Electrostática. tica. Campo electrostático tico y potencial

(1)

Electrost

á

_á

tica

_tica

Campo electrost

(2)

1. Carga el

é

_é

ctrica

_ctrica

Electrost

á

tica = estudio de las cargas

el

é

ctricas en reposo

Unidad de carga = el electr

ó

n

e= 1.602177x 10

-19-19

C

++

--repulsión

+-atracción

(3)

3.1 Ley de

Coulomb

.

Fenomenolog

í

a

La fuerza entre cargas

puntuales est

á

dirigida a

lo largo de la l

í

nea que

las une.

La fuerza var

í

a

inversamente proporcional

con el cuadrado de la

distancia que los separa

y es proporcional al

producto de las cargas.

La fuerza es repulsiva si

las cargas son del mismo

signo y atractiva si son

de signo diferente.

q1 q2 r₁ r₂ r₁₂ F₁₂ F₂₁ F₁₂+ F₂₁= 0 r₁- r₂= r₁₂

(4)

3.2 Ley de

Coulomb

_Coulomb

. F

_{. F}

ó

_ó

rmula

_rmula

Fuerza ejercida por q

₁

sobre q

₂

k

Æ

constante de

Coulomb

ε

₀

Æ

Permitividad del

vac

í

o

q1 q2 r₁ r₂ r₁₂ F₁₂ F₂₁ F₁₂+ F₂₁= 0 r₁- r₂= r₁₂

12

2

12

2

1

12 ˆr

r

q

k

F

G

=

2 2 9

10

99 .

8 Nm

C

k

=

×

0

4

1 πε

=

k

2 2 12 0

8 .

85

10 C

Nm

−

×

=

ε

(5)

4. Campo el

é

_é

ctrico

_ctrico

La fuerza el

é

ctrica supone una acci

ó

n a distancia.

Ejemplo: carga

A

y carga

B

La carga A causa una modificaci

La carga A causa una modificacióón de las propiedades n de las propiedades del espacio en torno a ella.

del espacio en torno a ella.

La carga (prueba) B percibe esta modificaci

La carga (prueba) B percibe esta modificacióón y n y experimenta una fuerza

experimenta una fuerza

Consideremos que B puede estar en cualquier punto y Consideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valor

tener cualquier valor

La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campo

campo

La fuerza el

é

ctrica sobre un cuerpo cargado es

ejercida por el campo el

é

ctrico creado por otros

cuerpos cargados

2

(

ˆ

)

A B AB BA B A

q q

F

k

u

r r

=

−

G

2

( )

ˆ

A A A A

q

F

q k

u

r r

=

−

G

A A

q

E

F

G

=

G

(6)

4.1 Campo el

é

ctrico cargas

puntuales

Carga positiva =

fuente

Carga negativa =

sumidero

Carga negativa =

sumidero

-+

2

ˆ

( )

q

E r

k

r

= −

G

2

ˆ

( )

q

E r

k

r

=

G

¾

Radiales

¾

Proporcionales a la carga

¾

Inversamente proporcionales al cuadrado de la

distancia

(7)

4.4 L

í

_í

neas de campo el

_{neas de campo el}

é

_é

ctrico

_ctrico

Campo = deformaci

ó

n del espacio

causada por un cuerpo cargado.

Se puede representar mediante l

í

neas.

El vector campo en un punto es tangente

a la l

í

nea de campo

Æ

Dos l

í

neas de

campo nunca pueden cruzarse.

La densidad de l

í

neas es proporcional a

la intensidad del campo el

é

ctrico.

A grandes distancias las l

í

neas son las

de una carga puntual.

(8)

L

í

neas de campo en esferas y

planos

Esfera con carga

negativa Plano positivo

(9)

Dos cargas positivas

Carga positiva y carga negativa Dipolo eléctrico

L

(10)

Flujo del campo el

_{El producto de la intensidad del}

é

ctrico

campo eléctrico por el área de superficie perpendicular al campo se denomina flujo del campo a través de la superficie:

EA

φ

=

la superficie no es perpendicular al campo.:El número de línea que atraviesa a A₂ es el mismo que a A. Las áreas se relacionan mediante:

2

cos

A

θ

=

A

donde θ es el ángulo que forma el campo y el vector unitario perpendicular a A₂.

ˆ

_cos

_n

EnA EA

E A

φ

=

G

=

θ

=

ˆn

E

(11)

Flujo del campo el

é

_é

ctrico

_ctrico

Podemos generalizar la definici

Podemos generalizar la definicióón de n de flujo para

flujo para superficies curvassuperficies curvas, en las , en las cuales el campo el

cuales el campo elééctrico puede variar ctrico puede variar (en m

(en móódulo y direccidulo y direccióón) dividiendo las n) dividiendo las superficies en un gran n

superficies en un gran núúmero de mero de elementos muy peque

elementos muy pequeñños. os.

Si cada elemento es muy peque Si cada elemento es muy pequeñño, o, puede considerarse como plano. puede considerarse como plano. Sea

Sea

n

un vector unitario perpendicular un vector unitario perpendicular a dicho elemento de superficie y

a dicho elemento de superficie y

A

su su á

área (si la superficie es curvada los rea (si la superficie es curvada los vectores tendr

vectores tendráán direcciones n direcciones

diferentes de un elemento a otro. El diferentes de un elemento a otro. El flujo a trav

flujo a travéés de cada elemento:s de cada elemento: El flujo total se obtendr

El flujo total se obtendráá sumando los sumando los flujos obtenidos par cada elemento de flujos obtenidos par cada elemento de superficie. Tomando el l

superficie. Tomando el líímite de que el mite de que el n

núúmero de elementos se aproxime a mero de elementos se aproxime a ∞∞ (el

(el áárea de cada elemento tiende a 0), rea de cada elemento tiende a 0), la suma pasa a una integral:

la suma pasa a una integral:

ˆ

i

En A

i i

φ

Δ =

Δ

0

ˆ

lim

ˆ

i i i A i

En A

EndA

φ

Δ →

=

Σ

Δ =

=

∫

G

(12)

Flujo del campo el

é

_é

ctrico

_ctrico

Consideremos ahora una

superficie cerrada

.

En esta superficie se define en cada punto el

vector unitario normal a la superficie de tal modo

que est

á

dirigido hacia fuera.

En un punto donde la fuerza entra a la superficie (el

campo E apunta hacia adentro) es negativo. El flujo

neto,

φ

_net_net

_{, a trav}

_é

_{s de la superficie es positivo o}

negativo seg

ú

n sea predominantemente hacia fuera

o hacia adentro.

El flujo neto de una superficie cerrada se

representa como:

ˆ

net

EndA

E dA

n

(13)

Ejemplo: Una carga el

Ejemplo: Una carga elééctrica ctrica q est

q estáá dentro de una dentro de una superficie esf

superficie esféérica de radio rica de radio

R

. Calcular . Calcular

Ф

ne

tt a trava travéés de s de esta superficie.

esta superficie. El campo el

El campo elééctrico en un ctrico en un punto cualquiera de la punto cualquiera de la

superficie es radial a ella y superficie es radial a ella y vale: vale: 2

Kq

E

R

=

ˆn

es también radial, por lo que

En

ˆ

G

2

ˆ

Kq

En

R

=

G

El Ф_net será sumar para toda la superficie, cuya área es 4πR2

2 2 2

ˆ

4

net o

kq

q

EndA

dA

R

kq

R

φ

π

ε

=

_v

∫

G

=

_v

∫

=

(14)

5.3 Ley de Gauss

El flujo del vector campo el

é

ctrico a trav

é

s de

una superficie cerrada es igual a la carga neta

encerrada en su interior dividida por la

permitividad

del medio.

La superficie gaussiana no es una superficie real ( es La superficie gaussiana no es una superficie real ( es

matem

matemáática, y se elige segtica, y se elige segúún la simetrn la simetríía del problema).a del problema). La ley de Gauss simplifica los c

La ley de Gauss simplifica los cáálculos de campo ellculos de campo elééctrico ctrico en casos de gran simetr

en casos de gran simetríía.a.

0

4

enc enc

Q

E dA

π

kQ

ε

Φ =

_v

∫

G

⋅

G

=

(15)

5.4 C

á

_á

lculos con ley de Gauss

_{lculos con ley de Gauss}

Carga puntual

Æ

Simetr

í

a esf

é

rica

+

dA

r

∫

E

G

⋅

d

A

G

=

E

(

r

)(

4 π

r

2

)

0

ε

enc

Q

A

d

E

⋅

=

Φ

∫

G

r

Q

r

E

ˆ

4 )

(

₂ 0

πε

=

G

(16)

6. Conductores en equilibrio

En un conductor existen cargas con

libertad de movimiento.

Una carga el

é

ctrica es capaz de moverse

al aplicar un campo.

Si el campo se produce una

redistribuci

ó

n de cargas en el interior

hasta la situaci

ó

n de

“

equilibrio

electrost

á

tico

”

.

E = 0

(17)

Conductores en equilibrio

electroest

á

tico

Debido a la enorme variación en la capacidad

para conducir la electricidad es posible y

conveniente clasificar la mayor parte de los

materiales en

conductores

aislantes

La capacidad de un material para conducir la

electricidad se mide por su conductividad. La

conductividad de un conductor típico es del

orden de 10

15

_{veces la de un aislante típico.}

(18)

Conductores en equilibrio

electrost

á

tico

en los conductores las cargas están libres para moverse.

Esta carga está

constituida por electrones que no están

ligados a ningún átomo.

Los electrones más exteriores están más débilmente al

ligados al núcleo debido a una mayor distancia al núcleo y

a la repulsión electrostática provocada por los electrones

internos (este efecto se llama apantallamiento).

En presencia de un campo eléctrico externo, la carga

libre del conductor se distribuye de tal modo que crea un

campo eléctrico que tiende a cancelar o contrarrestar al

campo exterior dentro del conductor.

Si existe un campo dentro del conductor, existirá

una

fuerza

q

sobre esta carga que, si está

libre para moverse,

se acelerará.

Así

pues, el equilibrio electrostático es imposible en el

conductor, a no ser que el campo eléctrico sea cero en

todas las partes de su interior.

(19)

El resultado es una densidad superficial de carga negativa en la cara izquierda de la lámina y a una positiva en el lado derecho, debido a la eliminación de algunos electrones libres.

Estas densidades crean un campo en el interior de la lámina que es opuesto al externo, de tal modo que el campo neto es cero en cualquier punto interior del conductor. No existe ninguna fuerza neta que actúe sobre los electrones libres y, en consecuencia, se tiene un equilibrio electrostático.

Cuando se aplica un campo externo, la carga se distribuye rápidamente hasta alcanzar un valor de equilibrio de tal modo que el campo eléctrico neto es cero en el interior del conductor. El tiempo necesario para que se alcance el equilibrio suele ser del orden de 10-16 _{s. (a efectos prácticos, el equilibrio se alcanza}

instantáneamente). − + − + − + − + − + − + − +

Los electrones libres est

Los electrones libres estáán originalmente n originalmente distribuidos de modo uniforme por la l

distribuidos de modo uniforme por la láámina.mina. Si el campo apunta hacia la derecha, los

electrones se moverán hacia la izquierda. Pero si no es muy intenso los electrones quedarán sobre la superficie de la placa.

(20)

Consideremos un conductor y una superficie gaussiana que quede justo en el interior de la superficie del conductor. Como en el equilibrio electrostático el campo es cero en todos los puntos del conductor, también lo será sobre la superficie gaussiana.

Puesto que

E

_n es cero en todos los puntos de la superficie gaussiana, el flujo neto también es cero, por la ley de Gauss este flujo es proporcional a la carga neta dentro de la superficie. No existe carga neta en el interior del conductor.

El campo en la superficie del conductor debe ser perpendicular a la superficie del conductor. Si el campo tuviera una componente tangencial, las cargas se moverían sobre la superficie en respuesta a esta fuerza tangencial, y no estaríamos en situación estática. Por tanto

E t

= 0, en la superficie de un conductor en equilibrio electrostático el campo eléctrico sólo tiene componente normal

E

_n.

E

_n es positivo si es saliente, y negativo si el campo está dirigido hacia adentro del conductor.

(21)

Sea una superficie

Sea una superficie gaussianagaussiana en forma en forma de peque

de pequeñño cilindro con sus caras o cilindro con sus caras

paralelas a la superficie del conductor. paralelas a la superficie del conductor. El cilindro es peque

El cilindro es pequeñño por lo que se o por lo que se

puede despreciar las variaciones de E en puede despreciar las variaciones de E en la curvatura de la superficie del

la curvatura de la superficie del conductor

conductor

El flujo en la superficie lateral del El flujo en la superficie lateral del cilindro es cero porque

cilindro es cero porque

E

es es

perpendicular a esa superficie. En la cara perpendicular a esa superficie. En la cara dentro del conductor el flujo es cero

dentro del conductor el flujo es cero porque

porque

E

es cero dentro del conductor. es cero dentro del conductor. El flujo en la cara plana externa, de

El flujo en la cara plana externa, de superficie

superficie

∆

S

, será, será, considerando que , considerando que

E

que es paralelo al vector unitario normal que es paralelo al vector unitario normal a la superficie: a la superficie: Superficie externa del conductor con carga Superficie gaussiana

E

n

= E

E

n

= 0

EndS

= Δ

E S

∫

G

v

por la ley de Gauss, dentro de la

superficie gaussiana

v

∫

EndS

G

=

q

neta

_ε

q

= Δ

σ

S

4

4 E S

Δ =

π

kq

=

π σ

k

Δ

S

Si hay una densidad superficial

4

o

E

π σ

k

σ

ε

(22)

Resumiendo, en los conductores

en

equilbrio

electrost

á

tico

¾

El campo eléctrico es cero en el interior del

conductor en equilibrio electrostático.

¾

Cualquier exceso de carga que posea el conductor

debe residir en la superficie del mismo.

¾

El campo eléctrico justo en el exterior de la

superficie del conductor es perpendicular a dicha

superficie y vale ,

donde σ

es la densidad superficial de carga (que puede

variar de un punto a otro).

0

n t

E

σ

E

ε

=

(23)

Comentario

Es importante darse cuenta de que el campo

el

é

ctrico producido por la carga situada en la

superficie del conductor queda determinada

por completo por la distribuci

ó

n de cargas.

No tiene importancia el hecho de que la carga

est

é

sobre un conductor.

Esta misma distribuci

ó

n sobre un aislante o en

el espacio crear

í

a el mismo campo el

é

ctrico.

Como es natural, la presencia del conductor

influye en la distribuci

ó

n original de carga: se

distribuye de forma que el campo es nulo en su

interior.

(24)

Energ

í

a del campo electrost

á

tico

El trabajo que realiza una fuerza al mover una

part

í

cula de un punto

a

hasta otro

b

es:

la fuerza el

é

ctrica es conservativa, existe la energ

í

a

potencial U

El trabajo que realiza la fuerza el

é

ctrica depende

s

ó

lo de los puntos inicial y final, no del camino

Que la fuerza sea conservativa implica tambi

é

n

En una dimensi

ó

n

F

G

= −

gradU

b a b a

W

_→

=

∫

FdS

G

a b a b

W

_→

=

U

−

U

dU

= −

FdS

F

dU

ds

= −

G

dU

= −

FdS

G

(25)

Carga de prueba q0 que

se mueve del punta a la b

Veámoslo para el caso de un campo creado por una carga puntual q en

reposo. Sea E este campo de fuerza. La fuerza que experimenta una carga

puntual q’ en este campo es:

El trabajo realizado sobre q’ durante un desplazamiento arbitrario desde a

hasta el punto b es:

'

F

G

=

q E

G

2

'

cos

'

1

1 '

'

b b a a b b a b a a r r r r a b b a

W

q EdS

q E

dS

dr

q Edr kqq

r

kqq

r

φ

→

=

⎛

⎞

⎛

⎞

−

= −

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

∫

G

Sólo depende de a y b

cos dS dr

φ

=

(26)

Potencial

el

_el

é

_é

trico

_trico

La variaci

ó

n de energ

í

a potencial por unidad de

carga

q’

_q

’

se denomina diferencia de potencial:

(

)

'

b a b b a a

W

_→

=

∫

q EdS

G

= −

U

−

U

dU

= −

q EdS

'

G

'

dU

dV

EdS

q

=

= −

G

b b a a

V

−

V

= −

∫

EdS

G

la diferencia de potencial es el trabajo necesario por

unidad de carga para mover una carga de

a

hasta

b

sin

aceleración.

La unidad de diferencia de potencial ΔV

en el S.I. es el

voltio (1V=1J/C).

(27)

Potencial el

é

_é

ctrico

_ctrico

Al igual que para la energía potencial

U

, sólo tiene importancia

la variación de

V

,

el valor de la función

V

en cualquier punto queda determinado

eligiendo arbitrariamente v de modo que sea cero en un punto

adecuado.

Si

V

y

U

son cero en el mismo punto, el potencial eléctrico en

cualquier punto coincide con la energía potencial de una carga

q’

en ese punto, dividido por

q’

.

Para un campo creado por una carga puntual:

E

kq

₂

r

=

G

kq

V

EdS

cte

r

= −

∫

G

=

+

_kq

V

r

=

Tomando

V

(∞)=0, cte=0,

El potencial eléctrico

V

es el trabajo por unidad de carga que debe hacerse para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta el punto r sin aceleración.

(28)

En el caso del potencial producido

por una carga puntual q, situada en

el origen, el potencial es

Las superficies

r

=

cte

(superficies

esf

é

ricas conc

é

ntricas) son las

superficies equipotenciales.

Superficies equipotenciales

Una superficie sobre la cual el potencial el

é

ctrico es

cte

se

denomina superficie equipotencial.

kq

V

r

=

V= constante

9 Si damos a una carga de prueba un pequeño

desplazamiento,

dS

, sobre una superficie equipolencial,

dV

=0

indicando que

dS

es un desplazamiento perpendicular a

E

.

(29)

Superficies equipotenciales

¾

Como el campo eléctrico en la

superficie de un conductor en equilibrio

es perpendicular a la superficie, la

propia superficie del conductor es

equipotencial.

¾

Como el capo eléctrico es cero en el

interior del conductor (en equilibrio

electrostático), el potencial es

constante en todas las partes situadas

sobre y en el interior del conductor.

(30)

Ejemplos de c

á

lculo de potencial

Conductor plano (con densidad uniforme)

Sobre la superficie de un conductor

siendo

S

la superficie del conductor:

E

σ

n

ε

=

G

_Q

S

σ

=

E

G

ˆn

Q

E

S

σ

ε

=

Q

V

Edr

r

S

ε

= −

∫

G

=

(31)

Esfera

cargada

uniformemente de radio

r0 y carga neta Q

kQ R 2 2 3 2 kQ r V R R ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ kQ V R = 3 0

4 Q

E

rn

r

πε

=

G

a) r<r₀ 2

4 Q

E

n

r

πε

=

G

r

dV

= −

E dr

b) r>r₀ 2 3 3 0 0 4 2 Q kQ r V rdr C r r πε = −

∫

= − + 2

4 Q

Q

V

dr k

r

πε

= −

∫

=

a)

b) _{(tomando origen} _{de potencial}_r=∞)

2 3 0 0

3

2

2 kQ r

Q

k

C k

C

Q

r

R

−

+ =

⇒ =

2 2 2

3

2

2 k

kQr

kQ

r

V

Q

R

⎛

⎞

=

−

=

_⎜

−

_⎟

⎝

⎠

Para hallar C se impone la condición de continuidad del potencial en la superficie de la esfera:

(32)

Capacidad y condensadores

El condensador es uno de los diferentes tipos

de elementos que interviene en los circuitos

el

é

ctricos de los aparatos de radio,

ordenadores, etc. Est

á

n hechos para

almacenar y ceder carga y energ

í

a el

é

ctrica

de acuerdo con las necesidades del circuito.

La propiedad que caracteriza las posibilidades

de almacenamiento de un condensador es la

capacidad.

(33)

Capacidad

El cociente entre la carga

Q

y el potencial,

V

de un

conductor aislado se denomina capacidad del

conductor

Puesto que

V

_V

siempre es proporcional a

Q

_Q

, este

cociente no depende de

Q

_Q

ni de

V

_V

La capacidad de un conductor esf

é

rico es proporcional

a

R

_R

.

La unidad de capacidad en el Sistema Internacional es

el Faradio, F.

Q

C

V

=

(34)

Ejemplo

El potencial (relativo a un cero en el infinito)

de un conductor aislado que posee una carga

Q

_Q

es proporcional a la carga y depende del

tama

ñ

o y forma del conductor.

Por ejemplo, el potencial de un conductor

esf

é

rico con carga

Q

_Q

y radio

R

_R

es

La capacidad de un conductor esf

é

rico es

1

4 Q

Q

V

k

R

πε

R

=

4 /

Q

R

C

R

V

kQ R

k

πε

=

(35)

Condensadores

Un sistema de dos conductores que poseen

cargas iguales y opuestas o condensador es un

dispositivo para almacenar carga y energ

í

a.

La capacidad de un condensador se define

como el cociente entre el valor de la carga

(sobre uno de los conductores) y el valor de la

diferencia de potencial existente entre los

conductores.

Los condensadores comunes se componen de

dos l

á

minas paralelas muy pr

ó

ximas o de dos

cilindros conc

(36)

Condensador de l

á

_á

minas plano

_{minas plano}

paralelas

Est

á

formado por l

á

minas paralelas de conductor muy

pr

ó

ximas.

Supongamos que una tiene una carga

Q

y la otra una carga

–

Q

, y sus

á

reas son

A

, la distancia de separaci

ó

n entre las

l

á

minas es

d

. La densidad de carga

σ

y el campo ser

_{y el campo ser}

á

uniforme entre las dos l

á

minas (despreciando los efectos

de borde)

El campo es

El potencial es

La capacidad es

0 ˆ Q E n A

ε

= G 0 0 d

Q

dV

Eds

Edx

d

A

ε

= −

=

∫

G G

∫

0

Q

A

C

V

ε

d

=

(37)

Condensadores en paralelo

Si las capacidades de los condensadores son C₁ y

C₂ se tiene que las cargas almacenadas en las láminas serán Q₁ y Q₂ dadas por

Q₁ = C₁ V Q₂ = C₂ V

V es la diferencia de potencial entre las láminas de cada uno de los condensadores.

La carga total es

Q = Q₁ + Q₂ = C₁ V + C₂ V = (C₁ + C₂) V

La capacidad efectiva o equivalente de la asociación en paralelo de condensadores es

Las láminas superiores de los dos condensadores se conectan entre sí mediante un conductor, y por lo tanto están al mismo potencial en condiciones electrostáticas. Las láminas inferiores están también unidas y están a un mismo potencial.

Para n condensadores, la capacidad equivalente es

El efecto de añadir un condensador es aumentar la capacidad, el área aumenta, permitiendo almacenar más carga a una misma diferencia de potencial V = V_a – V_b.

1 2

Q

C

V

=

+

1 n i i

C

=

∑

(38)

Para n condensadores en serie

Condensadores en serie

Hay una diferencia de potencial

V = V

_a

– V

_b entre la lámina superior del 1º condensador y la lámina inferior del 2º.

Este puede materializarse uniendo a y b a los terminales de una pila. Si hay una carga

Q

en la placa superior, se induce una carga

–Q

en la inferior. Esta carga procede de los electrones que se retiran de la lámina superior del 2º condensador.

existirá una carga igual

+Q

en la lámina superior del 2º condensador y otra

–Q

en su lámina inferior.

1 a b

Q

V

C

−

=

2 c b

Q

V

C

−

=

(

)

a v a c c b

V

−

V

=

V

− +

V

−

V

1 2 1 2

1

1 (

)

c b e

Q

V V

V

Q

C

=

−

=

+

=

+

=

1 2 1 2 1 2

1

e e

C C

C

=

C

+

C

⇒

=

C

+

C

1

n

1

i ef i

C

=

∑

₌

C

Sea

la capacidad de la asociación de los dos condensadores en serie.

(39)

Energ

í

_í

a electrost

_{a electrost}

á

_á

tica en un condensador

_{tica en un condensador}

Se puede cargar un condensador por transferencia de carga de un conductor a otro. En el proceso, se aumenta el potencial de la carga transferida, y se realizarse un trabajo para cargar el condensador. Parte de este trabajo, (o todo, según el proceso de carga) se almacena en forma de energía potencial.

Elijamos el cero de potencial en la placa negativa del condensador. Al comenzar el proceso de carga ninguna de las dos láminas esta cargada. No existe campo y las dos placas están al mismo potencial.

Cuando se haya transferido una cara Q₀ de una placa a otra, la diferencia de potencial es V₀ = Q₀/C, siendo C la capacidad. Habrá una carga –Q₀ en la placa negativa.

Sea q la carga transferida en un instante del proceso. La diferencia de potencial es V = q/C, si se transfiere a continuación una pequeña carga dq

desde la placa –q a potencial cero a la placa con +q a potencial V, su energía potencial

El aumento de la energía potencial durante la carga desde

q

= 0 hasta

q

= Q

₀ es la energía almacenada en el condensador

Con

C=Q

₀

/V

₀

q

dU Vdq

dq

C

=

0 2 0 0

1

2

Q

q

U

dU

dq

C

=

∫

=

∫

=

2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 Q U Q V CV C = = =

(40)

Diel

é

ctricos

Un material no conductor, como por ejemplo, el vidrio o la madera se denomina dieléctrico. Cuando el espacio entre dos conductores es ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor

κ

, característico del dieléctrico, y que se denomina constante dieléctrica.

cargamos un condensador de capacidad

C

₀ mediante una pila que lo carga a

V

₀, poniendo una carga

Q

₀

= C

₀

V

₀ en las placas. Si se desconecta la pila e introduce un dieléctrico entre las placas, rellenando todo el espacio, la diferencia de potencial disminuye hasta Puesto que

Q

₀ continúa en las placas, la nueva capacidad es

Si se inserta el dieléctrico mientras la pila sigue conectada al condensador, ésta deberá suministrar más carga para mantener la diferencia de potencial. La carga total en las placas será

Q

=

κQ

₀, y la capacidad vuelve a aumentar en

κ

0

V

κ

=

0 0 0 0

Q

C

V

κ

_κ

=

(41)

Las mol

é

culas del diel

é

ctrico se polarizan y alinean en

la direcci

ó

n del campo en presencia de un campo no

El efecto neto consiste en producir una densidad de

carga superficial positiva contigua a la l

á

mina cargada

negativamente y una densidad superficial negativa

contigua a la l

á

mina de condensador con carga

positiva. Llamemos a esta densidad

(42)

La carga del dieléctrico no está libre para moverse como ocurre en los conductores. Se llama carga ligada. El campo creado en la superficie del dieléctrico por σ_l es

σ

es la densidad superficial en las láminas del condensador. El campo neto será

Si definimos κ=

E

₀

/E

Permitividad del medio La capacidad será 0

'

l

E

σ

ε

=

0 0 0 0 0

1

1 '

E

l

'

(1

)

E E

E

σ σ

E

κ

σ

κ

ε

κ

κ ε

−

=

−

=

⇒

=

−

=

1

l

κ

σ

κ

−

=

l

σ

κ

σ σ

=

−

l

σ

σ σ

κ

−

=

0

E

σ

κ

=

0

E

ε κ

=

0 0 0 A A C C d d

ε

κ

ε

= = =

(43)

Cualquier material diel

é

ctrico sometido a un campo

muy intenso se hace conductor, fen

ó

meno conocido

como ruptura del diel

é

ctrico. En el inicio de la

conducci

ó

n se pueden producir descargas violentas en

forma de chispas o un arco, lo cual puede quemar y

romper el condensador. Los diel

é

ctricos tienen una

mayor resistencia a la ruptura que el aire, de aqu

í

que

é

sta sea otra de las funciones de los diel

é

ctricos en

los condensadores.

Resumiendo, la funci

ó

n del diel

é

ctrico es:

1

1 º

º

Proporciona un medio mec

á

nico que separa los

conductores de condensador que deben estar muy

pr

ó

ximos para que

C

_C

sea grande (para el condensador

de l

á

minas paralelas

C=

ε

A

/d

)

2

2 º

º

Aumenta la diferencia de potencial m

á

xima que

soporta el condensador sin que se rompa (sin que haya

ruptura del diel

é

ctrico).

3