APUNTES DE FÍSICA II Potencial Electrostático Profesor: José Fernando Pinto Parra APUNTES DE FÍSICA II
Profesor: José Fernando Pinto Parra
UNIDAD 7
POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
EL POTENCIAL ELÉCTRICO.
Dos cargas en la misma posición tienen dos veces más energía potencial que una sola; tres cargas tendrán el triple de energía potencial; un grupo de diez cargas tendrán diez veces más energía potencial, y así sucesivamente. En vez de ocuparnos de la energía potencial total de un grupo de cargas, es conveniente, cuando se trabaja con electricidad, considerar la energía potencial eléctrica por unidad de carga.
Consideremos un campo eléctrico como se muestra en la figura, supongamos que podemos transportar una carga de un punto a otro dentro de ese campo. Si la carga se traslada desde una distancia muy lejana pueden ocurrir
dos cosas:
Carga positiva: se produce una fuerza de repulsión sobre ella, que
es necesario compensar para
situarla en A. En este caso la fuerza externa tiene que realizar un trabajo para llevar la carga hasta A.
Carga negativa: el campo produce un movimiento que acerca la carga al cuerpo, en estas condiciones, es el campo el que hace trabajo.
Podemos concluir que se produce un cambio de energía al transportar la carga desde el infinito hasta el punto A. Esto nos permite definir el potencial como:
El potencial en un punto dentro de un campo eléctrico, es el trabajo cuando se lleva una carga de prueba positiva desde el infinito hasta otro punto dentro del campo. El potencial será positivo si es necesario realizar un trabajo (agente externo) para
trasladar la carga y será negativo si es el campo que realiza el trabajo.
APUNTES DE FÍSICA II Potencial Electrostático Profesor: José Fernando Pinto Parra POTENCIAL E INTENSIDAD DE CAMPO.
Por definición el potencial en un punto es el trabajo para traer una carga de prueba 𝑞0 desde el infinito hasta un punto dentro del
seno de un campo eléctrico E.
Matemáticamente lo podemos expresar como:
𝑉 = 𝑊
𝑞0
Como ya sabemos el trabajo se define como la fuerza que hay que aplicar para llevar una carga en el campo una distancia r.
𝑊𝐸𝑥𝑡 = − 𝐹𝐸𝑥𝑡. 𝑑𝑟 = −
𝑘𝑞0𝑄
𝑟2 𝑑𝑟 = −𝑘𝑞0𝑄
𝑑𝑟 𝑟2 𝑟
−∞ 𝑟
−∞ 𝑟
−∞ Resolviendo la integral se obtiene:
𝑊𝐸𝑥𝑡 = − 𝑘𝑞0𝑄 𝑟
Por tanto el potencial en un punto es:
𝑉 = −𝑘. 𝑄 𝑟
La unidad en el sistema mks de la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Columb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 Joule/Coulomb.
El Electrón volt se define como la energía que un electrón o protón gana o pierde al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V.
1𝑒𝑉 = 1,6𝑥10−19 𝐽
POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA PUNTO.
APUNTES DE FÍSICA II Potencial Electrostático Profesor: José Fernando Pinto Parra Usando la ecuación con el valor de para una carga puntual, que es: 𝐸 = 𝐾 𝑄
𝑟2 𝑑𝑟
e integrando, se llega fácilmente a la conclusión de que: 𝑉 = 𝐾𝑄
𝑟
Un sencillo uso de nos lleva directamente a la expresión: 𝑉 = −𝐸. 𝑟
POTENCIAL DEBIDO A UN GRUPO DE CARGAS PUNTOS
El potencial eléctrico de dos o más cargas puntuales se obtiene aplicando el principio de superposición. Para un grupo de cargas, podemos escribir el potencial total en P en la forma:
𝑉 = 𝐾 𝑞𝑖
𝑟𝑖 𝑛
𝑖
POTENCIAL DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS.
El potencial eléctrico debido a una distribución continua de carga está dado por:
V = k dq
r
Si el potencial eléctrico es conocido como una función de las coordenadas x, y ,z, las componentes del campo eléctrico pueden ser obtenidas al sacar la derivada negativa del potencial con respecto a las coordenadas. Por ejemplo, la componente x del campo eléctrico está dado por:
Ex = −dV dx
Todos los puntos sobre la superficie de un conductor cargado en equilibrio electrostático están al mismo potencial. Además, el potencial es constante en cualquier lugar dentro del conductor e igual a su valor en la superficie.
ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE “V”.
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En la figura se supone que 𝑞2 esta en el infinito y en reposo. Como ya vimos el potencial eléctrico en el punto donde debe estar 𝑞2, es el producido por 𝑞1, dado por
Si se trae 𝑞2 en equilibrio desde el infinito hasta 𝑟12, el trabajo que se requiere es igual a la energía potencial 𝐸𝑃 𝑜 𝑈 del sistema formado por dos partículas cuando éstas están separadas por una distancia 𝑟12. Por lo tanto, la energía potencial de este sistema es
Si una tercera carga 𝑞3 se trae en equilibrio desde el infinito a una posición 𝑟13 de la carga
𝑞1 y a una posición 𝑟23 de la carga 𝑞2, el trabajo que se requiere es igual a la energía potencial eléctrica U del sistema formado por las tres partículas cargadas, dado por
y así sucesivamente si se traen del infinito n cargas para formar un sistema, la energía potencial de dicho sistema esta dada por
donde y el ½ corresponde al hecho que en la suma se repite dos veces el mismo termino.
CONDENSADOR Y DIELÉCTRICOS.
Para encontrar la definición de capacitancia,
supongamos dos conductores cargados
eléctricamente a +q y -q, separados una distancia específica como lo muestra la figura. Como se puede verificar, allí se produce un campo eléctrico entre las cargas y, por lo tanto, aparece una diferencia de potencial entre los conductores. Experimentalmente se ha verificado que esta diferencia de potencial V es proporcional a la carga en los conductores, es decir:
𝑉 ∝ 𝑞
Esta constante de proporcionalidad se denomina capacitancia y se representa por la letra mayúscula C, es decir la capacitancia se define operacionalmente como la razón de la magnitud de la carga en cualquiera de los conductores y la diferencia de potencial entre ellos.
𝐶 =𝑞
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De tal forma que la capacitancia es una medida de la capacidad de un dispositivo (condensador) para almacenar carga y energía potencial elèctrica. En concreto, un condensador es un dispositivo de dos terminales que consiste de dos cuerpos conductores separados por un material no conductor denominado dieléctrico cuya función principal es el almacenamiento de energía en forma de campo eléctrico.
La Unidad de Capacitancia es el Faradio y es 𝐹𝑎𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 =𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜 .
CALCULO DE CAPACITANCIA.
Considerese inicialmente dos placas paralelas cargadas eléctricamente a +Q y -Q, separadas una distancia d, tal como lo muestra la figura.
Como de lo que se trata es de calcular la capacitancia de este condensador de placas paralelas, entonces se hace uso de la definición.
𝐶 = 𝑞
𝑉
Pero sabiendo que por definición: 𝑉 = 𝑞.𝑑
𝐴.𝜀0
De tal forma que la capacitancia para un condensador de placas paralelas está dada por:
APUNTES DE FÍSICA II Potencial Electrostático Profesor: José Fernando Pinto Parra Ahora considerese ahora un conductor cilíndrico de
radio a y de carga +Q que se encuentra concéntrico con un cascarón cilíndrico de radio b y carga-Q, tal y como lo muestra la figura.
En este caso la Capacidad para un Cilíndro Concéntrico viene dada por:
𝐶 = 𝑙
2𝑘𝑒ln 𝑏𝑎
En el caso de dos esferas concéntricas la ecuación es:
𝐶 = 𝑎. 𝑏
