PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

(1)

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN

PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO

PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN

MEDIA

DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE

(2)

Actividades de Refuerzo para Matemática Página 2 PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA

Presentación

El proyecto de refuerzo académico como acción estratégica del Programa Social Educativo 2009-2014 “Vamos a la Escuela”, se prevé como una de las estrategias para evitar la repetición y la deserción.

En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de éste se promoverá el apoyo a los estudiantes de segundo año de bachillerato que presenten dificultades para desarrollar las competencias, conocimientos y habilidades, que se espera tengan los jóvenes y señoritas que egresan de bachillerato.

Para poder hacer efectivo el refuerzo académico se hace necesario contar con información que permita tener un diagnóstico de las fortalezas y las limitaciones de los estudiantes que integran cada sección de segundo año de bachillerato; por ello, el proyecto inicia con una evaluación diagnóstica, cuyo fin no es asignar una nota a los estudiantes, tal como se describe a continuación.

1. Finalidad de la evaluación diagnóstica

La administración de las pruebas de diagnóstico tiene como finalidad poner a disposición de los docentes de educación media un instrumento de evaluación, que les permita identificar en los resultados los puntos fuertes y /o débiles de los estudiantes, con el propósito de realizar acciones pedagógicas que respondan a las necesidades individuales y de grupo, las cuales deberán estar encaminadas a la mejora y aprovechamiento de los aprendizajes.

Ésta es una evaluación analítica y orientadora que pretende apoyar a los estudiantes que presentan más dificultades en el aprendizaje; por lo tanto, no se debe tomar como una evaluación para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura.

2. Documentos que se proporcionan a los docentes

 Pruebas por asignatura.

Se han elaborado pruebas de diagnóstico de las 4 asignaturas básicas: Matemática, Lenguaje y Literatura, Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Cada una de ellas se presenta en cuadernillo separado; los ítems son de opción múltiple con 4 opciones de respuesta de las cuales sólo una es la correcta.

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Dirección Nacional de Educación

Actividades de Refuerzo para Matemática Página 3

 Actividades de Refuerzo Académico

Es un documento por asignatura dirigido a los docentes, en el que se sugieren actividades de refuerzo orientadas a reducir las dificultades mostradas por los estudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los ítems.

En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada ítem de la prueba, así como el indicador de logro del programa de estudio .Para cada ítem se dan a conocer las causas posibles por las que los estudiantes lo respondieron incorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con los que se puede desarrollar, la descripción de la misma y en algunos casos se brinda información para enriquecer el desarrollo del contenido.

Las actividades de refuerzo por asignatura deberán trabajarse, prioritariamente, con el grupo de estudiantes que obtuvieron menos aciertos en la prueba; aun cuando las actividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo.

 Plantilla para registrar las respuestas correctas

Después de aplicada cada prueba, el docente responsable de la asignatura y de la sección, deberá revisar las respuestas dadas por los estudiantes a cada ítem; para el registro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura, en la que se identifica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrar sólo las respuestas correctas; de esta manera tendrá un diagnóstico del desempeño de cada estudiante y del grupo. En la sección podrá identificar cuáles ítems fueron respondidos correctamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes.

3. Desarrollo de la Evaluación

 Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezas de los estudiantes, se sugiere desarrollar una asignatura cada día, y que ésta se realice simultáneamente en todas las secciones de segundo año de bachillerato de la institución; el tiempo máximo estimado para cada prueba es de 90 minutos.

 La evaluación deberá realizarse en la segunda semana del mes de febrero.

 Se deben administrar las pruebas dando indicaciones claras y de forma imparcial en un ambiente que genere confianza; es decir, evitar acciones que causen tensión en los estudiantes, ya que ello podría influenciar negativamente sobre el trabajo de éstos en la prueba.

 Los estudiantes deberán marcar sus respuestas en cada cuadernillo; para lo cual se debe encerrar en un círculo la letra de la opción que contiene la respuesta correcta.

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Actividades de Refuerzo para Matemática Página 4  Las indicaciones para la aplicación de la prueba deben ser respetadas, Si un

estudiante pide información adicional, no se le deben dar elementos de respuesta, ni información susceptible de orientar su respuesta. Si la indicación no es comprendida, será suficiente solicitar que relea la indicación o la pregunta.

 La prueba debe ser realizada individualmente, para que el propósito de diagnóstico de ésta, realmente sea alcanzado.

4. Proceso de registro de las respuestas dadas por los estudiantes en cada prueba

 Después de la aplicación de las pruebas, los docentes proceden al registro de las respuestas correctas de los estudiantes. Esta fase es parte integral de la evaluación porque permite el análisis de las respuestas y conduce a la reflexión y valoración de decisiones pedagógicas que respondan a cada contexto.

 El docente responsable de la asignatura deberá realizar el registro de las respuestas correctas, para ello utilizará la plantilla propuesta en la que se indica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta de cada ítem de la asignatura.

 Cuando existan errores o ausencias de respuesta muy frecuentes en una misma sección, es importante verificar si los elementos referidos fueron estudiados y como se procedió. El docente podrá así establecer un diagnóstico y juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunos estudiantes.

 Revisar en los resultados de cada estudiante, cuáles ítems no respondió correctamente para determinar cuáles contenidos son los que requieren de refuerzo académico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultades en común para poder atenderlos con las actividades sugeridas. Asimismo, es importante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propósito de poder tomarlos como apoyo en procesos de tutoría con otros estudiantes que tengan dificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puesto que lo que se debe destacar no es cuántos respondió, si no cuáles no fueron respondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzo académico.

 Estos resultados conciernen a grupos de alumnos y pueden constituir referencias, pero la dimensión diagnóstica de las evaluaciones toma toda su pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad

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PLANTILLA PARA EL REGISTRO DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D B B B A B D B A B D C C D C C A A A B C A C D D C C A A D C B C C C D C D B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₂₆ ₂₇ ₂₈ ₂₉ ₃₀ ₃₁ ₃₂ ₃₃ ₃₄ ₃₅

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Actividades de refuerzo académico sugeridas para que los

estudiantes superen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los

ítems de la prueba.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 Y 2

Bloque de contenido: Números y

operaciones

Contenido: Números enteros

Indicadores de logro:

1.6 (7º grado) Resuelve ordenadamente ejercicios de suma y/o resta de números enteros (aplicando la ley de los signos)

1.7 (8º grado) Resuelve problemas con seguridad, utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1) Desconoce las leyes de los signos

2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupación. 3) Aplica la ley de los signos para la multiplicación cuando suma.

4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamente los signos de agrupación.

5) Interpreta incorrectamente el problema. 6) Se enfoca solo en una parte del problema.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad

1. Iniciar la actividad reflexionando sobre la importante de aplicar correctamente las operaciones matemáticas en situaciones de la vida diaria, como las medidas de la temperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc.

2. Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem, como los siguientes:

Ley de los signos para la suma y la resta:

Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación y división, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera.

Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos:

Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultado se le escribe el signo común.

Ejemplos:

5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe) - 8 – 35 = - 43

Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será la cantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad. Ejemplo:

(7)

Ley de los signos para la multiplicación y división

Hacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la ley de los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que al multiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valor positivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una cantidad con signo negativo.

Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos.

Jerarquía de las operaciones

Cuando se presentan operaciones combinadas, primero se efectúan potencias, luego productos y/o divisiones, por último sumas y restas.

1. Completar la siguiente tabla:

2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes:

a) 4 – 2- ( 8 – 12 )

b) ( -36) + ( +15) – ( -13 ) + ( +25 )

c) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 ) 

d) (-5 + 4 – 10 + 25) – (4 – 15) + (8 – 15 -19)

e) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8  + (15 – 20)- (13 – 40)

f) -20 – [ (13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3)

g) 19 – 3 - [6 – (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3) 

h) 15 - [- (3 + 4 – 7) + (2 – 20 + 18)] + (3 – 5 – 10 – 7)

3. Resolver los siguientes problemas:

a. Si la construcción de una pirámide duró 200 años y fue iniciada en el año 152 a.C. ¿en qué año finalizó su construcción?

b. A las 10 de la mañana el termómetro marcó 13 o C, a las 2 de la tarde la temperatura aumentó 10 o C y luego disminuyó continuamente hasta alcanzar una disminución total de 15 o C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en grados centígrados a las 8 de la noche.

c. Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas y se escoge como unidad de tiempo la hora, ¿cuál es la fecha y la hora que corresponden a los siguientes números enteros?

1) 25 2) -73 3) 105

a +5 -7 +31 -52 -17 +19 -41 +13 -5 -8 b -13 -12 -11 0 -10 -9 +20 +21 0 -23 a + b

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d. Completar con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de sus filas, columnas y diagonales es -10.

Actividad 2: Reduzco expresiones aritméticas con números reales

Descripción:

Reforzar las operaciones básicas con fracciones, luego proporcionar una serie de ejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador.

a) Cuando multiplicamos fracciones se debe multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. Hacer énfasis en que un número entero puede expresarse como una fracción, agregándole uno en el denominador.

Ejemplos: 21 8 ) 7 )( 3 ( ) 4 )( 2 ( 4 7 3 2

₎₍

₎

(



 

7 2 7 30 7 6 1 5 7

6

₍

₎₍

₎

₄

5 



b) Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas se operan los numeradores y al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador.

Ejemplo:

Realizar la siguiente operación:

3 1 3 10 3 5 4 1 3 5 3 4 3

1





 



₃

c) Cuando sumamos o restamos fracciones heterogéneas (de distinto denominado) se busca que el denominador sea el mismo para operarlas como fracciones homogéneas. Ejemplo: 4 7 5 3 2

1





El denominador común debe ser 20 (mcm)

 

   

20 13 20 33 20 35 12 10 20 20 20 20

1

4 7 5 3 2 1



   

Multiplicamos cada fracción por el mcm

5 -9 2

0

-3

-2 -4

-7 -10

3 5 3 4 3

(9)

Ejercicios:

a) Identificar si cada fracción es homogénea o heterogénea y encontrar el resultado.

5. ₄

5 4 1 4

1



6. 8

5 7 4 3

1



7. ₃

5 3 4 3

1





b) Operar considerando la prioridad de las operaciones y las leyes de los signos.

1. ₄3



₂5

 

2

2.

5 

1₃



3

₅2

3.

  

4

1 5 7 7 4 3

2





4. ₃2



  

₄7 ₇5



₄1

c) Resolver los siguientes problemas:

a) José tiene $6 más que Juan, si Juan tiene $28 ¿Cuánto dinero tienen entre los dos? b) Carmen tiene de lo que tiene Oscar. Si Oscar tiene $70. Entonces, ¿cuánto tiene

Carmen?

c) Por el costo total de las llamadas que realizo en cada mes, la empresa de telefonía me hace un descuento de la cuarta parte de lo que consumo. Si en un mes gasté $18 ¿Cuánto pagué en total?

Fuente de información: Dimensión. Matemática 7.

Nelson Londoño, Hugo Guarín, Hernando Bedoya. Grupo Editorial Norma Educativa.

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 3

Bloque de

contenido: Números y operaciones

Contenido: Regla de tres simple

Indicador de logro:

5.12 (7º grado) Resuelve y explica con interés ejercicios y problemas usando la regla de tres directa o inversa.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Muestra dificultad para entender el problema (lectura comprensiva).

2. No asocia el problema con proporcionalidad ni con la regla de tres directa.

5. 4

1 5 7

5 



6.

3 

1₄

7.

  

₃2 ₇4



₅7



1₄

8.

 

4

1 7

4

₁

3 



4. ₄

7 7 3 2

1





5. ₄

7 5 3 2

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3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres. 4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo

2. Solicitar que elaboren la gráfica del volumen en función del tiempo, con los valores presentados en la tabla que aparece en la guía.

3. Escribir las características de las gráficas de magnitudes que son directamente proporcionales.

Reflexionar ante la situación: Un recipiente se está llenando con un líquido, de tal manera que cada segundo aumenta 3 litros.

En la situación se pueden distinguir dos magnitudes (volumen y tiempo) y se quiere conocer la relación entre ellas.

Observa la tabla:

¿Cómo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relación? Completa la razón del volumen y el tiempo ( V/T)

Cuáles son los volúmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente. En general

Si la magnitud A toma valore x1, x2, x3, …y la magnitud B toma valores y1, y2,y3,…

decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que:

= = = … = constante, es decir = y = k. x

Magnitudes inversamente proporcionales

Completa la tabla de la velocidad que necesita un vehículo para que en determinado tiempo recorra cierta distancia.

Magnitudes

Puedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicando k = v t Tiempo (T)

en segundos 1 2 3 4 … 10 15

Volumen(V)

en litros 3 6 9 12 … ? ?

( V/T) 3/1 6/2 …

K 3 3 … ? ?

Velocidad (V)

en km/h 100 50 25 10

Tiempo (t)

en horas (h) 1 2 4 10

Distancia (d)

d = v t 100 ? ? ?

3 2

2 2

1 1

x y x y x

y _

K

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Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa. a) El precio de un artículo y el número de artículo

b) El tiempo empleado y la distancia recorrida c) El volumen y la presión de un gas

d) La base y la altura de un rectángulo (si el área es la misma)

Actividad 2: Cálculo en la solución de problema

Observa los siguientes ejemplos y escribe el resultado del cálculo.

Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa

La rueda de un automóvil recorre 15 m cada 10 vueltas, ¿cuántas vueltas dará al recorrer 75 m?

Solución

Se puede observar que si la distancia aumenta el número de vuelta aumenta en la misma proporción, entonces la las magnitudes son directamente proporcionales

Entonces x =

15 ) 10 )( 75 ( =

R/ La rueda dará ____vueltas

En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en 15 horas. ¿Cuánto tiempo demoran 5 obreros en efectuar ese trabajo, en las mismas condiciones? Solución

Si al disminuir el número de obreros, el tiempo aumenta en la misma proporción las magnitudes son inversamente proporcionales

Entonces x = =

R/ los 5 obreros realizan la obra en ____ días

Nota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida.

Resuelve los problemas siguientes:

a) Ana vio un rayo que quema un árbol a una distancia de 2,380 m y escucho el trueno pasado 7 segundos. ¿Cuántos metros recorre el sonido en 1 segundo? b) Para un viaje en alta mar un barco con una tripulación de 8 personas dispone de

alimentos para 15 días. ¿Para cuántos días alcanzará la ración de alimentos si en el barco viajarán 10 personas?

c) Si un grifo vierte 1.2 litros de agua por segundo y tarda 18 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo? d) Un estanque de 2.5 m de profundidad contiene 85,000 litros de agua cuando

está lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?

Fuente de información

a. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres

b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/´Proporcionalidad

c. http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530

d. Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición. Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

Magnitudes

Distancia N de vueltas

15 10

75 x

Magnitudes

N de obreros Tiempo

12 15

5 x

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Bloque de contenido: Geometría

Contenido: Conversión de ángulos de grados a radianes

4.6 (1er. año de bachillerato) Muestra confianza al convertir ángulos expresados en grados a radianes y viceversa,

utilizando los factores de conversión.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:

1. Le falta dominio de la regla de tres simple y su respectiva interiorización, la cual debe ser una pauta para aplicar los factores de conversión de forma significativa y no mecánica.

2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Recursos: Representaciones gráficas para visualizar las agujas del reloj.

A partir del siguiente problema se debe orientar a los estudiantes a que enumeren lo que necesitan y con lo que cuentan para resolver este tipo de problemas (asociación entre los 360o de una vuelta entera y las particiones que corresponde a cada hora, equivalencias entre grados y radianes, métodos de conversión de una a otra unidad, etc.), esto les permitirá integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar los recursos que ya poseen.

El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ángulo con las dos manecillas. ¿De cuántos grados es el ángulo que forman? Representa ese mismo ángulo en radianes.

Para resolver:

a) Recuerda la equivalencia de 1 radián en grados, de la relación 360º entre 2

b) Realizar una tabla de los valores de y su equivalencia en grados; para hacer una comparación del sistema sexagesimal y el sistema circular.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:



(13)

Actividad 2: Realicemos conversiones

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

a) Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

₁₈₀ ₃₈

x





Despejamos x, también simplificamos.

90

19 180

38









x

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 0.6632 radianes

b) Convertir 2.4 radianes a grados. Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

_x

24

180





Despejamos x.

 

24

180



x

Por último obtenemos el equivalente decimal con calculadora:

x = 137.5099 o

Convertir de Grados a Radianes Convertir de Radianes a Grados

Fuente de información Mc graw Hill, México 1996 www. didactika.com

www.descartes.com

Radianes Grados

0.79483 Rad

3.54209 Rad

1.1680 Rad

4.5836 Rad

2.22106 Rad

0.8670 Rad

1.8536 Rad

3.1558 Rad

6.5438 Rad Grados Radianes

38 o

147 o 15’

250 o 30’ 45”

72 o

201 o 50’

322 o 14’ 10”

30 o

150 o 40’

(14)

Contenido: Sector circular

5.10 (8’ grado): Determina, explica y usa con seguridad la fórmula para el cálculo del área de un sector circular.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Desconoce la fórmula del área del círculo

2. Desconoce la fórmula para encontrar el sector circular 3. Dificultad al aplicar la fórmula del sector circular

4. No hay conocimiento de los elementos necesarios para encontrar el área de un sector circular.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos

Recursos: Compás, regla, colores, tijeras, pegamento y círculos en papel bond.

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad ¿Cómo encontrar el área de un círculo deduciendo la fórmula?

1. Presentar círculos en papel bond divididos inicialmente en cuatro partes iguales, trazando diámetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortar cada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso con los otros círculos dividiéndolos en ocho, dieciséis y treinta y dos partes.

2. Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como:

¿A qué figura geométrica se parece?

¿Qué relación puedes hacer de las dimensiones del rectángulo con las del círculo?

3. Recordar como se deduce la fórmula para encontrar el área de un círculo Construye un círculo de papel y piensa en la forma para encontrar el área.

(15)

Cuanto más se sectoriza el círculo, ¿a qué figura se parece? La figura compuesta por los sectores se aproxima a un rectángulo.

Relaciona con una línea las expresiones de la izquierda con las de la derecha y deduce la fórmula del área del círculo.

Largo del rectángulo Radio x radio x

Ancho del rectángulo Radio x 3.1416

Mitad de la circunferencia Diámetro x 3.1416 ÷ 2

Diámetro x 3.1416 ÷ 2 Radio de la circunferencia

Área de la circunferencia Mitad de la circunferencia

El ancho del rectángulo coincide con el radio del círculo. El largo del rectángulo coincide con la mitad de la longitud de la circunferencia

A = r2

Para encontrar el área de un sector circular, tienes que conocer la longitud del radio y el ángulo central en grados.

Con estos datos utiliza la fórmula:

Donde es el ángulo interno del sector, medido en grados.



(16)

Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la fórmula

Aplica la fórmula para encontrar el área de círculos y sectores circulares.

1- Encuentra el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las siguientes medidas:

a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.1

2- Observa las figuras y calcula el área de las partes sombreadas

3- Encuentra el área de los siguientes sectores.

4- Encuentra el área de un semicírculo cuyo radio mide 4cm.

5- Encuentra el área de un sector circular con ángulo central de 60º y radio de 5cm

Fuente de información:

Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición. Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 6, 7 y 8 Bloque de

contenido:

Geometría

Contenido conceptual: Triángulos. Clasificación y teoremas

Indicadores de logros:

3.1 (8º grado) Construye con precisión y aseo triángulos; los clasifica, describe y explica según sus lados y ángulos. 3.3 (8º grado) Resuelve con precisión

problemas aplicando el teorema; “la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360 o”

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem: 1. Desconoce la clasificación de los triángulos en relación a sus ángulos. 2. No examina cuidadosamente todos los ángulos.

3. Desconoce las características claves para identificar cuando un triángulo es acutángulo o rectángulo.

(17)

4. No encuentra coherencia entre la representación del triángulo y los datos que éste contiene.

5. No tiene dominio de las características de un triángulo isósceles. 6. Desconoce los teoremas de los triángulos.

7. Confunde los distintos teoremas.

8. Tiene dificultad para plantear y resolver una ecuación lineal.

9. Muestra dificultad en la comprensión del problema (lectura comprensiva).

Actividad 1: Clasificando triángulos

Presentar el siguiente esquema, y que se discuta la información que contiene.

En la clasificación “por sus ángulos”, que compartan las razones por las que consideran que el triángulo acutángulo es presentado de esa manera y que a partir de ello, dibujen el triángulo obtusángulo, y discutan los resultados.

Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema.

Clasificando los triángulos

Actividad 2: Apliquemos la clasificación

1. En parejas o tríos, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan de acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas.

a) Define qué es un triángulo isósceles. b) ¿Cuándo un triángulo es obtusángulo?

c) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo? Escribe las razones de tu respuesta.

(18)

e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ángulos que conoces; utilizando dibujos para cada ángulo, marcando la hora del reloj que forme dicho ángulo.

f) Si el reloj marca las 12:00 hrs, ¿cómo se llama el ángulo que forman las agujas? g) Si las 3 manecillas del reloj, se encuentran en diferente posición. ¿Qué nombre

reciben los ángulos que forman?

h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman las manecillas en esa hora? ¿Qué nombre recibe ese ángulo?

2. Escribir la clasificación del triángulo de acuerdo a lo que se solicita.

Actividad 3

:

Apliquemos teoremas

1. Resolver ecuaciones lineales, considerando los errores más comunes en los y las estudiantes.

d) 7x + 13 – 9x = 8x – 3x – 8 e) 11x + 5x – 1 = 65x – 36

f) 2y – 99 – 5y + 9y = 128 – 5y – 7

2. Orientar la resolución de los ejercicios pero dejar que sean los estudiantes quienes resuelvan.

a) Pedir a los y las estudiantes que investiguen los distintos teoremas con que cumplen los triángulos y las definiciones de ángulos complementarios y suplementarios.

b) Además se recomienda efectuar en clase lectura y planteamiento de diversos problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.), para mejorar en la lectura comprensiva.

Según sus lados Según sus ángulos

d) x + 3(x-2) = 2x – 4

e) 36 – 9 4x

(19)

3. Hallar el valor de los ángulos aplicando los diferentes teoremas.

C

65o 30o

A 50o 35o B y x 40o

R Z 30o

58o

P 60o Q

q’ X 65o

y

x’ Y

C T

5x

t

3x 4x R r s S

A B 140o 70o

Actividad 4

:

Resolvamos problemas

Resolver los siguientes problemas:

1. Si uno de los ángulos de un triángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer ángulo es tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior.

2. Un ángulo externo a la base de un triángulo isósceles mide 155o. ¿Cuánto mide el ángulo vértice?

3. En un triángulo  ABC, <A = 5x, <B = 7x y <C = 36o. Encontrar las medidas de <A y <B.

4. Dos ángulos están en relación 3:2. Si se les presenta por 3x y 2x, hallar el valor de los ángulos si:

(20)

c) Los ángulos son suplementarios

d) Los ángulos pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es la suma de los dos ángulos dados.

5. Encontrar la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son:

a) 67 y 47 b) 22 y 135 c) a y 2a

Matemática 3 Geometria y Trigonometria Ortiz Campos. Publicaciones Culturales

Algebra. Luis María Ormaechea UCA Editores 1989.

Contenido: Teorema de Pitágoras

3.25 (8º grado) Resuelve problemas

aplicando el Teorema de Pitágoras, en cooperación con sus compañeros.

Causas posible por las que el estudiante no contestó bien el ítem 1. No identifica el triángulo rectángulo.

2. No asocia el problema con el Teorema de Pitágoras. 3. Aplica incorrectamente el Teorema de Pitágoras. 4. Dificultad para encontrar el perímetro de la figura.

Actividad 1: Juguemos con Triángulos

En el cuadro siguiente se te presenta la clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Clasificación de los Triángulos

Según la medida de sus lados

Triángulo rectángulo

Uno de sus ángulos es recto

Triángulo acutángulo

Todos sus ángulos son agudos

Triángulo obtusángulo

(21)

Según la medida de sus lados

Triángulo equilátero

Todos sus lados son iguales

Triángulo isósceles

Dos de sus lados son iguales

Triángulo escaleno

No tiene lados de igual tamaño

Usando la clasificación anterior, marca con una “X” la columna de verdadero o falso de acuerdo a la proposición presentada. Justifica tu respuesta.

Proposición V F Justificación

Todo triángulo equilátero es isósceles

Algunos triángulos equiláteros son obtusángulos

Algunos triángulos rectángulos son isósceles

Todo triángulo isósceles es acutángulo

Algunos triángulos rectángulos son escálenos

Todo triángulo obtusángulo es escaleno

Actividad 2: Construyamos el cuadrado de la hipotenusa

(22)

Actividad 3: Apliquemos el Teorema de Pitágoras

Encuentra el valor de la incógnita aplicando el Teorema de Pitágoras.

a) b)

Actividad 4: Encontremos el perímetro

Esta actividad se sugiere para aquellos casos en que los estudiantes aplican el Teorema de Pitágoras pero no recuerdan como encontrar el perímetro de la figura.

Ejercicio:

Un topógrafo mide un terreno con forma de triángulo rectángulo. Los dos lados que forman el ángulo recto miden 21m y 28m respectivamente. ¿Cuántos metros mide el perímetro del terreno?

Fuente de información

www.roble.pntic.mec.es/jarran2/.../teoremapitagoras.htm s

13

8

15

12

(23)

Bloque de contenidos: Números y Operaciones

Contenido: Fracciones complejas

3.7 (7º grado): Resuelve con seguridad problemas aplicando las operaciones fundamentalesde los números

fraccionarios.

Causas posibles por que los estudiantes no contestaron bien el ítem. 1. Dificultad en la interpretación del problema.

2. Dificultad para establecer el orden de prioridad en el problema.

3. No recuerda el algoritmo de las operaciones con números fraccionarios. 4. Dificultad para convertir números mixtos a fracción impropia.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos

Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad 1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo

2. Entregar información sobre la clasificación de los números fraccionarios.

3. Pedir que elaboren un mapa conceptual de acuerdo a la clasificación de los números fraccionarios

4. Solicitar que realicen una descripción de los procesos que se realizan para convertir fracciones mixtas a fracciones impropias, sumar fracciones con igual y distinto denominador y aplicar dichos procedimientos en la solución de la actividad 1.

Se presenta la siguiente situación

Carmen preparó jugo de naranja y midió la cantidad

¿Cuántos litros de jugo hay en el recipiente de la derecha? R ¾

l

¿Cómo podemos representar la cantidad total de jugo

R: Hay 2

l

y ¾ de jugo la cantidad total se escribe 4 3

2

l

y se lee “dos tres cuartos de

litro”.

Se llama fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador.

Ejemplo:

3 7 3 1

2 

(24)

Actividad 2: Juguemos con fracciones

Completa los espacio que faltan, observa que en los extremos de la figura están escritos los recíprocos de los números naturales. En los otros espacios se coloca la suma de las dos fracciones sobre las que se apoya.

Ver ejemplo.

Une la figura que contiene la operación indicada con la del resultado.

3 1 4 3 8 2_ _

6 1 1 4 2 1 2 1

2  

            _ 2 1 . 5 3 4 1 3 2 3 2 6 5 2 40 11 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 3 1 6 1 3 1 4 1 4 1 ? 3 1

Para escribir el número que corresponde, buscamos la

fracción que al sumarla con 3

1_{el resultado es}

2 1

La fracción que hace falta en este caso es

(25)

Observa la figura y calcula el área que se te indica

Área de una pierna =________________ Área del tronco = ______________

Área de las dos piernas = Área de un brazo =

Compruebe los resultados de las operaciones siguientes

a) R/ 15

8

12 b) R/ 16

3

Resuelve

a) En una caja hay 90 tornillos, 15

5

del total son grandes, 3 1

del total son medianos y

18 6

del total son pequeños. ¿Cuántos tornillos hay de cada clase?

b) En una clase de 40 alumnos, 5 2

son de la zona oriental 4 1

de la zona occidental y el

resto de la zona central. ¿Cuántos alumnos hay de cada región

http://www.vitutor.net/2/3/4.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

Matemática 5, Colección Cipotas y Cipotes; MINED, 2007, Pág. 66 - 81

(26)

Bloque de contenido: Geometría y medidas

Contenido: Semejanza de triángulos

3.19 (8° grado) Determina, explica y aplica con seguridad la semejanza de

triángulos, mostrando confianza.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:

1. Tiene problemas para despejar la variable en una ecuación fraccionaria (proporción).

2. Plantea la proporcionalidad sin considerar que el producto de los extremos (o de los medios) debe incluir la sombra de uno de los objetos y la altura del otro. 3. Desconocimiento de la relación entre los ángulos que se forman al cortar dos

paralelas.

4. No lo relaciona con semejanza de triángulos por tratarse de figuras separadas.

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Es importante asegurar que los estudiantes tengan dominio de los saberes previos, por las siguientes causas:

a) El dominio de ángulos entre paralelas es la base para establecer la semejanza. b) Para resolver el problema deben encontrar el valor de x en una igualdad, ya sea

que se encuentre como numerador o denominador y en cualquiera de los lados de la igualdad.

c) La congruencia tiene como base el planteamiento de proporciones.

El dominio de estos saberes puede observarse en ejemplos como los siguientes:

 Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:500,000; es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real.

 La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

(27)

ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.

 Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).

Actividad 2: Encontremos congruencias en un triángulo trazando

paralelas

Recursos: Cartulina y estuche de geometría para trazar triángulos.

Es más fácil que los estudiantes observen la congruencia de los ángulos cuando se traza una paralela a cualquiera de los lados ya sea adentro o afuera del triángulo.

Debe aprovecharse este momento para insistir en los casos de semejanza y que compruebe la congruencia de los ángulos (de ser necesario recortándolos).

Ejemplos:

Actividad 3: Encontremos congruencias comparando dos triángulos

Es difícil para los estudiantes ver la proporcionalidad cuando los triángulos están separados (como en el ítem) o unidos solo por un vértice.

b) Ha llar la long it ud de x s i las recta s a, b y c so n para le las.

(28)

Estos ejercicios deben razonarse, ayuda mucho calcar los triángulos y colocarlos de la forma que ellos mejor comprenden.

Ejemplos:

a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

b) ¿Son semejantes los siguientes triángulos?

Fuente de información: es.wikipedia.org/wiki/Triángulos_semejantes

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 12 y 13

Bloque de contenido: Estadística

Contenido: Presentación y organización de datos

2.26 (1er. año): Resuelve problemas interpretando la información extraída y presentada, mostrando interés y respeto por las estrategias y soluciones a

problemas estadísticos distintos a los propios.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Interpretan erróneamente los datos al no tomar en cuenta que los ingresos inician en -1.

2. Interpretan incorrectamente los datos proporcionados al no relacionar el grafico y el titulo del grafico.

3. Tiene dificultad al aplicar la regla de tres.

A

A B

(29)

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Recordar la proporcionalidad directa e inversa y presentar ejercicios donde se practique las proporciones y la regla de tres.

En el planteamiento de la regla de tres asegura que los datos que tienen las mismas unidades estén en la misma columna.

¿Cómo encuentras el porcentaje de una cantidad y cómo encuentras la cantidad que corresponde a un porcentaje?

Ejemplos:

1. Si de 100 estudiantes el 40% son niños y el 60% son niñas. ¿Cuántas son niñas y cuántos son niños?

Esto significa que habría 40 niños y 60 niñas.

2. En la votación para elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de los votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.

¿Cuántos votos han obtenido cada uno, si el total del alumnado es de 200?

Recuerda, que para calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad multiplicamos dicha cantidad por la fracción que representa el tanto por ciento.

Ejemplo:

En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en canastas de dos puntos de mi equipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado canastas de dos puntos en 30 ocasiones, ¿cuántas canastas hemos hecho? ¿Y cuántas veces hemos fallado?

Para saber las canastas de dos puntos que hemos acertado, tenemos que hallar el 40% de 30, el cual se obtiene de la siguiente manera:

30  

₁₀₀40



  30₁₀₀40



₁₀₀120



12

Para calcular las que hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras:

1) La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que sí hemos acertado:

30 – 12 = 18 fallos

(30)

2) También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el total de lanzamientos:

Si el 40% son aciertos → el 100% - 40% = 60% será de fallos.

El 60% de 30 es: 18 R: 18 fallos

Actividad 2: Leamos e interpretemos gráficos

El docente encargado de la clase proporcionará una serie de gráficos de los cuales pedirá a los estudiantes dar cualquier interpretación con respecto a una barra o cualquier otro elemento de un gráfico.

Se debe recalcar que todo gráfico debe contener los siguientes aspectos:

 Título

 Leyendas en los ejes

 Nombrar las clases o los datos representados en el gráfico.

Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas

Observa el gráfico circular

a) ¿Cuánto incremento el ingreso entre el 2001 y el 2002?

b) ¿Cuánto es la diferencia entre los ingresos de 1999 y el 2003?

c) ¿Cuánto incrementaron los ingresos de 1999 y al 2002?

(31)

Para los sectores del gráfico anterior, menciona dos comparaciones que consideres relevantes.

Calcula:

a) El total de personas que deciden ir al parque b) Las personas que deciden ver la televisión

c) El total de personas que se quedan a dormir y los que hacen deporte. Observa el gráfico

Contesta:

a) ¿Cuál es el ganado que se encuentra en menor cantidad, en la región? b) ¿Qué ganado es un poco más del doble del ganado ovino?

c) Si el total de ganado de dicha región fuera de 250,600 cabezas ¿Cuántas cabezas serían del ganado porcino?

Fuentes de información: http://www.cdc-cap.org/

http://www.bves.com.sv/estados/index.php

http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532

(32)

Bloque de contenido: Estadística Contenidos: Medidas de tendencia central y coeficiente de variabilidad

8.20 (8° grado) Resuelve cooperando con sus compañeros problemas aplicando la media aritmética.

5.5 (1er año) Resuelve problemas, con perseverancia y autonomía, aplicando la media aritmética ponderada.

8.12 (1er año) Resuelve problemas con orden, aplicando el coeficiente de variabilidad a situaciones reales.

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:

1. Comprende la media aritmética en una serie simple pero no en una ponderada. 2. No establece diferencia entre los datos y su frecuencia.

3. No interpreta el valor resumen, como aquel que sustituido por cada uno de los datos produce una suma igual que cada uno de los datos originales

4. Desconocimiento del cálculo del coeficiente de variabilidad. 5. Interpretación errónea del coeficiente de variabilidad.

Actividad 1: Encontremos medidas de tendencia central

Debemos procurar un dominio manipulativo de la fórmula, pero además realizar un análisis interpretativo de las variables que involucra dicha fórmula. Por ejemplo, al ver la

fórmula de la media aritmética simple

n x

X 



i y la fórmula de la media aritmética para

distribuciones de frecuencia y su interpretación como una media ponderada

i i i i i i i i w x f f x f f x

X

 



_         

 , observamos que la segunda no es más que la

multiplicación de cada variable por su peso relativo.

Las expresiones nX 



x_i y x





fi







xifidimensionalmente deben ser iguales, para

que esto se cumpla debe ocurrir que n, debe ser adimensional y X e



x_ideben tener las mismas dimensiones (años, valor de una calificación, estatura, etc.). Además indica que el valor de la media multiplicado por la cantidad de datos

Por ejemplo: Si hay tres personas con edades de 7, 10 y 31 años, su edad promedio es 16 años. Dicho valor multiplicado por tres proporciona tantos años como la suma de las edades de cada una de las tres personas.

(33)

Ejemplo:

En un taller de carpintería, se producen tres tipos de sillas a diferentes precios y en cantidades distintas. Determine el costo promedio de una silla vendida.

Ese costo promedio debe ser tal que si se multiplica por la cantidad de sillas, genera tanto dinero como el que genera cada grupo de sillas a su respectivo precio.





3150 $ ) $( 20 40 $ 80 20 $ 50 15 $ ) $( sillas las de total precio el Calculemos        total total

Si se compran 150 sillas a $21 cada una, se obtienen $3150, que es la misma cantidad de dinero que se pagó comprando tres tipos de sillas a precios distintos.

Ejercicio:

Se compran tres sillas de distinto tipo, los precios fueron $15, $20 y $40, a) ¿Cuánto se pagó por las tres sillas?

b) ¿Cuál fue el valor promedio de las tres sillas?

c) Si se hubieran comprado tres sillas de un precio igual al del valor promedio, ¿cuánto se hubiera pagado por las tres?

d) ¿Qué conclusión obtienes?

Actividad 2: Practiquemos la obtención del coeficiente de variabilidad

Proporcionar situaciones del contexto donde aplique contenidos que ayuden a lograr el indicador propuesto.

El coeficiente de variación, nos permite comparar la variabilidad entre dos distribuciones distintas, con el fin de determinar cuál de ellas tiene una menor o mayor variabilidad relativa. Representa la proporción geométrica entre la media aritmética y la desviación típica o estándar.

Donde s es la desviación típica o estándar y la media aritmética o promedio.

Entre mayor es el coeficiente de variabilidad, mayor será la variabilidad o dispersión de los datos.

1) Obtener el coeficiente de variabilidad en los casos siguientes

s CV

1.15 24.8

0.45 6.15

3.15 75.15

4.48 204

Cantidad Precio ($)

50 15

80 20

(34)

2) Completar la siguiente tabla

s CV

24.8 0.24

0.45 0.17

0.94 5.15

1.46 10.44

3) Resolver los siguientes problemas

a) En una fábrica de tela el promedio mensual de los salarios es de $225.95 con una desviación típica de $56.85. Si una fábrica de confección de ropa tiene el mismo promedio, pero su desviación típica es de $28.95. ¿En cuál fábrica es preferible trabajar?

b) A continuación se presentan los promedios de notas y desviaciones típicas de dos centros escolares.

Centro Escolar “A”: promedio 7.3 y desviación típica 1.8 Centro Escolar “B”: promedio 8.1 y desviación típica 2.8

¿En cuál de las dos instituciones la media aritmética es más representativa?

Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl

Bloque de contenido: Estadística

Contenido: Medidas de posición

6.6 (1er. año) Resuelve con seguridad problemas que requieran de cuartiles, deciles y percentiles

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1. Dificultad en la interpretación de las medidas.

2. Confusión entre las diferentes medidas. 3. Errores en procedimientos y cálculos.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos

Recursos: Texto de consulta.

En muchas ocasiones necesitamos conocer el valor del dato ubicado en una determinada posición en la serie ordenada de datos. En estos casos se realiza el cálculo de las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles.

(35)

Los deciles son valores que dividen la serie en diez partes iguales. El porcentaje de datos entre ellos es del 10%.

Los percentiles son valores que dividen la serie en cien partes iguales. Cada uno separado del otro por un 1% de los datos.

El cálculo de estos parámetros, tanto para variables discretas como para variables continuas, se hace de forma similar al cálculo de la mediana.

Ejercicio: Investiga 3 situaciones del contexto en que se apliquen estas medidas.

Actividad 2. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos

simples y ponderados

.

Recursos: Texto de consulta.

Al resolver los ejercicios haga énfasis no solo en el cálculo, sino también en lo que cada resultado representa.

1) Las edades de veinte jóvenes son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula: a) El cuartil 1 b) Los deciles 1 y 6 c) Los percentiles 35 y 80

2) El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58.

Calcular:

a) los cuartiles 2 y 3 b) los deciles 2 y 7

c) los percentiles 35, 60 y 95

3) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de 30 personas en un curso de estadística:

x 1 2 3 4 5 6 7

f 3 6 7 7 5 0 4

Calcular:

a) Los cuartiles 1, 2 y 3

b) ¿Qué calificación limita el 40% inferior?

Actividad 3

.

Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos

agrupados.

(36)

Ejercicio: Con los datos de la siguiente tabla:

Puntaje de 50 alumnos en una prueba

Puntajes frecuencia 60 - 65 5 65 - 70 5 70 - 75 8 75 - 80 12 80 - 85 16 85 - 90 4 totales 50

Calcular:

a) Q1, D4, P65 y P80

b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados.

c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará una disminución de su cuota escolar.

d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para no asistir a un taller de refuerzo.

e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50% superior).

Fuentes de información:

www.sectormatemática.cl/educmedia. Htm

Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl

Bloque de

contenido: Álgebra

Contenidos: Propiedades de los exponentes.

7.12 (7° grado) Simplifica cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más

propiedades de los exponentes.

Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem

1. Confunde la regla de la multiplicación de potencias de la misma base y la de la potencia de una potencia.

(37)

Actividad 1: Reforcemos saberes previos

Construir cuadrados 2, 3 y 4 centímetros de lado y luego dividirlos en centímetros cuadrados.

a) Preguntar a los estudiantes cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura. Relaciona la cantidad de centímetros cuadrados con el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula del área.

b) Solicitar a los estudiantes que escriban el área de cada cuadrado como una potencia.

4 22 

, 32 9, 42 16

c) Usar cubos para comprobar que en un cubo de 2 cm de arista hay ocho cubos de un 1cm3.

an = a×a×.×a.….×a (a se multiplica por sí mismo n veces)

d) Realizar ejercicios en los que se obtenga una potencia de base negativa.

Base Exponente Potencia

Negativa

Par Positiva

Impar Negativa

e) Repasar las reglas de los exponentes.

Regla 1: an · am = a n+m Ejemplo:

Regla 2: (an)m = anm

 

2 4 8 4

2

x







Regla 3:

 

ab

n



a

n

b

n Ejemplo:

 

xy 2  x2y2

Regla 4: _n m n

m

a

_



, a tiene que ser diferente de 0, Ejemplo ₂ 4 2 2

4

x x

  

Regla 5: a 0 = 1; si a es diferente de 0.Ejemplo 20 1

Regla 6: a -n n

a

1

 _{, si a es diferente de 0.}_Ejemplo

9 1 3

1 32  ₂  V = (2)(2)(2) =23 8

(38)

Actividad 2: Apliquemos las propiedades de las potencias

Esta actividad trata sobre la aplicación de las propiedades de las potencias y para ello se ha dividido en dos partes, la de desarrollo y la de simplificación.

1. Desarrollar cada una de las siguientes situaciones: a)

 

2 3

a b)

 

2 3

ab c) 3 2

a

a  d) 6 2

a a 

e)



3a



3 f)



3b2



3 g) ₂ 5



a a

h) 0

b

2. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las diversas propiedades de los exponentes

a)

 

₃ 4 2 9 a a a 

b) ₃ 0 2 2 2 3  c) 2 4 0 2 2 3 5 8              

d) ₅ ₃ ₀ ₁

1 0 4 ) 2 ( 3 2 ) 3 ( _      e e) ₁₀ 6  x x

f) ₅ ₈ 7 4 12 6  y x y x

g) (6x10) (3x4)2 h) ₄ 12 10 6 10 4   

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 19, 20, 21 y 22

Bloque de

contenido: Algebra

Contenido: División y

factorización de polinomios

4.13 (8º Grado) Resuelve problemas, con perseverancia, aplicando la

descomposición de expresiones

algebraicas por diferencia de cuadrados.

2.29 (8º Grado) Resuelve problemas de aplicación usando la división de polinomios, en colaboración de sus compañeros.

4.9: (8º Grado) Resuelve con perseverancia problemas aplicando la descomposición de trinomios factorizables que no son trinomios cuadrados perfectos

(39)

(3x) (2x) = (3) (2) x1+1 = 6x2

2x

2x (2x + 3y + 6) = 4x2 + 6xy + 12x

Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems: 1. Confunde el algoritmo de la división con el de la multiplicación. 2. Desconoce el algoritmo de la división de polinomios.

3. Dificultad al aplicar la regla de diferencia de cuadrados.

4. Tiene problemas para identificar las dimensiones de un cuadrado o un rectángulo.

5. No identifica la diferencia de cuadrados y no puede factorarla. 6. No identifica cuando un trinomio es cuadrado perfecto.

7. Desconoce las reglas de un trinomio cuadrado perfecto. 8. Confunde las reglas de los diferentes trinomios factorizables.

Actividad 1 Reforcemos saberes previos

Para abordar la multiplicación de expresiones algebraicas se necesita un dominio en los aspectos siguientes:

 Ley de los signos

 Ley de los exponentes.

 Productos:

1) Monomio por monomio 2) Monomio por trinomio 3) Binomio por binomio 4) Trinomio por binomio

1) Monomio por monomio

Encontremos el área del rectángulo siguiente:

Multipliquemos los monomios:

a) a3 x a5 d) (3a3)( 4a2) g) (a2b3)(ab)

b) b4 x b2 e) (5c2)(8c7) h) (4x5y3)(2x4y5)

c) -p7 x p3 f) (2x4)(-3x3) i) (-3m2n3)(8m4n4)

2) Monomio por trinomio

Encontremos el área de los rectángulos siguientes:

2x 3y 6

2x