, y) =πxy2.

(b) g(x, y, z) = 2exyz+ 9.

(c) h(x, y, z, w) = cos (xy+z) arctanw2_{+ cosh(xz}_).

Volvamos un momento a Introducción al Cálculo. Para graficar una funciónf :_R→Ribamos aR2y dibujabamos la curva dada por (x, f(x)). Entonces, deciamos que la gráfica def estaba dada por

Γ(f) =

(x, y)∈_R2_:_x_∈_{Dom (f}₎_{, y}₌_f_(x) _.

Ahora queremos extender esta definici´on a un campo escalar.

2.1_{Charles Hermite (1822-1901) fue un matem´}_{atico franc´}_{es que investig´}_{o en el campo de la teor´ıa de n´}_{umeros, sobre las formas}

(18)

2.3 Definici´on (Gr´afica). Seaf :_Rn_→

R, definimos lagr´aficadef como

Γ(f) =(x1, . . . , xn+1)∈Rn+1: (x1, . . . , xn)∈Dom (f), xn+1=f(x1, . . . , xn) .

Adem´as,

(a) Sin= 1, diremos que Γ(f) es unacurva.

(b) Sin= 2, diremos que Γ(f) es unasuperficie.

2.4 Definici´on (Curvas de Nivel). Seaf :Rn →Ryc∈Rfijo. Se definen lascurvas´osuperficies de nivelc def como

f−1(c) ={(x1, . . . , xn)∈Dom (f) :f(x1, . . . , xn) =c}.

2.5 Observación. No confundir la notación def−1 con la función inversa def. En este caso, f−1(c) no es un número sino un conjunto. Espec´ıficamente, es un conjunto de puntos en el dominio que tienen la misma imagen bajof (a saber,c).

El concepto es m´as familiar de lo que el lector creer´ıa a primera vista. Por ejemplo, los mapas t´ıpicamente muestran curvas de contorno con las distintas alturas del terreno. De forma similar, en meteorolog´ıa (o en termodin´amica) se habla isotermas: curvas sobre las cuales la temperatura es constante. El siguiente diagrama muestra este ´

ultimo uso:2.2

2.6 Ejemplo. Sea f(x, y) =x2+y2, entonces

f−1(c) =



 

 

∅ , sic <0 (0,0) , sic= 0 x2₊_y2₌_c _{, si}_{c >}₀

.

Notamos que en el ´ultimo caso, las curvas de nivel corresponden a circunferencias de radio√c.

2.7 Ejemplo. Sea f(x, y) =px2₊_y2_{, entonces}

f−1(c) =



 

 

∅ , sic <0 (0,0) , sic= 0 x2₊_y2₌_c2 _{, si}_{c >}₀

.

Notamos que en el ´ultimo caso, las curvas de nivel corresponden a circunferencias de radioc.

(19)

2.8 Ejercicio. Seaf(x, y) =x2₋_y2_{. Determine}_f−1_{(c) para todo}_c_∈ R.

Las curvas de nivel son escenciales para estudiar la gráfica de una función pues nos permiten hacer el análogo a una carta topográfica. Además, es útil usar proyecciones a otros planos, es decir, fijar una variable en cero.

(20)

2.9 Ejemplo (Paraboloide).

Seaf(x, y) =x2+y2. Sus curvas de nivel encontradas en2.6 pueden ser graficadas como se muestra en la figura.

Por otro lado, notemos que al proyectar sobre el plano XZ e Y Z, vale decir, hacemosy= 0 yx= 0 respectivamente, tenemos que

Πxz :z=x2 , Πyz:z=y2.

(21)

2.10 Ejemplo(Cono).

Sea f(x, y) =px2₊_y2_{. En este caso, las curvas de nivel quedan dadas} por2.7y se muestran en la figura.

Adem´as, tenemos que

Πxz :z=|x| , Πyz :z=|y|.

(22)

2.11 Ejemplo(Silla de montar).

Seaf(x, y) =x2₋_y2_{. Si el lector realiz´}_{o el Ejercicio}_2.8_{, reconocer´}_{a en la} figura las curvas de nivel.

Por otro lado, tenemos que

Πxz :z=x2 , Πyz :z=−y2.

(23)

2.2. L´ımites

2.12 Definici´on(L´ımite). Seaf :U ⊆Rn→R, p∈U0 yl∈R. Diremos quel es ell´ımitedef cuandoxtiende ap, si para cada >0 existeδ >0 tal que six∈B◦(p, δ)∩U entonces|f(x)−l|< . O equivalentemente,

(x∈U∧0<kx−pk< δ)⇒ |f(x)−l|< .

Si lo anterior se cumple, escribiremos

l´ım

x→pf(x) =l, y diremos quef →l cuando x→p.

2.13 Observación. Observemos que al igual en el Cálculo en una Variable, no hay necesidad alguna de que f esté definida en p. A ple pedimos que sea un punto de acumulación de U, es decir, que cada bola B◦(p, δ) contenga puntos del conjuntoU en los que la función está definida (esto, obviamente, con la intención de tomar bolas tan pequeñas como uno quiera y as´ı acercarse lo más posible ap).

2.14 Observación. Hacemos notar una de las diferencias más importantes con el concepto de l´ımite enR: ahora es más dif´ıcil mostrar que un l´ımite existe pues hay infinitas direcciones posibles para acercarse a un punto, a diferencia deR, donde sólo exist´ıan las laterales.

2.15 Ejemplo. Sea >0. Como

0≤ |x−x0|,|y−x0| ≤

p

(x−x0)2+ (y−y0)2,

si tenemos que

k(x, y)−(x0, y0)k=p(x−x0)2_{+ (y}₋_y0)2_{< ,}

entonces, tambi´en se cumple que

|x−x0|,|y−x0|< .

Por lo tanto,

l´ım (x,y)→(x0,y0)

x=x0 , l´ım (x,y)→(x0,y0)

y=y0.

2.16 Ejemplo. Estudiaremos el l´ımite

l´ım (x,y)→(0,0)

xy

p

x2₊_y2.

Recordemos que parax, y∈_R, se tiene que

|x||y| ≤ x

2₊_y2 2 .

Luego,

xy

p

x2₊_y2

= _p|x||y| x2₊_y2 ≤

x2₊_y2 2px2₊_y2 =

1 2

p

x2₊_y2_.

Sea >0. Por lo anterior, tenemos que sik(x, y)k=k(x, y)−(0,0)k<2, entonces

xy

p

x2₊_y2 −0

=≤ 1

2

p

x2₊_y2_{< .}

Por lo tanto,

l´ım (x,y)→(0,0)

xy

p

x2₊_y2 = 0.

2.17 Ejercicio. Estudie

l´ım (x,y)→(0,0)

(24)

Como el lector puede apreciar, estudiar l´ımites por definici´on puede requerir bastantestrucos. Para facilitarnos la vida recordaremos las buenas coordenadas polares de C´alculo II:

x=rcosθ , y=rsinθ.

As´ı, sik(x, y)−(0,0)k< δ se tiene quer < δy por ende, que (x, y)→(0,0) es equivalente a quer→0.

Aunque se debe tener mucho ojo cuando se utilizan coordenadas polares pues si para algunosθel l´ımite se indefine, este m´etodo puede fallar.

2.18 Ejemplo. Estudiemos el l´ımite

l´ım (x,y)→(0,0)

ex2+y2−1 x2₊_y2 . Usando coordenadas polares, tenemos que

l´ım (x,y)→(0,0)

ex2+y2₋₁ x2₊_y2 = l´ım_r_→₀

er2cos2θ+r2sin2θ₋₁ r2_cos2_θ₊_r2_sin2_θ = l´ım_r_→₀

er2₋₁ r2 = 1.

l´ım (x,y)→(0,0)

sin(x2₊_y2₎ (x+y)2 .

Sin embargo, la mayor´ıa de las veces ocurre que los l´ımites no existen. Por raro que pueda sonar, probar que un l´ımite no existe es mucho m´as f´acil que probar que s´ı existe. Para ello necesitamos un par de teoremas.

2.20 Teorema(Unicidad del L´ımite). Si l´ım

x→pf(x) =l1y l´ımx→pf(x) =l2, entoncesl1=l2.

Demostraci´on. Supongamos quel16=l2. Entonces|l1−l2|>0. Por otro lado, usando la Desigualdad Triangular, tenemos que

|l1−l2| ≤ |f(x)−l1|+|f(x)−l2|.

Luego, comof →l1cuando x→p, existeδ1 tal que

x∈B(p, δ1)∩U ⇒ |f(x)−l1|<1

2|l1−l2|. An´alogamente, comof →L2 cuandox→p, existeδ2 tal que

x∈B(p, δ2)∩U ⇒ |f(x)−l2|<1

2|l1−l2|. As´ı, tomandoδ= m´ax{δ1, δ2}, tenemos que six∈B(p, δ)∩U, entonces

|l1−l2| ≤ |f(x)−l1|+|f(x)−l2|<1

2|l1−l2|+ 1

2|l1−l2|=|l1−l2|, es decir,

|l1−l2|<|l1−l2|,

lo cual es una contradicci´on.

Como se mencionó, hay múltiples formas de acercarse ap. En particular, hay distintas curvas contenidas en el dominio que pasan por el puntopy nos permiten aproximarnos a éste. El siguiente teorema indica quesi el l´ımite existe es indiferente la curva que elijamos para aproximarnos.

2.21 Teorema. Seanf :U ⊆_Rn_→

R, p∈U0 yl∈Rtales que l´ım

x→pf(x) =l.

Consideremosϕ:I⊆R→Rn continua tal queϕ(t)⊆U,∀t∈Ir{t0} y

l´ım t→t0

ϕ(t) =p,

conϕ(t)6=p,∀t∈B◦(t0, r) para alg´unr >0. Entonces

l´ım t→t0

(25)

Demostraci´on. Sea >0. Sabemos que∃δ >0 tal que si 0<kx−pk< δ se tiene que|f(x)−l|< .

Por otro lado, como ϕ es continua, existe η > 0 tal que si 0 < |t −t0| < η, entonces 0 < kϕ(t)−pk =

kϕ(t)−ϕ(t0)k< δ. Pero lo anterior implica que|f(ϕ(t))−l|< y sigue que

l´ım t→t0

f(ϕ(t)) =l.

2.22 Observación. El Teorema 2.21 nos dice que el valor del l´ımite es independiente de la curva usada para tender al punto en cuestión. Supongamos que tenemos dos curvasϕ, ψdistintas y que satisfacen las hipótesis del Teorema2.21. Si ocurre que

l´ım t→tϕ

f(ϕ(t)) =l16=l2= l´ım t→tψ

f(ψ(t)),

entonces por el Teorema2.20, se concluye que el l´ımite no existe. 2.23 Ejemplo. Estudiemos

l´ım (x,y)→(0,0)

xy x2₊_y2.

Seaϕ(t) = (t, t). Se tiene que

l´ım (x,y)→(0,0)

xy

x2₊_y2 = l´ım_t_→₀ t2 t2₊_t2 =

1 2.

Bien, tomemos ahoraψ(t) = (0, t), entonces

l´ım (x,y)→(0,0)

xy

x2₊_y2 = l´ım_t_→₀ 0 t2_{+ 0} = 0.

As´ı, como dos parametrizaciones entregaron distintos valores para el l´ımite, se concluye que no existe.

2.24 Observación. Hacemos notar que si al cambiar a coordenadas polares, el l´ımite resulta ser una función deθ, es equivalente a mostrar que el valor del l´ımite depende de la parametrización que se escoja y por ende, es equivalente a mostrar su no-existencia.

l´ım (x,y)→(0,0)

x2y x4₊_y2.

2.26 Ejemplo. Seaf :U ⊆R2→Rdada por

f(x, y) = xy x2₊_y2,

yU =

(x, y)∈_R2_:_|_y_|_{< x}2 _{. Si nos preguntamos por el l´ımite}

l´ım

(x,y)→(0,0)f(x, y),

sobre todoR2, como ya vimos en el Ejemplo2.23, no existe. Sin embargo, sobre U ya no tienen sentido parame-trizaciones comoψ(t) = (0, t). De hecho, notemos que

xy x2₊_y2

= |x||y| x2₊_y2 ≤

|x|x2 x2₊_y2 ≤

|x|(x2+y2)

x2₊_y2 =|x| ≤

p

x2₊_y2_.

Por lo tanto, bastar´ıa con tomarδ=para mostrar que

l´ım (x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0,

(26)

A´un nos faltan un par de herramientas t´ıpicas para calcular algunos l´ımites habituales.

2.27 Proposici´on ( ´Algebra de L´ımites). Seanf, g:U ⊆Rn →R, p∈U0, c∈Ryl1, l2∈Rtales que

l´ım

x→pf(x) =l1 , xl´ım→pg(x) =l2.

Entonces

(a) l´ım

x→p(f+g)(x) =l1+l2.

(b) l´ım

x→pcf(x) =cl1.

(c) l´ım

x→pf(x)g(x) =l1l2.

(d) l´ım x→p

1 f(x)=

1

l1, sil1, f(x)6= 0,∀x∈U.

Demostración. Análogas a las propiedades de l´ımites mostradas en Cálculo I. Se dejan como ejercicio recomendado al lector pues le permitirán recordar algunos trucos.

l´ım (x,y)→(0,0)

sinxy sinxsiny.

2.3. Continuidad

2.29 Definici´on (Continuidad). Seaf :U ⊆_Rn _→

R, u∈U. Diremos que f es continua en un puntox0 ∈Rn si:

l´ım x→x0

f(x) =f(x0).

En lenguaje-δ:f escontinuaenx0si para cada >0 existe δ >0 tal que:

x∈U∧ kx−uk< δ⇒ |f(x)−f(u)|< .

(Es decir, six∈B(u, δ)∩U entonces|f(x)−f(u)|< .) Diremos quef es continua enU si es continua en cadau∈U.

2.30 Ejemplo. La funci´onf :Rn→Rdefinida porf(x) =||x||es continua enRn. Es suficiente comprobar que dado cualquierx0∈Rn,

l´ım x→x0

kxk=kx0k

Sea >0. Seg´un vimos en el Problema1.3se cumple:

| kxk − kx0k | ≤ kx−x0k

En vista de esto, basta tomar=δ. Entonces tendremos que:

kx−x0k< δ ⇒ | kxk − kx0k | ≤ kx−x0k< δ=

2.31 Ejemplo. Seafn:{x∈Rn :xi ≥0,∀i∈ {1, . . . , n}} →Rdefinida como:

fn(x1, . . . , xn) :=xm11. . . x mn

n =

n

Y

k=1 xmi_i

conmi∈R+,∀i∈ {1, . . . , n}. Demostraremos por inducci´on que esta funci´on es continua:

(27)

(b) Supongamos que es cierto paran, es decir, quefn(x1, . . . , xn) es continua.

(c) Queremos demostrar la continuidad de fn+1 o, equivalentemente, que dadoa= (a1, . . . , an+1)∈Rn+1:

l´ım x→a

n+1

Y

k=1 xmi

i = n+1

Y

k=1 ami

i

con x= (x1, . . . , xn+1). En primer lugar, el lector deber´ıa ser capaz de comprobar que sik∈ {1, . . . , n} y g:R→R, entonces:

l´ım xk→ak

g(xk) =L ⇒ l´ım

x→ag(xk) =L

En vista de lo anterior, podemos usar álgebra de l´ımites, ya que la hipótesis de inducción y el caso base aseguran lo pedido en la Proposición2.27. Tenemos de esta forma que:

l´ım x→a

n+1

Y

k=1

xmi_i = l´ım x→a

n

Y

k=1

xmi_i l´ım x→ax

mn+1

n+1

(H.I.) =

n

Y

k=1 ami

i

!

l´ım x→ax

mn+1

n+1

= n+1

Y

k=1 ami_i

Hemos demostrado as´ı quefn es continua enRn.

2.32 Proposici´on. Seanf, g:U ⊆Rn→Rcontinuas enu∈U yc∈R. Entonces:

(a) f+g es continua enu.

(b) cf es continua en u.

(c) f g es continua enu.

(d) 1

f es continua enu, sif(x)6= 0,∀x∈U.

Demostraci´on. Directo de la Proposici´on2.27.

2.33 Observaci´on. A partir de la Proposici´on2.32, concluimos que todos los polinomiosP(x, y) son continuos en todo_R2 _{por el Ejemplo}_2.15_{. Luego, todas las funciones racionales}

R(x, y) = P(x, y) Q(x, y),

son continuas dondeQ(x, y) no se anula.

2.34 Definici´on (Imagen). Seaf :Rn →R. Se define laimagen deA⊆Rn bajof como

f(A) :={y∈R:∃x∈A, f(x) =y}.

2.35 Proposici´on. Sea f :U ⊆Rn→Rcontinua enU compacto. Entonces

(a) f(U) es compacto.

(b) Existenu1, u2∈U tales quef(u1)≤f(u)≤f(u2),∀u∈U.

2.36 Observación. La proposición2.35nos será muy útil para buscar máximos y m´ınimos pues nos garantiza que si los buscamos dentro de cerrado y acotado, existen.

2.37 Proposici´on. Seanf :U ⊆_Rn _→

R, g:R→Rconf(U)⊆Dom (g). Sif yg son continuas enU yf(U), respectivamente, entoncesg◦f :U ⊆_Rn_→

Res continua enU.

2.38 Ejemplo. g(x, y) = e cosxsiny

(28)

2.4. Derivadas Parciales y Direccionales

Ya que hemos definido l´ımites y continuidad, lo l´ogico es empezar a derivar, ¿o no?

2.39 Definici´on (Derivadas Parciales y Direccionales). Seanf :U ∈Rn→Ryp∈U con p= (p1, . . . , pn).

(a) Definimos laderivada parcialdef enprespecto a laj-´esima coordenada por

∂f

∂xj(p) := l´ımh→0

f(p1, . . . , pj−1, pj+h, pj+1, . . . , pn)−f(p1, . . . , pn)

h = l´ımh→0

f(p+heˆj)−f(p)

h ,

donde êj es el j-ésimo vector canónico.

(b) Definimos laderivada direccionaldef enpen la direcci´on dev por

∂f

∂v(p) := l´ımt→0

f(p+tv)−f(p)

t .

2.40 Observaci´on. Las derivadas parciales son un caso particular de las derivadas direccionales cuandov= ˆej.

2.41 Observaci´on. Respecto a la notaci´on:

(a) Cuandof tienenvariables, se puede expresar porDkf(x) su derivada parcial respecto a lak-´esima de ellas (1≤k≤n).

(b) EnR2 usaremos la notaci´on

∂f ∂x1

= ∂f ∂x ,

∂f ∂x2

= ∂f ∂y.

Tambi´en es acostumbra a usar

∂f ∂xj

=fxj.

Geom´etricamente, podemos entender

∂f

∂x(a, b) = l´ımh→0

f(a+h, b)−f(a, b) h

como la pendiente de la recta tangente a la curva obtenida al cortar Γ(f) con el plano y = b, en el punto (a, b, f(a, b)). Es muy importante notar que al calcular una derivada parcial, las otras coordenadas son constantes.

2.42 Ejemplo. Seaf(x, y) = sin(xy)ex. Entonces,

∂f

∂x = cos(xy)ye

x_{+ sin(xy)e}x _, ∂f

∂y = cos(xy)xe x_.

2.43 Ejemplo. Seaf :Rn →Rdada porf(x) =xtAx, con

A=



   

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. ... . .. an1 an2 . . . ann



   

= (aij)n_i,j=1.

Entonces, tenemos que

f(x) =xt



   

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

..

. ... . .. an1 an2 . . . ann



   

x=xT



   

Pn

j=1a1jxj

Pn

j=1a2jxj .. .

Pn

j=1anjxj



   

= n

X

i=1 n

X

j=1

(29)

Escribamos

f(x) = n X i=1 n X j=1

xiaijxj=xk n X j=1 akjxj+ n X i=1 i6=k

n

X

j=1 xiaijxj

=x2_kakk+xk n

X

j=1 j6=k

akjxj+ n X j=1 n X i=1 i6=k

xiaijxj

=x2_kakk+xk n

X

j=1 j6=k

akjxj+xk n

X

i=1 i6=k

xiaik+ n

X

j=1 j6=k

n

X

i=1 i6=k

xiaijxj.

Finalmente,

∂f

∂xk = 2xkakk+ n

X

j=1 j6=k

akjxj+ n

X

i=1 i6=k

xiaik= n X j=1 akjxj+ n X i=1 xiaik.

Adem´as, notemos que

n

X

j=1

akjxj+ n

X

i=1

xiaik= ˆektAx+xtAeˆk,

es decir,

∂ ∂xk x

t_Ax

= ˆektAx+xtAek.ˆ (2.1)

Peroxt_A_e_ˆ

k ∈Ry por lo tanto,

xtAeˆk= xtAeˆk

t

= ˆektAtx.

Finalmente, siAes sim´etrica, sigue que

∂ ∂xk x

t_Ax

= ˆekt2Atx= ˆek· 2Atx

. (2.2)

2.44 Ejercicio. Seanu(x, y) =x2₋_y2_{, v(x, y) = 2xy. Muestre que}_u_y_v_{satisfacen las}_{ecuaciones de} Cauchy-Riemann

∂u ∂x =

∂v

∂y, (2.3)

∂u ∂y =−

∂v

∂x. (2.4)

2.45 Ejemplo. Sea

f(x, y) =







xy(x2₋_y2₎

x2₊_y2 , si (x, y)6= (0,0) 0 , si (x, y) = (0,0)

.

Si (x, y)6= (0,0), tenemos que

∂f

∂x(x, y) =

y(x2₋_y2_{) + 2x}2_y

x2₊_y2

−2x2_y(x2₋_y2₎

(x2₊_y2₎2 =

y x4₋_y4_{+ 4x}2_y2

(x2₊_y2₎2 , ∂f

∂y(x, y) =

x(x2₋_y2₎₋_2xy2

x2₊_y2

−2xy2_(x2₋_y2₎

(x2₊_y2₎2 =

x x4₋_y4₋_4x2_y2

(x2₊_y2₎2 .

En cambio, si (x, y) = (0,0), tenemos que

∂f

∂x(0,0) = l´ımh→0

f(h,0)−f(0,0) h = 0, ∂f

∂y(0,0) = l´ımk→0

(30)

2.46 Ejemplo.

Sea

f(x, y) =







x3_y

x6₊_y2 , si (x, y)6= (0,0) 0 , si (x, y) = (0,0)

.

Calculemosfv(0,0) para alg´unv∈R2. Usando la Observaci´on2.81, tenemos que

∂f

∂ˆv(0,0) = l´ımt→0

f(tv)−f(0,0) t = l´ımt→0

t4_cos3_θ_sin_θ t2_(t4_cos6_θ_{+ sin}2

θ) = 0,

para todoθ∈[0,2π[. De hecho, localmentef es similar a una “pla-nicie” en (0,0), como muestra la figura.

2.47 Ejercicio. Para el Ejemplo2.45calcule l´ım (x,y)→(0,0)

∂f

∂x(x, y) , (x,y)l´ım→(0,0) ∂f ∂y(x, y).

El lector puede darse cuenta que estamos siguiendo el mismo orden l´ogico que en C´alculo I. Por lo tanto, ahora deber´ıamos definir las derivadas de orden superior.

2.48 Definici´on. Seaf :U ⊆Rn→Rtal que existe ∂xi∂f :U →R.Entonces, parap∈U se define

∂2f

∂xj∂xi(p) := ∂ ∂xj

∂f ∂xi(p)

= l´ım h→0

∂f

∂xi(p+hej)ˆ − ∂f ∂xi(p)

h .

2.49 Observaci´on. Las derivadas de orden superior no se comportan tan bien como uno esperar´ıa. Consideremos f del Ejemplo2.45, entonces

∂2_f

∂x∂y(0,0) = l´ımh→0 ∂f

∂y(h,0)− ∂f ∂y(0,0) h = l´ımh→0

h5 h5 = 1,

∂2_f

∂y∂x(0,0) = l´ımk→0 ∂f

∂x(0, k)− ∂f ∂x(0,0)

k = l´ımk→0− k5 k5 =−1.

Lo cual nos muestra que las “derivadas cruzadas” no siempre son iguales.

2.50 Lema (Lema de Schwarz). Sea f : U ⊆ _Rn _→

R tal que ∂

2_f

∂xi∂xj, ∂2f

∂xi∂xj existen y son continuas en U. Entonces,

∂2f ∂xi∂xj(p) =

∂2f

∂xj∂xi(p), ∀p∈U.

2.51 Ejemplo. Seaf(x, y) =xye2y_{, entonces}

∂f ∂x =ye

2y_.

Luego, como

∂2f ∂y∂x =e

2y_{+ 2ye}2y

es continua en_R2_{, se tiene que}

∂2_f ∂x∂y =e

(31)

2.52 Ejemplo. Sea

f(x, y) =



 

 

(x2₊_y2_{) sin} 1

p

x2₊_y2

!

, si (x, y)6= (0,0)

0 , si (x, y) = (0,0) .

Entonces,

∂f

∂x(0,0) = l´ımh→0

f(h,0)−f(0,0) h = l´ımh→0

h2sin_|_h1_|

h = 0,

∂f

∂y(0,0) = l´ımk→0

f(0, k)−f(0,0) k = l´ımh→0

k2sin_|_k1_|

k = 0.

As´ı,

∂f

∂x(x, y) =



 

 

2xsin _p 1 x2₊_y2

!

−_p x

x2₊_y2cos

1

p

x2₊_y2

!

, si (x, y)6= (0,0)

0 , si (x, y) = (0,0)

,

∂f

∂y(0,0) =



 

 

2ysin _p 1 x2₊_y2

!

−_p y

x2₊_y2cos 1

p

x2₊_y2

!

, si (x, y)6= (0,0)

0 , si (x, y) = (0,0)

.

Por lo tanto,

∂2_f

∂y∂x(0,0) = l´ımk→0 ∂f

∂x(0, k)− ∂f ∂x(0,0) k = 0,

∂2_f

∂x∂y(0,0) = l´ımh→0 ∂f

∂y(h,0)− ∂f ∂y(0,0)

h = 0.

Luego, como se cumplen las hip´otesis del Lema2.50enU_r{0}, ∂2f

∂y∂x(x, y) = ∂2f

∂x∂y(x, y) =







− xy

(x2_+y2₎32

cos

1

√

x2_+y2

− xy

(x2_+y2₎2sin

1

√

x2_+y2

, si (x, y)6= (0,0)

0 , si (x, y) = (0,0)

.

Sin embargo, si analizamos la continuidad de estas funciones en (0,0), tenemos que

l´ım (x,y)→(0,0)

∂2_f

∂y∂x(x, y) = l´ımr→0−

r2_cos_θ_sin_θ r3 cos

₁

r

−r

2_cos_θ_sin_θ r4 sin

₁

r

,

es decir, no existe y por ende, no son continuas en (0,0). Luego, no podemos concluir que si las derivadas parciales cruzadas son iguales, entonces son continuas. Es decir, el Lema de Schwarz no es un si y s´olo si.

2.53 Corolario. Seaf :U ⊆_Rn_→

Rtal que todas sus derivadas parciales hasta elp-´esimo grado son continuas. Entonces,

∂p_f ∂xn i∂x m j = ∂ p_f ∂xm j ∂x n i

, m+n=p.

2.54 Definici´on (Laplaciano). Seaf :U ⊆Rn →Runa funci´on dos veces derivable en cada variable. Se define ellaplacianodef como

4f(x) := n

X

i=1 ∂2_f ∂x2 i

(x).

2.55 Ejemplo. Seaf(x, y) =x2₊_y2_{, entonces}

4f =∂ 2_f ∂x2 +

∂2_f

(32)

2.56 Ejercicio. Muestre que Φ(x) = C

kxkn−2 definida sobreR

n _para_n_≥_{3, satisface la}_ecuaci´_{on de Laplace:}

4f = 0, (2.5)

para cualquier constanteC∈R. Φ se conoce como lasolución fundamentalde ésta ecuación.

2.57 Ejercicio. Muestre que

Φ(x, t) = √1

4πte

−x2

4t

definida sobreR×R+, satisface laecuaci´on del calor:

∂f ∂t =

∂2f

∂x2. (2.6)

Φ se conoce como lasolución fundamental de ésta ecuación.

2.58 Observaci´on. En general la ecuaci´on del calor se presenta paraRn×R+ mediante

∂f ∂t =

n

X

i=1 ∂2_f ∂x2 i

, (2.7)

donde el t´ermino de la derecha se conoce como ellaplaciano espacialdef y se denota por 4xf.

2.5. Diferenciabilidad

Recordemos que una de las principales propiedades que nos entregaba la derivada de una función, era poder construir una aproximación lineal para la función en torno a un punto. En efecto, para una funciónf :_R→_R

difereciable, el teorema de Taylor nos dec´ıa que en torno ax0

f(x) =f(x0) +f0(x0)(x−x0) +o((x−x0)2).

Por lo tanto,

f(x)−f(x0)−f0(x0)(x−x0) x−x0

→0, cuando x→x0.

Queremos emular la misma situaci´on, pero en m´as variables.

2.59 Definici´on (Diferenciabilidad). Sea f : U ⊆ Rn → Ry p∈ U. Diremos quef esdiferenciable en psi existeDf(p)∈Rn tal que

l´ım h→0

|f(p+h)−f(p)−Df(p)·h|

khk = 0.

2.60 Observaci´on. Sea f :U ⊆Rn→Rdiferenciable yp∈U. Escribamos

Df(p) = (l1, . . . , ln) , h= (h1, . . . , hn).

As´ı, tenemos que

f(p+h)−f(p)−Df(p)·h=f(p+h)−f(p)−(l1h1+. . .+lnhn).

Tomandoh=te1, se tiene queˆ

Df(p)·h=l1t,

es decir,

f(p+h)−f(p)−Df(p)·h=f(p+te1)ˆ −f(p)−l1h1.

Luego, comof es diferenciable, se cumple que

l´ım t→0

|f(p+teˆ1)−f(p)−tl1|

(33)

es decir,

l´ım t→0

f(p+te1)ˆ −f(p) t =l1. Por lo tanto, recordando la definici´on de derivada parcial, tenemos que

l1= ∂f ∂x1

(p).

Finalmente, tomandoh=teˆj paraj= 1, . . . , n, concluimos que

Df(p) =

∂f

∂x1(p), . . . , ∂f ∂xn(p)

y por unicidad del l´ımite, se tiene que es el ´unico que satisface la condici´on de diferenciabilidad.

2.61 Observación. La Observación2.60nos permite concluir que la existencia de las derivadas parciales es una condición necesaria para la diferenciabilidad.

2.62 Ejemplo. Seaf(x, y) = 1−p

x2₊_y2_{, entonces}

∂f

∂x(0,0) = l´ımh→0

f(h,0)−f(0,0) h = l´ımh→0

1− |h| −1 h = l´ımh→0

|h|

h .

Por lo tanto, no existefx(0,0) y sigue quef no es diferenciable (0,0).

2.63 Ejemplo. Seaf(x, y) =p|xy|, entonces

∂f

∂x(0,0) = l´ımh→0

f(h,0)−f(0,0) h = 0, ∂f

∂y(0,0) = l´ımk→0

f(0, k)−f(0,0) k = 0.

Pero

l´ım (h,k)→(0,0)

|f(h, k)−f(0,0)−Df(0,0)·(h, k)| √

h2₊_k2 =_(h,k)l´ım_→_(0,0)

p

|hk| √

h2₊_k2 = l´ımr→0

p

r2_|_cos_θ_sin_θ_|

r =

p

|cosθsinθ|,

y por ende, no existe tal l´ımite. Luego,f no es diferenciable en (0,0).

2.64 Ejemplo. Consideremos la funci´onf del Ejemplo2.52. Aprovechando que ya hemos calculado sus derivadas parciales, estudiemos su diferenciabilidad en (0,0). Tenemos que

l´ım (h,k)→(0,0)

kf(h, k)−f(0,0)−Df(0,0)·(h, k)k

kh, kk =(h,k)l´ım→(0,0)

h

2₊_k2

sin√ 1

h2_+k2

−(0,0)·(h, k)

√

h2₊_k2 = 0.

2.65 Proposici´on. Sea f :U ⊆Rn→Ryp∈U tal que f es diferenciable en p. Entonces,f es continua enp.

Demostraci´on. Dado quef es diferenciable enp, se tiene que

l´ım h→0

kf(p+h)−f(p)−Df(p)·hk

khk = 0,

lo cual implica que

l´ım

h→0kf(p+h)−f(p)−Df(p)·hk= 0. Luego, como

l´ım

h→0Df(p)·h= 0, se tiene que

l´ım

(34)

2.66 Observaci´on. Consideremos la funci´onf del Ejemplo2.46. Tenemos quefposee sus dos derivadas parciales en (0,0) pero no es continua en (0,0), pues si tomamosϕ(t) = (t,0), se tiene que

l´ım

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0,

en cambio, si tomamosψ(t) = (t, t3_{), se tiene que}

l´ım (x,y)→(0,0)

f(x, y) = l´ım t→0

t3_t3 t6₊_t6 =

1 2.

Por lo tanto, la existencia de las derivadas parciales no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad.

2.67 Teorema. Sea f : U ⊆_Rn _→

Ry p∈U. Si todas las derivadas parciales de primer orden existen y son continuas enp, entoncesf es diferenciable enp.

2.68 Ejemplo. Seaf(x, y) =ex2_+y2

, entonces

∂f ∂x = 2xe

x2+y2 _, ∂f ∂y = 2ye

x2+y2_,

son todas continuas y por lo tanto,f es diferenciable en todoR2.

2.69 Definici´on. Se define la clase de funcionesCp _{como el conjunto de todas las funciones tales que todas sus} derivadas parciales de ordenpson continuas.

2.70 Observaci´on. Si f ∈ C1_{, entonces}_f _{es diferenciable. Si adem´}_as,_f _{∈ C}2_{, entonces las derivadas cruzadas} def son iguales por el Lema2.50.

2.71 Proposici´on. Seanf, g : U ⊆ Rn → R y p ∈ U tales que f y g son diferenciables en p. Consideremos α, β∈R, entonces

(a) αf+βg es diferenciable enpy

D(αf+βg) (p) =αDf(p) +βDg(p).

(b) f g es diferenciable enpy

D(f g) (p) =Df(p)g(p) +f(p)Dg(p).

(c) sig6= 0 en una vecindad dep, entonces f_g es diferenciable enpy

D

_f

g

(p) =Df(p)g(p)−f(p)Dg(p) g2_(p) .

2.6. Plano Tangente

Seanf :R2→R, p= (a, b) yq= (a, b, f(a, b)). Queremos aprovecharnos de la definici´on de diferenciabilidad para buscar una aproximaci´on local a la superficie Γ(f) en una vecindad deq.

Seaτ1el vector tangente a la curvaα(t) = (t, b, f(t, b)), es decir,

τ1=

1,0,∂f ∂x(a, b)

.

An´alogamente, definimosτ2, el vector tangente a la curvaα(t) = (a, t, f(a, t)), el cual queda dado por

τ2=

0,1,∂f ∂y(a, b)

(35)

Consideremos Πq, el plano tangente a Γ(f) enq. Tenemos que τ1, τ2 ∈ Πq y al ser dos vectores linealmente independientes, constituyen una base de ´este. Luego, unvector normalal plano est´a dado por

n=τ1×τ2=

ˆı ˆ ˆk 1 0 ∂f_∂x(a, b) 0 1 ∂f_∂y(a, b)

=

−∂f

∂x(a, b),− ∂f ∂y(a, b),1

. (2.8)

As´ı, la ecuaci´on del plano est´a dada por

Πq : (r−q)·n= 0, (2.9)

o bien,

(x−a)∂f

∂x(a, b) + (y−b) ∂f

∂y(a, b) =z−f(a, b). (2.10)

Supongamos adem´as que f es diferenciable enp. Entonces

l´ım (h,k)→(0,0)

|f(a+k, b+k)−f(a, b)−Df(p)·(h, k)|

k(h, k)k = 0,

lo cual implica que

l´ım

(h,k)→(0,0)f(a+k, b+k)−f(a, b)−h ∂f

∂x(a, b)−k ∂f

∂y(a, b) = 0. (2.11)

Finalmente, reemplazandoh=x−a, k=y−by (2.10) en (2.11), tenemos que l´ım

(x,y)→(a,b)

f(x, y)−

c+ (x−a)∂f

∂x(a, b) + (y−b) ∂f ∂y(a, b)

= 0,

es decir, sif es diferenciable, Πq se parece localmente a Γ(f) enq.

2.72 Ejemplo. Seaf(x, y) =p1−x2₋_y2_{, entonces para (a, b)}_∈_B_(0,_{1) tenemos que}

∂f

∂x(a, b) =− a

√

1−a2₋_b2 , ∂f

∂y(a, b) =− b

√

1−a2₋_b2.

Luego, el plano tangente enq= (a, b, f(a, b)) est´a dado por

−(x−a)√ a

1−a2₋_b2 −(y−b) b

√

1−a2₋_b2 =z−

p

1−a2₋_b2_,

es decir,

ax+by+zp1−a2₋_b2_{= 1.}

Notemos que otro vector que tambi´en tiene direcci´on normal es

a, b,p1−a2₋_b2_.

2.7. Gradiente

2.73 Definici´on (Gradiente). Seaf :U ⊆Rn →Ry p∈U tal quef es diferenciable enp. Se define el vector gradientedef enpcomo

~

∇f(p) :=

_∂f

∂x1

(p), . . . , ∂f ∂xn

(p)

.

(36)

2.75 Observaci´on. En general, se habla del operador ~ ∇:= ∂ ∂x, ∂ ∂y, ∂ ∂z .

Esto es muy c´omodo, porque permite trabajar m´as intuitivamente con otros operadores. Por ejemplo, en coorde-nadas cartesianas,4=∇ ·~ ∇~ =∇~2_.

2.76 Ejemplo. Seaf(x, y, z) = x2₊_y2₊_z212_{, entonces}

~

∇f(x, y, z) = _p x x2₊_y2₊_z2,

y

p

x2₊_y2₊_z2,

z

p

x2₊_y2₊_z2

!

= 1

f(x, y, z)(x, y, z).

2.77 Ejemplo. Seaf(x, y, z) =xsiny+ye2xz_{, entonces}

~

∇f(x, y, z) = siny+ 2yze2xz, xcosy+e2xz,2xye2xz

.

2.78 Ejemplo. En el Ejemplo2.43, se tiene que siA es sim´etrica, entonces ~

∇f(x) = 2Ax.

2.79 Proposici´on. Seaf :U ⊆Rn →Ryp∈U tal quef es diferenciable enp. Consideremosv∈Rn unitario, entonces

(a) ∂f ∂v(p) =

~

∇f(p)·v.

(b) ∂f ∂v(p)≤

~

∇f(p) .

(c) ~

∇f(p)

~

∇f(p)

es el vector que maximiza la expresi´on ∂f ∂v(p).

Demostraci´on.

(a) Comof es diferenciable enp, entonces

l´ım h→0

f(p+h)−f(p)−

~

∇f(p)·h

khk = 0.

Seah=tvcon t∈R, entonceskhk=ktvk=tkvk=ty,

l´ım t→0

f(p+tv)−f(p)

t −

~

∇f(p)·v

= 0, es decir, ∂f

∂v(p) = l´ımt→0

f(p+tv)−f(p)

t =

~

∇f(p)·v.

(b) Usando la Desigualdad de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky (Lema1.12), tenemos que ∂f

∂v(p) = ~

∇f(p)·v≤

~

∇f(p)

kvk=

~

∇f(p)

. (c) Tomando v= ~

∇f(p)

~

∇f(p)

,

tenemos que

∂f ∂v(p) =

~

∇f(p)·∇~f(p)

~

∇f(p) = ~

∇f(p) 2 ~

∇f(p) = ~

∇f(p)

(37)

2.80 Observación. La Proposición2.7 nos muestra que la dirección de máximo cambio de f viene dada por ~

∇f. Además, queremos recalcar que la hipótesis dekvk= 1 es muy importante pues NO distorsiona el valor de la derivada direccional. Finalmente, el lector debe tener presente que sólo podrá calcular las derivadas direccionales a partir del gradiente cuandof sea diferenciable. En caso contrario, deberá calcularlas por definición.

2.81 Observaci´on. Si v∈_R2_{tal que} _k_v_k_{= 1, entonces}_v_{= (cos}_θ,_sin_{θ) para alg´}_un_θ_∈_[0,_2π[.

2.82 Observaci´on. Sea f :U ⊆Rn→Rmdiferenciable yv∈Rn unitario. Si parap∈U se tiene que

∂f

∂v(p) = 0,

entonces∇~f(p)⊥v.

2.83 Proposici´on (Regla de la Cadena). Sea f : U ⊆ Rn → R diferenciable y γ : I ⊆ R → Rn una curva diferenciable contenida enU. Entonces, la funci´ong(t) =f◦γ(t) es derivable y se tiene que

g0(t) =∇~f(γ(t))·γ0(t).

Demostraci´on. Lo haremos s´olo para el caso n= 2. Seat∈I yγ(t) = (x1(t), x2(t)). Tenemos que

g0(t) = l´ım h→0

g(t+h)−g(t) h = l´ımh→0

f(x1(t+h), x2(t+h))−f(x1(t), x2(t)) h

= l´ım h→0

f(x1(t+h), x2(t+h))−f(x1(t), x2(t+h)) h

| {z }

l1

+f(x1(t), x2(t+h))−f(x1(t), x2(t)) h

| {z }

l2

.

Pero, comof es diferenciable,

l1= l´ım h→0

f(x1(t+h), x2(t+h))−f(x1(t), x2(t+h)) x1(t+h)−x1(t)

x1(t+h)−x1(t)

h =

∂f

∂x(x1(t), x2(t))x

0

1(t).

y an´alogo paral2. As´ı,

g0(t) = ∂f

∂x(x1(t), x2(t))x

0

1(t) + ∂f

∂y(x1(t), x2(t))x

0

2(t) =∇~f(γ(t))·γ

0_(t).

2.84 Observaci´on. Si g, γ son funciones de m´as variables, podemos utilizar la Regla de la Cadena para sus derivadas parciales recordando que calcularlas es derivar suponiendo que las otras variables son constantes. Es decir, si tenemosh(t, s) =f ◦γ(t, s), conγ(t, s) = (x1(t, s), . . . , xn(t, s)), podemos derivar respecto at tomando sconstante y sigue que

∂h ∂t =

n

X

j=1 ∂f ∂xj

∂xj ∂t .

2.85 Ejemplo. Consideremosg(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ), entonces

∂g ∂r =

∂f ∂x

∂x ∂r +

∂f ∂y

∂y

∂r = cosθ ∂f ∂x + sinθ

∂f ∂y, ∂g

∂θ = ∂f ∂x

∂x ∂θ +

∂f ∂y

∂y

∂θ =−rsinθ ∂f

∂x+rcosθ ∂f ∂y.

Luego, resolviendo el sistema

cosθ sinθ

−rsinθ rcosθ

"∂f

∂x ∂f ∂y

#

=

∂g ∂r ∂g ∂θ